北师八年级数学上册-第1章 勾股定理（2类知识拓展）

第1章勾股定理单元复习提升（知识拓展）

知识拓展

拓展01勾股定理的证明方法

拓展知识

勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中$£力所以

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中$氏方=匕’=S—+4x,所以

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

为3=（"蜉"）=2x/.9,所以『+/Q

典例1.勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最

重要的工具之一.下列图形中可以证明勾股定理的有（）

D.①④

跟踪训练1.如图，在四边形人加必中，A13//DEyABA.I3D,点C是边W）上一点，BC=DE=a,

CD=AB=b.AC=CE=c.下列结论；①AA8C名△COE；②ZACE=90。；③四边形的

面积是3（〃+〃）；④3（/+从）-gc2=2x；"；⑤该图可以验证勾股定理.其中正确的结论个

数是（）

A.5B.4C.3D.2

跟踪训练2.勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人

类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和

刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是

赵爽弦图（）

C.

跟踪训练3.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在

我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五为勺记载，我国汉代数学家赵爽为了证

明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）,后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

⑴①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选

一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；

②如图1,大正方形的面积是17,小正方形的面积是5,如果将如图1中的四个全等的直角

三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积.

⑵如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角

形，这三个图形中面积关系满足用+工=导的有个；

⑶如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）

的面积分别为号、邑，直角三角形面积为S3,请判断5、8、Sj的关系.

拓展02勾股定理的折叠问题

拓展知识一张直角三角形的纸片，如图1所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合，若NB=30°,

AC二百，求DC的长。

分析：1、标已知，标问题（边长的问题一般有什么方法解决？），明确目标在哪个直角三角

形中，设适当的未知数x；

2、利用折叠，找全等。

△

（1）你能从中找到全等三角形吗？

（2）折叠后出现的相等的线段有哪些?

（3）折叠后出现的相等的角有哪些？

3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。

4、利用勾股定理，列方程，解方程，得解。

典例2.如图，在RlABC中，Z4BC=90°,A8=3,AC=5,A。为N8AC的平分线，将&D4C沿

AD向上翻折得到使点E在射线AB上，则OE的长为（）

525

A.2B.-C.5D.

24

跟踪训练L如图，在，A8E，NBAC=90。，.=2,AC=3,沿过点A的直线折叠，使点3

落在3c边上的点。处，再次折叠，使点C与点。重合，折痕交AC于点E,则AE的长度为

跟踪训练2.如图，在MAC中，"=90。，将MCE沿着AE折叠以后C点正好落在"边上的

⑴当々=26。时，求NAa;的度数;

（2〕当AC=6,A8=10时，

①求线段的长；

②求线段OE的长.

过关训练

一、单选题

1.木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长

的是（）

A.3,4,5B.6,8,10C.5,12,13D.7,15,17

2.在58C中，/A,NB,NC的对边分别是mb,c,且一/=/,则（）

A.NA=90。B.?890?C.ZC=90°D.不确定哪个角是直角

3.下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（）

A.6?=32>b=4?,c=52B.a=9,Z?=40,c=41

5|3

C.a.b:c=\'.\\y[2D.=不，。=6

4.如图，在矩形488中，A8=3,AO=1,A8在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为

半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数是（）

DC

-2-101M2

A.710-2B.x/5-lC.V10-1D.M

5.如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为

0.7米，顶端距离地面2.4米•若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面L5

米，则小巷的宽度为（）

A.2.7米B.2.5米C.2米D.1.8米

6.下列说法：（1）在△ABC中，若“2+炉次汽则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是

直角三角形，ZC=90°,则屏+/二/；（3）在AABC中，若次+/二则NC=90。；（4）直角

三角形的两条直角边的长分别为5和12,则斜边上的高为偿.其中说法正确的有（）.

