三角函数 全章综合测试卷（基础篇）-人教A版高中数学必修第一册（解析版）

第五章三角函数全章综合测试卷（基础篇）

参考答案与试题解析

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（24-25高三上•黑龙江佳木斯•阶段练习）已知角a=1370。，则角a的终边落在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解题思路】求出a与290。的角终边相同，从而得到得到答案.

【解答过程】1370。=360。x3+290。，故a与290。的角终边相同,

其中290。在第四象限，故角a的终边落在第四象限.

故选：D.

2.（5分）（24-25高三上•湖北•期中）已知cos（a-§=-3，则sing+a）的值为（）

A.乙B.-1C.-迎D.+2

333-3

【解题思路】由诱导公式求解.

【解答过程】sinQ+a）=sinf（a一》+自=cos（a一）=一$

故选：B.

3.（5分）（24-25高三上•北京・期中）在平面直角坐标系xOy中，角a以Ox为始边，终边与单位圆交于点

则cosa=（）

A.-叵B.立C.一渔D.渔

3333

【解题思路】直接由三角函数的定义即可求解.

【解答过程】因为角a以。工为始边，终边与单位圆交于点日），

所以cosa=

故选：B.

4.（5分）（24-25高二上•河南•阶段练习）已知tana=-2,则=（）

A.3B.-3C.2D.-2

【解题思路】由已知可得s；nacosa+l=tan：+taMa+l,即可求值

cos'a+smacosa1+tana

22

【脩答过程】sinacosa+1sinac?sa+sina+cosa

cos2a+sinacosaccs2a+sinacosa

tana+tan2«+l-2+4+1

---------------------=--------------=—3o

1+tana1-2

故选：B.

5.（5分）（24-25高一上•全国・单元测试）如图，一个大风车的半径为6m,12min旋转一周，它的最低点P。离

地面2m,风车翼片的一个端点P从尸。开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离九（m）与时间t（n】in）之间的函

A./i(t)=-6sinyt+6B.九(£)=-6cos-t4-6

66

C.九(£)=-Gsin7t+8D./l(t)=-6C0Syt+8

66

【解题思路】利用待定系数法设出函数解析式后，由题意可得函数周期、最大最小值等，即可计算出函数

中相应系数，即可得解.

【解答过程】根据题意可设九（t）=Acosa）t+B,则力<0,3>0.•••12min旋转一周，

•••最大值与最小值分别为14,2,

・•・{-笨黄;",解得4=-6,8=8.

•••h(t)=-6cos7t+8.

6

故选：D.

6.(5分)(24-25高三上•江苏常州•期中)已知a,/?€(0m),且cusa=g,sin(a+夕)=*贝Ijcos夕=()

A.叵B.-叵C.2D.-2

10105050

【解题思路】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答

案.

【解•答过程】由aW(0,n),则sina=41-cos2a=J1一，=等，

cos2a=cos2a—sin2a=-sin2a=2sinacosa=

55

由aE(o,1),易知2a€解得a€

由£E(0,n),a+pe(py)»且sin(a+0)>0,则a+(wgn),

可得cos(a+/?)=±71-sin2(a-/?)=土黑，

所以cos/?=cos(a+/?-a)=cos(a+p)cosa+sin(a+/?)sina

,7\[2>fS,\[22>/52VT0±7T10

=±7TxT+wxV=^—'

当cos0=>0时，pe(0弓)，sin£=Jl-cos?0=13^10,

此时cos(a+/?)=黑>0,则a+66(不与)，

由cos2/?=cos?0-sin2s=一栽，sin2s=2sin£cos£=浅，

则£E((),1),易知2/?EC，ir),解得夕6(：4)，此时1+夕任

c-9V10

cos”—;

当cosg=一呼<0时，PesEQ=Jl-cos^B=

此时cos(a+/?)=-苦<0,则a+/?£(1,n),

fhcos2/?=cos2^—sin2/?=-sin2/?=2sin/?cos/?=

55

则/?6(0弓)，易知206(?ll),解得£€(；,；),COS/?=一呼；

故选：B.

7.（5分）（24-25高三上•天津武清・期中）已知函数/0）=sin（s:-9（3>0）在区间（一展,0）上单调递

增，且在区间（0m）上有且仅有2个零点，则3的取值范围为（）

【解题思路】求出单调区间，由题意列出不等式，求出口范围；求出函数零点，根据题意得出不等式，求出

3范围，由交集得出最后3范围.

【解答过程】令一T+2/nrV3X-：V：+2kTT,keZ,

一„

则i.i.i---n+—,Zf<cnX/</5n,2fcn,k,

6a)a)—6a)4----o-)-GZ

当A=0时，一白vxv*.・.一；工_j即①=2,

6(i)6312

令3%—E=kn,kWZ,则欠=二4•把,kWZ,

33co3

•・Z=-1时，x=-<0,

340333

且A=0时，x=—,k=l时，x=—,k=2时，x=

3(03(A)33

.4n/7TT.47

3o)3ct)33

综上，<a)<2.

