2026年上海市长宁区高考数学二模试卷（含详解）

2026年上海市长宁区高考数学二模试卷

一、填空题（共12题，满分54分，第1・6题每题4分，第7/2题每题5分）.

1.已知集合力={1,2,3},8=（2,+00）,则力=.

2.已知正实数〃、力满足仍=1,则a+46的最小值等于—.

3.已知向量值=（x,2,3）,b=（2,y,6）,若G上b,则实数x+y=

4.（x+l）6的展开式中/的系数为（用数字作答）.

5.函数y=sinx,”［一宗,］的值域为.

/012、

6.已知随机变量X的分布为，则X的期望为一

（0.40.20.4）

7.设等比数列{%}的前.〃项和为S”.若邑=3,S_,=15,则&=

8.在△力8C中，。是8C的中点，|而|=4,|前|=6,则方•衣=.

9.将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为一（用分数表示）.

10.已知复数z满足：|z|=l,且|z-4-1,贝1|的最小值为一.

11.如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50。〃，宽均为10cm.点、A、8、C、。在同

一条直线上，点尸在边8E上，点/在边GH上，测得8、C两点间距离为10cm.为了使/BFC=NHID,

12.等腰△力8。的三个顶点均在椭圆「:」一+V=1上，且力、B、。中有且仅有两个点是椭圆「的顶

2026•

点，则满足条件的△48C共有个.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只

有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。

13.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）

A.y=x2B.y=x3C.y=2‘D.y=Igx

14.对于随机事件/、B,“P（A）=尸（加8）”是“月、夕互相独立”的（）条件.

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要

15.将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成右图所示几何体的是（）

D.MN

16.已知/'（x）=（l—q）x+Qsinx.

①存在aG（0,1）,使得函数y=/i»在R上严格增；

②对于任意a£（0,1）,直线y=（l-a）x+a与曲线y=/（x）都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不

是函数y=/（x）的极大值点.

对于以上两个结论，下列判断正魂的是（）

A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①正确，②正确D.①错误，②错误

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

17.一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：口）:55,58,

62.74,88,68,54,52,56,86.

（I）求该组数据的极差和第25百分位数；

（2）依据体检数据，求得这1（）名学生体重y（单位：Ag）关于身高x（单位：皿）的回归方程为y=2.3x+〃，

已知这10名学生身高（单位：c〃?）的平均数为176.3,求6的值（精确到（）.1）

（3）体重（相）与身高（〃?）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖

是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下2x2列联表.

男牛女牛总计

观察值预期值观察值预期值

不肥胖99168

肥胖m

总计120200

求表中〃，的值.已知零假设为：把胖与性别无关.计算男生肥胖人数的预期值(精确到0.1).

18.如图，夕是圆锥顶点，O是底面圆心，点4、8在底面圆周上，OA工OB,OA=OB=\.

(I)若圆锥的侧面积为24，求圆锥的体积；

(2)若直线21与平面PO8所成角为30。，求二面角P-48-。的平面角的正切值.

(I)若函数y=/(x)的图像过点(2,-1),求不等式/(21-1)>/。+1)的解集；

(2)若恰有两个不同的实数x,使得/(外，f(x-m),f(4)成等差数列，求实数〃?的取值范围.

22

20.(18分)双曲线「：工—-^-=1(^>0)经过点P(2,1),不垂直x轴的直线与「交于不同于尸的小

3b2

B两点,直线PA.尸8分别与)，轴交于点W、N.

(1)求「的离心率；

(2)设直线以与x轴交于点。，且而=2加，求点力的横坐标：

(3)若〃、N关于原点对称，证明：直线48经过定点.

21.(18分)设函数y=/(x)定义域为/,区间。q/,记函数y=/(x)在区间。上的最大值为A/,(D),

最小值为施(D).

(1)设/(x)=e*-以,0=(-1,1)，若叫(D)=/(()),求实数a的值;

(2)设/(刈二/一3./,D=[t,t+2],若M,(D)-m,(D)=4,且一求/的值;

（3）已知"0）=0,/（1）=1,且对任意闭区间。三[0,I],场（D）与吗.（D）均存在.求证：“》=/（》）

在区间[0,1]上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间D,c[0,I],当历,（2）="/（。2），且

吗（2）=吗（2）时，均有R=D2.”

