2027高考数学复习-高中数学公式合集

高中数学超全公式合集

一、函数

.分数指数幕公式:

m__

+

⑴=(a>0,m,nEN9且几>1),

，、一m11

⑵Q7=浸=市。

2.对数换底公式:

⑴晦匕=鬻(a>0且a1,c>0且。H1,b>0),

⑵常见推论log/b"=；logab,logab-logba=1。

3.单调性的快速判断:

⑴增函数+增函数T增函数;

⑵增函数-减函数T增函数；

⑶减函数+减函数T减函数；

(4)减函数-增函数-►减函数；

(5)对于复合函数y="。(%)),同增异减，即当f(x)与g(x)单调性相

同时，y=/(，(%))为增函数，当f(x)与g(x)单调性不同时，y=f(g

(x))为减函数。

k函数的切线方程:

xx

(1)函数y=f(x)在点(久o,处)处的切线方程为y-y0-f(oX一％o)，

其中yo=f(g),f’(*o)为函数在g处的导数；

(2)若函数在某点处不可导，但有切线，则切线可能垂直于x轴，如

y=遮在x=0处切线为%=0o

.函数周期性:

(1)若f(%+7)=/(%),则T为函数f(x)的周期;

⑵若+a)=—/(%),则周期T=2a;

(3)若/(%+a)=士，则周期T=2a；

f(x)

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(4)若/(%+a)=/(%—a),则周期T=2a;

(5)若f(x+a)=—f(x—a),则周期T=4a。

6.函数奇偶性:

⑴若/(—%)=/(%),则千(x)为偶函数，其图象关于y轴对称；

⑵若/(—%)=—/(久)，则千(x)为奇函数,其图象关于原点对称;

⑶奇函数在x=0处有定义时，f(0)=0;

(4)若函数f(x)为偶函数,则f(%)=f(|%|)。

7.指数函数性质:y=ax(a>0且aH1),

(1)当a>l时，函数在R上单调递增；

⑵当0<aVI时，函数在R上单调递减，恒过点(0,1)。

.对数函数性质:y=logax(a>0且aHl),

(1)当a>1时，函数在(0,+8)上单调递增；

(2)当0<。<1时，函数在(0,十身上单调递减，恒过点(1,0)。

a

・幕函数y=x9

(1)当a>。时，函数在(0,+物上单调递增；

(2)当aV0时，函数在(0,+训上单调递减；

23

(3)常见幕函数y=x,y=x,y=x,y=x^9y=%T的图象与性

质要熟悉。

10.函数的零点存在定理:

(1)若函数y=/(%)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并

且有f(a)・f(b)V0,那么函数y=/(〈在区间(a,b)内有零点,即存

在c€(a")，使得/(c)=0,这个c也就是方程/(%)=0的根；

⑵若函数/(%)在区间(a,b)内单调且/(a)・/(b)<0,则函数f(x)在

区间(a,b)内有且仅有一个零点。

.函数图象的平移变换:|将函数y=/(%)的图象

(1)向左平移h个单位/>0),得到y=/(%+九)的图象；

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⑵向右平移h个单位(/>0),得到y=/(%—儿)的图象;

⑶向上平移k个单位(k>0),得到y=/(%)+k的图象；

⑷向下平移k个单位(k>。)，得到y=f(x)—k的图象。

12.函数图象的对称变换:

⑴函数y=/(%)与y=f(一%)的图象关于y轴对称;

⑵函数y=/(%)与y=-/(%)的图象关于x轴对称；

⑶函数y=/(%)与y=一/(—%)的图象关于原点对称；

(4)函数y=/(%)与y=/(2a一x)的图象关于直线％=a对称；

⑸函数y=/(%)与2b-y=f(2a-%)的图象关于点(a,b)对称。

13.函数图象的伸缩变换:

(1)将函数y=f(式)的图象上所有点的横坐标伸长(0<3<1)或缩

短(/>1)到原来的，倍，纵坐标不变，得到y=/®x)的图象；

(2)将函数y=/(%)的图象上所有点的纵坐标伸长(4>1)或缩短

(0<71<1)到原来的A信，横坐标不变，得到y=4/(%)的图象。

14.对勾函数y=%+2(a>0),

⑴在(—8,—和［'0+8)上单调递增，

⑵在［一y/a,0)和(0,6］上单调递减，图象形似对勾。

।5・函数(c0),可变形为

adad

%(c%+d)+b

工=2+y其图象是由反比例函数平移得到的。

y=exIdexId

16.若函数f(x)满足f(a+x)=f(b—%),则函数f(X)的图象关

于直线％=与对称；若函数f(x)满足/(a+x)+f(Jb—x)=c,则函

数千(x)的图象关于点(手怖)对称o

乙乙

求函数y=/(g(%))的定

义域，需满足a4g(x)<b；已知函数y=/(。(%))的定义域

第3页共30页

为［a,b］,求函数y=/(%)的定义域，需先求出g(x)在［见匕］上的值

域。

18.若函数y=/(%)是定义在R上的奇函数,且/(%+7)=/(%),

则/(；T)=o(若T为偶数)o

19.若函数f(x)满足/(%)=/(x+zn)+/(x—叫,则/(%+

6m)=/(%),即函数千(x)的周期为6m。

20.函数y=loga(%+m)+n(a>0且aH1)的图象恒过定点

(1—mfn)o

21.若函数y=/(%)在区间［a,b］上单调递增,贝i"(Q)<<(%)<

/(/));若函数y=/(%)在区间口目上单调递减，则/(b)工/(%)工

22.函数y=/(%)的反函数为y=/-1(x),若点(a,6)在丫=/(%)

图象上，则点(ha)在y=广1(%)图象上;

y=/(%)与y=/T(%)的图象关于直线y=%对称;

求反函数的步骤：先由y=/(%)解出％=广i(y)，然后将%,y互换得

到y=/T(%)，注意反函数的定义域是原函数的值域。

23.若函数y=/(%)存在反函数,则f(fT(%))=X(%在广1(%)定

义域内),/-1(/(%))=X(%在f(%)定义域内)O

24.若函数y=/(%)是定义域为I的单调函数,则y-/(%)「

在反函数，且反函数y=广1(%)与原函数y=/(%)单调性相同。

25.函数y=/(%)的图象与直线％=Q(a为常数)至多有一个

交点,若有两个或以上交点9则函数在该点不满足函数定义(一个

自变量对应唯一的函数值)。

26.若函数y=/(%)在区间(a,b)内可导,且/'(x)>0,则函数在

(a,b)内单调递增；若/'Q)VO,则函数在(a,b)内单调递减；若

/'(%)=0在某点成立，该点可能为极值点。

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27.函数极值的判断:设函数/(乃在点初处可导，且/'(沏)=0,若

0,右侧f(%)<0,则％0为极大值点；

/(%)<0,右侧/’(%)>0,则％o为极小值点。

28.闭区间上函数最值的求法:求出函数在区间内的所有极值,

再与区间端点的函数值比较，最大的为最大值，最小的为最小值。

29.常见函数的导数公式:

(i)(c)'=o(c为常数)；

(2)(xn)=nxn-1;

(3)(sin%)=cosx;

(4)(cos%)=—sinx;

(5)(ex)=ex；

(6)(ax)=axIna;

(7)(In%),=-；

X

⑻(log。％)'=看。

30.导数的四则运算法则:

⑴(/(%)±9(%))'=/'(%)±/(%)；

(2)(/(%)g(%))'=f<x)g(x)|/(%)一(%);

卬z/W_f(x)g(%)-fCOg'O)

•(g(%)H0)o

31.复合函数求导法则：设y=/(〃)，〃=。(%),则y；=第,〃；=

f(g(x)》g<x)Q

32.函数的凹凸性:

(1)若函数f(x)在区间(a,b)内二阶可导，且则函数在(a,

b)内为凹函数；

⑵若/”(%)<0,则为凸函数。

33.函数图像的拐点:二阶导数/(阳))=0,且在％o两侧二阶导数

异号，则点(殉)(%0))为函数的拐点。

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_3_4_.__当__x__T__+__8___时__,__指数函数增长快于取函数，幕函数增长快于对

数函数，即谈_______________(a>1,n>0)。

35.若函数f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导，则至少存在一

点f€(%/)),使得f(b)—f(a)=f笆)(b—a)(拉格朗日中值定

理)。

二、导数及其应用

.函数的平均变化率:4y_/(比+/%)一/(租)