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm,现将AABC折叠,使点

6与点A重合，折痕为〃从则6七的长为（）

A.4cmB.4.75cmC.6cmD.5cm

8.如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7,2号、3号两个正方形的面积之和为4,

则服从。三个正方形的面积之和为（）

9.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）

A.4米B.5米C.6米D.7米

10.如图，在“8C中，NZMC=90。，仍三化=6,点。在4C上，且4）=2,点七是48上的

动点，连接OE,点尸，G分别是3C,3E的中点，连接AG,FG,当水AAG时，线段0E的

长为（）.

C

A.x/13B.275C.苧D.4

二、填空题

11.已知直角三角形的两边长分别为3、4.则第三边长为.

12.已知，如图所示，RSABC的周长为4+26,斜边AB的长为26,则Rtz\ABC的面积

为_____

13.△ABC中，ZC=90°,N'A=30。，则BC：AC：48二.

14.如图，正方形网格中的AABC,若小方格边长都为1,则△ABC是____三角形.

15.已知三角形三边长2〃+12/+2〃2/+2〃+1,〃为正整数，则此三角形是__三角形.

16.如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm,A点在内壁距杯口2cm处，在

A点止对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫耍到A处饱餐一顿至少要走

cm.（杯子厚度忽略不计）

17.如图，AB/BC于点B,AB_LAQ于点A,点E是CO中点，若BC=5,A£)=12,BE=12.5,

18.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图将两个"赵

爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放圉成正方形MNP。，记

空隙处正方形ABCD,正方形EFGH的面积分别为S-52（S>>52）,则下列四个判断：①

d+邑=（即边形MNP。②"j=2AP；③若ZEMH=30。，则H=352；④若点A是线段G尸的中点,

则3S1=4S2,其中正确的序号是_________

三、解答题

19.如图，在用ABC中，ZC=90°,4C=9cm,BC=12cm,CO_LA8于。.

求：（1）斜边A8的长;

（2）高C。的长.

20.如图，四边形ABCQ中，DAVAB,DA=AB=6,BC<,0c=1.则的度数是

多少度？说明理由.

AB

21.如图，ZAZX?=90°,AD=16cm,CD=12cm,AB=29cm,Z?C=21cm.

⑴求AC的长度；

⑵求阴影部分面积.

22.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点，以格点为

顶点分别按下列要求画三角形.

(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；

(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3.2&,4；

(3)在图3中，画一个钝角三角形，使它的面积为4.

■■flB

II।।IIIIIIIIII।

III।III।IIIIII।

___|v■_

IIIIIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIIIIII

「TTTi「TTT。rrfri

iiiiiiiiiiiiiii

iiiiiiiiiiiiiii

|l।|Il।l।।।l।l।

।।।।I।।।।।I।।।।

L一」---

图I图2图3

23.如图,在ABC中，AB=5,AC=13,BC边上的中线AO=6,延长八。至点E,使QE=A。,

连接CE.

E

(1)求证：CE=AB.

(2)求8的长.

24.如图，ZACB=90°,NBAC=30。，AC=293,BC=2,把43。沿相折叠，点。折叠到点

4。的延长线与射线CB交于点E.

(1)求AE的长；

(2)求1/W石的面积.

25.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的8处，以每小时40km的速度

向北偏东60。的班'方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.

(1必城是否受到这次台风的影响？为什么？

⑵若4城受到这次台风影响，则八城遭受这次台风影响有多长时间？

26.一艘轮船从A港向南偏西48。方向航行1(X)km到达6岛，再从8岛沿BM方向航行125km到

达C岛，A港到航线8M的最短距离是60km.

(1)若轮船速度为25knV小时，求轮船从C岛沿C4返回A港所需的时间.

(2)C岛在A港的什么方向？

27.初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，

形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略.

问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬

行到点8,如何求最短路程呢？

(1)问题分析：蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点8,可以有几条路径？在图中画出

来；

⑵问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为18cm,高为12cm,蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的

表面爬行到点3,求最短路程；

B

A<____>

②若圆柱体的底面圆的周长为24cm,高为4cm,蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点8,

求最短路程；

③若圆柱体的底面圆的半径为「，高为人一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点4,

求最短路程.

