2026年中考数学冲刺复习临考押题卷01（山东济南）解析版

临考押题卷01（山东济南）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选；H每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他笞案标号。写在本试卷上无效。

3.回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.

1.（本题4分）-焉的相反数是（）

A.-2025B.2025C.-^―

20252025

【答案】D

【分析】本题考查了绝对值，相反数的定义，先求出卜焉焉，根据只有符号相反的两个数互为相反

2025

数卬可解答.

11

【详解】解:

20252025

11

则的相反数是-

20252025

故选：D.

2.（本题4分）如图，一个由6个相同小正方体组成的几何体，则从正面看到的几何体的形状图是（）

【答案】A

【分析】本题考查从不同方向看儿何体，从正面看该儿何体即可解答.

【详解】解：从正面看到的几何体的形状图是

故选：A

3.(本题4分)中原熟，天下足.处r中原的河南一直是我国重要的粮食大省，最近几年粮食总产最更是

连续突破1300亿斤(注：1斤=0.5千克)，为保证国家粮食安全做出了突出贡献.数据“1300亿”用科学记

数法表示为()

A.1.3x10"B.1.3x10'°C.O.13xlO12D.0.13x10'0

【答案】A

【分析】本题主要考查科学记数法.科学记数法的表现形式为axlO”的形式，其中1＜忖＜10,〃为整数，

确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数

绝对值大于等于1时，〃是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解:数据“1300亿”用科学记数法表示为1.3x10、

故选：A.

4.(本题4分)下列因式分解正确的是()

A.ax-\-ay-a=a(x+y)B.a2+b=a(a+b)

C.a2+^+l=(£7+l)2D.-a2+b2=(h-a)(b+a)

【答案】D

【分析】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握国式分解的方

法是解题关键.

根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可.

【详解】解：A、ax+ay-a=a(x+y-X),选项错误，不符合题意；

B、/+〃不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；

C、/+。+］不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；

22

D、-a+b=(b-a)(b+a)t选项正确，符合题意；

故选：D.

5.(本题4分)如图1是一辆竖直放在地面上的自行车，如图2是其示意图，其中〃b,c//d,Z1=I15°,

则/2=()

2

图1图2

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质.先求/3,再根据平行线的性质可得N2=N3,熟练掌握立行线的性质

是解题的关键.

【详解】解：如图,

/.Z2=Z3=65°,

故选：C.

6.（本题4分）在平面直角坐标系xQy中，已知点尸（2々-2,2〃+4）在第二象限，下列结论错误的是（）

A.-2<«<1

B.点2关于.V轴的对称点的坐标为（-2a+2,24/+4）

C.点尸到两坐标轴的距离之和等于6

D.点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后所得点产的坐标为

【答案】D

【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，坐标确定位置，解元一次不等式组，根据第二象限内点的

坐标特征列出不等式组是解题的关键.

根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组，求出。的取值范围，即可判断A；根据关于y轴对称的点的坐

标特征即可判断B；根据点到坐标轴的距离的定义即可判断C,根据平移中点的变化规律：横坐标右移加,

左移减，纵坐标上移加，下移减即可判断D.

【详解】解：A、•・•点P（2a-2,2a+4）在第二象限,

,2«-2<0

*也+4>。’解得：一2原选项正确，不符合题意;

3

B、•・•点?（2。-2,2a+4）,

・••点P关于＞轴的对称点的坐标为（-2〃+2,2〃+4）,原选项正确，不符合题意；

C、•・•点P（2a-2,2a+4）在第二象限，

・・・点。到x轴的距离等于2。+4,点。到了轴的距离等于2-勿，

・•・点尸到两坐标轴的距离之和等于2〃+4+2-2〃=6,原选项正确，不符合题意；

D、•••点P（为—2,2々+4）,

・••点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后所得点P的坐标为（2。-2-3,为+4+2）,即（2〃-5,%+6）,

原选项错误，符合题意；

故选：D.