21%Ax

2.导数的定义:/(%Q+21X)-/(XO),也可表示为/'(%o)=

r'Q。)=MAx

lim

X—XQ

3.高阶导数:函数y=f(%)的二阶导数f(%)=(/(%)),三阶导数

f\x)=(/"(%))；……,n阶导数f5)(%)=(/ST)(%))'。

k导数在实际问题中的应用:求函数的最值(如利润最大、成本

最低等)，步骤：设变量T建立函数关系式T求导T找极值点T判

断最值。

其中〃%=b-a

i.定积分的定义:「f(x)dx=limlX"©)4%，一，

n-*8n

S为第i个小区间的任意一点。

6.定积分的性质:

(1)kf(x)dx=k，:f(x)dx(k为常数)

⑵Sa"(%)±=f^f(x)dx±「g(%)dx

⑶rf(%)d%=//(x)dx+，/(x)dx［a<c<b)

(4)1dx=b—a

(5)若/(%)>0在［a,b］上恒成立，则£7(%)d%20

7,微积分基本定理:如果千(x)是区间［a,b］上的连续函数，且

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/(%)=/(%),那么，7(%)d%=F(b)—F(Q),其中F(x)称为f(x)的

一个原函数。

8.常见函数的积分公式:

(1)fkdx=kx+C(k为常数)

n+l

⑵xndx=-r-+C(nH—1)

Jn+l

⑶『d'=In|%|+C

X

(4)fexdx=ex+C

nx

x-----FC(CL>0且a。1)

(5)fadx=Ina

(6)fsinxdx=-cosx+C

(7)fcosxdx=sinx+C

9.利用定积分求平面图形的面积：由曲线y=/(%),y—

g(x)(/(%)之g(x))与直线x=a,%=b所围成的图形面积S=

Sa"(%)-g(%)]d%。

10.利用定积分求旋转体的体积:由曲线y=/(%),直线％=a,

x=b(a<b)及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一J司而成的旋转体

体积［/=71，［/(%)］2dXo

三、三角函数

.弧度与角度的换算:180。=〃弧度，1。=总弧度，1弧度=

(—)°x57.3°

nO

2.任意角的三角函数定义:设角a终边上一点P(x,y),Y=

22

yjx+y,则sina=gcosa=%tana=：(%H0)o

3.同角三角函数基本关系：sin2a+cos2a=1;

sinaz,\

tana=----(cosaAnO)。

cosa

k诱导公式:

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(1)sin(TT-a)=sina,

(2)cos(TT—a)=—cosa,

(3)tan(TT—a)=—tana

(4)sin(--a)=cosa,

2

(5)cos(y—a)=sina

(6)sin(2-+a)=cosa,

(7)cos(y+a)=—sina

(8)sin(sina,

(9)cos(—a)=cosa,

(10)tan(—a)=—tana

i.和差公式:

(1)sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

(2)sin(i4—B)=sinAcosB-sinBcos/

⑶cos(4+B)=cosAcosB-sinAsinB

(4)cos(A—B)=cosAcosB+sinAsinB

/A、

(5)tan(4+'c8)=--ta--n-4-+--t-a-n--B-

,71—tanZ1tanB

(/6八)工tanz(ABn、)=ta--n-/-l---t-a-n--F--

'Jl+tan4tan^

6.二倍角公式:

⑴sin2a=2sinacosa

(2)cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a

(3)tan2a=2吗丫

1—tan^a

7.降氟公式:

.91—cos2a

⑴sin乙a=——-——

乙

(2)cosza=——-——

(3)sinacosa=-sin2a

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.半角公式:

二匕吆=/公(符号由§所在象限决定)

sina1+cosa2

.辅助角公式:asin%4-bcos%=va2+b2sin(1+9),其中

tan@=-(或cosw,smg)O

QVa2+b2yja^b2

10.正弦定理:[^-=-^-=^-=2R(R为三角形外接圆半径)，

\s\nAsinBsinC

推论：a=2RsinA9b=2RsinB,c=2RsinCo

11.余弦定理:

⑴次=52+—2bccosA

(2)b2=a2+c2-2accosB

(3)c2=a2+b2-2abcosC

222222222

/八、人A/?+c-aa+c-b「a+b-c

(4)推介：COS4=F^，COS8n=F^，COSC=F^-

12.三角形面积公式:

⑴S=5iQbsinCl=#csilnZ=5QcsinB

(2)S=Jp(p-a)(p-b)(p—c)(海伦公式，其中p=

⑶s=^（R为外接圆半径）

（4）S=r-p（r为内切圆半径，p=a+；t£）

13.三角函数的周期性:

(1)y=sinx,y=cosx周期为2TT;

(2)y=tan%,y=cotx周期为TT;

(3)y=Zsin(cox+0),y=Acos(a)x+cp)(AH0,a)W0)的周

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(4)y=4tan(ax+g),y=Acot(a)x+(p)(4W0,toWO)的周

14.三角函数的奇偶性:

(1)y=sinx,y=tanx,y=cot%是奇函数；

⑵)，=cos久是偶函数；

(3)y=4sin(3%+0)为奇函数时，cp=kn(kEZ)；为偶函数

时，(p=kn+m(kEZ)o

乙

15.三角函数的单调性:

(1)y=sin%在[一]+2而弓+2/OT](kEZ)上单调递增，在[]+

2k7i^+2kn](kEZ)上单调递减。

乙

(2)y=(：0$%在[2左耳兀+2/CTT](fcGZ)上单调递减，在[兀+

2knf2TT+2/CTT](kEZ)上单调递增。

⑶丫=在(—上兀怖+/OT)(/CE上单调递增。

tanx乙乙Z)

16.三角函数的最值:

(1)y=sinx,y=cos%的最大值为1,最小值为-1,即一IWsinxW

1,—1<COS%<lo

(2)y=Asin(a)x+(p)+B{A>0)的最大值为Z+B,最小值为

—A+B：

(3)y=Acos(3%+w)+8(A>0)同理。

17.正切函数与余切函数关系:

(1)tan%=」一(%,/c6Z);

cotx2

(2)tanx-cot%=1kEZ)o

18.万能公式:

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小-2tanf

⑴sm一言呼

1-tan2^

(2)cosa=l+tan2^；

2tan

(3)tana=------K(a工2/OT+7T,kEZ)o

l-tanz-

19.和差化积公式:

A+BA-B

⑴sinA+sinB=2sin----cos-----

22

Z+B.A-B

(2)sin4sinB=2cos----sin-----

22

4+BA-B

(3)cosA+cosB=2cos----cos-----

22

/J\Q

⑷cosAAn

20.积化和差公式:

,.1

(1)sinAcosB=弓[sin(/+B)+sin(A—B)]

1

(2)cossinB=-[sin(/+B)—sin(4—B)]

1

(3)cosAcosB=-[cos(4+B)+cos{A—B)]

乙

1

(4)sin/sinB=--[cos(A+B)—cos(X—B)]

21.三角形中的三角函数关系:在AABC中，A+B+C=则

(1)sin(4+B)=sinC,

⑵cos(A+B)=—cosC,

(3)tan(4+8)=—tanC(C)

2

.4+8C

(4)sin----=cos-

22

4+8,C

⑸cos----=sin-

22

⑹/>Bu>Q>bQsin4>sinB

22.反三角函数:

定义域值域[_§勺,

(1)y=arcsinx,[7,1],乙乙sin(arcsinx)=%

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(%C[—1,1])

(2)y=arccosx,定义域|cos(arccosx)=

%(%e[-1,1])

(3)y=arctan%,定义域R,值域(一^^)，tan(arctanx)=x(%G

22

R)

四、向量

・向量的加法法则:

⑴三角形法则（首尾相连），AB+BC=AC;

⑵平行四边形法则（共起点），OA+OB=0C（0ACB为平行四边

形）。

;向量的减法法则:\^B-AC=CB;OA-OB=BA（起点相同，

指向被减向量）。

3.向量的数乘运算:

（1）若；1>0,则府与无同向,JL|Aa|=2|a|;

⑵若a<0,则疝与N反向，且|而|二园•同;

⑶若a=o,则疝=o。

k向量数乘的运算律:

(1)4(而)=(A/z)a;

(2)(2+^yd=2a+fia;

⑶A(a+b)=2a+Ab。

.向量平行的判定:

（1）若2=（%i，yD,b=（x2,y2），则2II~b=%iy2一%2、i=0；

（2）若了。氏则五|法=五二石（A为实数）。

6.向量垂直的判定:若一=（%"1）,1=（%2f2），则,_1方=

%i%2+y/2=0o

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7.向量的数量积公式:

⑴万•5=|司历|cos，(，为工与方的夹角，0<0<7T);

(2)若3=(xn%),b=(如72),则2•方=%1%2+7172。

!.向量的模长公式：|a|=y/a-a;若方=(居y),则

[d\=+y2。

向量的夹角公式:a-b若方=则

9.cos0=雨;yD,b=(x2/y2),

%i%+yiy2

cos0=2

10.向量的投影公式:

(1谭在方方向上的投影为同cose=竺；

闻

⑵方在N方向上的投影为历|cose=*

11.向量的运算律：

(1)方・匕=匕・方；

(2)(®,)=40・1)=五・(石);

(3)(H+匕)•c=a-c4-b-Co

12.三点共线判定：若A、B、C三点共线，则存在实数2,使得万=

AAC;^OA=xOB+yOC(%+y=1)。

13..线段中点的向量表示：若M是线段AB的中点，则两+

乙

0F)o

14..三角形重心的向量性质：在A48C中，重心为G,则何+而+

GC=0;OG=^(OA+OB+OC)(0为任意点)。

15.•向量的单位向量：与N同向的单位向量为Z=£(a0)o

|a|

16••空间向量的坐标运算：若元二(%i，yLZi),方二(%2〃2/2),则

(1)a+b=(不+%2斤1+丫2/1+z2)

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②N-b=（%i_%2，丫1一丫2修1-Z2）

（3）疝=（尢口为1，%1）（4为实数）

⑷方,方=打工2+丫。2+Z1Z2

⑸同=J犹+无+Z彳

（6那||b==a%2,yi=4y2,zi=^z2（a为实数）

（7）H_LbQ%iX2+yi>r2+2逐2=0

17,.空间向量的夹角公式：cos”典Xl%2+yiy2+ZlZ2（。为空

⑷网

间向量方与石的夹角）。

18.空间向量的模长与距离：空间中两点P（%Lyi，Zi）,0（%2斤2/2）,

则

⑴而=（x2-xlfy2-y1,z2-z1）,

⑵|殉二J（%2-%1）2+（、2一月）2+（Z2-Z1）2。

五、解析几何

1.直线的点斜式方程：y—yo=k（x—%0）（k为斜率，（&/0）为直线

上一点，直线不垂直于X轴）o

2..直线的两点式方程：力工=土红（（/,力）、（孙丫2）为直线上两

y2-yix2-xi

点，打。电71。丫2）。

3,直线的一般式方程：Ax+By+C=0（A、B不同时为0）,斜率

k=-，（BW0）0

4.两条直线的交点：解方程组桂:t

1人2%十二2y十匕2一U

（1）若有唯一解，则两直线相交；

⑵若无解，则两直线平行；

⑶若有无数解，则两直线重合。

5.点到直线的距离公式：点P（%o，yo）到直线4%+By+C=0的距离

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Ct>—_Mxo/■+8yo=+C|o

J-2+—2

6.两条平行线间的距离：直线4:4%+By+C1=0与勿/%+By+

C2=0间的距离4=隼3。

《42+"

7.圆的标准方程：(%-a)2+(y—b)2=r2((a,b)为圆心，r为半

径)。

8.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

圆心为(——,——),半径丁——7D2+E?——4"o

222

9.直线与圆的位置关系：设圆心到直线的距离为d,圆半径为r,则

d<r=相交；d=r=相切；d>r=相离。

10.圆与圆的位置关系：设两圆半径为勺、丁2，圆心距为d,则

(1)d>丁1+Q=外离

⑵d=q+宝今外切

⑶一丁21<d<+r2=相交

(4)d=一丁21=内切

(5)d<岛—r2|Q内含

11.160.椭圆的标准方程：

22

(1)焦点在x轴上：+p-=1(a>b>0),焦点坐标(土G。)，其

中=a2一匕2

22

(2)焦点在y轴上：+^2=1(a>/?>0),焦点坐标(0,土c),其

中,2=4一/

12.椭圆的离心率：e=£(0<e<1),离心率越小，椭圆越圆；

a

离心率越大，椭圆越扁。

13.椭圆的准线方程:

