2026年高三数学一轮复习之一题多变：第4题 解三角形的实际应用（讲义）学生版+解析

第4题解三角形的实际应用（一题多变）

【河北省邢台市邢襄联盟高三上学期10月期中T8】如图，已知为某建筑物的高，叫,

CC分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，\${{A}_{1}}\$,用，G分别为该建筑物、

甲、乙的底部且均在同一水平面上,A,B,C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得4与=80

米，CG=86米，/GAg=48.60。，/ACS=30。，在。点测得B点的仰角为33.69。，在

B点测得A点的仰角为51.34。，则该建筑物的高A4约为（参考数据lan33.69。。0.667,

tan51.34°«1.250,sin48.60°«0.750）（）

A.268米B.265米C.266米D.267米

【思路分析】

根据题意，分别过B,C作CDLBB、,垂足分别为F,D,找到在B,C两点处的

仰角，过D作。£_LAA，垂足为E.由题中所给的角，借助于直角三角形，利用正弦定理，

依次求得BC，3力和A产，即可求出建筑物的高AA.

【详解】

如图，分别过3,。作8F_L4A，C"网，垂足分别为F,D,过D作。E_LAA，垂足为

E.

根据题意易得NAB/=51.34。，ZBCZ)=33.69°.

80x0.750

AJ*-sinZC]^^_80xsin48.60_=__1_2_0___

在△A4G中，由正弦定理得4G=I

sin幺egsin30

2

在RiABCD中，DC=B,C,=12(),则=120tan33.69。320x0.667=80.04,

在RtART中,8尸=A4=80,贝I」A尸=80tan51340^80x1.250=100,

所以A4,=CG+40+A”H86+80.04+100。266米.

故选：C.

【题后反思】

本题是一道解三角形的实际问题，其本质是在实际问题中抽象出具体的三角形模型，然后利

用正余弦定理解出所求角或边即可;解决本题的关键是分析题意，作出辅助线，找到在B,C

两点处的仰角.

解三角形应用题的一般步骤：

（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系.

（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.

（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.

（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.

:■一题多变*变一///

变问题背景，求高度

【变化角度】改变原题中为实际问题背景，仍求高度，如下：

例：如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆,

大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组

为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度A8（AB与地面垂直），在赛道一侧找到一座建

筑物C。，测得C。的高度为爪并从。点测得4点的仰角为30。；在赛道与建筑物CQ之间

的地面上的点E处测得4点，C点的仰角分别为75。和30°（其中8,E,。三点共线）.该学

习小组利用这些数据估算得48约为60米，则CD的高力约为（）米

（参考数据：友=1.41，75«1.73,卡=2.45）

A.11B.20.8C.25.4D.31.8

【思路分析】

易得NAEC=75o,NACE=6（）o,NC4E=45。，在RtABE中，求出AE,在/MCE中，利用正

弦定理求得CE,在解直角三角形即可得出答案.

【详解】

由题意可得4AEB=75°,ZCED=30°,则ZAEC=75°,ZACE=60°,ZCAE=45°,

AB60

在Rt：ABE中，AE=

sin75°sin75°

Ab：CE所以由黑loVe

在AACE中，因为所以=

sinZACEsinZCAE2sin75°

又sin750=sin(45°+30°)='夜,

所以CD廿/=60-206才60-20x1.73=25.4(米).

\76+>/2

故选：C.