7.（本题4分）如图，点4在半圆。上，直径4c=10,/84C=36。，则图中阴影部分的面积为（）

A.5兀B.-7tC.10兀D.—

24

【答案】A

【分析】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，三角形的中线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的

关键.先根据二角形的中线把三角形分成面积相等的两个二角形，得到VAOA的面积与△CO4的面积相等，

从而把阴影部分的面积转化为扇形C08的面积，再根据圆周角定理求出NCOS,最后代入扇形面积的计算

公式求出即可.

【详解】解：,,,点8在半圆。上，AC是半圆。的直径，AC=10,

OA=OB=OC=-AC=5,

2

「•点。是AC的中点，

二•线段BO是VABC的中线，

・••0vAOB-°VCOB，

・•・阴影部分面积=扇形C08的面积，

ZBAC=36°,

ZCOB=2ZBAC=72°,

4

・・・阴影部分面积为：72O7tx5--=5x.

360°

故选：A.

8.1本题4分)已知是关于x的一元二次方程丁+2.厂％=0的两个不等的实数根，则代数式，；—71T

a+\b+\

的值是()

A.2B.-2C.ID.-1

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，由根与系数的关系得将分式变形，然后

ab=—k

代人求解，即可求解；掌握根与系数的关系：“演、/是一元二次方程◎?+笈+C=0的两个根，则有

b

司+“

【详解】解：由题意得

ab=-k

a1_ab-l__七一］_।

A'a+\~b+\~(a+\)(b+\)~-k-2+\~,

故答案为：C.

4

9.(本题4分)如图，在平面直角坐标系中，直线丁=-§工+4与x轴、y轴分别交于点A、点8,Rt二405

的两个外角的平分线相交于点P,且点P恰好在反比例函数y=&(x>0)的图象上，则％的值是()

【答案】A

【分析】本题.主要考查角平分线的性质，一次函数的性质，求反比例函数解析式，勾股定理，解题的关键

是作出辅助线，过P分别作A3、x轴、y轴的垂线，垂足分别为。、。、E,求出A(0,4),8(3,0),勾股定

理48=仔不=5,根据角平分线的性质得出/出=m=/'。，设P(小)，则PC=，根据等积法得出

；x/x(f-3)+gx5xf+；x/x(/-4)+gx3x4=/xf求出r的值，即可得出答案.

5

【详解】解：过P分别作48、x轴、），轴的垂线，垂足分别为C、。、E,如图所示:

44

把了=0代入)，=-、工+4得：0=--x+4,

w/J

解得：x=3,

・・・A(0,4),4(3,0),

・・・OA=3,08=4,

・•・AZ?=V32+42=5,

•・•/SQAA的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P,

APE=PC,PD=PC,

：.PE=PC=PD,

设p(M，则PC=1，

‘了八〃+SrAtf+Sy”匕+SUAIf=S定忱,

.•.；x/x(f-3)+gx5xf+gx/x(f-4)+gx3x4=/xf

解得，=6,

・•・P（6,6）,

k

把P（6,6）代入），=一（X>0）得k=6x6=36.

X

故选：A.

10.（本题4分）如图，NM4N=60。，在AM、4V上分别截取线段AA、AC,使44=4C；分别以点8、C

为圆心，大于的长为半径画弧，在/MAN内，两弧交于点尸，作射线4>,在上取点尸，过点F

作产G〃AM交AN于点G,作。产_LAP交AM于点。，交AN于点E,则下列四个结论中：①

ZA14P=ZM4P=30°；②AG=G尸；③VAOE是等边三角形；④Gb是△4EO的中位线.所有正确结

论的序号是（)

6

N

E,

G/-——

ABlD~M

A.①②B.②③C.®®®D.①②@©

【答案】D

【分析】本题考查了尺规作图一作角平分线，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，中位线定义，

掌握知识点的应用是解题的关键.

根据尺规作图作角平分线即可判断①；根据平行线的性质及等角对等边即可判断②；由等边三角形的

判定即可判断③；根据等边三角形的判定与性质，中位线的定义即可判断④.

【详解】解：由作图可知，川平分NM4N,

,/ZM4A^=60o,

AZM4P=ZM4P=30°,故①正确；

VFG//AM,

・•・ZM4P=ZGM=30°,

・•・ZGM=ZM4P=30°,

AAG=GF,故②正确；

•/DE±AP,

JZAFE=ZAFD=90°.

