高中数学基础练习题-数列递推与通项公式22种归类（原卷）

4.8数列递推与通项公式22种归类

模块一：题型分类...................................................3

题型一：归纳法求通项............................................3

题型二：等差等比定义型..........................................4

题型三：累加法基础：等差等比与裂项求和型........................5

题型四：累加法拔高：换元累加型..................................5

题型五：累加法拔高：构造........................................6

题型六：累乘法..................................................7

题型七：前n项和型.............................................7

题型八：二阶等比................................................8

题型九：二阶等差数列............................................9

题型十：sn与an型：消sn型....................................9

题型十一：sn与an型：消an型.................................10

题型十二：分式倒数递推.........................................11

题型十三：新数列前n项和型....................................11

题型十四：高次箱取对数型.......................................12

题型十五：二阶含n等比数列型..................................13

题里十六：二阶含n等差数列型..................................14

题型十七：因式分解型...........................................14

题型十八：三阶递推.............................................15

题型十九：前n项积求通项......................................15

题型二十：函数型递推...........................................16

题型二十一：周期数列...........................................17

题型二十二：奇偶讨论型.........................................18

模块二：高考真题..................................................18

模块三：各地模拟..................................................20

4.8数列递推与通项公式22种归类

模块一：题型分类

题型一：归纳法求通项

927

1.数列丁万,…的一个通项公式为.

2.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第

5项的图形和点数.

3.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式勺=

【提分笔记】

基本规律

先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据与项数〃的关系，猜想数列的通项公式,

最后再证明.

一般这类题，选择题很少，因为可以代特殊值求解。

4.若数列的前4项为1.0.10则这个数列的通项公式不可能是

A.%=；□+(一1严]B.an=^[l-cos(zrl80)]

2

C.tfrt=sin(/?W)D.%=(〃一l)(“-2)+g[l+(—l)"T]

5.己知数列1、0、1、0、…，可猜想此数列的通项公式是().

A.+B.4=；[1+(-

+，

C.%=)1+(-1)"+(n-1)(«-2)(MeTV*)D.an=—(1-COSH^)(H€

2L」2

题型二：等差等比定义型

1.数列｛4｝的各项都是正数，q=2,q，=4；+2,那么此数列的通项公式为%=

2.在数列｛牝｝中，囚=2,而=府+五,则数列｛%｝的通项公式为.

【提分笔记】

基本规律

等差数列判定：

①定义法："欲证等差，直接作差”，即证以+1一金=定值；

②等差中项法：即证2如+1=。”+。“+2；

③函数结论法：即为为一次函数或S”为无常数项的二次函数.

等比数列的判定方法：

"）定义法："欲证等比，直接作比“，即证的常数）=数列｛〃”｝是等比数列：

an

（2）等比中项法：即证足+1=斯・。"+2（0。〃+1。〃+2#0，〃£N，）=数列｛斯｝是等比数列.

3.已知数列也｝是单调递增的等差数列，若它的前5项的和为105,第2项、第4项、第8项成等比数歹U，

则它的通项公式为（）

B-J

A.%=7〃或4=21

n2

c7«(«+1)

C.an=7nD.a„=--------

2

4.成等差数列的二个正数的和等于6,并且这二个数分别加上3、6、13后成为等比数列｛d｝中的4、儿、

々，则数列也｝的通项公式为

A."=2"7B."=3"TC."=2"2D.b"=3"C

题型三：累加法基础：等差等比与裂项求和型

3

L在数列｛。〃｝中必/=3,%+|=%+—，则通项公式的=

nin+I）-----

【提分笔记】

基本规律

累加法：

若在已知数列中相邻两项存在：/一%-1二/（〃）（〃之2）的关系，可用“累加法”求通项.

其中f（n）是常见可求和的数列通项，如等差，等比，和裂项型求和

2.已知S”是等差数列｛〃“｝的前〃项和,其中邑=6,54=10,数列也｝满足印=】，且"+/="一则数列也｝

的通项公式为（）

2

A37?+/?+2

A，2C-T

3.已知等比数列｛%｝满足8%-%。，6,％+1，。3且成等差数列・若数列｛叫满足%I=%

且4=1,则数列也｝的通项公式”=

A.2'~nB.2”-1C.2"+\D.22n+\

题型四：累加法拔高：换元累加型

1.在数列｛%｝中，q=2,-^-=^+ln|1+-L则()

n+\n\nJ

A.4B.2+(n-l)ln«C.1+//+In/?D.2/z+nInn

2.已知数列｛%｝满足：q=13,(〃+1)氏+]-〃%=2〃+1,nwN：则下列说法正确的是()

A.an+]>anB.a„+1<anC.数列｛%｝的最小项为。3和%D.数列｛《,｝的最大项为由和。4

【提分笔记】

基本规律

通过换元，转化为"“一(〃N2)累加求通项，最后再反解回去。

3.己知数列｛%｝满足q=1,4=一、，*一白.

zn—1z

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设数列｛%｝的前〃项和为S”，求满足S”<12的所有正整数〃的取值集合.

