湖南省永州市祁阳市2025年九年级数学中考一模（试题）解析版

湖南省永州市祁阳市2025年九年级数学中考一模（试题卷）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，请将正确选

项填涂到答题卡的空格上）

1.在亚,0,-1,2这四个实数中，最大的数是（）

A.0B.-1C.2D.V2

【答案】C

【解析】【解答】解：・・・2＞企

:,在近，0,-1,2这四个实数中，最大的数是2.

故答案为：C.

【分析】利用实数比较大小的方法求解即可。

2.篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功.如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（）

【解析】【解答】解：俯视图是:

【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图.根据俯视图的定义即可得到答

案.

3.祁阳以“字在涪溪、祁阳有戏''为品牌内核，通过“科技+文化”“产业+生态节会+消费”多维度发力，交出

了一份亮眼的“文旅答卷”2024年祁阳市接待旅客900万人次，实现旅游总收入亿元,同比分别增长

17.81%、16.90%，“热辣滚烫'’的数字展示着区域发展新活力、文旅融合新成果，将900万用科学记数法可

第1页

以表示为（）

A.0.9x106B.9x107C.9x106D.90x10q

【答案】C

【解析】【解答】解：900万=9000000,9000000用科学记数法表示为9x106,

故答案为：C.

【分析】科学记数法的表现形式为ax10八的形式，其中1W|Q|<10,n为整数，当原数的绝对值为较大数

时，n等于原数的整数位数减去1.

4.下列运算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.Q6+Q2=Q4C.（2x2）3=6x6D.（a—b）2=a2—b2

【答案】B

【解析】【解答】解：鱼与6不是同类二次根式，不能合并，故A错误；

a6-j-a2=a4,故B正确；

（2/）3=8%6»故C错误；

（a—b）2=Q2-2ab+川，故D错误.

故答案为：B.

【分析】根据二次根式的加减、同底数累除法、积的乘方计算、完全平方公式，对四个式子分别计算，再得

出结论.

5.古语有言“逸一时,，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音

为1,I,4,5,1,4,有关这一组数，下列说法错误的是（）

8

-

A.中位数为4.53C.众数是1D.方差是争

【答案】A

【解析】【解答】解：•••数字1出现了3次，出现的次数最多，

・•・众数为1,

把这组数据从小到大排列为1，1,1,4,4,5,处在第3名和第4名的是1,4,

・•・中位数为竽=2.5,

平均数为1+1+1r+4+58

6二4,

272

・,・方差为3x（1啕+2x（4嘲+（5省_26,

6一百

・•・四个选项中，只有A选项的说法错误，符合题意,

故选；A.

第2页

【分析】利用据中位数、众数的定义、平均数、方差的公式求解即可.

6.下列命题中，属于真命题的是（）

A.内错角相等B.乃是有理数

C.三角形的内角和等于180。D.若=则。=1

【答案】C

【解析】【解答】解：A.只有两直线平行时，内错角才相等，故该选项错误；

B.迎开方开不尽的，是无限循环小数，属于无理数，故该选项错误；

C.三角形的内角和等于180。，故该选项正确；

D.若⑷=1,则。=±1,故该选项错误；

故选：C.

【分析】

真命题是指能由题设推导出结论的命题，再根据平行线的性质、无理数的定义、三角形内角和定理、绝对值

的性质逐项判断即可.

7.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中48、CO都与地面E平行，

【答案】C

【解析】【解答】解：v匕BAC=40%乙MAC=80°,

=/.MAC+/-BAC=120°,

-AM||BE,

•••Z-MAB+乙ABC=180°,

•••乙ABC=180°-LMAB=60°,

vAB.CD都与地加平行，

：.AB||CD,

:.乙BCD=Z-ABC=60°,

故选：C.

【分析】

第3页

先由两直线平行内错角相等可得乙BCD=UBC,再利用两直线立行同旁内角互补可得乙48c=180°-

乙MAS,再利川角的和差关系求出乙MAS即可.

8.反比例函数y=［的图象经过点则下列说法错误的是（）

A.k=-3B.函数图象分布在第二、四象限

C.函数图象关于原点中心对称D.当xv0时，y随x的增大而减小

【答案】D

【解析】【解答】解：A、函数经过（3,-1）,则一1=点解得k=-3,A说法正确；

B、因为k=3V0,故此反比例函数分布在第二、第四象限，B说法正确；

C、反比例函数关于原点中心对称，C说法正确；

D、当x<0时，y随x的增大而增大，D说法错误.