,/ZM4P=ZGM=30°,

Z4ED=ZADE=ZE4£>=60°,

・・・VAOE是等边三角形，故③正确；

・•・AE=AD,

•・•AF1DE.

EF=DF,

*：FG//AM,

NEGF=ZEFG=/MAN=60°，

*,•是等边三角形，

/.EG=GF,

7

VAG=GF,

・•・AG=£G,

・•・G〃是AAED的中位线，

综上可知：①②©④正确,

故选：D.

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.

11.（本题4分）若代数式71T无意义，则实数x的取值范围是___.

\lx-3

【答案】x<3

【分析】此题考查了二次根式和分式无意义的条件，根据二次根式和分式无意义的条件即可求出x的范围,

解题的关键是熟练掌握二次根式和分式无意义的条件.

【详解】解：•・•代数式7三无意义，

Ax-3<0,解得：x<3,

故答案为：x<3.

12.（本题4分）在实验中学运动会的跳高比赛中，甲、乙两位选手进行了五轮比赛，小红对他们的比赛成

绩（单位：分，满分10分）进行了收集和分析，并绘制了如图所示的折线统计图，则成绩的稳定性更好的

【答案】甲

【分析】本题考查了方差的意义，理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据

偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏

离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键.根据方差的意义即数据波动越小，数据越稳定即

可得出答案.

【详解】解：由折线图可知，甲选手的成绩波动范围较小（从最低8.7分到最高9.5分，差值为0.8）,而乙

选手的成绩波动范围更大（从8.3分到9.7分，差值为1.4）,因此，甲选手的成绩更稳定.

故答案为：甲.

8

13.（本题4分）若尔是关于x、y的二元一次方程，则竺=.

n

【答案】I

2

【分析】本题考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键.根据

3m-3/!=1

二元•次方程的定义可得，|，解方程组求出“，〃的值即可求解.

m+2〃=1

【详解】解：V皿_〃广2"=|是关于xy的二元一次方程,

3/7?-3/1=1

ni+2n=1

|5

m=—

解得：；9，

n=—

9

用525

,*•_---W-_---.:--_-——_.

n992

故答案为：y.

14.（本题4分）如图，在平面直角坐标系屹v中，菱形A08C的顶点A在x轴负半轴上，顶点3在直线产白

4

上，若点3的横坐标是8,则点C的坐标为.

【分析】过点8作轴，垂足为点。，先求出8（8,6）,由勾股定理求得80=10,再由菱形的性质得

到BC=BO=10,8C〃x轴，最后由平移即可求解.

【详解】解：过点B作3O_Lx轴，垂足为点。，

3

),«=8x—=6,即BD—6,

・•・5(8,6),

9

,?BO_Lx轴,

，由勾股定理得：BO=^BDr+DO-=10，

•・•四边形A3C。是菱形，

・•.BC=BO=lO,BC〃x轴,

・•・将点B向左平移10个单位得到点C,

・••点。(-2,6),

故答案为：(-2,6).

【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添

加辅助线是解题的关键.

15.(本题4分)如图，四边形/WCO中，N/VX?=90。，取人C中点0,4c中点E,连接0。、。石，若NCA力=25。,

ZC4B=20°,MZDOE=度.

【答案】70

【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，三角

形中位线定理.根据点。是4C中点，ZADC=90°,则OO=A。，所以4")0=NC4。=25。，由三角形外

角性质可得NDOC=50。，乂E为5c的中点，点。是AC中点，则OE为中位线，最后根据角度和差即可求

解.

【详解】•••点。是AC中点，ZADC=90°,

：.OD=AO,

・•・ZADO=ZCAD=25°,

・•・ADOC=ZADO+NCAD=50°,

•・・E为8C的中点，点。是4。中点，

：.OE//AB,

ZCOE=ZC4B=20°,

・•・/DOE=70。,

故答案为：70.

10

三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分7分）（1）解方程：x2-4x-4=0

（2）计算：2~'-3tan3O°+（2-+sin245°

【答案】（1）内=2&+2,^=-272+2；（2）2-丛

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，实数混合运算，熟练掌握解一元二次方程的方法，负整数指数

恭，零指数辕运算法则，特殊角的三角函数值，是解题的关键.