、*

(1)焦点在X轴上：X=+—

2

⑵焦点在y轴上：y=+—n

第15页共30页

14.椭圆上任意一点到两焦点距离之和:IPFJ+|PF2|=2a(%、F2

为椭圆焦点，P为椭圆上一点)。

22

15.点在x轴上：3一方=1(。>0，b>0),焦点坐标(±c,0),其

中=次+匕2

22

16.焦点在y轴上:=1(a>0,b>0),焦点坐标(0,土c),

其中/=Q2+/

17.双曲线的离心率：e=a-(e>1),离心率越大，双曲线的开口

越开阔。

18.双曲线的准线方程：

、*

(1)焦点在X轴上：%=+—

2

(2)焦点在y轴上:y=+—n

19.双曲线的渐近线方程：

(1)焦点在x轴上:y=±-x

a

(2)焦点在y轴上：y=±7X

b

20..双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值：||PFi|一

\PF2\\=2a(%、七为双曲线焦点，p为双曲线上一点)。

21.抛物线的标准方程及性质：

⑴y2=2p](p>0):开口向右，焦点(或0),准线％=-§,对称

乙乙

轴为X轴

(2)y2=—2px(p>0):开口向左，焦点(―§,0),准线％=对

称轴为X轴

(3)x2=2py(p>0)：开口向上，焦点(0,§),准线y=—§,对称

轴为y轴

(4)%2=-2py(p>0):开口向下，焦点(0,一9，准线y=多对

乙乙

称轴为y轴

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22.抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离（抛物线的定

义）。

23.直线与椭圆相交的弦长公式：设直线y=/c%+m与椭圆交于

8。2f2）两点，联立方程得ox?+b%+c=。（QWO）,

贝I弦长|48|=V14-k2-J（%i+犯）2-4打工2—Vl+/c2•g（/=

b2—4ac）o

24.直线与双曲线相交的弦长公式：同直线与椭圆相交的弦长公式，

注意双曲线需考虑直线与双曲线的交点个数（可能1个、2个或0

个）。

25.直线与抛物线相交的弦长公式：同直线与椭圆相交的弦长公式，

抛物线中直线与抛物线可能有1个或2个交点（当直线与对称轴平行

时，有1个交点）。

26.椭圆的参数方程：

⑴焦点在x轴上」（。为参数）

iy=bsintf

⑵焦点在y轴上：『=bc°s,J为参数）

（y=asin8

27.双曲线的参数方程：

⑴焦点在x轴上：｛；二常黑（。为参数）

⑵焦点在y轴上：鬻（。为参数）

iy—CLsecu

28.抛物线的参数方程：

29.y2=2px（p>0）:（t为参数）

（y=2pt

22

30.点与椭圆的位置关系：对于椭圆a+%=1,点P（右,yo）,

⑴若4+Jvl，则点在椭圆内;若*+第=1,则点在椭圆上;

⑵若年+]>1，则点在椭圆外。

第17页共30页

22

31.点与双曲线的位置关系：对于双曲线会一方=1，点PQo，y。)，

⑴若却第<i，则点在双曲线内;

⑵若田一圣=1则点在双曲线上；

Q乙bL

⑶若再一W>1，则点在双曲线外。

aLb乙

32.点与抛物线的位置关系：对于抛物线y2=2px(p>0),点

产即y°)，

(1)若%<2p%0,则点在抛物线内；

(2)若%=2p%o，则点在抛物线上；

(3)若羽>2px0,则点在抛物线外。

概率与统计

1.随机事件的概率：P(4)E[0,1],必然事件概率为1,不可能事件概

率为0。

2.互斥事件的概率加法公式：

(1)若事件A与B互斥，则P(AUB)=P(>)+P⑻;

(2)若事件,%2,…，At两两互斥，则P(A1UA2U-UAn)=

PQ41)+PQ42)+…+P(4n)。

3,对立事件的概率：若事件A与B对立，则P(B)=1-尸(4),且

P(AUB)=1,P(AnB)=0o

4.古典概型概率公式：PQ4)=N其中n为基本事件总数，m为事件A

n

包含的基本事件数。

5.几何概型概率公式：

小_构成事件A的区域长度(面积或体积)

()一试脸的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)°

6.1条件概率公式：P(8M)=*萼(尸(4)>0),表示在事件A发生

的条件下，事件B发生的概率。

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7.乘法公式：P(4nB)=PQ4)P(BM)=P(B)PQ4|B)(P(4)>0,

P(B)>0)o

8.相互独立事件的概率：

⑴若事件A与B相互独立,则PQ4nF)=P(/)P(B);