【举一反三】

1.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底8在同一平面内的两个观测点

C与。，现测得NCD8=37>,N3CD=68。，8=37.6米，在点C处测得塔顶A的仰角为64。，

则该铁塔的高度约为（）.（参考数据：&=1.4,V6a2.4,tan640=2.0,cos37°»0.8）

A.42米B.47米C.38米D.52米

2.某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案.如图，在该建筑物旁水平

地面上共线的三点4,8,C处测得其顶点M的仰角分别为30。，60°,45。,且A8=8c=50m,

则该古建筑的高度为（）

C

A.15MmB.20石mC.10厉mD.50m

•一题多变•变二III

变求高度为求距离

【变换角度】改变问法，将原题中的测量高度问题变为测距离，如下：

例：海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象.若要测量如图所示的蓝洞的口径，即48两点间

的距离，现在珊瑚群岛上取两点C。，测得C£>=80,Z4D^=135°,WC=ZDC4=15。，

48=120。，则AB两点间的距离为（）

A.80B.80>/3C.160D.80石

【思路分析】

根据题意，求得各个角度，即可得A。长，根据正弦定理，可得4加长，根据余弦定理，即

可得答案.

【详解】

囚为乙4£>6=135°,ZBDC=ZDC4=I5°,

所以NAOC=150。，ZDAC=ZDCA=\50,

所以4O=CO=80,

乂因为N4C3=120。，

所以/BCD=135°,NCBD=30°,

80x电

BDCD

在△8CD中,由正弦定理得,所以80=—^-=80x/2,

sinZBCDsinZ.CBD

2

在△A3Q中，由余弦定理得八不=A£）2+8£）2—2AO-8QCOSN/WB

=80、（80底）-2x80x80>/2x=6400x5

所以A8=80底

故选：D.

【举一反三】

3.海上某货轮在A处看灯塔8,在货轮北偏东75。，距离为306海里处；在A处看灯塔C,

在货轮的北偏西30。，距离为206海里处,货轮由A处向正北航行到。处时看灯塔8在东

偏南30。，则灯塔。与。处之间的距离为（）

A.246海里B.20G海里C.206海里D.24面海里

（2024.云南昆明•一模）

4.早期天文学家常采用“三角法''测量行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球E和某小

行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示.地球在我位

置时，测出NSRM=1；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了与位置，

测出/5耳N&SE。三.若地球的轨道半径为H,则下列选项中与行星M的斜道半

径最接近的是(参考数据：＞/3«1.7)()

A.2.1/?B.2.2RC.2.3RD.2.4/?

变求高度为求角度

【变换角度】改变问法，将原题中的测量高度问题变为测角度，如下：

例：如图，某人在一条水平公路旁的山顶，处测得小车在A处的俯角为30。，该小车在公路

上由东向西匀速行驶7.5分钟后,到达8处，此时测得俯角为45。.已知此山的高PO=lkm,

小车的速度是20knVh,则cos/AOB=()

【思路分析】

可由NOA尸=30。，OP=lkm求得OA=#km，由NOBP=45。，。尸=1km求得OB=1km,

由行驶时间和速度求得AB,再由余弦定理解出cosZAOB即可.

【详解】

由题意可得NOAP=30。，ZOBP=45°,

OP=1km,OP±OA,OP人OB,

则OA=A/3km,OB=lkm.

因为A8=7.5x3x2O=2km，所以由余弦定理可知,

602

O^+OB^AB23丛.

cos/AO8=4

20AoB2g8

故选：A.

【举一反三】

5.如图所示,在坡度•定的山坡A处测得山顶上••建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15。,

向山顶前进100m到达8处，又测得C对•于山坡的斜度为45。，若CD=50m,山坡对于地平

C.y/3—1D.V2-1

6.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30人海里的8处有一艘渔船遇

险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西45。、相距20海里的C处口勺乙

船，现乙船朝北偏东夕的方向沿直线C8前往8处救援，则8so的值为

■综合训练*提高///

7.如图，测量河对岸的塔高43时，可以选与塔底3在同一水平面内的两个测点。与。.测

得/8CO=15，ZfiDC=30%CO=30米，并在点C测得塔顶4的仰角为30°，则塔高AB

=（）米.

A.576B.5及

C.15N/6D.15x/2

8.如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一

山顶。在西偏北30。的方向上（即NB4C=30。）.行驶300m后到达8处，测得此山顶在西

偏北75。的方向上，仰角为30。，则此山顶。相对公路所在平面的高度DC=（）.