（I）用公式法解一元二次方程即可；

（2）根据负整数指数幕，零指数塞运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可.

【详解】（1）解：/_4公4=0，

a=l,/>=—4,c=-4,

A=b2-4tzc?=（-4）2-4xIx（-4）=32,

...工=4土寂=2±20,

2

即司=2及+2,9=-2&+2；

（2）2-1-3tan30°+（2->/2）°+sin2450

=2-6.

17.（本小题满分7分）先化简，再求值：三三+11-’7），其中％=1.

x--1（x-\）

【答案】化简得一二，求值得如

A-+16

【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值，二次根式，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键.先

利用分式的混合运算法则化简，再代入求值即可.

_x-2j一]一1

"(x-l)(x+l)"x-1

x-2x-1

"(X-1)(X+1)7^2

11

1

A+l

V6

将“=6-1代入原式，得原式=

V6-1+1-6

18.（本小题满分7分）如图，四边形A3c。中，点E在A。上，连接C£、AC,ZBCE=ZACD,NBAC=/D,

BC=EC.

n

(1)求证：△AB0AOEC；

(2)若/ACD=90。，AB=2,AC=5,求AE的长.

【答案】（1）证明见解析

(2)A£=5点一2

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

（1）根据角的和与差得NAC8=/ECD,然后利用AAS即可证明结论;

（2）根据全等三角形的性质得AC=CZ）=5,AB=DE=2,然后利用勾股定理求得A。，然后利用线段的

和差即可解答.

【详解】（I）证明：NBCEOACD,

ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,

/.zACB=ZECD,

・•.在VA3c和二OEC中

/BAD=ND

ZACB=NECD

BC=CE

.•..A8C空力EC(AAS)；

(2)解：-AAB8ADEC

AC=CD=5,AB=DE=2

Z4CD=90°,

「.RtAC£)中，

AC2+CD2=AD2

一.AD=\/Ac2+cif=vy+y=啦

12

...AE=AD-DE=5啦-2.

19.(本小题满分8分)消防车是消防救援的主要装备，图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点。、

笈、。在同一直线上，。。可烧着点。旋转，48为云梯的液压杆(长度可以变化)，点。，A,。在同一水

平线上，OC与地面平行，其中50可伸缩，云梯。。的最大长度为15m,套管04的长度不变.

(1)在某种工作状态下测得，Z^C=45°,ZDOC=37°,0B=5m,求。4的长.

⑵将云梯0。伸长到最大长度15米，当/。0。从37。上升到53。时，云梯顶端。的船直高度升高了多少米？

334443

(参考数据：sin37°®-,tan37°»-,cos37°®-,sin530®-,tan53°»-,cos530»-)

545535

【答案】(l)l(m)

⑵3(m)

【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是关键.

(1)过点8作「点丁，在Rt二08r中，sinZfiOT=sin37°=—,cosZBOT=cos37°=—,可得

OBOB

BT=3(m),OT=4(m),根据4AT=45。,得到比T=BT=3(“)，由O4=OT-AT=4-3=l(m)即可求

解；

(2)分别算出NOOC=37。，/加。=53。时云梯顶端。到0。的距离，再相减即可求解.

【详解】(1)解：如图所示，过点6作货_LOC丁点7，ZBAC=45°,ZDOC=370,O8=5m,

a,、4

・•・BT=（9Bsin37o»5x|=3（m）,OT=OBcos37o»5x-=4（m）,

•.ZBAT=45°,

A7'=«T=3（m）,

13

.•Q=O7'-A7=4-3=l(m)；

3

(2)解：当NOOC=37。时，云梯顶端。到OC的距离为0041370*15x1=9(1]]),

4

当ADOC=53。时，云梯顶端。到OC的距离为0。•sin53。之15xg=12(m),

・••云梯顶端。的铅直高度升高的长度=12-9=3(m).