参考答案

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分)考生应在答题

纸的相应位置直接填写结果。

1.已知集合力={1,2,3},8=(2,+oo),则力「|8={3}.

解：集合/={1,2,3},5=(2,+8),

则月「|8={3}.

故答案为：{3}.

2.已知正实数〃、8满足帅=1,则a+知的最小值等于4.

解：a+4b开=4,当a=4b,即a=2,6=工时等号成立,

2

故a+46的最小值为4.

故答案为：4.

3.已知向量寸=(x,2,3),5=(2,y,6),若一J_5,则实数x+y=-9.

解：因为向量2=(x,2,3),h=(2,y,6),

若G1B,则限5=2x+2y+18=0,即x+y=-9.

故答案为：—9.

4.4+1)6的展开式中口的系数为20(用数字作答).

6r

解：根据二项式的展开式：Tr+l=C；-x-(r=0,1,2,3,4,5,6),

当，・=3时，/的系数为C；=20.

故答案为：20.

5.函数y=sinx,xw[-乙,红]由值域为[一1-1].

24

解：当xe[—阴]时，^e[-l,1].

24

故答案为：[-1>1].

(012、

6.已知随机变量X的分布为，则X的期望为1.

(0.40.20.4J

角格根据题意可得E(X)=0x0.4+1x0.2+2x04=1.

故答案为：1.

7.设等比数列｛q｝的前〃项和为S”.若S?=3,S4=15,则£=63.

解：等比数列｛凡｝的前〃项和为S..若S?=3,，=15,

所以S2,S「S『S«—与,也是等比数列，(S4—S2)2=S2・(S6-S4),

即12?=3.(56-15).

解得S6=63

故答案为：63.

8.在△43C中，。是8C的中点，|而|=4,|玩|=6,则方•衣=2

解：作出示意图，如图所示:

则而=万一筋=而-1肥f血足血挥

2

则而.配=(标画•(而+:丽=赤二;济二］6—；x36=7

故答案为：7.

9.将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为3(用分数表示).

9

解：4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个小球都有3种放法，

所以共有3"=81种放法,

其中每个篮子不空的放法有C：彳=36种放法，

所以所求概率为史=3.

819

故答案为：—.

9

10.已知复:数z满足：\z\=\,且|z-i|・l,贝1］旧-1|的最小值为百.

解：根据|z|=l,设z=cosa+isin。，

则|z-i|,即|cosa+i(sina-1)|・1,可得Qcos2a+(sina-1)、,

即Jcos?a+sin2a-2sina+1・1,化简得J2-2sina«1,解得sina开一，

2

Izi-11=|i(cosa+zsina)-11=|-1-sina+icosa|=J(-l-sina)2+cos2a=j2+2sina,

因为sinawg,1]>

所以2+2sinae[3,4],可得sina=，时，即z=±立时，2+2sina取得最小值3,

222

相应地，|zi-1|取得最小值6.

故答案为：£.

11.如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50c5，宽均为10a”.点4、8、。、。在同

一条直线上，点厂在边上，点/在边GH上，测得4、C两点间距离为为了使NBFC=NHID,

cm.(精确到0.1cm)

解：由题意，在取△FBC中,FC=50,BC=\0,所以FB=dFC?-BC?=206,

所以sin//。8=^^=拽，sinZ5FC=—=-

5()5CF5

则△产8c与△CHP相似，所以ZHPC=FCB,

?[7所噜考

所以sin/HPC=sinNFCB=-^―

5

所以/半=与=侦，

2V62V66

丁丁

在△/尸。中，由正弦定理得一丝一=---P-D----,

sinN1PDsinZPID

50_PD

即

sin4Hpe-sin/BFC

50x1

25K

所以PO=-3=

2V6~6~

5

所以CO=CP+QO=20.4,

3

即C、D两点间距离为20.4c〃，.

故答案为:20.4.