故答案为：D.

【分析】本题考查对反比例函数图象的掌握，kVO,则图像分布在二、四象限；k>0,则分右在一、三象限.

9.如图，为00的直径，AABC=36%^UCDB=（）

A.36°B.72°C.64°D.54°

【答案】D

【解析】【解答】解：・・・48为0。的直径，

：./-ACB=90°.

9：£ABC=36°,

J.LCAB=90°-乙ABC=54°,

:,乙CDB=/.CAB=54°.

故选D.

【分析】

先由圆周角定理的推论可得乙4cB=90。，再利用直角三角形两锐角互余求得乙4,再利用圆周角定理得NO=

/A即可.

10.对于平面直角坐标系xOy中的抛物线G和抛物线G外的点P,给出如下定义：在抛物线G上若存在

两点M.N.使八PMN为等腰直角二角形且ZMPN=9。。,则称抛物线G为点P的T型线,点P为抛物线

G的T型点.若”（0,1）是抛物线）/=/+几的丁型点，则n的取值范围是（）

第4页

1155

n<n>cn<an->

A.--4-B.--4--4-4-

【解析】【解答】如图，•••”（0,1）是抛物线〉=/+九的T型点,

=乙HBA=45。，

：.0A=OH=OB=1

・"点坐标为（一1,0）,

设直线AH的解析式为：y=kx+b,代入得：

（—k+b=0

Ib=l'

解得忆:，

・••解析式为y=%+1,

六抛物线y=x2+九必与直线y=x+1有交点，

故好+/=%+1有实数根，即必一丫+/一1=0有实数根,

b2—4ac=1—4n+4>0»

解得几<.，

故选C

【分析】

如图所示：

设直线HM交x轴于点A,由抛物线的对称性结合T型点的概念可得△40H是等腰直角三角形，则OA=OH

=1,即A点坐标可得，再利用待定系数法可求得直线HA的解析式，再联立直线HA与抛物线的解析式可

得关于x的一元二次方程，因为方程有实数根，再由根的判别式是非负数可得关于n的不等式并求解即可.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）

第5页

11.-2025的倒数是.

【答案】....-

2025

【解析】【解答】解：由一2025x(-盛)=1,

-2025的倒数是一赢，

故答案为：-57春

4U乙,

【分析】本题考查倒数定义，把乘积为1的两个数互为倒数，据此列出算式，进行计算，即可得到答案.

12.要使分式—7有意义，则x的取值范围是.

【答案】xr2

【解析】【解答】解：要使分式之有意义，须有x-2翔，即x，2.

X—£

故答案为:xH2.

【分析】由分式有意义的条件是分式的分母不能为0,据此列出不等式，求解即可.

13.因式分解：x2y-25y=.

【答案】y(x-5)(%+5)

【解析】【解答】先提取公因式y,再利用平方差公式，可得x2y-25y=y(x-5)(x+5).

故答案是y(x-5)(x+5).

【分析】先提取公因式y,再利用平方差公式因式分解即可。

14.已知关于X的一元二次方程/+工一1=0两个根勺、则XX+X2=.

【答案】-1

【解析】【解答】解：关于乂的一元二次方程》2+工一1=0两个根勺、不，则勺+%2=-"二一1・

故答案为—1.

【分析】

对于一元二次方程a%2+bx+C=0(Q工0)的两个根，存在数量关系：与+%2=-，工1%2=/

15.已知圆锥的底面半径是3,高是4.则圆锥的侧面积是.

【答案】157r

【解析】【解答】解：•.・根据勾股定理可得，圆锥的母线长=所彳=5，

•'•S岸堆的用面积=7Tx3x5=1STT,

故答案为：15/r.

第6页

【分析】根据勾股定理可得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式进行计算即可得出答案.

1G.自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制“，即校长陪学生吃午餐.如图

是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在D座位，校长和学生乙在A,B,C三个座位中随机选择两个座位，

则校长和学生乙坐在正对面的概率为

④®

餐桌

©@

【答案】i

【解析】【解答】解：画树状图如下：

校长

学生乙B

由树状图可得，共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有2种，

・•・校长和学生乙坐在正对面的概率尸=f=i

OO

故答案为：I

【分析】

两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目是否填写

数据.