28.数形结合是我们解决问题常用到的思想方法.

b。

图1图2图3

⑴观察发现：如图1,将两张正方形纸片A与三张正方形纸片8放在一起（不重叠无缝隙）,

拼成一个宽为15的长方形，求正方形纸片A、3的边长.

⑵推理猜想：教材中我们可以运用拼图，用两种不同的求面积方法，导出一些结论，下面用

两个边长分别为人b、c的直角二角形和一个两条育角边都是c的直角二角形拼成图2,试用

不同的方法计算图2的面积，S=,或者S=,经化

简后，请写出边长为。、氏c的直角三角形三边的关系：

⑶灵活应用：图3中，以边长服b、c的直角三角形三边向外作正方形，若。=4,。=5,

则以b为边长作的正方形面积=.

29.已知ABC,点P是平面内任意一点(不与点A,B,C重合)，若点P与A,B,。中的

某两点的连线的夹角为直角，则称点P为一ABC的一个“勾股点”.

ffl(l)图⑵图⑶

(1)如图(1),若点尸是A8C内一点，ZA=55。，ZA8P=10。，ZACP=25°,试说明点P是ABC

的一个“勾股点，，；

⑵如图(2),已知点。是川儿的一个“勾股点”，ZADC=90。，且ZDC3=ZDAC,若4)=3CO=3,

BC=6,求A8的长;

⑶如图(3),在丛BC中，ZACB=90°,AC=屈，点。为."C外一点，DB=DA,ZBCD=45°,

6=3,点。能否是的“勾股点”，若能，求出AC的长；若不能，请说明理由.

第1章勾股定理单元复习提升（知识拓展）

答案全解全析

知识拓展

拓展01勾股定理的证明

拓展知识

勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中所以

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中5工力3=d=所以/=『+.•

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

为3=（"今""=2＞＜；加¥，所以＞+/=}

典例1.勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最

重要的工具之一.下列图形中可以证明勾股定理的有（）

④

D.①④

【答案】D

【分析】利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可.

22

【解析】解：①5Hl期=g(a+城=g(/+2"+〃)，5(W=^ab+^ab+^c=^(2ab+c),

・,.g(，/+2ab+力之)=g(2ab+c2),

整理得

故①满足题意；

2222

④S”方形=(a+b)=a+lab+b或SM=g,心x4+e=2ab+c,

•*.a2+lab+/)1=lab+c2»

cr+lr=c2,

故④满足题意；

②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意；

③无法证明直角三角三边关系，故③不符合题意；

故选：D

【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键.

跟踪训练1.如图，在四边形比中，AB//DE,ABJ.BD,点C是边BD上一点,BC=DE=a,

CD=AB=b.AC=CE=c.下列结论；①AABCg/XCDE；②/ACE=90。；③四边形A8DE的

面积是《/+〃)；④3(/+B-gc2=2x；他；⑤该图可以验证勾股定理.其中正确的结论个

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】证明△A6(NZ\COE(SAS),由全等三角形的性质可得出ZA=/0(%,ZACB=ZE.再由

图形的面积可得出①②⑤正确.

【解析】\AB//DEfAB上BD,

:.DEA.BD,

.•.ZB=ZD=90°.

在ABC和C£>£中，

AB=CD

<ZB=ZD=90°,

BC=DE

..△A8cg△CD&SAS),

:・ZA=4DCE,ZACB=NE.

・.,ZJ+ZJC5=90°,

：./DCE+ZACB=90°.

•・•NDCE+ZACB+ZACE=180°,

.\ZACE=90°,

故①②正确；

AB//DEfABVBD,

・二四边形ABDE的面积是+勿”;

故③错误；

梯形4比陀的面积-直角三角形ACE的面积=两个直角三角形的面积，

••一(4+1))?—C"=2x—cih,

222

：.a2+b2=c2,(a+b)2^c2,

故④错误，故⑤正确

故①②⑤共3个正确，③④错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质

的运用，解答时证明三角形全等是关键.