C.50\/6niD.50V2m

（2024•山东临沂•一模）

9.在同一平面上有相距14公里的AK两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向西偏

北。方向发射炮弹，"则向东偏北。方向发射炮弹，其中。为锐角，观测【可报两炮弹皆命中

°

18公里外的同一目标，接着A改向向西偏北a方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M,

则8炮台与弹着点M的距离为（）

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里

10.《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史

悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对

其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A,6处分别作切线相交于点C,测得切

线AC=99.9cm,«C=100.2cm,人8=180cm,根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角

的余弦值为（）

A.0.62B.0.56C.-0.56D.-0.62

II.一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75,距离126海里，灯塔。在A的北

偏西VT,距离为126海甲，该轮船由A沿正北方向继续航行到。处时再看灯塔4在其南

偏东60。方向，下面结论正确的有（）

A.AD=24B.CD=12

C.NCD4=60或NCOA=120D.ZCDX=60

12.如图，MN是底部N不可到达的一座塔，M为塔的最高点，某同学为测量塔的高度，在

塔的正东方向找到一座建筑物AB,高约为6m,在点C处（8,C,N三点共线）测得建筑

物顶部A、塔顶部”的仰角分别为30。和45。，在4处测得塔顶部”的仰角为153则塔

的高度约为.m.

第4题解三角形的实际应用(一题多变)

【河北省邢台市邢襄联盟高三上学期10月期中T8】如图，已知4A为某建筑物的高，咯,

0c分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，用，G分别为该建筑物、

甲、乙的底部且均在同一水平面上,A,从。分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得人罔=8()

米，CG=86米，NGA4=48.6()。，/人。加=30。，在C点测得4点的仰角为33.69。，在

8点测得A点的仰角为51.34。，则该建筑物的高约为(参考数据tan33.69。~0.667,

ian51.34°»1.250,sin48.60°«0.750)()

A.268米B.265米C.266米D.267米

【思路分析】

根据题意，分别过B,C作。〃，人人，CDLBB^垂足分别为F,D,找到在B,C两点处的

仰角，过D作。EL4A，垂足为E.由题中所给的角，借助于直角三角形，利用正弦定理，

依次求得MG，△力和AF,即可求出建筑物的高AA.

【详解】

如图，分别过A,C作8FJL/U,.CD1BB,,垂足分别为F.D,过D作力E1AA，垂足为

E.

根据题意易得448户=51.34。，/BCD=33.69°.

80x0.750

AJ*-sinZC]^^_80xsin48.60_=__1_2_0___

在△A4G中，由正弦定理得4G=I

sin幺egsin30

2

在RiABCD中，DC=B,C,=12(),则=120tan33.69。320x0.667=80.04,

在RtART中,8尸=A4=80,贝I」A尸=80tan51340^80x1.250=100,

所以A4,=CG+40+A”H86+80.04+100。266米.

故选：C.

【题后反思】

本题是一道解三角形的实际问题，其本质是在实际问题中抽象出具体的三角形模型，然后利

用正余弦定理解出所求角或边即可;解决本题的关键是分析题意，作出辅助线，找到在B,C

两点处的仰角.

解三角形应用题的一般步骤：

（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系.

（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.

（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.

（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.

:■一题多变*变一///

变问题背景，求高度

【变化角度】改变原题中为实际问题背景，仍求高度，如下：

例：如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆,

大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组

为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度A8（AB与地面垂直），在赛道一侧找到一座建

筑物C。，测得C。的高度为爪并从。点测得4点的仰角为30。；在赛道与建筑物CQ之间

的地面上的点E处测得4点，C点的仰角分别为75。和30°（其中8,E,。三点共线）.该学

习小组利用这些数据估算得48约为60米，则CD的高力约为（）米

（参考数据：0*1.41,石=1.73,76=2.45）

A.11B.20.8C.25.4D.31.8

【思路分析】

易得ZAEC=750,NACE=60°,ZCAE=45°,在RtABE中，求出AE,在△«?£：中，利用正

弦定理求得CE,在解直角三角形即可得出答案.