(2)若事件A一42,…，4九相互独立，则PQ41n42n­・・门41)=

P(A1)P(A2y-P(An)o

9.离散型随机变量的期望：若随机变量X的分布列为P(X=%D=pi

(i=1,2,­•­,n),则期望E(X)=/pi+%2P2T--卜&Pn。

10.离散型随机变量的方差：

2

(1)D(X)=(/—E(X)/pi+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))pn,方差

的性质：

⑵O(aX+b)=Q20(X)(a、b为常数)°

11..二项分布：若X〜B(n,p)(n次独立重复试验，每次成功概率为

p),则E(X)=np,D(X)=np(l—p),且P(X=k)=C^pk(l—

p)n~k(k=0,1'…,TI)o

12.正态分布：若X〜N(%(J2),则其概率密度函数为/(%)=

标/2a2(_8<%<+8),期望E(X)=〃，方差。(X)=°2；正

态分布的性质：P(〃一0+G=0.6827,—2°VXW

〃+2d)«0.9545,P(4—3a<X</I+3。)左0.9973。

13.样本均值：元=j(%i+%2+…+%几)，反映样本数据的平均水

平。

222

14.样本方差：s=2[(%1—%)+(%2—北)2H---F(%n-%)],反

映样本数据的离散程度；样本标准差S=W。

15.频率分布直方图中，各组的频率等于该组的面积，即频率=

组距x"；众数是频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标；

组距

中位数是左右两边频率之和均为0.5的横坐标；平均数是频率分布直

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方图中每组中点的横坐标乘以该组频率之和。

16.久1"1）,（%202），…，（久nJ"），其回归直线方程为？二嬴十6,其

小去221（/一乃Oi一力^iXtyt-nxy八-2-口e心古处T拄太

中b二£3«T）2二总铲荷，a=y—必，且回归直线过样本

中心点（无》）。

17..相关系数：r=全国29一,|r|<1,|r|越接近1,线

户建（阳一目2£2（/一夕）2

性相关程度越强；|r|越接近0,线性相关程度越弱。

n(ad-bc)2(其中

18.独立性检验：对于2X2列联表，*2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)、为中

n=a+b+c+d）,根据\chi八2的值与临界值比较，判断两个分类

变量是否有关联。

19.分层抽样：设总体由差异明显的几部分组成，若要抽取容量为n

的样本，总体容量为N,第i层个体数为吊，则第i层应抽取的样本数

%=万・几。

20.系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规

则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本。步骤：编号T

分段T确定起始编号T抽取样本，间隔k=”（N为总体容量，n为样

n

本容量）。

七、计数原理

1..分类加法计数原理：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中

有m_1种不同的方法，在第2类方案中有m_2种不同的方法……在第n

类方案中有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+

…+771n种不同的方法。

2..分步乘法计数原理：完成一件事需要n个步骤，做第1步有巾1种不

同的方法，做第2步有机2种不同的方法……做第n步有m_n种不同的方

法,那么完成这件事共有N=mixm2x•••xzn几种不同的方法。

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3.排列数公式：=n(n—l)(n-2)---(n—m+1)=(n,mE

N+,且m4几),规定0!=1。

4.全排列数公式：=n!=nx(n-1)x•••x2xlo

5.组合数公式：优=*=…由，1TAinN",且

力强mx(ni-l)x…xl

m<n),规定C%=lo

6.组合数的性质：

rm_rn—m

Gn-Gn

rvnIr*m—1_r,m

Gn'Gn—Gn+1

/+-+髭+…+邛=2九

Cg+髭+心+.♦・=己+髭+咪+・♦・=2-1

7.二项式定理：（Q+力）几=2屋。「与。几一上块（九6N+）,其中叱称为

二项式系数。

8,二项展开式的通项公式：T狂\=%葭-绮（2=012…,几）o

9.二项式系数的性质：

10.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即七=

/^n—k

11.增减性与最大值：当k＜亨时，二项式系数逐渐增大；当

乙乙

时，二项式系数逐渐减小。当n为偶数时，中间一项（第］+1项）的

二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项（第亨项和第竽项）的

乙乙

二项式系数相等且最大

12.各二项式系数的和:得+禺+…+邛=2n

八、复数

33..复数的定义：形如a+bi（a”€R）的数称为复数，其中a为实

部，b为虚部，i为虚数单位，且理=一1。

34.复数的分类：

35.实数：b=0

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36.虚数：bH0(当。=0且bHO时为纯虚数)

37.211.复数相等：a+bi=c+di<^>a=c.SLb=d

(a,b,c,deR)o

38.复数的共机复数：复数z=a+bi的共机复数为2=a-bi,共朝

复数的性质："T另=五±五；济方=五•五；百=①(

z2z2

222

z2H0);z-z=\z\=a+bQ

22

39..复数的模：复数z=a+bi的模|z|=Va+b,模的性质：\zt-

Z\=kil-\z\；I7I=]77(Z2WO)；|Zi|-\z\<ki±z|<

22z2\Z2\22

\Z1\+㈤。

40..复数的四则运算：

41.加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

42.减法：(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—d)i

43.乘法:(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i

a+bi_(a+bi)(c-di)_ac+bdbe-ad.