跟踪训练2.勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人

类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家越爽和

刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是

赵爽弦图（）

【答案】A

【分析】根据赵爽弦图证明勾股定理的方法即可求解.

【解析】解：

赵爽弦图，是4个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形中

较长的直角边为〃，较短的直角边为“，中间小正方形的边长为他-。），

・,・A选项，是赵爽弦图，符合题意；

B选项，不是赵爽弦图，不符合题意；

C选项，不是赵爽弦图，不符合题意；

D选项，不是赵爽弦图，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题主要考查对赵爽弦图的理解，掌握勾股定理的证明方法，赵爽弦图证明勾股定

理的方法是解题的关键.

跟踪训练3.勾股定理是人类最伟大的I个科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在

我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股I四，则弦五''的记载，我国汉代数学家赵爽为了证

明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）,后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

图4

⑴①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从卜列儿种常见的证明方法中任选

一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；

②如图1,大正方形的面积是17,小正方形的面积是5,如果将如图1中的四个全等的直角

三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积.

⑵如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角

形，这三个图形中面积关系满足5+52=/的有个；

⑶如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）

的面积分别为加、S2,直角三角形面积为邑，请判断岳、邑、Sj的关系.

【答案】（1）①见解析；②29

⑵3

（3）5|+52=53

【分析】（1）①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证

2222

明即可；②图1中：a+b=c=\l,（/?-a）=5,即可得2^=12,图2中大正方形的面积为:

（〃+〃『，据此即可作答；

（2）根据题意得：再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成

求解;

（3）结合题意，首先分别以。为直径的半圆面积、以〃为直径的半圆面积、以c为直径的半

圆面积、三角形的面积，根据图形特点表示出(岳+另)，结合勾股定理，即可得到答案.

【解析】(1)①证明：

在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.

即必.4+Sj)2,化简得/+/=°2.

在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.

2

即(〃+h)=/+?必.4,化简得々2+h2=c2t

在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.

2

即3①+与①十份=;而二十夫)化简得/+〃?=C.

2222

②在图1中：a+b=c=\l,(b-a)=5f

图2中大正方形的面积为：("b)2,

V(b-a)~=5,a2-2ab+b2=5,

・・.17-2而=5,2ab=12,

；・(〃+〃『=a2+2"+»=17+12=29,

，图2中大正方形的面积为29.

(2)根据题意得：a2+b2=c2,

如图4；

E+S2=S3;

如图5：

S2

SL

S3

图5

5)=—^Tier,$2=!启,53=：4。2,

12oo

*.*-^a2+-7rb2=-7r(a2+b~}=-n-c2,

888178

下面推导正三角形的面积公式:

正vx?z的边长为小过顶点工作XVLVZ,V为垂足，如图,

在正vxyz中，有/y=60。，XZ=XY=YZ=U,

•/XVA.YZf

：.YV=VZ=-YZ=-uZXVY=90°,

22f

・••在Rtvxyv中，＜XV=y/xY2-YV2=:哆,

・♦•正vxyz的面积为：S=-xYZxXV=—u2

24f

・c_16。_V3_x/3,2<_62

••S]=-x〃x-----=—ci2,Sc)=—b9S4=—c

1224~434

•・•正/+正/=走(/+⑹二立c2

444'74

5,+5,=53；

・・・三个图形中面积关系满足$+5?=$3的有3个

故答案为：3；

(3)关系：S\+S2=S.理由如下：

以a为直径的半圆面积为：如出=%八

以人为直径的半圆面积为：1X4-T=-^S

2\2)8

以C为直径的半圆面积为：3乃[3=]02,

三角形的面积为：S?=/山,

S]+S2=-兀a'4—兀b"+S3—KC2,

128838

即：S]+5\=—乃(。一+/?—-c°)+W,

结合(1)的结论："+〃2=1

5,+S2=S3.

