二次函数与幂函数（练）-2026高考数学一轮复习

专题10二次函I数与塞函I数

一.选择题（共10小题）

m+i

1.（2024秋•西安期天）若基函数/（x）=（＞+fn-\）x是偶函数，则m=（）

A.-2B.3C.1D.1或3

已知事函数（A）=（2/+〃），［在定义域内单调递增，则

2.（2025春•广东月考）/

A.-1B.D.2

4

2

3.（2024秋•福建期末）己知函数/(x)=x-2"“-+2的值域为［0,-KO),则实

数，〃的值为（）

A.-2或1B.C.1D.1或2

4.（2025春•杭州期中）已知函数/。）=＞”七吁2是辕函数，且在（0,也）上递增,

则实数〃?=（）

A.2B.-1C.1D.1或-1

5.（2025•湖南一模）已知幕函数/,。）=（＞+2加-2）入加2在（0，y）上单调递增，则

tn的值为（）

A.IB.-3C.-4D.1或一3

6.（2025•湖北模拟）已知事函数/（幻=（2，"+〃）尸，则下列结论正确的是（

）

A./⑴为奇函数B./⑺在其定义域上单调递减

C.+（2）D./Gn-l）＜/（-2）

7.（2024春•顺义区月考）函数/（x）=f—2x在区间［0,1］上的最小值是（）

A.-4B.-1C.0D.4

8.（2024秋•渭南期中）如果函数/（幻=/+2（"以+2在区间（-co,4]上是减函

数，那么实数〃的取值范围是（）

A.a..-3B.w,-3C.65D.a..3

9.（2024秋•清城区期中）若函数八处=/_2履+1在[3,5]上单调递增，则实数

A的取值范围为（）

A.（-00,3]B.[3,5]C.[5,+oo）D.[3,+oo）

10.（2024秋•泸州期末）已知函数/（幻=/+级+。的两个零点分另IJ是-1和3,

函数g（x）=」区，则函数g（x）在3]上的值域为（）

x

A.[0,4]B.[-4,0]C.[-4,4]D.[-1,31

二.多选题（共4小题）

（多选）11.（2025春•清远期中）已知察函数/。）=丁的图象经过点（2,4）,则

下列判断中正确的是（）

A.函数图象经过点（-1,1）

B.当2]时，函数/（幻的值域是[1,4：

C.函数满足/（x）+F（r）=0

D.函数/&）的单调减区间为（-8,0]

（多选）12.（2025春•湖南月考）已知函数f3=C+2x+l在区间[-2,°）上既

有最大值又有最小值，则实数〃的值可以是（）

A.-1B.--C.0D.1

2

（多选）13.（2024秋•甘肃期末）已知幕函数f（x）=（渥-函数/⑴在

区间（（）,y）上单调递减，则下列正确的是（）

A.-2

B.函数/（*）的图象经过点（1,1）

C.若4<Z><0,贝ij/(b)>f(a)

D.若a>b>0,则/(4+/(份>2/(彳)

(多选)14.(2024秋•抚顺期末)已知事函数/3)=(//-3)父(/〃,〃€R),则下列

说法正确的是()

A.若〃-1,则/'(x)在(0,+<»)上单调递减

B.若〃=〃?+1,则/'(X)是奇函数

C.函数y=2/(x-l)+l过定点(2,1)

D.若〃=一3,则/(5)+/(-4)<0

三.填空题(共4小题)

15.(2025•江苏三模)已知函数/(x)=o¥2+(力一3k+3,xe[a2-2,a]是偶函数，

则a+b=.

16.(2025•浦东新区三模)已知基函数y=(m2+m-5)xw-1在(0,+oo)上严格增，则

实数切=.

17.(2024秋•合肥期末)若幕函数/。)=(〃/—3m+3)，-a,且在xw(0,+oo)上是

增函数，则实数机=—.