故选：D.

8.(5分)(24-25高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)如图是函数/(幻=Asin(a)x+@)(力>0,3>0,切<

的部分图象，则下列说法错误的是()

A.co=2

r>n

B.(p=-

C.f(%)的图象关于点(一金,0)中心对称

\JIlu/

D./'(%)在(—引,—1)上单调递减

【解题思路】根据正弦型函数的图象求出周期可判断A,根据点代入可判断B,根据％=-1^时的函数值可

判断C,根据正弦函数的单调性可判断D.

【解答过程】由图象可知力=1,7=2管一2)=e所以①=并=2,故A正确；

由/仁)=sin(\+@)=1,切<可知0=(故B正确；

由AB可知/'(>)=sin(2x4-^),因为/(一知=sin(-？+三)=sin(-^)=-1

可知工=一工为图象的对称轴，故C错误；

当“6（-g,-9时，-ITVt=+gV-g,

由于正弦函数y=Sint在t«-TT,-g）上单调递减，

所以/（x）在-f上单调递减，故D正确.

故选:C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.（6分）（24-25高三上・甘肃兰州•阶段练习）已知角8的终边经过点（-2,b），则下列选项正确的是（）

A.。为钝角B,sin6>=

C.cos。=亨D.点（tan8,sin6）在第一象限

【解题思路】根据给定条件，结合三角函数定义，逐项判断即可.

【解答过程】对于A,点（一2,百）位于第二象限，即角。是第二象限角，不一定是钝角，A错误；

对于BCD,点（一2,百）到原点的距离r=J（-2）2+（V3）2=夕，

则sin&=5=4,cos0=^==-^,tan0=—y,C错误,BD正确.

故选：BD.

10.（6分）（24-25高三上•广西南宁•阶段练习）已知0V/?V%V：,且sin（a-夕）=£tana=Stanfi,

贝卜）

A.sinacos/?=-

6

B.sin^cosa=

C.sin2asin23=邕

D.a+/?=7

6

【解题思路】由正切关系得到正余弦关系，结合sin（a-/?）=；,分别求出sinacos/?和sin.cosa,判断出AB

选项，再由二倍角公式和和差角公式判断出CD选项.

【解答过程】Vtana=5tan/?,即列竺二驾，

/.sinacos/?=5cosasin/?,

sin(a-/?)=sinacos/?—cosasin/?=4cosasin/?=

3

cosasin/?="，B选项正确,

.,.sinacos。=q,A选项错误,

/.sin2asin2^=2sinacosax2sin/?cosj?

=4sinacos£sin6cosa=4x-^-x^-=^,C选项正确

12.236

sin[a+/?)=sinacos/?+sin/?cosa=5+裔=%

VO</?<«<-,・・・0V/?+a<，.・.a+/?=gD选项正确.

426

故选：BCD.

11.(6分)(24-25高二上•广东广州•期中)已知函数/(x)=sin(2无+0)(0<3Vn)的图象关十点售,0)中

心对称，则()

A.S*

B./(%)在区间用,詈)有两个零点

C.直线"今是曲线y=f(x)的对称轴

D./(%)在区间(0吟)单调递增

【解题思路】由已知求得函数解析式，然后根据正弦函数性质上行判断.

【解答过程】由已知sin(2x?+p)=0,胃■+(p=kn,kWZ,

又0<R<IT,所以=$A正确；

所以f(x)=sin(2x+'

T=g=m詈一看区间传，詈)是函数的一个周期，而/忌)=/(瑞)=100,因此/(%)在区间

(2等)有两个零点，B正确；

/G)=sin(2x等+卞=0,因此C错;

%W(0*)时，2%+"(黜)，f(x)在此区间上单调递增，D正确,

故选：ABD.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（24-25高三上•宁夏银川•阶段练习）扇形圆心角为2,弧长为12cm,则扇形的面积为qcm2.

【解题思路】利用圆心角与弧长以及半径之间的关系可求得面积.

【脩答过程】根据题意设扇形的半径为「，

由圆心角为2,弧长为12cm,可得半径丁=£=6（:01,

因此可得扇形的面积为S=gx12x6=36cm2.

故答案为：36.

13.（5分）（24-25高三上•天津河北•期中）将函数外幻=23伽-J的图象向右平移2个单位得到函数

g。）的图象，则函数仪均在区间[O弓]上的值域为上L2L.

【解题思路】先根据平移变换的原则求出函数g（x）的解析式，再根据余弦函数的性质即可得解.

【解答过程】由题意g（x）=2cos[21一自一,=2cos（2%-

因为工£0身,所以—py]»所以cos（2x-；）£—1]»

所以函数g（x）在区间|。曰上的值域为[-1,2].

故答案为：[—1,2].

14.（5分）（24-25高三上・云南昆明・阶段练习）已知函数/（%）=$也（3：+0）（3>0,|0|49，%=-3为

28

/⑺的零点，%=；为/W图象的对称轴，且/（外在偌吟）上不单调，则3的最小值为，一

【解题思路】首先根据对称轴和对称中心间的距离，得到关于3的关系式，再验证，即可求解.