【详解】

由题意可得4AEB=75°,ZCED=30°,则ZAEC=75°,ZACE=60°,ZCAE=45°,

AB60

在Rt：ABE中，AE=

sin75°sin75°

Ab：CE所以由黑loVe

在AACE中，因为所以=

sinZACEsinZCAE2sin75°

又sin750=sin（45°+30°）='夜,

40«

所以CD=60-20x/3»60-20x1.73=25.4（米）.

瓜+6

故选：C.

【举一反三】

1.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底8在同一平面内的两个观测点

C与。，现测得NCD8=37>,N3CD=68。，8=37.6米，在点C处测得塔顶A的仰角为64。，

则该铁塔的高度约为（）.（参考数据：&=1.4,V6a2.4,tan640=2.0,cos37°»0.8）

A.42米B.47米C.38米D.52米

【答案】B

【分析】在△CD8中利用正弦定理求8C,再在中求A8.

【详解】在△COB中，由题意可得NC8D=75。,

则sinACBD=sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=#:应

sin/CDB=sin37°=VI-cos237°»0.6，

CDBCCOsinNCOB

由正弦定理可得8C=

sinsinZCD«sinZ.CBD

Z.CDB-tan/.ACB37.6x0.6x2.0..

AB=BC•lanZACB=----------------------=——产~尸一»47

在Rtz^ABC中，可得sinZCBDV6+V2

4

所以该铁塔的高度约为47米.

故选：B.

2.某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案.如图，在该建筑物旁水平

地面上共线的三点A,8,C处测得其顶点M的仰角分别为30。，60°,45。，且AB=BC=50m,

则该古建筑的高度为（）

C

A.15\/10mB.20>/5mC.10x/r5mD.50m

【答案】C

【分析】设OM=AW，利用三角函数分别表示。4O&OC,然后分别在中利用

余弦定理表示cos/OBAcosNOBC,因为NOB4+NO8C=7r,所以可得

cosAOBA+cosNOBC=0,进而求解即可.

【详解】设OM=ADI,

在R140M4中，—=tanZOAM=urn30°,OA=y/3x,

OA

在Rt二OMB中,—=tan4)BM=tan60°,OB=—x,

OB3

在Rt_OMC中，—=tanZOCM=tan45°,OA=x

OAf

OB+痴_32丁_+50-_3『

在△048中，由余弦定理得：cos/OBA=—2OB・AB-；G-'

2x——x»50

3

()R-BC2-OC2+50、

在△O4C中，由余弦定理得：cos/O4C=—2O&BC-二G•一，

2x—A・50

3

因为ZOBA+ZOBC=兀,所以cosAOBA+cosZOBC=0,

-X2+5O2-3X2-X2+5O2-X2

即^-R---------+--R------=°，解得x=10后，

2x$.5O2x&・50

33

所以该占建筑的高度为loji5m.

故选：C.

■j9.

・一题多变•变二III

变求高度为求距离

【变换角度】改变问法，将原题中的测量高度问题变为测距离，如下：

例：海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象.若要测量如图所示的蓝洞的口径，即A8两点间

的距离，现在珊瑚群岛上取两点C。，测得8=80,ZADB=135°,®C=ZDC4=15。，

乙4c8=120°,则A3两点间的距离为（）

A.80B.80x/3C.160D.80石

【思路分析】

根据题意，求得各个角度，即可得A。长，根据正弦定理，可得长，根据余弦定理，即

可得答案.

【详解】

因为NAO8=135°,ZBDC=ZDCA=\50,

所以NAOC=150。，NA4C=NDC4=15。，

所以AO=CO=80,

乂因为NAC4=120°,

所以/BCD=135。,NCBD=30°,

80x、j

在△88中，由正弦定理得.8工人=.所以8。=—产-=80夜,

sinNBCDsinZ.CBD£

9

在△ABO中，由余弦定理得八于=A£)2+8Q2—2AZ>8QCOSZ/WB

所以A8=80G

故选：D.

