空间角、距离的计算（几何法、向量法）-2026年高考数学二轮复习

微专题26空间角.距离的计算（几何法.向量法）

高考定位1.以空间几何体为载体考查空间角（以线面角、面面角为主）是高考命题

的重点，常与空间线面位置关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答

题的形式进行考查.高考注重利用向量方法解决空间角问题，但也可利用几何法来

求解；2.空间距离（特别是点到面的距离）也是高考题中的常见题型，多以解答题

的形式出现，难度中等.

【真题体验】

1.（2024•新高考H卷）已知正三棱台48C—力山IG的体积为辛AB=6,小8=2,

则小/与平面片8。所成角的正切值为（）

A2B.1

C.2D.3

答案B

解析设正三棱台481G的高为从三条侧棱延长后交于一点P,

作尸。_L平面力8C于点。，尸0交平面48G于点。,

连接04OiAlt如图所示.

由AB=3A\B\,

可得POi=U,尸0=3方,

22

17I，

又以必q=；X22X2'3,S^3C=；X62义：=93,

1

所以正三棱台ABC-AxBxC\的体积V=VP_ABC-VP_AXBXCX=3X；/?一

1义3X)=52

323

解得仁］故尸。=，=23.

由正三棱台的性质可知，。为底面力8c的中心，

7

则04=X62-32=23,

3

因为QOJ_平面45C,

所以NP4。是4/与平面ABC所成的角，

PC

在Rt△为O中，tanZPAO==\,故选B.

0A

2.(2024•天津卷)如图，己知直四棱柱中，ADA.AB,AB//CD,

44i=2,4B=24D=2,DC=1,N是8iG的中点，M是。。।的中点.

⑴求证：ON〃平面CBi"；

(2)求平面C8M与平面88GC夹角的余弦值；

(3)求点B到平面CB\M的距离.

⑴证明以力为坐标原点，以川以4。，力小所在直线分别为x轴、y轴、z轴建

立如图所示的空间直角坐标系，

依题意得，8(2,0,0),C(l,1,0),。(0,1,0),8(2,0,2),Ci(l,1,2),

Z)i(0,1,2),

则A/(0,1,1),AL*2，2],

所以G=12'一2'°J,通产(1,-1,2),CM=(~\.0,1).

设平面CBiM的一个法向量为〃=(xi,yi,zi),

nCB\=01rr》|_y+2Zl=0,

则即，

ziCA/=0,-x\+z1=0,

取切=1,得zi=l,y]=3,贝=3,1).

G•〃:C，-2‘°J(L3,:

所以说V_L〃，显然。iMZ平面CHuW,

所以。iN〃平面CEM

(2)解易知无i=(l,-1,2),BC=(-1,1,0),

设平面651GC的一个法向量为机=(也，yi,Z2),

ntCB\=0,垃―y2+2z2=0,

则即

“比=0,-12+3=0,

取X2=l,得歹2=1,Z2=0,则〃1=(1,1,0).

设平面CBM与平面BB1C1C的夹角为0,

«,]I/\।\n-ni\4222

贝।co*<a9=co*〈〃,M===

1|〃"川11X211

所以平面与平面3囱GC夹角的余弦值为2；2

(3)解易知丽i=(0,0,2).

设点8到平面CB】M的距离为d,

则仁|丽•川=2=211

\n\11II5

所以点B到平面CSM的距离为2

【热点突破】

热点一异面直线所成的角

I核心归纳

求异面直线所成角的方法

法一（几何法）步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，

或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到（或作出）的角即为所求角;

③通过解三角形来求角.

法二（向量法）步骤为：①求出直线人的方向向量，分别记为a，〃；②计算cos

〈/〃，〃〉=「〃；③利用cos9=|cos</H,//）I，以及ej"2］求出角0.

问川

例1（2024・丹东模拟）直三棱柱44C—48C1中，AB=AC=AAi,N84C=120。,

则异面直线B4与4G所成角的余弦值为（）

答案A

解析法一如图所示,

设E,F,G,，分别是线段小囱，4B,4小，小G的中点

连接石/，FH,HG,EH,FG,易知FG统!BA、,GH统：ACT,

22

故N/GH或其补角是异面直线BAi与AC\所成的角.