17.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M,交y轴正半轴

于点N,再分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H,画射线0H,若

H(2Q-1,Q+1)，则。=.

【答案】2

【解析】【解答】解：根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数;

第7页

•••2Q—1=a+1,

解得：a=2,

故答案为：2.

【分析】根据作图步骤及痕迹可得OH是NNOM的角平分线，可得点H的横坐标纵坐标相等，再列出方程

2a-1=a+1,最后求出a的值即可.

18.如图，四边形A8C0是菱形，乙4=60。，P为BC边上一点，Q为C。边上的一动点.将△PCQ沿PQ翻折，

点C的对应点C,在菱形的对角线8。匕若CQ=2DQ=6,则PC的长度为.

【答案】15-3g

【解析】【解答】解：YCQ=2DQ=6

根据题意可得，CQ—CQ=6,DQ—3,

•・•四边形4BCD是菱形,乙4=60。,

：.CB=CD,LC=乙PC'Q=60°,

•••△8CO是等边三角形，

:.乙PBU=乙C'DQ=60°,

・•・ZBPC'+ZPBC=ZPC'D,ZDC'QiZPC'Q=ZPCD,

:.乙BPU=乙DCQ

在^DQC'^flABCP中,

(Z-DC'Q=乙BPC'

fiC'OQ=乙PBC'

：.^DQC,BC'P(AA),

,BC_BP_CP

DQCDCQ

设PC=x,则C‘P=x，

则上N=W

J9-CB0

：.CB=^r

.9r_x

•・,阴一不

解得：x=15-3dH或无=15+3^/13(不合题意，舍去),

第8页

・・・PC的长度为15-3m，

故答案为：15—3VT3.

【分析】根据题意可得△BCD是等边三角形，进而得出4BPC'="C'Q,可证△OQC'-△BC'P,由相似三

f/f

角形的性质可得器=平=要，设PC=X,则c7=n则警=士二=今求解即可得出答案.

"QCDCQ69一CB6

三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.计算：（2025-/1）°+|1-V3|+-2sin600-

【答案】解：原式=1+遍一1+3-2X空

=1+V3—1+3—V3

=3.

【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数嘉和负整数指数累，再去绝对值，再计算加减法.

20.先化简，再求值：（空_i）,其中x=2.

【答案】解：勺+（苧一1）

_（x+lXx-l）./2x+lx\

x------丁L一一X）

_（x+l）（Al）x

xx+T

=x-l,

当x=2时，原式=2-1=1.

【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则进行运算得出最简结果，再带入求职即可.

21.祁阳市某中学开展了一系列形式多样，内容丰富的“阳光大课间”活动，学生们热情高涨，操场上欢声笑

语不断，学生们在运动中挥洒汗水，不仅增强了体质，还培养了团队协作精神和积极向上的生活态度.为了

解学生周末在家运动时长t（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将

收集的数据整理分析，共分为四组（A.0<t<l,B.l<t<2,C.2<t<3,D.3<t<4,其中周末

运动时间不少于2小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题:

第9页

（1）在这次抽样调查中，共调查了名学生：

（2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数:

（3）若该校有学生2000人，试估计该校学生周末在家运动时间达标的人数.

【答案】（1）120

（2）解：由（1）可知：这次抽样调查，共调查了36・30%=120（名），

・・・C组频数为：120—6—36—30=48,

因此补全频数分布直方图如下：

，在扇形统计图中，C组所对应扇形的圆心角的度数为：36（Tx蒜=144。;

（3）解：当舞x2000=1300（人），

答：估计该校学生周末在家运动时间达标的人数约为1300人

【解析】【解答］解：（1）由频数分布直方图可知，B组的人数为36人，由扇形统计图可知，B组占比为:

30%,

・•・在这次抽样调查中，共调查了36・30%=120（名），

故答案为：120；

【分析】（1）根据频数分布宜方图与扇形统计图可知8组实际人数以及所占比例，进而即可得出答案：

（2）根据（1）中数据计算可得C组的人数，进而即可补全频数分布直方图，并求得C组扇形圆心角的度数;

（3）根据样本估计总体，列式计算即可.