18.(2025春•湖北月考)已知幕函数/(万=(。2是偶函数,则不等式

的解集为.

四.解答题(共6小题)

19.(2024秋•驻马店期末)已知函数/("=噌+麻+伏且/(x)v0的秋集

为(1,3).

(1)求/⑴的解析式；

(2)若人幻在区间上单调,求实数『的取值范围;

(3)求)(x)在区间口，r+2](rwK)上的最小值g(力.

20.(2024秋•日照期末)已知事函数/的图象过点(2,4).

(1)求函数〃幻的解析式；

(2)若不等式f,J(x)+2x对任意的xeR恒成立，求实数，的取值范围.

21.(2025春•临泉县月考)设函数/(幻=」/+〃比+丫.

22

(1)若函数/(X)在［-1,1］上是单调函数，求实数机的取值范围；

(H)若〃7=0,是否存在实数.，〃，使得函数“X)的定义域为［a,b］,值域为

［%，2例，若存在，求出［a,切；若不存在，说明理由.

22.(2025•利津县开学)已知事函数/。)=(>-4〃7+4).01在(10,0)上单调递

减.

(1)求函数〃劝的解析式;

(2)若/(l-2x)</(x+2),求x的取值范围.

23.(2024秋•石嘴山期末)若函数/(工)=(〃/-3〃2+3)—+24为幕函数，且在(。，田)

单调递减.

(I)求实数机的值；

(II)若函数g(x)=x-/(x),且xe(0,4<o).

⑺写出函数g(x)的单调性，无需证明；

3)求使不等式g(2/-l)<g(/)成立的实数/的取值范围.

24.(2024秋•福建期末)设暴函数八幻=(>-3〃L3)X"T在(0.抬)单调递增.

⑴求/(x)的解析式；

(2)设不等式/*),,4x+5的解集为函数g(x)=2f(x)+4/(x+l)-/(x)］的定义域,

记身(x)的最小值为。(a),求/?(a)的解析式.

参考答案

一.选择题（共10小题）

题号1234567891c）

答案CCABACBBAB

二.多选题（共4小题）

题号11121314

答案ADBCBCDBD

一.选择题（共10小题）

1.【答案】C

【分析】由事函数的定义和函数的奇偶性即可求解.

【解答】解:因为/'（X）=（〃「+"1-1）人””是幕函数，所以=

解得/〃=-2或m=1，

当〃?=-2时，f（x）=x-\该函数为奇函数，不符合题意，

当,〃=1时，f（x）=x\该函数为偶函数，符合题意，

所以〃2=1.

故选：C.

2.【答案】C

【分析一】根据幕函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得即可.

【解答】解：因为器函数=在定义域内单调递增，

所以2（/+4=1,且4」＞0,解得4」.

32

故选：C.

3.【答案】A

【分析】因为函数/(x)=(x-"I)?-"产-in+2..nr+2,则由题意得一〃?+2=0,

进而可求得答案.

【解答】解：因为函数/(幻=1一2侬-加+2开口向上,对称轴x=m,

所以/(3)../(〃?)=nr-2m-in-m+2=-m2+2,

又函数/(x)=、2-2/nv-m+2的值域为［0,+⑹，

则-m2-m+2=0,解得"?二一2或〃?=1.

故选：A.

4.【答案】B

【分析】利用基函数的定义及性质即可得到判断.

【解答】解：小0=>，・*2是塞函数,

则加*=1,解得m=±1»

当〃?=1时，f(x)=/在©/)上单调递减，不合题意；

当加=-1时，」(%)="在(0,+00)上单调递增,满足题意,故/〃=-1.

故选：B.

5.【答案】4

【分析】根据幕函数定义和函数单调性列出关于股的方程利不等式即可求解.

【解答】解：因为募函数外0=(川+2吁2)尸2在(0收)上单调递增,

r-rriM2+2m-2=1

所以《/，

m+2>0

解得〃7=1.