设48=/C=44i=2,由于N8ZC=120。，

所以SG=23,EH=3,EF=2,

则bH=(3)2+22=7,

又FG=、BA尸2,GH=XAC\=2,

22

在中，由余弦定理得

(2)2+(2)2-(7)2_3

cosNFGH=

2X2X24

所以异面直线34与“a所成角的余弦值为;.

法二取8C中点。,

连接/。，因为NB=%C,

所以_LQC,

以。为原点，DA,。。所在直线分别为x,y轴，过点。且垂直于平面B4C的直

线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

71

不妨设为8=力。=力m=1,而/氏4c=120°,所以BD=DC=，AD=

22

03

所以*°'°iJ-2'■],

所以瓦?尸C'2'”,太」2，'I

所以异面直线B4与JCi所成角的余弦值为

I」+3+1|

「一、\BAvAC\\I44I=3

|cos{BA\,AC\}|=

廊中+上中+14

4444

易错提醒1.利用儿何法求异面直线所成的角时，通过平移直线所得的角不一定

就是两异面直线所成的角，也可能是其补角.

2.用向量法求异面直线所成的角时，要注意向量夹角与异面直线所成角的范围不

同.

训练1（1）（2024・绵阳模拟）三棱柱/8C—力山Q,底面边长和侧棱长都相等.NB441

=ZCAAi=60°,则异面直线AB\与BCi所成角的余弦值为（）

31

A.B.

22

66

C.D.

36

(2)如图，已知圆柱OiQ的轴截面48co是边长为2的正方形，E为下底面圆周

上一点，满足曲=20，则异面直线4E与80］所成角的余弦值为()

答案(1)D(2)B

解析⑴设施=a,AC=btAA\=c,\a\=\b\=\c\=\t

由题意〈mh)=〈〃，c)=〈c,a}=60°,AB\=a+c,比i=—”+〃+c,

\AB\\=a2-bc2-I-2a-e=1+1+2-1-1cos60°=3,

\BCi\=/+〃+c2—2。力-2ac+2bc=2,

又ABi/G=(a+c)(—〃+b+c)=Zra+/rc+c2-1—1=1,

设异面直线ABi与8G所成角为仇

贝ijcos°=|cos(ABi.BCi)\=3・2

II=6‘.

(2)法一如图,连接EG并延长，交底面圆于点F,连接R9],FB,易知AEI/BF

且AE=BFi所以/FBOi为异面直线4E与BOx所成的角或其补角.

E

因为配=2。，则N4QE=60。，

所以△力EO2为正三角形，故4E=BF=1.

由圆柱的性质知。/=。山=Z?C2+(9iC2=5,

所以在等腰△8b。中，

XBFc

cosNFBOi=2=

0\B10

法二以力为原点，AB,力。所在直线分别为y轴、z轴，过点力的的垂线所

在直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则4(0,0,0),8(0,2,0),

所以能=12,2'J,防i=(0,-1,2),

所以异面直线4E与BO1所成角的余弦值为

一一|一"5

|cos(AE,BOi)|===.

油I防IIX510

故选B.

热点二直线与平面所成的角

I核心归纳

求直线与平面所成角的方法

法一(几何法)步骤为：①找出直线/在平面。上的射影；②证明所找的角就是所求

的角；③把这个角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.

法二(向量法)步骤为：①求出平面a的法向量〃与直线48的方向向量懑；②计算

一而〃->0,T、

cos〈AB,，力=_;③利用sinO=|cos〈AB,〃〉以及。2」，求出角

\AB\\n\

0.

例2(2024•宁波模拟)在菱形/8C。中，AB=2,ZBAD=6001以43为轴将菱形

45CQ翻折到菱形如5CQ,使得平面力3CQ_L立面力BCD,点£为边8G的中

点，连接CE,DD\.

(1)求证：CE〃平面4。。；

⑵求直线CE与平面BDD】所成角的正弦值.

(1)证明•:BE〃孙,3EZ平面力。Qi,小Ou平面力DO,.「BE〃平面/QOi.

同理可得BC〃平面/。斯.

又・；BECBC=B,BE,BCu平面BCE,

・•・平面2CE〃平面ADD{.