2

12.等腰△力8c的三个顶点均在椭圆「:_L+jJ=l上，且4、B、。中有且仅有两个点是椭圆「的顶

2026

点，则满足条件的△力^。共有12个.

2

解：根据题意，椭圆「:<7+_/=1,是焦点在x轴上的椭圆，

2026

设该椭圆长轴的端点为力、B,48的中垂线与椭圆有2个交点，此时组成等腰△48C有2个，共有8个.

如织短轴的一个端点与为顶点的等腰三角形有2个，仄为顶点的等腰三角形有2个.

满足题意的三角形共有12个.

故答案为：12.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分)每题有且只

有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。

13.下列函数中既是奇函数又是增函数的是()

A.y=x2B.y=x3C.y=2‘D.y=Igx

解：A./(-X)=(-X)2=X2=/(A),则/")是偶函数，不满足条件.

3

B.(-X)=(-Xy=-x=-f(x),则/(》)是奇函数，且函数/(x)为增函数，满足条件，

C.“X)为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件.

D.函数的定义域为(0,+8),为非奇非偶函数，不满足条件.

故选：B.

14.对于随机事件4、B,"P'A)=尸(川8)”是“4、8互相独立”的()条件.

A.充分非必要B.必要非充分C充要D.非充分非必要

解：因为P(A)=P(*8)二尸―，

P(B)

所以P(48)=P(A)P(B),此时4与8相互独立，充分性成立；

但4与4相互独立且。(B)=0,此时尸(A)=P(川8)不成立，必要性不成立.

故选：A.

15.将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成右图所示几何体的是()

解：将平面图形沿等边三角形的边折起后，形成如图所示的几何体,

其中点N的位置不改变，四个选项中的点加分别对应=B,C,D),

由冬可知，只有选项8对应的点M不可能满足题意.

故选：B.

16.已知/(x)=。-4)x+asinx.

①存在。€(0,1),使得函数y=/)»在R上严格增；

②对于任意“w((U),直线歹=(1-。口+。与曲线y=/(x)都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不

是函数y=/(x)的极大值点.

对于以上两个结论，下列判断正痈的是()

A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①正确，②正确D.①错误，②错误

解：结论①：对/(x)=(1-a)x+asinx求导,可得/'(x)=(l-a)+〃cosx,

因为一l・cosx・l,所以“cosxe[-a,a],则/'(幻=(1-4)+。85.1©口一2。，1],

当ae(0,l)时，\-2a<\,且1-2°可能小于0,

若函数)，=/(')在R上严格增，则/'(x)>0在R上恒成立，

当l—2a・0,即aN：时，/'(X)的最小值1一24・0,

不满足/'(X)>0在R上恒成立；

当1—2“>(),即()<〃<；时，八X)的最小值1—2〃>0,

满足/'(X)>0在/?上恒成立，此时函数y=J\x)在R上严格增，

所以存在a€(U,g)q(0,1)，使得函数y=/3在A上严格增，故①正确：

结论②：设切点为(%,%)，由导数的几何意义可知，

曲浅P=f(x)在点(见，外)处的切线斜率k=,(即)=(1一Q)+acosx(,,

已知直线y=(l-a)x+a的斜率为1一。，则(1一G+acos/=1-a,即QCOSXO=0,

因为ae(0,1),所以cos%=0,解得%=女4+1,keZ,

当/二4乃+彳，ZeZ时，f(x())=(\-a)(k7r+—)+asin(k7r+-^},

当A♦为偶数时，/(x)=(l-a)(^+-)+«；

02

当£为奇数时，/'(.%)=(1-〃附乃+9-。；

rrjr

而直线y=(1-u)x+a在x=左乃+5,AeZ时，=(1-a)(k7v+—)+a»

所以直线y=(1-a)x+a与曲线y=/(x)都相切且有无数个切点，

对，(x)=(l-a)+acosx求导，可得/〃(x)=-asinx,

7,

当/=%乃+/,GeZ时，/(x0)=-asin(^+y)=±a0>

所以每个切点的横坐标都不是函数y=/(x)的极值点，更不是极大值点，故②正确；

综上，①正确，②正确.