题型五：累加法拔高：构造

1.已知数列｛4｝满足〃%+]+=1(〃eN'),%=2,贝ij%o2i=.

2.已知数列｛《,｝满足q=；，〃(〃+1)(。〃+]-=。〃+口“，则数列｛%｝的通项公式%=

——a,,a,,+]——(〃£稻，则

3.已知数列｛%｝满足4=1,的最小值是()

(〃+1)(〃+2)\)

23

A.B.C.1D.2

54

题型六：累乘法

1.已知数列｛q｝（〃eM）满足q=1,且％讨=」7。“，则通项公式4=

n+\

【提分笔记】

基本规律

对于递推公式为区一，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为4-@1=」（町,

一般利用累加法求出数列的通项公式：

2.数列应｝满足：卬=：,（2"2-1）1=（2向一2）a.（〃eN）则｛凡｝的通项公式为.

3.若数列｛牝｝满足弓=1,^+1=2"练则数列｛凡｝的通项公式%=.

题型七：前n项和型

1.已知数列｛q｝的前〃项和为S.=/?+4〃-3,则｛%｝的通项公式为

【提分笔记】

基本规律

四（〃=1）

若在已知数列中存在：S.=/（%）或'=/（〃）的关系，可以利用项和公式1月-5小（〃22）,求数

列的通项.

2.数列｛〃”｝的前〃项和为S”，若S,=-g（〃2—4〃），且%，%，%成等比数列，则该数列的通项公式为（）

A.=7-2/7B.a„=6/z-1C.%=2〃+3D.%=6-〃

3.已知数列｛%｝的前〃项和\=2；3,则数列｛凡｝的通J贝公式是.

题型八：二阶等比

1.设数列｛?｝满足6=4,%=；%+2,则｛4,｝的通项公式q=.

【提分笔记】

基本规律

二阶等比构造法有两种方法：

I.形如4向=q%+p(qwO,l,p均为常数)，构造等比数列｛%+2｝,义=上7。特殊情况下,

“一1

当q为2时，2=p,

2.形如见=川*+心"0),变形为P"—p'i+新数列累加法即可

2.已知数列｛4｝满足q=1,凡=4TJ〃22),则通项公式4=______.

肛-I+J

3.已知数列｛an｝中，ai=l,an=3an」+4（n£N♦且吟2）,,则数列｛aj通项公式an为

A.3nlB.3n+,-8C.3n-2D.3n

题型力，：二阶等差数列

1.在数列｛4｝中，卬=!，2见+必“二。“一an+｝.

(I)求生，的：(2)证明：数列为等差数列，并求数列｛4｝的通项公式;

a..

19

2.已知数列｛即｝,｛九｝满足%=1,an+l=1--,bn=T—,其中nWN+.

qa几4azli

⑴求证：数列｛6｝是等差数列，并求出数列｛%｝的通项公式：

⑵略.

3.已知数列｛%｝有%工0,S”是它的前〃项和，卬=3且Sj=3〃2a“+S3，〃22.(1)求证：数列

｛%+%*｝为等差数列.

(2)略.

题型十：sn与an型：消sn型

2q

1.记S”为数列｛4｝的前〃项和.若4=1,4=合，则数列｛q｝的通项公式为

【提分笔记】

基本规律

S”与外的递推关系求/，常用思路是：利用a"=S"-S"T，〃,2转化为4的递推关系，再求其通项公

S],〃=1

an=

式；3”-Sz，〃“2时，一定要注意分〃=1,〃22两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否

整合在一起.

2.已知数列｛%｝的前〃项和为，.若％=**讨=20,则数列｛4｝的通项公式为4=.

3.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，若q=2,且S油=2S.+1,则数列n｝的通项公式为。“=.

题型十一：sn与an型：消an型

【基础知识点】

S,〃二I

"u=

S”与巴的递推关系求巴,也可以结合式子结构与数据•，利用〔'-S.一”〃22转化为s.的递推关系，

先求出工与〃之间的关系，再求见.应用关系式

1.己知数列｛q｝的各项均为正数，其前〃项和为S”，若％=1,且瓦+疯=。向(〃£”),则数列｛%｝的

通项公式为.