20.(本小题满分8分)如图，NABC+,A8=AC,点。在上，0。过点分别与8C、A8交于。、

E,。尸是：O的切线交AC于点

-------DC

(1)试判断。尸与AC的位置关系，并说明理由；

(2)若AC与：O相切于点M,0。的半径为3,CD=V10,求AB的长.

【答案】(1)。尸1AC：理由见解析

(2)8

【分析】本题主要考查切线的性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是解答本题的

关键.

(1)连接OD.证明NOO4=NC,得OD〃AC,得N。。尸=N。”■，由切线的性质得NO。"=90。，从而

可得结论；

(2)连接。W.证明四边形8尸M是正方形，得DF=OM=MF=3,设AM=x,则AC=4+x,

AO=AB-OB=AC-OB=4+x-3=x+\,在△DEC中，由勾股定理可求出40=5,从而可求出A8.

【详解】(1)解：猜想：DFJ.AC；

证明：连接。。.

OB=OD,

:.ZB=ZODB.

AR=AC,

:.NB=NC,

NODB=NC,

:.OD//AC,

・•.NODF=NDFC,

,.・。/是oo的切线，

:.ZODF=90°

.-.ZDFC=90°,

:.DFLAC

(2)解：连接OM.

•••AC与CO相切于点M,

AC1OM.

ZOMF=NODF=NMFD=90°.

••・四边形ODRW是矩形.

OM=OD、

J四边形8匹”是正方形，

・•・DF=OM=MF=3,

在△£>广。中，DF?+CF2=CD'，

・•・CF=y/CD2-DF2=^(VlO)2-32=1»

设AM=x,则AO=AA-O8=AC-Q4=4+x-3=x+l,

/.(X+1)2=X2+9,

「.x=4,

・・・AO=5,40=3,

/.48=8.

21.(本小题满分9分)2025年我国春晚上出现的扭秧歌机器人爱动世界，机器人与人们的生活联系越来越

紧密、某校为了解七、八年级学生对机器人相关知识的了解情况，举办了关于机器人知识的竞赛，现从该

校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表

示，共分为四组：A.x<70,B.70<x<80,C.80<x<9C',D.90<x<100,得分在90分以上为优

秀)，下面给出了部分信息：

七年级20名学生的竞赛成绩是：

72,64.68.78,86,84,96.86.80,92,92,91,97,95,85,82,92,94,99,97

15

八年级20名学生竞赛成绩在C组的数据是：84,85,82,89,89

七、八年级抽取的学生党赛成绩统计表

年级平均数中位数众数

七年级86.588.5a

八年级86.5b91

八年级抽取学生的竞赛成绩统计图

根据以上信息，解答下列问题：

（1）上述图表中的,b=,c=；

（2）眼据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的机器人知识竞赛成绩更好？请说明理由；

（写出一条理由即可）

（3）若该校七年级有800名学生、八年级有1000名学生参加了此次机器人的知识竞赛，估计该校七、八年级

学生.参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？

【答案】⑴92,84.5,35；

（2）七年级学生竞赛成绩较好，理由见解析；

（3）估计该校七、八年级学生参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有750K.

【分析】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均

数是解题的关键.

（1）根据表格及题意可直接进行求解；

（2）根据平均分、中位数，众数，优秀人数分析即可得出结果：

（3）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解.

【详解】（1）解：:七年级20名学生的竞赛成绩中92出现次数最多，

a=92,

由八年级A组占15%,人数为20xl5%=3（人），

八年级3组占25%,人数为20x25%=5（人），

・••八年级中位数为C组的第2、3个同学竞赛成绩的平均数即〃=吧答=84.5,

工八年级0组人数为20-5-3-5=7（人），

16

7

则c%=——xlO()%=35%,

20

・・・c=35,

故答案为:92,84.5,35；

(2)解：七年级学生竞赛成绩较好，理由：

七、八年级的平均分均为86.5分，七年级的中位数，众数优秀人数均高于八年级的中位数，整体上看七年

级学生竞赛成绩较好：

(3)解：估计该校七、八年级学生参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有，

—x800+35%x1000=4(X)+350=750(人)，

20

答：估计该校七、八年级学生参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有750人.