【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟

练掌握勾股定理的性质，从而完成求解.

拓展02勾股定理的折叠问题

拓展知识一张直角三角形的纸片，如图1所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合，若NB=30°,

AC=5求DC的长。

分析：1、标已知，标问题(边长的问题一般有什么方法解决？)，明确目标在哪个直角三角

形中，设适当的未知数x；

2、利用折叠，找全等。

（1）你能从中找到全等三角形吗？

（2）折叠后出现的相等的线段有哪些？

（3）折叠后出现的相等的角rr哪些？

3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。

4、利用勾股定理，列方程，解方程，得解。

典例2.如图，在RlABC中，Z4BC=90°,A8=3,AC=5,AO为NBA。的平分线，将MAC沿

AD向上翻折得到..D4E,使点E在射线AB上，则OE的长为（）

525

A.2B.-C.5D.—

24

【答案】B

【分析】根据勾股定理求得6C,进而根据折叠的性质可得=可得砥=2,设。石=x,

表示出8DOE,进而在RtZXBDE中，勾股定理列出方程，解方程即可求解.

【解析】解：:在RtABC中，ZABC=90°,A8=3,AC=5,

BC=y/AC2-AI32=V52-32=4，

•・,将ADAC沿AD向上翻折得到ADAE,使点E在射线AB上,

Z.AE=ACt

设=则OC=O£=x,4O=3C-CQ=4—x,BE=AE-AB=5-3=2,

在RSBDE中，BD2+BE2=DE2,

W（4-X）2+22=X2,

解得…《

即止的长为I，

故选；B.

【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

跟踪训练1.如图，在〃碇中，N3/\C=90。，AB=2tAC=3t沿过点A的直线折叠，使点8

落在8c边上的点。处，再次折叠，使点。与点力重合，折痕交AC于点E,则AE的长度为

【答案】B

【分析】根据题意可得加=金=2,NB=ZADB,CE=DE,/C=/CDE,可得ZADE=90。，继

而设AE=x,贝lJCE=O£=3-x,根据勾股定理即可求解.

【解析】解：:沿过点4的直线将纸片折叠，使点3落在边3c上的点。处，

AD=AB=2,NB=ZADB,

•・・折叠纸片，使点c与点。重合，

:・CE=DE,/C=NCDE,

•.ZAC=90。，

ZB+ZC=90°,

ZADB+ZCDE=90°,

ZADE=90°,

:.AD2+DE2=AE\

设=贝I」C£=OE=3-X,

224-(3-.X-)2=.Y2,

解得'=；，

o

13

即AE=g

6

故选：B

【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键.

跟踪训练2.如图.在AABC中,47=90。.将AACE沿着AK折叠以后。点正好落在"边卜的

点、D处.

⑴当4=26。时，求/AEC的度数；

⑵当AC=6,A8=10时，

①求线段3C的长；

②求线段OE的长.

【答案】（1）58。

⑵①8；②3

【分析】（1）在口W4次?中，利用互余得到NZMC=64。，再根据折叠的性质得NC4£=gNC"=32。,

然后根据互余可计算出4*=58。：

（2）①在RIA48C中，利用勾股定理即可得到BC的长；②设。£=科则%?=8C-CE=8-x,

依据勾股定理可得，RIABDE中。炉+3。2=8炉，再解方程即可得到DE的长.

【解析】（1）解：在RtAABC中，ZABC=90°f4=26。，

/.Z^AC=90°-26°=64°,

MCE沿着A£折叠以后C点正好落在点D处，

乙CAB=-Z1CAB=k64。=32。，

22

RtMCE中，ZACE=90°

ZAEC=90°-32°=58°.