故选：C.

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

17.一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据(单位：依):55,58,

62,74,88,68,54,52,56,86.

(I)求该组数据的极差和第25百分位数：

(2)依据体检数据，求得这10名学生体重y(单位：修)关于身高x(单位：的回归方程为y=2.3x+b,

已知这10名学生身高(单位：。〃?)的平均数为176.3,求6的值(精确到0.1)

(3)体重(彷)与身高(〃?)平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖

是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下2x2列联表.

男生女生总计

观察值预期值观察值预期值

不肥胖99168

肥胖m

总计120200

求表中〃?的值.已知零假设为：肥胖与性别无关.计算男生肥胖人数的预期值(精确到0.1).

解：⑴把这组数据从小到大排列为:52,54,55,56,58,62,68,74,86,88：极差为88-52=36,

因为10x25%=2.5,所以第25百分位数是第3个数，为55：

(2)依据体检数据，计算这10名学生体重平均数为

7=3x（52+54+55+56+58+62+68+74+86+88）=65.3,

由回归方程为y=2.3x+b过样本中心点（亍,y）,且亍=176.3,

所以〃二歹一2.3亍=65.3-23x1763=-340.19«-340.2；

（3）由2x2列联表知，肥胖总人数为200-168=32,其中男生肥胖人数（观测值）为120-99=21,

因为21+〃?=32,所以机=11：

在零假设：肥胖与性别无关的条件下，男生肥胖人数的预期值为：

32

120x—=19.2.

200

18.如图，尸是圆锥顶点，O是底面圆心，点力、8在底面圆周上，OA1OB,OA=OB=\.

（I）若圆锥的侧面积为2万，求圆锥的体积；

（2）若直线24与平面PO8所成角为30。，求二面角尸-力8-。的平面角的正切值.

B

解：（1）因为P是圆锥顶点，。是底面圆心,

又点力、4在底面圆周上，OA1OB,OA=OB=1,

若圆锥的侧面积为2*则圆锥的母线长为二=2,

所以圆锥的高位R7=，22-『=6,

所以圆锥的体积为Lx乃xFxx/inW

(2)因为尸又OAIOB,P()^\BO=O,

所以04J.平面P8O,

所以直线口与平面PO8所成角为N4尸0=30。，又04=1,

所以尸0=6,

因为PO_L平面/8。，过。作0〃J.力8于点”，

则根据三垂线定理可得AB1PH,

所以NP"。即为二面角尸-44-。的平面角，

又0A=0B,OALOB,所以0"=工48=叵,又PO=也,

22

所以tanZ.PHO=,0==瓜.

OHe

T

19.已知/(x)=log,x(其中a>(),awl).

(I)若函数y=/(x)的图像过点(2,-1),求不等式/(2》-1)>/。+1)的解集；

(2)若恰有两个不同的实数x,使得/。)，/。-〃?)，/(4)成等差数列，求实数〃?的取值范围.

解：⑴因为函数f(x)=logi的图像过点(2,7),

所以log,,2=1»解得a=।,所以/(x)=10g)x,

22

因为底数()<g<l,所以函数人］)在定义域(0,+8)上单调递减，

2x-\<x+\

由不等式/(2x-l)>/(x+l),2x-l>0,解得，<xv2,

x+I>0

所以不等式的解集为｛x||<x<2h

(2)因为/(幻，—⑼，/(4)成等差数列，

所以27(x-m)=/(x)+/(4),即210g“(.”/〃)=log“x+log“4,

所以log“(x-〃?)2=log“(4x),整理得(x-m)2=4x,

整理得关于x的一元二次方程：x2-(2m+4)x+nr=0.

由题意，方程有两个不相等的实数根，即△-(2〃?+4)2-4〃［2一］6〃?+16>0,解得加4一1,

.x>0

要使/(x),有意义，则需<=>X>m,

x-m>0

由韦达定理，,X)+x2=2m+4,当〃?>一1时，X)+x2>2,

若加开D,则x/开)，结合和为正，知两根均为正数，

此时若〃?=(),方程为V-4x=0,根为0,4,x=()舍去，仅一•解，不合题意；

若/〃>(),因为』+々=2/〃+4>2加，且西工2=机，可知一根大于机，一根小于〃？，仅一解满足%>加，

不合题意；

若-1<相<(),则用为负数.此时中2=〃/>0，N+吃=2〃?+4>2,故两根均为正数,

因为M，9>0且m<0,所以%>加旦七>加恒成立，此时恰有两个不同的实数x满足条件.