【解答过程】设函数〃工）的最小正周期为九因为工=一3为八”）的零点，H=3为/（工）图象的对称轴，

88

7T71

所诉卜1（以口、7即I仃nnz=-（2Ar+1-）7=T2〃-+l.2&n（x,kwz八），

所以3=2（2k+1）=4k+2（kGZ）.

因为襄所以/⑴在（39上不单调，

当3=2时，由x=—^为/（%）的零点可得2x（—三）+尹=kn,令=kir+：（k€Z）,

8\8/4

因为miw%所以0=%

因为/(x)=sin(2x+》在仁，J上不单调，所以3的最小值为2.

故答案为：2.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(23-24高一.上海.课堂例题)在0。~360。范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角,

并判断它们是第儿象限的角：

(1)-315°；

(2)905.3°；

(3)-10900；

(4)530°

【解题思路】根据终边相同的角的公式，写出即可.

【解答过程】(1)•••一315°=—360°+45。,45°是第一象限的角，

-315。是第一象限的角;

(2)v905.3°=2X360°+184.7°,184.7°是第三象限的角，

••.905.3°是第三象限的角；

(3)v-1090°=4x(-360°)+350°,350°是第四象限的角，

/--1090°是第四象限的角；

(4)v530°=360°+170°,170°是第二象限的角，

・•.530°是第二象限的角.

16.(15分)(24-25高一上•全国•课前预习)(1)化简：2c°s+(1+tan2a)cos2a.

l-2sin2a''

(2)求证：而l+2si匚naco赤sa=蒜tan匚a+1？

【解题思路】(1)利用同角三角函数的基本关系化简求值；(2)利用同角三角函数的基本关系化简证明.

【解答过程］⑴原式=232a-吗+(1+当)COS2a

sinza+cosza-2sin^a\cos^a/

2222

cosa—sinacosa4-sina9

=---------^―+--------------------cos'a

cos'a-sin'acos'a

=1+1=2.

siMa+cos2a+2sinacosa(sina+cosa)2

(2)左边二

sin2a-cos2asin2a-cos2a

sina+cosa

_sina+cosa_”sa_tana+［=&彷

-sina-cosa-sina-cosa-tana-i一口心•

cosa

所以原等式成立.

17.(15分)(23-24高一下•湖西邵阳.阶段练习)已知/(%)=如已%+)

⑴求f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)若共卜屋］,求/(幻的值域.

【解题思路】(I)利用7=3求出最小正周期，并整体法求解单调递增区间；

|3|

(2)求出2%+其［一］r，结合图象得到函数的最值，得到值域.

666J

【解答过程】(1)/(幻的最小正周期丁=y=7T,

令一TT+2kn<2x+^<2krc,kE7.,解得一"+ZCTT<X<—+krc,kWZ,

故单调递增区间为［/nr-",kn-日(A£Z)；

⑵卜/时，2x+江H用，

故当2x+'=0,即X=-•^时，/(%)=cos(2%+J取得最大值，最大值为1,

当2%+.=1即x时，/(%)=cos卜"+')取得最小值，最小值为一争

故值域为卜当,斗

18.(17分)(24-25高三上•内蒙古鄂尔多斯•期中)已知10</?<^<a<n,且cos(a-：)=y,sin(a+/?)=(.

(1)求cos(/?+；)的值；

⑵求吧(二2+竺强+副

⑷水cos(ag)+cos(a+9TT严但.

【解题思路】(1)根据已知，可求此-汴苧-va+"g,根据三角函数恒等式可求出sin(a-?，

cos(£+a),将cos(/7+9变形转化为cosk+a-(a-：)，根据两角差余弦公式可求解；

(2)将sina转化sin(a根据两角和的正弦公式分解，由；<avTT,求出tana,将原式化简上下同

时除以cosa,即可求解.

【解答过程】⑴因为所以汴a—汴筌因为cos(a—»=?,

所以则（"力=/1-囹=咨

因为0V/?V；VaVTT,所以gVa+/?Vg,

又sin（a+£）=：,所以cos（/?+a）=-J1-

所以cos（0+；）=cos[/?+a-（a—：）]

=cos（/?+a）cos（a一+sin/+a）sin（a-

一三X渔+±x^=渔.

55555

（2）由题意知sina=sin（a-（+：）=sin（a-；）cos：+cos（a-：）sin：

525210

又;<a<n,所以cosa=——sin2a=—122,所以tana=2吧=—3,

210cosa

所以Sin（a-7n）+2sin（a+引_一sina+2cosa_-tana+2_3+2_5

cos（a-：）+co$（a+9n）-sina—cosa—tana—13—12

19.（17分）（23-24高一下,内蒙古赤峰•阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在

摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于赤峰摩尔城的摩天轮，该摩天轮其中心。距

离地面40.5米，半径为40米.摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开

始计时.经过，分钟后游客甲距离地面的高度为