故选：A.

6.【答案】C

【分析】根据累函数的定义求出，〃的值，再结合箱函数的奇偶性和单调性判断各

个选项即可.

【解答】解：因为塞函数/*)=(2M+m)尸,

所以2州+加=1,

设函数g(x)=2,+X,显然函数g(x)在R上单调递增，

又因为g(O)=l,

所以m-0，

所以/(%)=%"=，■,定义域为｛x|xwO),

JT

因为/(-)=—^=与=/(小所以/'(X)为偶函数，故A错误：

(一幻X-

因为-2<0,所以/a)在(0,+oo)上单调递减，

所以/⑴在(YO,0)上单调递增，故8错误；

因为2>1>0,且f(x)在(0,a)上单调递减，

所以/(1)>/(2),即/(〃?+1)>/(2),故。正确；

因为-2〈-1<0,且/(x)在(TC,O)上单调递增，

所以/(-2)</(-1),BP/(w-l)>/(-2),故。错误.

故选：C.

7.【答案】B

【分析】根据二次函数相关性质可解.

【解答】解:函数〃幻=以一2%的对称轴为％=],

则/(x)在[0,1]单调递减，

在fM的最小值为f(1)=-1.

故选：B.

8.【答案】B

【分析】求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于〃的不等式，解出即可.

【解答】解:函数=f+2(a-l)x+2,开口向上，

对称轴是x=-a+l»

故f(x)的递减区间是(-8,-a+1],

而f(x)在(-co,41_h是减函数,

则—Cl4-1..4,解得：",-3.

故选：B.

9.【答案】4

【分析】由已知结合二次函数的单调区间与对称轴的位置关系可求.

【解答】解：因为函数=2履+1在[3,5]上单调递增,

所以鼠3,

故选：A.

10.【答案】B

【分析】由函数的零点可得方程/(x)=0的根，再由韦达定理可得〃，c的值，求

出g(x)的解析式，再由函数的[1,3]单调递增，可得函数前幻的值域.

【解答】解：因为函数/(x)=/+6+c的两个零点分别是_1和3,

所以-1和3是方程人力=0的根，

由韦达定理可得,।",解得〃=-2,c=-3,

-lx3=c

所以f(x)=x2-2x-3,

所以g(x)=3=x—3—2,xe[l,3],

XX

则g(x)单调递增,所以g(x)w[g(1)，g(3)],

而g(1)=1-3-2=-4,g(3)=3-1-2=0,

即g(x)w[-4,0].

故选：B.

二.多选题(共4小题)

11.【答案】AD

【分析】根据题意，求得函数/(x)=f,结合察函数与二次函数的图象与性质，

逐项判定，即可求解.

【解答】解：因为基函数/。)=丁的图象经过点(2,4),

可得2。=4,解得a=2,即f(x)=V,

因为/(-1)=1,所以A正确；

因为函数/(幻在区间［T,0］上单调递减，在［0,2］上单调递增，

所以当x=0时，/(A,„=/(0)=0,

乂由/(T)=l,f(2)=4,所以/(X)M=4,所以函数的值域为［0,4］,所以8

错误；

因为f(x)+f(-x)=x2+(-x)2=2x2,所以C错误；

因为函数/(x)=V开口向上，对称轴为x=0,

所以函数〃幻在区间(-8,0］上单调递减，所以。正确.

故选：AD.

12.【答案】BC

【分析】结合函数/(*的图象，即可得出a的范围.

【解答】解:/U)=(A+1)2,结合函数/5)的图象可知，/(0)=/(-2),

当ae(-l,0］时,/⑴有最大值〃-2),有最小值f(T).

［分析］对A，根据事函数定义结合单调性求解判断；对〃，由选项A得/(幻=E2,

代入运算判断；对C,根据暴函数的单调性判断；对D,利用作差比较法，结合

基本不等式判断.