综上所述，实数〃？的取值范围为(-1,0).

22

20.(18分)双曲线「：工--^-=1(Z)>0)经过点尸(2,1),不垂直不轴的直线与「交于不同于。的力、

3b2

4两点，直线PA、04分别与y轴交于点m、N.

(1)求「的离心率；

(2)设直线弘与x轴交于点。，且而=2而，求点力的横坐标；

(3)若A/、N关于原点对称，证明：直线44经过定点.

22

解：(1)将p(2,1)代入双曲线方程好三=l(b>0)可得：-1--^=l^b2=3»

因为双曲线中标=3,所以,2=〃2+加=6,即离心率：6=2=患=&；

y1-1

(2)设4(XI，川)，直线处方程为y-卜」一(X-2)，

x1-2

-2y,+2Xi-2y,x1-2y]

令x=0,得丫=--------+1=-^-------即可知M(0,-------------)»

x।-2x।-2x।-2

y1-1x1-22y1-xi2y-x,

令y=()，得-1今x=25―=—1T即可知Q(—0)，

x「2Yj-ly「ly「l

———•2y「X[Xi-2y</2y-x

由MQ=2QP，可得(一———)=2(2——1―11)，

y「lx「2y「l

xi-2y<3xi-4

则由纵坐标对应相等可得!——L=2今y户一—,

x「2,12

3x4-4

由（1）知双曲线化简为x2-y=3,代入得x；-（―i—）2=3=5X；-24XI+28=0，

解得X=1支或占=2（因为此时与点P重合故舍去），即心」全；

1515

（3）证明：设M（0,小）,由M,N关于原点对称得N（0,-m）,

计算得直线必，心的斜率可得k>:上也，kTO=—>

FA2小2

所以有kpA+kpB二号号口

设直线ABzy=kx+s,联立x2-V=3,可得：,必-（kx+s）2=3=>（1-^2）x2-2ksx-s2-3=0,

设力（X/,j〃），B（XB，）%），

2kss2+q3

由韦达定理得xjx小22

AD1-k"A"®i-k

YA_4JBT_][kxA+s-11XB+S-1"

由kpA+kpB=I，可得:

x^-2Xp_2x^-2Xp-2

整理得：(后j+s-1)(XB-2)+(kx^s-I)(xx-2)=(XA~2)(.XB~2),

所以2kxAXs+(5-1-2k)(x/十切)-4(5-1)=XAXB-2(心+xs)+4,

所以(2Ar-1)XAXB+(5+1-2k)(Y+XB)-4s=0,

2

代人韦达定理可得：(2k-l)(-d4)+(s+l-2k)^^-4s=0，

1-k21-k2

所以-(2八1)($2+3)+(5+1-2k)2ks-4s(\-k2)=0,

所以-2ks2-(>k+s2+3+2ks2+2ks-4Fs-4s+4Hy=0,

所以-6什/+3+2依-4J=0,

所以2"(5-3)+(5-3)(s-1)=0=(5-3)(2k+s-1)=0,贝Us=3或s=1-2上

当s=l-2k时，直线48：y=H+l・24=k(x-2)+/恒过点P(2,1),不符合题意,

故s=3,此时直线48：y="+3恒过点(0,3).

21.(18分)设函数y=/(x)定义域为/,区间。仁/,记函数y=/(x)在区间加上的最大值为(D),

最小值为〃？(D).

(1)设/(幻=-一然，£)=(-1,1),若丐.(D)=/(0),求实数。的值；

(2)设/(工)=/一3/,D=［t,Z+2］,若M,(D)-吗(D)=4,且一1•1・1,求，的值；

(3)已知/(0)=0,/(1)=1,且对