,・，CEu平面BCE,・・・CE〃平面ADDi.

⑵解法一取48中点。，易知OD\LAB.

・.•平面43CQJL平面ABC\D\,平面ABCDC平面ABGD尸AB,

又OQiU平面/8GQ1,ODxLAB,

・・・。。_1_平面48CD

如图，建立空间直角坐标系，则力(0,1,0),3(0,-1,0),D(3,0,0),C(3,

一2,0),A(0,0,

从而a

又应)=(3,1,0),DD\=(-3,0,3),

设平面8。。的法向量〃=(x,yfz),

防〃=0,3x+y=0,

有一得

-3x+3z=0,

3x,

解得

l7=X,

取z=l,可得平面BODi的一个法向量为〃=(1,-3,1),

设直线CE与平面BDDi所成角为仇

-3-3+3I

一\CE-n\22I=

则sinJ=|cos{CE,〃〉|=r

\CE\-\n\3十1+3.1十3十110

44

所以直线CE与平面8。。所成角的正弦值为]：.

法二取力。|中点尸，则EFQC是平行四边形，所以CE〃DF.

从而CE•与平面30。所成角即为。尸与平面BOG所成角，设为仇

过D\作D\GA-AB交/B于G,过G作GHLBD交BD千H,

过G作GKLDiH交D\H于K.

因为平面力3CD_L平面/BGQi,平面/BCDA平面ABC\D\=AB,

又QiGu平面/8GQ],QiGJL/8,

所以DiG_L平面48。，

又BDu平面4BCD,所以QiG_L8O,

又GH上BD,D\GCGH=G,DiG,GHu平面D】GH,从而8QJ_平面。iG”，

因为GKu平面DiGH,所以8DJ_GK,

又GK上D、H,BDCDiH=H,BD,"Hu平面从而GKJ_平面

所以GK的长即为G到平面BDD1的距离.

71S

由。iG=3,GH=\可得GK=

25

又GF〃BD、，所以F到平面BDD\的距离设为h即为G到平面BDD1的距离，

即仁GK=15.

5

又DiG=DG=3,可得。。产6.

在△月。。中，DD尸6,ADfD尸2,所以4。产十力0=2(力小+。〃?)，得。尸

=2

所以5访夕=（广=if，所以直线CE与平面BOG所成角的正弦值为

DF1010

规律方法1.几何法求线面角的关键是找出线面角（重点是找垂线与射影），然后在

三角形中应用余弦定理（或勾股定理）求解；

2.向量法求线面角时要注意：线面角夕与直线的方向向量〃和平面的法向量〃所成

的角〈a,n）的关系是n）+。=；或（a,n）一夕=；,所以应用向量法求的

是线面角的正弦值，而不是余弦值.

训练2（2024・北京门头沟模拟）如图,在四棱锥尸一43CZ）中,平面Z3CZ）,

4BLAD,AD//BC,BC=、AD,PA=AB=2,E为棱PQ的中点.

2

（1）求证：EC〃平面R1B；

（2）当。。=3时，求直线PC与平面4CE所成角的正弦值.

⑴证明取为中点为连接ME,MB,如图所示.

在△玄。中，因为例，E分别为玄，尸。的中点,

故ME〃4Q,ME=XAD^

2

入ADHBC、BC=，4D,

2

故ME〃BC,ME=BC,

则四边形M3CE为平行四边形，EC//MB.

又A/8u平面PAR,ECU平面P4B,

故EC〃平面PAB.

(2)解法一由题意建立空间直角坐标系，如图所示.

由PA=AB=2,PC=3,

得4C=5,BC=1,AD=2,

所以P(0,0,2),0(0,2,0),E(0,1,1),BQ,0,0),C(2,1,0),

则无=(2,1,-2),而=(2,-1,-1),£C=(2,0,-1),

设平面E8C的法向量为〃=(x,y,z),

Cn=2x—z=01

,

CBn=2x-y-z=0,

令z=2,可得平面EBC的一个法向量为〃=(1,0,2),

设直线PC与平面所成的角为仇则

.n।无・川|2+0-4|25

sm0=|cos\PC-n)|===.