44.除法:c+di(c+di)(c-di)c2+d2c2+d2'(c+diW0)

45.复数的几何意义：复数z=a+6对应复平面内的点Z(a’b),也对

应平面向量而=(a,b),复数的模|z|表示复平面内点Z到原点的距

离O

46..复数的三角形式：z=r(cos6+isin3),其中厂=|z|=

Va2+b2,。为复数的辐角，辐角主值argze[0,2兀)。

47..复数三角形式的乘法：ri(cos+isin0i)-r2(cos02+

rcos

1sin02)=^i2[(^1+。2)+isin(8i+02)]°

48.•复数三角形式的除法：中os?+isin：i]=3[cos_%)+

r2(cos02+isin02)丁2

isin(0i—02)](厂2。0)。

49••棣莫弗定理：[r(cos。+isin二r，(cos7i8+isinn。)(nG

N+)。

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九、立体几何

50.棱柱的体积公式：V=Sh（S为底面积，h为高）。

51.棱锥的体积公式：V=-Sk（S为底面积，h为高）。

3

52.棱台的体积公式：（S1+S2+冏&）（Si、S2为上下底面

积，h为鬲）o

53.圆柱的体积公式：V—zrr2/i（r为底面半径，h为高）；侧面积

公式：S侧=2口右;表面积公式：S=2TZT（T+/）。

54.圆锥的体积公式：V=^-nr2k（r为底面半径，h为高）；侧面积

公式：S侧=兀包（/为母线长，I=Jr2+A2）；表面积公式：S=

7ir（r+Z）0

55.圆台的体积公式：上=?兀〃（ri+^+rtr2）（丁1、丁2为上下底面

半径，h为高）；侧面积公式：S侧=兀（厂1+丁2乂（I为母线长）；表

面积公式：S=+r1+rrl+r2l）o

56.球的体积公式：V—^TIR3（R为球半径）；表面积公式：S—

4TT/?2O

57.线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直

线平行，那么该直线与此平面平行，即若/ua,THua,Z||m,则

I||a。

58,线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过该

直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行，即

若1IIa,Iu0,aC0=m,则/||m。

59.面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于

另一^个平面，那么这两个平面平行，即

若aua,bua,anb=P,aII夕，bII夕，则aII夕。

60.面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相

第23页共30页

交，那么它们的交线平行，即若a110,aCiy=a,0Cy=b,则

a\\bo

61.线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直

线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直，即若11a,11dau

a,bua,aCb=P,则/Ia。

62.线面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这

两条直线平行，即若ab1a,则a||b。

63.面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂

线，那么这两个平面互相垂直，即若/la,lu0,则a10。

64.面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面

内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若=

Z,aua,a1l9则a10。

65.异面直线所成角：设异面直线a、b的方向向量为记、n,则所成角

。满足cos。=|品且0<64三

17nli川2

66.直线与平面所成角：设直线I的方向向量为记，平面a的法向量为

n,则所成角。满足sinJ=|黑|,且0工。工3

|加|九|2

67.二面角：设平面a、0的法向量为记、五，则二面角的平面角。满足

|cos0|=|黑|,具体是锐角还是钝角需结合图形判断，范围是

0<0<7To

68.点到平面的距离：设点P到平面a的距离为d,平面a的法向量为

元，平面内一点为A,则弓=|^^

O

69,直线到平面的距离：若直线1||平面a,则直线上任意一点到平面

的距离即为直线到平面的距离，公式同点到平面距离。

70.两平行平面间的距离：在一个平面内任取一点，该点到另一个平

面的距离即为两平行平面间的距离，公式同点到平面距离。

第24页共30页

71.空间中两点间距离：设Q(%2，y2，Z2),则|PQ|=

J(无2一%I)?+。2-丫1)2+(Z2-Zi)2。

72.正方体的体对角线公式：设棱长为a,则体对角线长d=Ba。

73.长方体的体对角线公式：设长、宽、高分别为a