【解答】解：对于A,=6"为幕函数,函数/(x)在区间(0,+00)上单

调递减，

则产一〃Ll=l,解得,〃=2,故A错误；

-in<0

对于8,由选项A,#")=/,可得/(_[)=],故8正确;

对于C,由函数/(x)为偶函数，可知函数人幻在区间(TO,0)上单调递增，

可得/(b)>f(a),故C正确；

对于。，由/*)=/,

则/(«)+/(^)-2/(-^-^)=r>-V+-p----T=(--y-)2>0,

2a~b~(a+b)-ab~4abab

可得f(a)+/(b)>2/(等)，故。正确.

故选：BCD.

14.【答案】BD

【分析】由暴函数的定义先求机，然后结合幕函数性质检验各选项即可判断.

【解答】解：〃力=(病-3忧为寡函数,

故"/一3=I，，〃=2或m——2»

A：当,〃=2时，〃=1,.f(x)=x在(0,+co)上单调递增，A显然错误；

B：由题意得/(幻=/或/")=/为奇函数，8正确；

C:因为基函数f(x)恒过(1,1)，则产2/*-1)+1=2。-1)"+1恒过(2,3),C错误;

D:若〃=-3,则/(处=6，

所以/(5)+/(-4)=53-4-3<0,。正确.

故选：BD.

三.填空题(共4小题)

15.

【分析】利用偶函数的定义及图象关于)，轴对称的特点，可以建立2+〃=0及

----=0»解得a,bJ即可得至+〃

2a

【解答】解一•函数/㈤=a?+S-3)x+3,xcd—2,0是偶函数

a?—2+。=0..a=—2或1

,：cr-2<a:.a=\

.・偶函数的图象关于)，轴对称,

.•.〃+〃=4

故答案为：4.

16.【答案】2.

【分析】由事函数的定义与性质，列式求解即可.

【解答】解：由事函数的定义与性质，知—""5=1,解得,〃=2.

故答案为：2.

17.

【分析】根据事函数的定义与性质，列式求解即可.

【解答】解：幕函数f(x)=(*-3m+3)--f且在xe(O,一)上是增函数，

所以收-3m+3=1,解得〃=2.

m~--1>0

故答案为：2.

18.【答案】(0,2).

【分析】根据事函数的定义，结合/*)=(/-。-1忧是偶函数，可得/(x)=f,再

根据单调性解不等式即可.

【解答】解：,基函数/(#=(/-〃-1)犬是偶函数，

:.cr—a—\=\1解得a=-l或〃=2,

当〃=-1时，/*)=尸为奇函数，不符合题意，

当〃=2时，〃x)=V为偶函数，

.•."r)=V在似内)内单调递增，且为偶函数，

/.f(x+1)>f(2x_1)可化为Ix+1a21],

解得0vx<2,

.•./(x+l)>/(2x-l)的解集为(0,2).

故答案为：(0,2).

四.解答题(共6小题)

19.【答案】(1)f(.r)=x2-4x+3；

(2)mF(-00.1]U[3，+oo)：

(3)g(/)=T0W2.

r-4r+3,r>2

【分析】(1)由题意可得1,3为方程V+◎+〃=()的两根，再利用根与系数的

关系可求出“，〃的值，从而可求得"X)的解析式；

(2)求出的图象的对称轴,然后由题意可得2..〃?+1或从而可求出

实数〃?的取值范围；

(3)分2</,感电1+2和2>/+2三种情况结合二次函数的性质求解即可.

【解答】解：(1)/(x)<0的解集为(1,3),则1,3为方程x2+—+b=0的两根,

所以["3"—",得〃=b=3,

1x3=。

所以f(x)=x2-4x+3；

(2)若/(x)在区间+上单调，则2..〃?+1或2,"?-1，

解得〃4,1,或"7..3,

&PmG(-00,1]U[3，+8)；

(3)因为f(x)的开口向上，对称轴为x=2,

所以当2vr时，在区间[[,/+2]上递增，

此时八盼*=g«)=/⑺=/-4,+3；

当感电t+2,即原才2时，的=g«)=/(2)=-1；

当2>/+2,即/<0时，/(X)在区间「，1+2]上递减，

此时fMnlin=g«)=/(/+2)=?-1；

fr<0

综上所述：g(t)=--l,0</^2.