（2）①在RtAABC中，AC=6,AB=10,

!3C=>lAB2-AC2=V102-62=8•

②MCE沿着AE折叠以后C点正好落在点。处，

,-.AD=AC=6,CE=DE,

:.BD=AB-AD=4f

设/M=x,贝lj砌=8C—CE=8—x,

vRtABDE中，DE2+BD1=BE、

x2+42=(8-x)2,

解得x=3.

即。£的长为3.

【点睛】本题考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，解题时常设要求的线

段长为X,然后根据折叠和轴对称的性质用含X的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直

角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.

过关训练

一、单选题

I.木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长

的是（）

A.3,4,5B.6,8，10C.5,12,13D.7,15,17

【答案】D

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【解析】解：A、・・・32+42=52,・••能够成直角三角形,故本选项错误；

B、•••62+82=1（）2,・•・能够成直角三角形，故本选项错误；

C、・・・52+122=132,・••能够成直角三角形，故本选项错误；

D、・・・72+15m172,・••不能够成直角三角形，故本选项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用.理解判断三角形是否为直角三角形，已知三

角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理是解题的关键.

2.在，A8C中，/A,NB,NC的对边分别是a,b,c,且则（）

A.44=90。B.90?C.NC=90。D.不确定哪个角是直角

【答案】A

【分析】根据题意直接利用勾股定理的逆定理进行判断即可得出答案.

【解析】解：:在中，/A,NB,/C的对边分别是a,b,c,且/一从二1,

b2+C2=a2.

:・b、c是两直角边，。是斜边，

ZA=90°.

故选：A.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理.注意掌握如果三角形的三边长乩。满足/+斤=。2,

那么这个三角形就是直角三角形.

3.下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（）

2

A.。=3'，b=4fc=5B.a=9,Z?=40,c=41

513

C.a:b:c=\i\:>/2D.a=］，"=；，c=6

【答案】A

【分析】根据勾股定理的逆定理，只要判断两个较小的数的平方和是否等于最长边的平方即

可.

【解析】A、「a=3,，b=421c=52»/.«2=81,b2=256,c2=625,不能满足/，A

不能组成直角三角形.

B、92+402=412,故能构成直角三角形；

C、设〃=A,b=k,c=6k,,：k2+心=(五k)：：・*+52=2,故能构成直角三角形；

D>((5)462=(1y3)2,故能构成直角三角形.

故选A.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，己知三角形三

边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

4.如图，在矩形ABC。中，A8=3,AO=1,48在数轴上，若以点4为圆心，对角线AC的长为

半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数是()

D

A——■"--j»

-2-101M2

A.710-2B.x/5-lC.x/10-1D.M

【答案】A

【分析】利用矩形的性质得AO=BC=1,再由勾股定理求出AC的长，最后根据AM=AC,可

得答案.

【解析】解：.••四边形A3CD是矩形，

：.AD=BC=\,NA8O90。

在ABC中，AC=x/?7F=加

.*.AA/=AC=\/i(j,

・••点M表示的数是而一2，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理求出AC

的长是解题的关键.

5.如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为

0.7米，顶端距离地面2.4米•若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面L5

A.2.7米B.2.5米C.2米D.1.8米

【答案】A

【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度.

【解析】

由题意可得：AD2=0.72+2.42=6.25,

在RtAI3CLp，

/ZA^C=90°,8c=1.5米，BC2+AB2=AC2,

Afi2+1.52=6.25,

AB=±2,

vAB＞（）,

AB—2,

•.•小巷的宽度为0.7+2=2.7（米）.

故选A.

【，点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的

结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的

示意图.

6.下列说法：（1）在△ABC中，若屋+按纭，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是

直角三角形,ZC=90°,则屋+岳=/；（3）在△ABC中，若*+匕2=/,则NO90。；（4）直角

三角形的两条直角边的长分别为5和12,则斜边上的高为旨.其中说法正确的有（）.

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】在（1）（2）（3）中分别利用勾股定理及逆定理判断，在（4）中，先利用勾股定理

求出斜边的长度，再利用直角三角形的面积公式*八BC='=弓（a、b为两直角边，c为斜边，

h为斜边上的高）求出高即可.