2.已知数列｛〃“｝的前〃项和为S"(S"O),且满足a“+4SiS.=0(〃N2),%=；,则4的通项公式为

3.已知各项为正数的数列｛q｝的前〃项和为邑，且q=l,S.=(瓦+瓜)“小£%'则数列七｝的

通项公式为.

题型十二：分式倒数递推

1.已知在数列｛q｝中，«,=!，%+|二退丁’则数列｛%｝的通项公式为/=.

【提分笔记】

基本规律

上」_L」二旦

形如“q*+p,可以取倒数变形为凡"1p

2.在数列｛/｝中，《=1,且凡+1二苔丁，则其通项公式为4二（）

+1n2-n+2

n2-n+\,n2-n+2

3.已知数列入满足帮且％“则数列｛巾勺通项公式为（）

A〃C.a=­!—

A.凡二罚B•凡=2inD.a„=n2

“2H-1

题型十三：新数列前n项和型

1.数列｛叫满足，氐+吴+呆+——=2〃+】，写出数列｛%｝的通项公式.

【提分笔记】

基本规律

形如f(l)ai+f(2)a2+。。。f(n)a,r=g(n),可以设

c“=f(n)a〃，c”的前n项和为s“，f⑴@[+*2)@2+。。。f(n)a”=s"，则转化为s“求通项型

2

2.数列｛凡｝满足：4=g，a]+a2+...+an=n-an,则数列｛。“｝的通项公式。“=

3.已知q+2%+2?%+...+2",“=9-6〃，则数列｛%｝的通项公式

题型十四：高次塞取对数型

L数列｛%｝中，若外.小q=3,则｛4｝的通项公式为.

【提分笔记】

基本规律

形如对“=mq＞可以通过取对数构造等比数列求通项公式

2.已知数列｛q｝,q=大八〃之2)，q=e,则数列｛%｝的通项公式为4=.

3.设正项数列｛%｝满足《=1,勺=2。3(〃22),则数列｛6｝的通项公式是

题型十五：二阶含n等比数列型

1.已知数列｛，"｝满足6=(,%=3%-4〃+2仅cM).数列也｝满足。=/-2〃，则数列｛〃｝的通项公

式为.

【提分笔记】

基本规律

形如"e=ta“+f(n)，可以构造等比数列求通项。通过配凑构造等比，如果配凑不容易观察，可以待

定系数来构造

2.已知数列㈤｝满足/“=2%+3乂5"闩=6,则数列｛%｝的通项公式/=

3.己知首项为2的数列｛4｝的前〃项和为S.，若S〃“=S,r+3%+2〃-l,则｛凡｝的通项公式为

题型十六：二阶含n等差数剂型

1.已知数列｛〃“｝中，％=1,。川=3凡+3",求数列｛4｝的通项公式

【提分笔记】

基本规律

形如见+广风+mn，可以同除来构造等差数列求通项。，

2.已知数列｛的｝中,a/=l,%尸2%+2叫则数列｛曲｝的通项公式的=.

3.已知数列也,｝的前〃项和S.=-g)"T+2(〃eM),则数列｛〃“｝的通项公式勺=.

题型十七：因式分解型

1.设｛4｝是首项为1的正项数列且〃q；+i+(〃+l)q：-(2〃+l)a“a,+]=0(〃eN)且。“+尸见，求数列｛对｝的通

项公式_________

2.设｛q｝是首项为1的正项数列，且(〃+2)°用2_/2+2牝+““=0561<),求通项公式q=

3.设数列｛/｝是首项为1的正项数列，且+=0，则它的通项公式盘=.

题型十八：三阶递推

1.已知其是数列｛/｝的前〃项和，-3e+26一=1,q=1,生=4,求数列｛a„｝的通项公式.

【提分笔记】

基本规律

形如a+洱+忆।+r=0,常凑配系数构等比数列。

2.已知数列也｝满足q=l,%=2,且。川=2a“+3a“T(〃之2,〃wN')，则数列｛%｝的通项公式为

3.在数列｛凡｝中，q=1,2=3,且对任意的〃eN•，都有。源=3。e-2/，则数列｛%｝的通项公式为

题型十九：前n项积求通项

।?

1.已知也为数列出｝的前〃项积,若丁——=1,则数列｛q｝的通项公式％=

qn3/r

A.3—2〃B.—3+2〃C.3—4〃D.1—2〃

2.设正项数列｛〃〃｝的前n项和为Sn,数列｛S〃｝的前n项之积为Tn,且S〃+7h=l,则数列的通项公式

是.

3.设正数数列｛6｝的前〃项和为数列｛SJ的前"项之积为7；,且S,+27；=l,则数列｛4｝的通项公式

是.