⑴解：•・•B组36人,占比30%,

・・.在这次抽样调查中，共调查了36-30%=120（名），

故答案为：120；

（2）解：C组频数为：120-6-36-30=48,补全频数分布直方图如下：

第10页

扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为：舞x360°=144°;

(3)解：该校学生周末在家运动时长达标人数约为：普舞x2000=1300(人)，

所以，估计该校学生周末在家运动时间达标的人数约为1300人.

22.如图，在△力8c中，AB=AC,40是角平分线，E是AB边上一点，过点C作C/||A8交EO的延长线于点

(1)求证：ABDE"CDF；

(2)当AE=1,CF=4,4。=3时，求8c的长.

【答案】(1)证明：•••AO是角平分线，AB=AC,

ABD=CD,

•・•CF\\ABf

:.乙B=Z.FCD,

在^BDE和△CDF中，

乙B=Z-FCD

BD=CD,

l乙BDE=乙CDF

.*.△BDE^ACDF(ASA).

(2)解：由(1)可得，ABDE乌Z\CDF,

ABE=CF,

VAE=1,CF=4,

:.AB=AE+BE=AE+CF=5,

•••40是角平分线，AB=AC,

：.AD1BC,BD=CD,

•・•在RSABD中，AD=3,AB=4,由勾股定理可得，BD=y/AB2-AD2=4»

.\BC=2BD=8.

【解析】【分析】(1)根据等腰三角形三线合一可得BD=CD,根据平行线的性质可得4B=结合对

顶角相等，即可利用ASA证明△BDE三△COF；

(2)由4BDE=△CDF可得BE=CF,进而求得AB=5,再根据等腰三角形三线合一可得力。1BC,BD=CD,

最后根据勾股定理即可得出答案.

(1)证明：•••CF||AB,

第11页

:.乙B=乙FCD,乙BED=ZF,

足角平分线，AB=AC,

:.BD=CD.

BDE=△CDF(AAS^

(2)解：•也BDE三4CDF,

ABE=CF=4,

A8=4E+8E=1+4=5,

vAB=AC,A。是角平分线，

：.AD1BC,BD=CD,

:.BD=\/AB2-AD2=V52-32=4，

:.BC=2BD=8.

23.低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深.“低碳环保，绿色出行”成为大

家的牛.活理念，不少人选择自行车出行.某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为

每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元.该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650

元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元.

(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？

(2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少

需要购买甲型自行车多少台？

【答案】(1)解：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为x,y元，根据题意得，

(3x+2y=650

(%+2y=350'

解得:

答：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为150,100元；

(2)解：设需要购买甲型自行车Q台，则购买乙型自行车(20-0)台，依题意得，

500a+800(20-a)<13000,

解得：a>10,

〈a为正整数，

的最小值为10,

答：最少需要购买甲型自行车10台.

【解析】【分析】(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为'y元，根据“公司销售3台甲型

自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元”即可列出方

程组，进而即可求解：

第12页

(2)设需要购买甲型自行车。台，则购买乙型自行车(20-a)台，由题意即可列出不等式，进而得到a的取

值范围，再根据题意即可求解。

24.踢正步是解放军战士的一门必修课.图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是它的示意图，已知，

这名解放军战士的身高为174.0cm,他到军帽(4E)的长为48长的土8尸为他的右臂(不含手掌)，CD、CG分

别为他的左腿和右腿，/ID(参考数据：V2«1.41,641.73,结果保留到0.1cm)

ArrE

图1图2

(1)若点G到AO的垂直距离为75.0cm,LDCG=60°,求他的腿的长度;

(2)若(1)中条件不变，手臂的长度为30或cm，点F到点C的竖直距离为21.3cm,^FBC=45°,求军

帽4E的长度.

A

B

K

【答案】(1)解：如图，过点G作GH_L4。于点H0

H

/>

•••GH=75.0cm,乙DCG=60°,

75.0二75

/.CG==50V3«86.5cm

sin60°-^3

解放军战上的腿的长度为86.5cm.

(2)解：如图，过点尸作FK18C于点K,

•••BF-30企cm,Z-FBC=45°,

BK=30\/2xcos45°=30cm,又CD=CG=86.5cm,

AB=174-CD-CK-BK=174-86.5-21.3-30=36.2cm,

AAE=^AB=18.1cm.