\PC\-\n\3515

即直线PC与平面8CE所成角的正弦值为25.

法二过点P作延长线的垂线，垂足为N,连接NC,如图所示.

由(1)可知，EC//BM,

故平面BCE也即平面NMBCE.

因为BC〃AD,贝i」8C_L/正

又刃_L平面48CQ,8Cu平面Z8CQ,故BC1PA.

又P4C4B=4,PA,4Bu面R4B,故8C_L平面以8.

又PVu平面PAB,则PN1BC,又PN1BN.

BCCBN=B,BC,BNu平面BCE,

故PNJ_平面BCE,

则N尸CN即为PC与平面BCE的夹角.

在中，因为45=2,AM=\PA=\,

2

9s

则8W=AB2ji-ANf=5,sin/4M8=.

5

i9s

在APMN中，因为PM=*=1,NAMB=/PMN,则PN=sE/PMNXPM=I

25

25

又PC=3,sinZPCN=PN=5=25,

PC315

即直线0C与平面BCE所成角的正弦值为：5.

1J

热点三平面与平面的夹角

I核心归纳

求平面与平面的夹角方法

法一（几何法）步骤为：①找出二面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，

在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面

角）；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解

三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小

确定.

法二（向量法）步骤为：①求两个平面a,4的法向量〃］，〃；②计算cos加=

J：：/③设两个平面的夹角为夕,则cos9=|cosn}|.

|圳1川

例3（2024•深圳模拟）如图,在三棱柱力BC-4出6中，侧面3QGCJL底面43C,

HAB=AC,A\B=A\C.

⑴证明：44」平面48C：

(2)若力小=。。=2,/84「=90。.求平而力由。与平面小Z?C夹角的余弦值.

⑴证明取8。的中点用，连接M4,

因为44=4C,AiB=AiCt

所以4C_L4W,BCLA\M,

由于4Vf,4"u平面小M4,且4004〃=",

所以8C_L平面4M4,4/u平面4M4,所以3C_L44

又因为山，所以B3_L3C,

因为平面88cle_L平面力BC,平面BBCCC平面力BC=8C,且BBu平面BBCC,

所以平面49C,

因为小力〃8归，所以44_1_平面片BC.

(2)解法一因为NB4C=90。，且BC=2,

所以4B=4C=2.

以4B,AC,4小所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系A-x)^zt

则4(0,0,2),8(2,0,0),C(0,2,0),Ci(0,2,2).

所以W7?=(2,0,2),JlC=(0,2,2),373=(0,2,0).

设平面力加。的法向量为〃1=(X1,y\,Z1),

“府=0,2xi—2zi=0,

则一可得

zw/liC=0,2yi—2zj=0,

令zi=l,可得平面48。的一个法向量为，〃=(2,2,1),

设平面48G的法向量为〃=(X2,>2,Z2),

〃•舟=0,2x2—2Z2=0,

则_可得

/r^7Ci=0,2”=0,

令Z2=l,可得平面48cl的一个法向量为〃=(2,0,1),

设平面力山。与平面小BG夹角为仇

则c0s〃="叽3=15,

|制川5X35

所以平面力由C与平面小8G夹角的余弦值为；5

法二将直三棱柱ABC—AiBC补成长方体ABDC—A向DC.

连接G。，过点。作CP_LGQ,垂足为P,再过P作垂足为。，连接

CQ,

因为3D_L平面CQDiG,且“u平面CDUG,所以&)_LCP,

又因为CP_LG。，由于80,GOu平面48OG,且80nGO=。，所以C尸_L平

面则△CP。为直角三角形，

由于44u平面44QG,所以44_LCP,

因为CP,尸。u平面CPQ,且CPCPQ=P,

所以44_L平面CPQ、

因为C0u平面CP0,所以

则NC0尸为平面4BC与平面44G的夹角或补角，

在△48C中，由等面积法可得。。=

因为尸0=4iC=2,

所以cos/CQP=*=；

因此平面44C与平面48G夹角的余弦值为:

规律方法1.用几何法求解二面角的关键是：先找(或作)出二面角的平面角，再在

二角形中求解此角.

2.利用法向量的依据是两个半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互

补，在求二面角的大小时，一定要判断出二面角的平面角是锐角还是钝角，否则

解法是不严谨的.