题型二十：函数型递推

1.若/(X)+/(D=24=/(0)+/(-)+/(-)+...+/(—)+/(1)(//则数列｛〃”｝的通项公式是

2.已知g(x)=/(x+1)-3是/?上的奇函数，/=〃0)+/当+-一+八上1)+八1),〃£四,则数列｛%｝的通项

2nn

公式为()

A.an=77+1B.an=3/?+1C.%=3〃+3D.an=n~-2H+3

3.已知心M旧卜是R上的奇函数,皿(。)+0+情i+/"”⑴(e,则数列

｛凡｝的通项公式为()

B.a=InC.a=n+\

A.an=nnnD.an=n'-2/?+3

题型二■!-一：周期数列

1,已知数列｛%｝中，q=2,《用=一丁'(〃£“)，则52020=.

【提分笔记】

基本规律

周期数列

1.若数列｛“｝满足a"二a”「a”_2，则｛aj周期T=6

2.若数列｛4｝满足a”+2小=s,则｛a.｝周期T=2

3.若数列｛a』满足a"+a“_]+a,_2=s,则｛a〃｝周期T=3

4.若数列｛“｝满足a〃xa,,T=s，则｛aj周期T=2

5.若数列｛aj满足a“xa“_]Xa-2=s,则｛a”｝周期T=3

6.a“=ma〃Tb,m+d=O,则｛a“｝的周期7=2

ca”「d

2.已知数列｛qj满足q=2,丹川=三:，(〃EN*),则q生期SZOIO=

3.数列｛/｝中，4=3,。〃一/%+i=l(〃eN")，4表示数列｛%｝的前〃项之积，A2O2O=

题型二十二：奇偶讨论型

1.己知数列｛凡｝满足%+i=(-1)”(%+〃)，则｛。”｝的前40项和为

【提分笔记】

基本规律

讨论型：

I.分段数列

2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列

2.已知数列｛q｝满足q=2,^+^+1=(-1)\则数列｛%｝的通项公式为

3.已知数列｛〃"｝满足q=-<，a2=\,数列｛qj的奇数项单调递增，偶数项单调递减，若厘二阂=1,在

22〃+1

数列｛〃“｝的通项公式为

模块二：高考真题

1.记S”为数列｛凡｝的前〃项和，已知q=l,肃是公差为g的等差数歹IJ.

un

(1戌｛《,｝的通项公式；(2)证明：y+y+-+-^-<2.

2.已知数列｛%｝的前〃项和为，，卬=一,，且4ST=3S.-9.

（1）求数列｛%｝的通项；（2）设数列｛a｝满足34+（〃-4）〃“=0（〃€“），记低｝的前〃项和为7；,若7；4劝”

对任意〃cN/恒成立，求实数2的取值范围.

3.设数列｛a〃｝满足a/=3,an+l=32-4〃.

（I）计算。2,。3,猜想｛〃〃｝的通项公式并加以证明;

（2）求数列｛2〃即｝的前〃项和S?.

4.设数列｛〃"｝满足q+34+…+(2〃-1)4=2n.

（I）求｛4｝的通项公式；（2）求数列｛肃

的前〃项和.

5.已知数列和｛加｝满足a/=L6尸0,4%]=36->+4,4b7=3”,-a“-4.

(I)证明：｛加+加｝是等比数列，｛的-加｝是等差数列;

(2)求｛“〃｝和｛加｝的通项公式.

模块三：各地模拟

L数列!，!，L上?，…的一个通项公式是()

261220

1c111,1

A.—B.a—C.a=-------D.%=1——

n(n-])n2(2/7-1)nnn+\n

2.在等差数列也｝中，q=3,且％,%，％。成等比数列，则4的通项公式为()

A.an=2n+\B.atl=n+2

C.%=2〃+1或a”=3D.《|=〃+2或4=3

3.已知数列｛〃"｝满足q=l,a.=%+3〃—25N2),则应｝的通项公式为()

A.ai/B.%=3/+〃C.%=也产D.即=3〃；+〃

4.已知数列｛4｝满足q=l,an-anU=na)｝an+[(/?GN.),则an=.

5.已知数列｛6,｝中,q=2,〃(％+1-％)=/+1,♦，则&■的取值范围是,

n

6.已知4=1,则数列｛6｝的通项公式是。“二()

A.2//-1C.〃2D.n

7.已知函数｛%｝的前〃项和满足5〃=2"“-1,则数列｛4｝的通项公式为()

3,〃=113»/7=1

A・%=2"B.a=2nna=«

n2n,n>2'”[2n^>2

8.