/-4/+3">2

20.【答案】(1)/(x)=r;

(2)(—<x),—1].

【分析】(1)将点代入密函数的解析式，即可求解；

(2)分离出变量/,再结合二次函数的性质，即可求解.

【解答】解：(1)鼎函数/&)=/的图象过点(2,4).

则2"=4,解得a=2,

故/(X)=/;

(2)由(1)可得DxeR,+2%恒成立，.",(力+2幻喃,

令g(x)=x2+2x=(x+I)2-1»

,•力(X)m加=T，「」，，"I，

.•.实数，的取值范围为(-8，-I].

21.【答案】(I)(-00,-1]J[1,+00)；

(II)存在，,，/?]=[1,3]或m，切=[一2-/7,上].

4

【分析】(I)利用二次函数的性质求出对称轴，再结合单调函数的性质求解参

数范围即可.

(H)对4,/2的大小嗜况分类讨论，结合二次函数的性质求解符合情况的区间

即可.

【解答】解：(I)由二次函数性质得了(X)的对称轴1=机，

因为函数/(x)在[-1,1]上是单调函数，

所以〃4,-1或〃7..1,则实数，〃的取值范围是(Y©,，+8)；

(II)若〃uo,贝ij/a)=—39+日，

假设存在实数〃，3使得函数的定义域为心，创，值域为[2a,2b],

分以下情况讨论：⑴若Qavb,函数在[a,加上单调递减,

f(a)=-^-a1+^-=2b

/+4力+13=0

由题意得J22，即

i13b~+4a+13=0

f(b)=~b2^—=Za

解得：：；,此时跖b]=u，小

(")若"b,,O,函数/(X)在m，句上单调递增,

f(a)=_La^\l=2a

a?+4a+13=0

由题意得122，即

11Q

f(b)=-jb2+卷=2b+4〃+13=0

解得忆事’与矛盾’排除;

若a<O<b,函数/(.r)在[a,0]上单调递增,在[0,切上单调递减,

由题意得26=",解得匕=兄，0f(b)=--(―)2+—=—>0,

2424232

/(a)=+£=2a,所以/+4〃-13=0,

解得a=-2-而，此时团向=[-2->/万,与，

4

综上所述，存在实数a,〃，h，b]=[\,3]或[〃,刃=[-2-折,»],

4

使得函数的定义域为屋，切，值域为[%，2b].

22.【答案】(1)/(r)=r2；

(2)(-；,3).

【分析】(1)根据函数是基函数，单调性计算求参即可;

(2)根据单调性求不等式.

【解答】解：(1)由暴函数的定义可得，-4W+4=1,

解得〃2=1或3,

当m=1时，/*)=/=[,在(70,0)上单调递增，不符合题意，

JT

当m=3时，/(x)=x2,在(-00,0)上单调递减，符合题意，

所以/(X)=X2；

(2)由函数/(x)=f图象关于)，轴对称，且在[0,+00)上单调递增，

则/(I-2x)v/(x+2)可化为11-2x|<|%+21,

平方得-4.r+l<x2+4x+4,

解得」<x<3,

3

所以x的取值范围是V，3).

23.【答案】(1)1；

(ID(i)g(x)在区间(。也)单调递增,理由详见解析;

(«)/e(lI).

2

【分析】(I)结合基函数的定义域性质，即可求解；

(II)⑴结合复合函数的单调性，即可求解；

(")结合，的范围，以及函数的单调性，即可求解.

【解答】解：(I)函数/*)