22.(本小题满分10分)近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海"票房突破了90亿，商家推出4、B两

种类型的哪吒纪念娃娃.已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比

每个8种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，8种娃娃售价为10元/个.

(1)每个4种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？

(2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃

娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？

【答案】(1)每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元

(2)当购进5()个4种娃娃，150个8种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元

【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，找准

等量关系，正确的列出方程组，不等式，函数解析式，是解题的关键：

(1)设每个A种娃娃的进价是上元，每个8种娃娃的进价是)，元，根据购进4件A种娃娃和购进5件8种

娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个8种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可；

(2)设购进〃，个A种娃娃，则购进(200-m)个B种娃娃，根据题意，列出不等式，求出用的取值范围，

设这200个娃娃全部售完获得的总利润为卬元，列出函数关系式，利用一次函数的性质，求最值即可.

【详解】(1)解：设每个A种娃娃的进价是“元，每个。种娃姮的进价是y元，

根据题意得：4x=5:y，

x-y=2

fx=10

解得：O.

y=8

答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元；

(2)解：设购进小个A种娃娃，则购进(200-〃?)个B种娃娃，

17

根据题意得：10/77+8（200-/70<1700,

解得：W50.

设这200个娃娃全部售完获得的总利润为卬元,

则第=(15—10>〃+(10—8)(200-，")，

即*=3m+400，

V3>0,

・・・w随〃，的增大而增大，

・•・当加二50时，W取得最大值，最大值为3x50+400=550,此时2（X）-〃?=2（X）-50=150（个）.

答：当购进50个A种娃娃，150个区种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元.

23.（本小题满分10分）综合与实践

学完图形的平移后，小慧为了加深理解，对其进行了进一步探究.

【模型感知】

（1）她把边长为3的正方形纸片A8CZ）沿着对角线4。剪开，如图1.然后固定纸片VA8C,把纸片AAOC

沿剪痕AC的方向平移得到△ADC,如图2.连接AB,DB,比,在平移过程中：

①四边形48CD的形状始终是（点A与点C重合时除外）：

②求AA+/X?的最小值.

【拓展探究】

（2）如图3,她把正方形改为边长为1的菱形ABC。，NDAB=60。,将AAOC沿射线AC的方向平移得

到△4。'。'，连接A'8,D'B,D'C,请直接写出48+05的最小值.

【答案】（I）①平行四边形；②3。；（2）G

【分析】（1）①根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论；

②作点。关于OD的对称点C"，连接4C",DC",当B,。'，。"共线时，A'B+DB=»C+D'B=DC+iyB

有最小值，再证明一OCU是等腰直角三角形，且AQC"共线，在直角-A8U中，利用勾股定理即可求解.

（2）同理可得,"U是等边三角形，且AD。”共线，进而利用勾股定理即可求解.

18

【详解】（I）①•••纸片△ADC沿剪痕4。的方向平移得到△AOC,

:,XD=BC,AD〃BC，

・•・四边形A，BCD是平行四边形，

故答案是：平行四边形；

②；四边形ABCiy是平行四边形，

・•・NB=DC、

・•・AB+DB=O'C+O'8,

作点C关于丽的对称点C"，连接BC",DC,

当B,DC共线时，48+DB=O'C+D8=Z7C*+DB有最小值,

此时+的最小值=BC",

VDA//D'C.DC=iyC,

・•・四边形Dciyc是平行四边形，

JZD,DC=ZC=45°,

•••。关于。。的对称点。"，

/UDC=ZDW=45°,DC=DC,

・・・」）CC”是等腰直角三角形，且ARC"共线，

・•.在直角二7中，BC"=y/AB?+CC"?力3?+（3+3/=3后，

「・A'/十〃分的最小值=36.

（2）如图所示，，

19

・•・A,B=D,C,

・•・44+〃4=。'。+。右，

作点C关于丽的对称点C"，连接以丁，DC,

当B,。',C*共线时，44+=DC+DB=iyC+。右有最小值,

此时AB+DB的最小值=BC",

'：DA//UC,DC=DC,

・•・四边形DCDC是平行四边形，

・•・Zr>'DC=NC'=30。，

•••C关于。/7的对称点。。

/./D'DC=^DDC=30°,DC=DC,

・・・二。8〃是等边三角形，且ARC"共线，

・•・在直角ABC"中，BU=VACB2-AB2->/F7I7=J5，

，48+05的最小值=6.