【举一反三】

3.海上某货轮在A处看灯塔8,在货轮北偏东75。，距离为30面海里处；在4处看灯塔C,

在货轮的北偏西30。，距离为20G海里处，货轮由A处向正北航行到。处时看灯塔8在东

偏南30。，则灯塔C与D处之间的距离为（）

A.24囱海里B.206海里C.20#海里D.24新海里

【答案】B

【分析】在△A8D中，由正弦定理求出AO=60,在ACD中，由余弦定理求出CO=20",

得到答案.

【详解】在△A8O中，ZDAB=75°,ZAOA=60。，48=306，则ZA8D=45°,

由正弦定理得前端T击嗫厅即蓝;翳，故与AD二字3.,解得

AO=60.

在...ACD中，AD=60,AC=20x/3，ZC4D=30°,

则由余弦定理得CD?=AC2+AD2-2ACADcos^CAD

=1200+3600-2x20x/3x60x—=1200,

2

所以C/）=20百，即灯塔C与。处之间的距离为206海里.

北

故选：B.

（2024•云南昆明•一模）

4.早期天文学家常采用“三角法''测量行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球E和某小

行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示.地球在舔位

置时，测出NSE。M=与；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了£位置，

测出N5耳M=手，"防=].若地球的轨道半径为凡则下列选项中与行星M的轨道半

43

径最接近的是（参考数据：^«1.7）（）

M

A.2.17?B.2.2火C.2.37?D.2.47?

【答案】A

【分析】连接EoE，根据给定条件，在，MEoE中利用正弦定理求出“石，再在aS历瑞中利

用余弦定理求解即得.

【详解】连接耳）居，在-SE。骂中，SEo=SE『R，XZE15E0=-,贝1JSE0&是正三角形,

E°Ei=R,

:,/砧例喑，

由NS£0M=」，Z5£,A/=—,得N£/W=T

E、A4_E(E—/?h

在中，N&）ME；=E，由正弦定理得.n.7i,则E1M2R,

4sinTsin-V2V2

34

2

在~SM居中,由余弦定理得

SM=JR2+卓R）、2R•*R.（一与=十尿2X屈RC

故选：A

1

IIII

变求高度为求角度

【变换角度】改变问法，将原题中的测量高度问题变为测角度，如下：

例：如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在人处的俯角为30。，该小车在公路

上由东向西匀速行驶7.5分钟后,到达B处，此时测得俯角为45。.已知此山的高R9=lkm,

小车的速度是20km小，则cosNAO8=()

【思路分析】

可由NO4P=30。，OP=lkm求得0A=8km，由NO/?P=45。，。0=1km求得08=1km,

由行驶时间和速度求得AB,再由余弦定理解出cos/408即nJ.

【详解】

由题意可得NOAP=30。，NO3P=45。，

0P=lkm,OPLOA,OPtOB,

则0A=>/3km，OB=1km.

因为A8=7.5x,x20=2km,所以由余弦定理可知,

602

।25

OA2+OB2-AB2_4-4_3N/3.

cosZAOB

20A082x/38

故选：A.

【举一反三】

5.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CO的顶端C对于山坡的斜度为15。,

向山顶前进100m到达6处，又测得。对丁山坡的斜度为45、CD=50in,山坡对丁地平

面的坡度为。，则cos。等于()

C.>/3-1D.V2-1

【答案】C

【分析】在.A8C中，由正弦定理得AC=100五m,再在..AQC中，由正弦定理得解.

【详解】由题知，ZC4D=15°,ZCBD=45°,所以4C3=30。，ZABC=135°.

4c

在-ABC中,由正弦定理得福

sin135

又A8=100m,.\AC=10072m.