J

【解析】【分析】

第13页

(1)过点G作GHIA。于点H,构造直角三角形CGH,再解直角三角形即可；

(2)过点/作于点K构造直角二角形BPK,先解直角二角形求得BK,再求得AB,则AE等于AB

的一半即可.

(1)解：如图，过点G作G〃_L4D于点H

•••GH=75.0cm,乙DCG=60°,

75.075厂

：.CGr

=~si-n6707x°o=~/~3F=-50V3«86.5cm

T

解放军战士的腿的长度为86.5cm.

（2）解：如图，过点F作尸KJ.于点K,

vBF=30V2cm,/-FBC=45°,

:.BK=30^2xcos45°=30cm»又CD=CG=86.5cm,

AB=174-CD-CK-BK=174—86.5-21.3-30=36.2c?n,

:.AE==18.1c?n.

25.如图，在△ABC中，AB=AC,以48为直径的。。交4c于点D（点D与点A不重合），交8C于点E,过

点E作/G_LAC于点F,交48的延长线于点G.

(2)如图1,若CF=1,BE=3;求00的半径；

(3)如图2,连接力£0D,交点为H,当4H=E”=m时，求线段EG的长.

【答案】(1)解：连接AE、OE,如图所示：

第14页

c

VOA=OE,

AZEAO=ZAEO,

•.MB是O。的直径，

:•(AEB=90°,

：.AE1FC,

*：AB=AC,

：.Z-CAE=Z.BAE,

：.^CAE=^AEO,

：.OE||AC,

\'FG1ACf

：.EF1OE,

・・・打7是0。的切线.

(2)解：*：FGLAC,

:・"FE=90°,

'-'AB=AC,AE1BC，BE=3,

-'•BE=EC=3,Z-AEC=90。,

:•(CFE=Z-AEC,

在^CEF和△CAE中，

(Z.ECF=/.ACE

41EC'

/.△CEFCAE(AA),

.CE^_AC

，，CF~CE，

VCF=1,

•“CE?八

,*AC=-7TTT=9，

CF

：.AB=AC=9,

•••4。是O。的直径，

・・・。0的半径为4

第15页

（3）解：连接0E,如图所示:

•・N8是。。的直径，

・•・ZAEB=90°,

VAH=EH,AO=EO,

.,.OH垂直平分AE,

/.ZAHO=ZAEB=90o,

AOD//BC,

VZC=ZADO,ZABC=ZAOD,

TAB=AC,

AZC=ZABC,

AZADO=ZAOD,

AD=AO,

VAO=DO,

/.△AOD是等边三角形，

AZDAO=ZAOD=60°,

.\ZDAH=ZOAH=30°,

VFG1AC,

.\ZG=90o-ZDAO=30°,

:.ZG=ZOAH,

/.AE=EG»

'：AH=EH=m,

AAE=AH+EH=2m,

/.EG=2m.

【解析】【分析】（1）连接AE、OE.由等边对等角可知NEAO=NAEO,由圆周角定理可得乙4EB=90。，即

AE1BC,结合等腰三角形性质可得4二4£=乙4£0,根据平行线的判定可得OEII4C,由FG，4C,得出

EF10E,最后根据切线的判定即可证得结论；

（2）根据题意易证C4E,得出容二保，求得4；=需=1=9=48,进而即可得出答案；

第16页

(3)连接0E,先根据题意求证△400是等边三角形，可得NDAO=NAOD=60。，ZDAH=ZOAH=30°,再利

用直角二角形性质可得乙4GE=30。，推出上G=/OAII,求得AE=EG，进而即可得出答案•

(1)证明：连接OE,AE，

•N8是。。的直径，

：.z.AEB=90°,即4EJ.BC,

'：AB=AC,

：.Z-CAE=4BAE,

VOA=OE,

：.^BAE=Z.AEO,

：.LCAE=LAEO,

：.0E||AC,

•：EF1AC,

：.EF1OE,

•・・0E为O。的半径，

・・・FG是。。的切线;

(2)解：*：AB=AC,AE工BC，

••BE-EC-3,Z.AEC=90°,

*：EF1AC,

：./-CFE=^-AEC=90°,

VZ.ECF=Z.ACE,

/.△CEFCAE»

.CE_AC

一汴一帚

・力=算=1=9,

CF1

9：AB=AC,

：.AR=9.