训练3(2024•泰安模拟)如图,在底面为菱形的直四棱柱力BCD一力山Ci。1中,

7

ZBAD=n,AAi=4B=2,E,F,G分别为3囱，CCi,。。的中点.

3

(1)求证:A正〃GC；

(2)求平面AxEF与平面ABCD夹角的大小.

(1)证明取中点儿连接因为底面48CQ为菱形，/氏4。=：兀，所以

AHLAD,以片为原点，AH,AD,4出所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,2),E(3,-1,1),G(0,2,1),C(3,1,0),F(3,1,1),A?E

=(3,-1,-1),GC=(3,—1,-1),:.鼠E//4C、：.A\E//GC.

⑵解法一设平面4痔的法向量为〃=(x,y,z),

”・A.=：()

又丽=(0,2,0),所以‘'

〃・前=0,

即I3r-z=0,

12y=0,

令x=l,可得平面4M的一个法向量为〃=(1,0,3),

易知£i=(0,0,2)为平面*88的一个法向量，

设平面小跖与平面Z3CO的夹角为仇

而航•川233.口兀

贝i」cos0=一==,・.夕=,

|力4||川2X226

・•・平面小川与平面ABCD的夹角为。

6

法二如图所示，

设44的中点为连接"8,MC,

易证EA、〃MB,FA\//MC,

故£4〃平面MBC,FA\〃MBC,

又E4iCE4=4,所以平面小石;7〃平面M3C,

则平面4EF与平面力8CQ的夹角就是M3C与平面ABCD的夹角，

设的中点为，，连接

因为底面/8CO为菱形，，NBAD=2；,

所以N，_L4C,

又平面力8cO,BCu平面4BCD,所以力MJLBC,又4WG力，=力，AM,

NHu平面4必〃，所以BC_L平面力M”,

故所以N4HM是平面"5C与平面48CD的夹角.

I1

易知4A/=力小=1,AH=AB=3.

22

所以tan/4//A/=""=故

AH36

所以平面小EP与平面ABCD的夹角大小为1

6

法三由题意知4尸=5,EF=2,AiE=5,易得5必所=2.

又三角形4石厂在平面N3CQ内的射影为三角形/BC,且S“BC=3,

设平面4E尸与平面.42CD的夹角为仇

WJcos6=Smbc=3,

S"\EF2

又OEp2I故〃=：

6

即平面小川与平面ABCD的夹角大小为兀

6

热点四距离问题

I核心归纳

1.空间中点、线、面距离的相互转化关系

2.空间距离的求解方法有：（1）作垂线段；（2）等体积法；（3）等价转化；（4）空间向量

法.

例4在直三棱柱—力山iG中，AB=AC=AAi=2,NBAC=90。,M为BB\

的中点，N为8。的中点.

⑴求点〃到直线4G的距离；

（2）求点N到平面MAiCi的距离.

解法一（1）如图，连接如W,MCi,ACx.

易知A/济+4出+小0?=22+22+12=3,

ACi=22,MA=5.

在△A〃G中，由余弦定理得cosNM4G='+8-9=10,

2X5X2210

1in

则sinNM4G=,

10

所以M到直线4G的距离为

31032

A/^sinZMAC\=5X，乙.

102

232

(2)如图，S&WNC]=S箱形B、BCC\一SaBSABA4N—SANCC、=42-2——2=

乙乙

设点N到平面MAxC\的距离为队

32

由匕N_町q=%LWg,得:X；X2X5/?=*X2X2,

得T

J

即N到平面M/G的距离为35.

5

法二(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则4(0,0,2),M(2,0,1),Ci(0,

2,2),

r22

直线的一个单位方向向量为

4G$0=1°'2'2,,疯二(2,0,1),

故点M到直线4G的距离

d=\AM\2-\AM-SO\2=5-；=12.

(2)设平面M41G的法向量为〃=(x,y,z),

因为4；bi=(o,2,0),M=(2,0,-1),

n•A\C]=Ot2y=0,

则即

而=0,2x—z=0t

取X=1y得Z=2,

故〃=(1,0,2)为平面M41G的一个法向量.