在，ADC中，ZAPC=90°-6/,CD=50m,

ACCD

由正弦定理得

sin(6+90)sin15

AC-sin15

cos0=sin(。+90°)==G-l.

CD

故选：C.

6.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30右海里的H处有一艘渔船遇

险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西45。、相距20海里的。处H勺乙

船，现乙船朝北偏东。的方向沿直线CB前往8处救援，则cos®的值为

【答案】叵

17

【解析】在VABC中，利用余弦定理计算出BC,cosZACB,cos0=cos(45+NAC8),再

利用两角和的余弦公式计算即可得到答案.

【详解】由已知，NCAB=135，在VA4C中，由余弦定理可得

BC=y]AC2+AB2-2ACABcosZCAB=Jl800+400+1200=10734，

所以Mci+O-叽迎,sinZACB=3V34

2ACCB3434

所以cose=cos(45+ZACB)=—cosZACB--sinZACB

22

V25x/34y/23>/34V17

-----X----------------x---------------.

23423417

故答案为：叵

17

【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，涉及到两角和的余弦公式，是•道中档题.

JBM___________

■综合训练★提高

7.如图，测量河对岸的塔高48时，可以选与塔底4在同一水平面内的两个测点。与D测

得N8CO=15，ZBDC=30%CO=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为30"，则塔高AB

=()米.

A.5任B.5夜

C.15N/6D.15x/2

【答案】A

【分析】△AC。中，根据正弦定理解得4c=150,在Rt^ABC中，利用三角函数关系得

到A8=5#.

【详解】因为N8CO=15,ZBDC=30%所以/C8O=135，

CDBC

在△BCD中，根据正弦定理可知

sinZCBD-sinZBDC，

3()BC

即，解得8c=15夜.

sin135sin30

在RtZ\A8C中，tan30=—=

BC3

所以AB=^BC=2xl5a=5遥.

33

故选：A.

8.如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一

山顶。在西偏北3（）。的方向上（即N84C=30。）.行驶300m后到达8处，测得此山顶在西

偏北75。的方向上，仰角为30。，则此山顶。相对公路所在平面的高度DC=（）.

A.100x/3mB.100mC.50\/6niD.50&m

【答案】C

【分析】先由正弦定理解得8c=150&m,再解直角三角形即可得解.

【详解】由题意N84C=30°,NCBA=180°-75°=105°,Z4Cfi=180°-105°-30°=45°,

AB8c迎=将

而A4=300,由正弦定理可得.即&1,解得5c=15O0m，

sinZ.ACBsinZ1BAC——T

22

注意至IJNDBC=30。,/DCB=90°,

从而QC=8C•tanNDBC=150尬■—=50>/6m.

3

故选：C.

（2024•山东临沂•一模）

9.在同一平面上有相距14公里的A4两座炮台，A在8的正东方.某次演习时，A向西偏

北，方向发射炮弹，8则向东偏北。方向发射炮弹，其中。为锐角，观测回报两炮弹皆命中

18公里外的同一目标，接着A改向向西偏北g方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M,

则3炮台与弹着点M的距离为（）

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里

【答案】D

【分析】设炮弹第一次命中点为C,在VAHC.中利用余弦定理求出cos〃，又二倍角公式求

出cos£,最后在“SM中利用余弦定理计算可得.

【详解】依题意设炮弹第一次命中点为C,则A3=14,AC=BC=AM=]S,

ZCBA=ZCAB=3,ZMAB=~,

2

在7ABe中BC2=AC2+AB2-2人。・ABcos。，

BP182=142+182-2X14X18COS^,解得COS6=2，

1X

所以cos6=2cos24T=]，又夕为锐角，解得cos4=：（负值舍去），

21826

在^ABM中BM2=AM2^AB2-2AM-ABcos-

2

=182+142-2X18X14X-=100,

6

所以8M=10,即8炮台与弹着点”的距离为10公里.

故诜：D

10.《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书箜篌历史

悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强加图是箜篌的•种常见的形制，对

其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A,