•・NB是。。的直径,

第17页

・・・0。的半径为冬

（3）解：如图2,连接。E,

'：0A=OE,AE=EH,

：.0HLAE,

，乙OHA=90°,

:.乙OHA=乙AEB,

：.OD||BC,

，乙400=^ACB,LAOD=/.ABC,

'：AB=ACf

・••乙4BC=4ACB,

Z.AD0=Z.A0D,

：.AD=0A,

又：0D=0A,

：.AD=CM=00,

•••△AOD是等边三角形，

：.^ADO=Z.AOD=/.DAO=60°,

i

：。，

-Z.DAE=Z.OAE=^乙Z-BAC=30

a：FG1AC,

：.Z-AFG=90°,

：./-AGE=90°-NF/G=90°-60°=30°,

：.Z.EAG=乙AGE,

/.EG=AE=AH+EH=m+m=2m.

26.定义：若抛物线丁=。/+双+c与x轴两交点间的距离为4个单位长度，称此抛物线为定弦抛物线.

第18页

(1)判断抛物线y=/+2%-3是否是定弦抛物线，请说明理由；

(2)如图，当一定弦抛物线的对称轴为直线x=1,图像开匚向卜.且它的图像与工轴的交点为点C、点D

(点C在点D的左侧)，与y轴的交点为点E,连接CE、0E所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达

式：

(3)若定弦抛物线,=/+6%+6：的＜0)与％轴交于人、B两点(A在B左边)，当24x44时，该抛物

线的最大值与最小值之差等于。8之间的距离，求b的值.

【答案】(1)解：抛物线、=%2+2%-3是定弦抛物线，

理由：y=x24-2%-3=(x-1)(x+3),

:.抛物线y=x2+2%-3与x轴的交点分别为xi=-l,X2=3,

丁氏-x2l=%

・••根据定弦抛物线的定义可知，抛物线y=%2+2x-3是定弦抛物线.

(2)解：根据题意画图如下：

设C(m,O),D(n,O),

根据题意可知，

fn—Tn=4

In+m=2'

解得:=

I九=3

Z.AC(-1,0),0(3,0),

：.OC=1,OD=3,

•••△CEO为直角三角形，

贝i」NCED=90。，ZCEO+ZDEO=90C,

,：E01CD,

：.ZCOE=ZDOE=90°,

・•・ZCEO+ZECO=90°,

第19页

/.ZDEO=ZECO,

ILACEO和△EDO中，

(Z.ECO=乙DEO

(“0E=乙DOE'

/.△CEOEDO(AA),

.OE_0C

，，OD~OEt

即。Z?2=OC・OD=3.

：.0E=\f3(负值舍去)

，E(0,四)，

设该定弦抛物线表达式为：y=a(x+l)(x-3),

将E(0,V5)代入,得：V2=axlx(-3),

・总

・・Q=-丁

・,•该定弦抛物线表达式为y=_*@+1)(久_3)，

即"一号+缗+后

(3)解：；定弦抛物线y=/+加+c(bV0),与％轴交于A、B两点(A在B左边),

・••此抛物线的开口向上，对称轴为AB=4,

：.0B=+2，

①若_?>4,即bV-8时,

当24x44时，x=2时，此定弦抛物线取最得大值,最大值为4+2b+c,x=4时，此定弦抛物线取得最

小值，最小值为16+4b+c,

二4+2匕+c-(16+4b+c)=一g+2，

得

解b

--23,8一

②b

<-<

D^-24即一8<b<一6时,

当2WTW4时，%=2时，此定弦抛物线取得最大值,最大值为4+2b+c,%?时，此定弦抛物线取得

最小值，最小值为二”直，

4

4c-b2b

=一苒+，

4+2b4-c-422

解得：b=-5±W7,不合题意，舍去，

③若2<—^<3，即一6<b<—4.

第20页

当24x44时，x=4时，此定弦抛物线取得最大值，最大值为16+4b+c,%=—刍时，此定弦抛物线取得

最小值，最小值为竺也!，

4

4c—b2b

16+4b+c-------T：-----=-+2

4Z

解得：bi=-4,b2=-14(不合题意，舍去)；

④若-今42,即8之一4时，

当2WXW4时，x=4时，此定弦抛物线取得最大值，最大值为16+4b+c,%=2时，此定弦抛物线取最小

值为4+2b+c,

(16+4b+c)—(4+2b+c)=—2+2.

解得：b=