【点睛】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称

的性质，作出点。关于的对称点，是解题的关键.

24.（本小题满分12分）如图，直线），=r+3与工轴交于点A,与y轴交于点以抛物线），=加+24+。经

过点A，B,与x轴的另一个交点为点C，连接8C.

20

图①图②

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，M是抛物线的对称轴上一点，连接

若ZAMB=2ZACB,求点”的坐标；

(3)如图②，。是直线A4上方抛物线上一动点，过点P作尸QIBC,交AB于点Q,求线段2。的最大值及此

时点P的坐标.

【答案】⑴抛物线的解析式为y=r、2x+3

⑵点M的坐标为(1,1)

⑶线段PQ的最大值为迎，点2的坐标为住与

164J

【分析】(I)先求出A8两点的坐标，利用待定系数法求解即可；

(2)如图，以M为圆心，M4为半径作圆，当4点过上时，则NAM8=2NAC8,

得到M4=M以求出脑物线的对称轴为x=l,设河(1,小)，建立方程求解即可；

(3)先求出点。的坐标，证明乂05是等腰直角三角形，延长PQ交)，轴于点尸，过点尸作y轴的平行线交

BC于点H,过点。作QG_LP”于点G,解直角三角形求出PQ=@PH,当夕〃求最大值时，则PQ取得

4

最大值，求出直线A8的解析式为y=-x+3,设尸(〃,一〃2+2〃+3),则”(〃,—〃+3),求出PH=-|,

利用二次函数的性质即可解答.

【详解】(I)解•：将x=0代入y=-x+3,则y=3,

令y=-x+3=0,解得：x=3,

・・・A(3,0),4(0,3),

把A、8的坐标代入y=0¥?+2x+c得：

21

，抛物线的解析式为：y=—f+2x+3；

(2)解：如图，以“为圆心，A公为半径作圆,

VAC两点关于抛物线对称轴对称，即抛物线对称轴垂直平分AC,

・・・M4=MC,

当8点过(，M上时，则ZA"8=2ZAC3,

・•・=

2

•・•抛物线的对称轴为/=一再寸=1,A(3,0),5(0,3),

设例(1,加)，

A(l-3)2+/w2=l2+(/n-3)2,

解得：fn=l,

二点M的坐标为(1,1)；

(3)解：令y=*+2x+3=0,贝1」-/+2工+3=0,

解得•：X]=—l,x2=3,

・•・C(-hO),

・•・oc=\,

VA(3,o),8(0,3),

・・・。8=3=3,

A..WB是等腰直角三角形，即430=45。，

延长夕。交)，轴于点儿过点P作，，轴的平行线交A3于点儿过点。作QG1PH于点G,

22

B

../演「

1FV

YPQBCJHfy轴,

・•・4QPH=/BFP,/BFP=/FBC/PHQ=/ABO=45°,

QPH=NFBC,Q，G是等腰直角三角形，

tanZQPH=^=tanZFBC=-=QG=HG,

PGOB3

.•・PG=3QG=3HG,

・•・PH=PG+HG=4HG,

JPQ=yjQG2+PG2=MQG=MHG，

.・・PQ岑PH,

当P”求最大值时，则PQ取得最大值，

设直线AB的解析式为y="+3,

将A(3,o)代入丁=履+3,则弘+3=0,解得：k=—l,

:.直线AB的解析式为y=-x+3,

设-n2+2/7+3),则3),

(3Y9

PH=-n2+2〃+3-(-〃+3)=-//+3〃=一1”一耳H---9

4

V-l<0,

39

・•・当〃=］时，尸"有最大值I，

此时，也=*巫=亚，力=_》2不3=3，

4416424

・•・线段尸Q的最大值为亚，点户的坐标为

16124J

【点睛】主要考查了用待定系数法二次函数的解析式和二次函数的图象性质，圆周角定理，解直角三角形,

勾股定理.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，

23

从而求出线段之间的关系.

25.（