因为ML1，0),所以加=(—1,1,—1),

故N到平面M41cl的距离〃=叫"加=3=35.

I«l55

规律方法1.求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离

公式，二是利用等体积法.

2.求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直

线上任一点到平面的距离.

训练4(1)已知二棱柱48c—力山Ci为正二棱柱，且力小=2,AB=23,。是81cl

的中点，则点8到平面力囱。的距离为()

313613

AA.Bo.

1313

9131213

L/•Lz・

1313

(2)已知正方形48CQ的边长为1,PO_1_平面/8c0,且，。=1,E,尸分别为4B,

8C的中点，则直线力。到平面出尸的距离为()

17

A.2B.

17

3

C.D.5

3

答案(1)B(2)B

解析(1)法一如图，连接4G.

在三棱柱48c—/山Ci中,

因为〃与G,3Ciu平面月Bi。，ACO平面/囱G,

所以BC〃平面/EG,则8C上所有点到平面451G的距离相等.

取8c的中点O,则点B到平面AB】D的距离等于点O到平面AB】D的距离.

连接力O,DO,

由囱GJ_。。，AOQDO=O1

AO,QOu平面力。O,得8C_L平面/QO.

又HCu平面451C,

所以平面力。。J_平面AB{C\.

因为。。=力4=2,40=23X=3,

2

所以/。=22+32=13,

则点O到直线AD的距离"=2X3=6J3.

1313

所以点。到直线AD的距离等于点。到平面ABxCx的距离为6.产

故点B到平面ABTD的距离为6J3.

法二如法一中的图，设点8到平面4囱。的距离为儿

由VB-AB1D=VA-BB}D可得，

:X/zX；XO8]X/O=：X4OX；X04|XB8i,

1

即

3

解得力=6/3.

法三建立如图所示的坐标系，

则8(0,3,0),囱(0,3,2),4(3,0,0),。(0,0,2),

・••在=(-3,0,2),施尸(一3,3,2),

设平面45。的一个法向量为〃=(x,y,z),则

ADn=-3x+2z=0,

AB\n=-3x~\-3y+2i=0,

令z=3,得x=2,y=0,故〃=(2,0,3),

又丽=(一3,3,0),

所以点3到平面18g的距离为.川=1-6|=613

卬1313

(2)如图所示，

建立以。为坐标原点，扇，庆?，丽的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间

直角坐标系.

则P(0,0,1),4(1,0,0),2,°],心.°),

所以*E'2,°),PE=[1'；'-11

设平面PE/7的一个法向量为〃=(x,y,z),

〃EF=。,

则.即

",丽=0,

令x=2,则y=2,z=3,

所以〃=(2,2,3).

因为小M(0),

所以点4到平面。灯7的距离d=M£；"=1=?.

|川1717

因为七，F分别为4B,的中点，

所以Eb〃4C,又EFu平面PEF,力OZ平面PE6所以平面

所以力C到平面。砂的距离即为点4到平面的距离

【精准强化练】

1.(2024-淄博模拟)如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥力一BCDE与一个三

棱锥/一4OE拼接而成，正四棱锥4—8C0E的所有棱长均为32,AF//CD.

(1)在棱。七上找一点G,使得平面48C_L平面/FG,并给出证明;

⑵当时，求点尸到平面力。后的距离；

⑶若4F=；CD,求直线DF与平面48C所成角的正弦值.

解(1)当点G为DE中点时，平面48UL平面4尸G,证明如下：

连接4G,GF,因为四棱锥力-8COE是正四棱锥，

所以力。=/£,AGLDE.

在正方形3COE中，DE〃BC,所以/G_L8C,

在正方形BCDE中，CD1BC,因为力/〃CO,所以4b_L8C,

因为AF9/GU平面/EG,

所以8C_L平面AFG,

因为BCu平面45C,所以平面力BC_L平面47G.

(2)连接8。，CE交于点O,连接力O,OG,

则力/〃OG,

又因为四棱锥力一BCQE是正四棱锥，所以力。_1_平面所以四边形力0G产

为矩形，

所以4凡1_/7,

又4FLDE,DECFG=G,DE,R7u平面。石E所以力R_L平面。E凡

11Q71Q

又FG=A0=3,所以力一切£=；WSMQ£=；X—/X；X32X3=；

设点F到平面ADE的她离为h,

9

因为VF-ADE=VA-FDE=,,

1

即1:X；1X(32)2・力=Q；,所以/7=3,

所以点尸到平面4。七的距离为3.