【解析】解：（1）根据勾股定理的逆定理，若。2+/=〃，则工8c也为直角三角形，故错误;

（2）若A8C是直角三角形，ZC=90°,利用勾股定理则标+分=廿，符合勾股定理，故正确;

（3）在中，若〃2+〃=/,则NC=90。，符合勾股定理的逆定理，故正确；

（4）首先根据勾股定理计算其斜边是户石7=13,则斜边上的高为詈=搭，故正确.

综上所述，（2）（3）（4）正确.

故选B.

【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，以及直角三角形面积求解公式，能够熟练运

用直角三角形的勾股定理和勾股定理的逆定理是解答此题的关键.

7.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm,现将△ABC折叠，使点

8与点A重合，折痕为QE,则8E的长为（）

A.4cmB.4.75cmC.6cmD.5cm

【答案】D

【分析】根据勾股定理可求出AB的长，由AB的长度可求出BE的长度.

【解析】解：•；AC=6C7%、BC=8an,

在△八5C中，由勾股定理可知：回=〃。2+叱=好博=1。,

・・•将aABC折叠，使点B与点4重合，

故E为A8的中点，

；・AE=BE=5,

故选：D.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，折叠变换，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键.

8.如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7,2号、3号两个正方形的面积之和为4,

则〃、b、c三个TF方形的面积之和为（）

D.22

【答案】B

【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：。的面积等于1号的面

积加上2号的面积，b的面积等于2号的面积加上3号的面积，c的面积等于3号的面积加上

4号的面积，据此可以求出三个的面积之和.

【解析】利用勾股定理可得：

2=5+邑，$=邑+S-Se=S3+54

Sa+sb+Sc=S\+S2+S2+S3+S3+s4

=7+4+4=15

故选B

【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.

9.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）

A.4米B.5米C.6米D.7米

【答案】D

【分析】先求出AC的长，再利用平移的知识即可得出地毯的长度.

【解析】在RtAABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,

；・AC=yjAB2-BC2=4米，

・•・可得地毯长度=AC+BC=7米，

故选。.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出AC的长度是解答本

题的关键.

10.如图，在.MC中，N8AL90。，AB=AC=^,点力在AC上，且A/L2,点石是4〃上的

动点，连接。E,点F,G分别是BC,OE的中点，连接AG,FG,当AG=FG时，线段。E的

长为().

C

A.V13B.2V5C.苧D.4

【答案】B

【分析】连接力F,AF,EF,证明根据全等三角形的性质得到但昭=2,进

而求出A凡根据勾股定理计算，得到答案.

【解析】解：连接。RAF,EF,

在A8c中，AB=AC,XCAB=90°,

:.Nff=NC=45。,

点G是。石的中点，点厂是BC的中点，

：.AG=DG=EGfAF=BF,AFIBCfZDAF=450,

...,

FG=AG,

FG=DG=EG,

1。/话是直角三角形，且NQFE=90°,

•:Z.DFA+ZAFE=ZBFE+ZAFE=^0°,

:.6FA=4EFB,

在△人尸。和43尸石中，

/DAF=NB

<AF=BF,

ZDFA=NEFB

;“AF*BFE(ASA),

:.AD=BEf

AE=4,

在RiAADE中,DE=yjAD2+AE-=26,

故选：B.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质

是解题的关键.

二、填空题

11.已知直角三角形的两边长分别为3、4.则第三边长为.

【答案】5或近

【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论.

【解析】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，

第三边的长为：“2-32=5/7；

②长为3、4的边都是直角边时，

第三边的长为：＞/42+32=5：

・••第三边的长为：夕或5,

故答案为：/或5.

12.已知，如图所示，RSABC的周长为4+2石，斜边AB的长为26，则Rt/k48C的面积

为

【答案】1.

【分析】设AC二a,BC二b,根据题意列出关于a、b的方程组，然后解方程得到ab的值，再

利用三角形的面积公式求解即可.