(3)因为四棱锥力一8。。七是正四棱锥，所以OC,OD,04两两垂直，

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则/(0,0,3),8(0,—3,0),C(3,0,0),0(0,3,0),F(-l,1,3),

所以扇=(0,3,3),G4=(-3,0,3),俞=(—1,-2,3),

设平面ABC的法向量为〃=(x,y,z),

〃必=3y+3z=0,

则有,一

n-CA=-3x+3z=0,

令z=l,可得平面N8C的一个法向量为〃=(1,-1,1),

设直线。尸与平面4?C所成角为仇

则sinJ而川=4=242

|一佃|14X321

所以直线。F与平面,所成角的正弦值为22：

2.(2024・武汉质检)在如图所示的几何体中，四边形48。为平行四边形，以，平

ffiABCD,PA//QDfBC=2AB=2PA=2,ZABC=60°.

⑴证明：平面尸CO_L平面为。；

(2)若。0=22,求平面与平面。C。夹角的余弦值.

法一⑴证明因为8。=248=2,ZABC=60°..

所以13_L4C,

又AB〃CD,所以CO_L4C,

所以玄_L底面力BCDCDu底面4BCD,

所以以_LCZ),AC,R4u平面以C且

所以CO_L平面PAC,

又COu平面尸CQ,所以平面PC。_L平面为C.

(2)解在直角梯形片。。尸中，因为以=1,40=2,P0=22,解得0。=3,

过C,。作CE,PE分别平行于4P,AC,连接。£,作PFLQC交QC于F点、,

连接后―

,・ZC_LCO,ACLQD,CDCQD=D,且都在面。。。七内，・・./C_L平面。。。已

•:PE"AC,・・・PE_L平面CDQE,

又0Cu平面CDQE,：.PE±QCf

又PF上QC,PE,PFu平面PEF,PECPF=P,

・・・。。_1_平面PEF,

又EFu平面PEF,：.QC工EF,

・・・NP在1为平面PC0与平面DCQ的夹角或其补角，

在△尸C。中，PC=2,QC=10,PQ=22,

.“c八22+8-102

・・cosNCPQ=—

~2X2X228

：.sinZCPQ=j

由等面积法解得展=31,

10

入PE-3,：.sinZPFE~PE~3°,

PF31

131

：.cosZPFE==°

3131

，平面0C0与平面QCQ夹角的余弦值为3：

法二(1)证明因为8。=248,N48C=60。，麻以N8_L4C

如图建立空间直角坐标系,

P(0,0,1),4(0,0,0),C(0,3,0),。(一1,3,0),

则以=(0,0,-I),无=(0,3,-1),cb=(-i,0,0),

设〃i=(x,y,z)是平面胆C的一个法向量,

»i-B4=0,—z=0,

则

“PC=0,3y-z=0,

可取〃1=(1,0,0),

设〃2=(a,b,c)是平面尸C。的一个法向量,

〃2•⑦=0,—a=0,

则

/2。。=0,3b—c=0,

可取〃2=(0,1,3),/.nrM2—0,

工平面PCO_L平面为C.

(2)解在直角梯形/Q0尸中，解得0。=3,

0(—1,3,3),平面。C0的一个法向量为〃3=充=(0,3,0),

又由(1)可知诙=(—1,0,3),CP=(0,-3,1),

设平面PC0的一个法向量为〃4=(X2,竺，Z2),

C0W4=0,f—-P3Z2=0,

则即，X2,

CP-H4=0,-3y2+z2=0,

令竺=1,可得平面PC。的一个法向量为“4=(33,1,3),

设平面PCQ与平面DCQ夹角为仇

\nyn\331

所以cos9=|cos〈〃3,〃4〉|=4==

闷闷3-3131

即平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值为3；.

3.(2024•盐城质检)在二棱锥力一/?C。中，已知「8=。。=5,/?。=2,。为OQ

的中点，4O_L平面8CD,40=