【解析】设AOa,BC=b,

«+Z>+2>/3=4+273

由题意得2C心A\2，

/+/»=(243)

.a+b=4

•・・卜+/=12,

.*.(a+b)2=a2+b2+2ab=12+2ab=16,

ab=2,

则RQABC的面积为gab=l.

故答案为1.

【点睛】本题主要考查勾股定理，解此题的关键在于利用勾股定理列出方程组，然后求得ab

的值.

13.△ABC中，ZC=90°,NA=30。，则BC：AC：AB=.

【答案】1：73：2

【分析】根据直角三角形中30度角所对直角边为斜边的一半，可设BC=x,则AB=2x,再利

用勾股定理求AC的长即可得解.

【解析】已知△A3C中，ZC=90°,ZA=30°,

设BC=x,则AB=2x,

**,AC=yjAI32—BC2=x，

贝ij6c:AC:AB=\：V5：2.

故答案为1：百：2.

【点睛】本题主要考查了30度所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，解此题的关键在于熟

练掌握其知识点.

14.如图，正方形网格中的AABC,若小方格边长都为1,则^ABC是____三角形.

【解析】因为AC2=22+32=13,AB2=62+42=52,BC2=82+12=65,所以AC?+AB2=BC?,所以△ABC

是直角三角形.故答案为直角.

15.已知三角形三边长2〃+1,2/+2〃,2〃2+2〃+1,〃为正整数，则此三角形是__三角形.

【答案】直角

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个

三角形是直角三角形判定则可.如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形.

［解析］解：・・•（2〃+1）2+（21+2〃尸

=41/+4//4-1+4/+8,+4/r

—+8〃,+8/厂+4〃+1»

(2，/+2〃+1)2

=[2n~+(2n+\)]2

=4〃，+4/(2〃+1)+(2〃+1下

=4/+8,+4/+44+4〃+1

=+8,+8/J+4〃+1,

(2n+1产+(2n2+2n)2=(2n2+2n+l)2,

・•・此三角形是直角三角形.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理.掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

16.如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm,A点在内壁距杯口2cm处，在

A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走

______cm.（杯子厚度忽略不计）

【答案】10

【分析】先把圆柱展开，得到其一半的一个矩形的形状，4、B的最短距离就是线段A8的长,

再根据勾股定理解答即可.

【解析】试题解析：将圆柱的侧面展开成平面，其形状是一个矩形，如图是展开图的一半,

将A点对称到4点，线段48的长就是所求的最短距离，

A

----------------\E

在放△ABE1中，

xl2=6cm,A'E=AE+AA'=Scm,

贝I」AB二YJBE2+AE2=10cm,

答：小虫要到A处饱餐一顿至少要走10cm.

【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，将侧面展开利用勾股定理求出是解题

关键.

17.如图，/3C于点B,于点A,点E是。。中点，若8c=5,40=12,BE=\2.5f

则AR的长是_____________.

【分析】延长鸵交人。于F,证明必，O"E（ASA）得到=5,BF=2BE=25,然后利用勾

股定理求解即可.

【解析】解：延长跖交4。于F,

AC

■:AB1BC.AB1AD,

:.BC//AD,

/.ZC=ZD,

•.•点E是C。中点，

：.CE=DEf又/CEB=4DEF,

:・CBE，DFE(ASA),

:,DF=BC,EF=BEf

VBC=5,BE=12.5,

:・DF=5,BF=2BE=25,

在Rt.4跖中，AF=AD—DF=7,

•*-AB=y]BF2-AF2=y)252-72=24，

故答案为：24.

【点睛】本题考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，添加辅助线

构造全等三角形是解答的关键.

18.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图将两个“赵

爽弦图”(如图1)中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNP。，记

空隙处正方形ABCQ,正方形)GH的面积分别为5,52(S.>52),则下列四个判断：①

S1+S2=：$WNPQ