2026年小升初数学专项复习：圆（讲义）学生版+解析

第六章：平面图形

专题20：圆

（10大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练）

考点导览

考点01：圆的概念及特点

考点02：圆的圆长

考点03：半圆的圆长

考点04：圆的圆长的应用

考点05：圆的面积

考点06：圆的面积的应用

考点07：求最小面积

考点08：圆环的面积

考点09：方中圆和圆中方的面积问题

考点10：弧、圆心角、扇形的认识

知识点梳理

知识点01：圆的认识

L定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

2.圆心：圆中心的一点叫做圆心，一般用字母O表示。

3.半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。

4.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母d表示。

5.圆的特征

①圆具有对称性，圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。

②在同圆或等圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径的长度是半径长度的2倍。

d=2r，或「=如

知识点02：圆的圆长

I.定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的圆长，用字母C表示。

2.圆周率：圆的圆长和它直径的比值叫做圆周率，用字母兀表示，7i-3.14c它是一个无限不循

环小数。

3.圆的圆长公式：C=7rd=2E。己知圆的半径或直径，可根据公式求出圆的圆长。

4.半圆的圆长：c半圆=nr+d,或C半圆=TTr+2r。

知识点03：圆的面积

1.定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。

2.圆的面积公式的推导：把一个圆切成若干偶数等分，拼成一个长方形。拼成的长方形的长等

于圆圆长的一半，宽等于圆的半径。

卅卅卅m长方形j宽

.................I

y（=^r）长

3.圆的面积公式：S=7rr2o

知识点04：圆环

1.定义：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环。

2.计算公式：S圆环=7T（R2-r2）,或S圆环=nR2-nr2。

知识点05：扇形

1.弧的定义：圆上A、B一点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。

2.扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

3.圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。

【易错点拨】

（1）d=2r仅在“同一个圆或等圆”中成立，若两个圆大小不同（半径不同），则直径与半径的

2倍关系不成立。

（2）计算圆环面积时，需先明确“外圆半径（R）”和"内圆半径（r）”,不能用"外圆直径减

内圆直径”再算半径。

（3）扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。

重难点题型讲解

考点01：圆的概念及特点

【典型例题】如图，一只蚂蚁从“0”点出发，沿着半圆的边缘爬了一周，又回至f'0"点。下面

可以反映蚂蚁与"O”点距离变化的是（）0

【变式训练】用圆规在一个长8cm,宽5cm的长方形纸上画一个尽可能大的圆，圆规两脚间

的距离应是（）o

A.8cmB.4cmC.5cmD.2.5cm

考点02：圆的圆长

【典型例题】如图，圆上A点从3厘米处滚动一周后，到达直尺的（）。

C.9〜10厘米之间

【变式训练】一个圆柱形“武夷岩茶大红袍”茶叶罐的侧面展开后是一个正方形，要给这个茶

叶罐的上底面也做个标签，画圆的时候圆规两脚间的距离应该是下面的（）点。

12

考点03：半圆的圆长

【典型例题】一个靠墙的半圆形的养鸭场（如右图），靠墙的直径长8米，如果其他部分围成

篱笆，篱笆有多长？

【变式训练】把一个直径是2厘米的圆形纸片剪成两个半圆后，每个半圆形纸片的圆长是

()厘米。

考点04：圆的圆长的应用

【典型例题】淘气和笑笑练习竞走，淘气沿长为10米，宽为5米的长方形花坛走：笑笑沿直

径为9米的圆形花坛走。他们的速度相同，谁先走完一周？

【变式训练】广西梧州出产的砧板非常有名。工匠们通常会给砧板边缘箍上一圈铁条，再预

留20厘米的铁条长度用来做提手。如图这块砧板半径是12厘米，给它箍圈和做提手，需要

的铁条至少是多少厘米？

考点05：圆的面积

【典型例题】从一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸上剪一个最小的圆，这个圆的面积是

()平方厘米。

【变式训练】甲、乙两个网的半径比是3:1,则它们的面积比是（）。

A.3：1B.9：1C.兀：1D.9n

考点06：圆的面积的应用

【典型例题】一个自动旋转喷灌装置的射程是8米，人民公园的草地上有20个这年的喷灌装

置（喷灌面积不重叠），请计算：至少可以喷灌草地多少平方米？

【变式训练】爷爷要给水缸做一个盖子，为了确保密封性且防止盖子掉入水缸内，盖子的直

径比水缸的直径大5厘米，爷爷用绳子量了量缸口圆长是23.35分米，做一个这样的盖子至

少需要多少平方分米的木板？

考点07：求最小面积

【典型例题】一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子

长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？

【变式训练】在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最小的半圆，半圆的

面积是（）平方厘米。

考点08：圆环的面积

【典型例题】一个圆形花坛，外面铺了一条小路，花坛半径为4米，小路宽2米。这圈小路

的占地面积是多少平方米？

【变式训练】在殷墟的考古挖掘中，曾出土了多种玉璧，精美别致，尺寸各异。其中有一件

玉璧（如下图），这块玉璧的面积是（）cnf。

考点09：方中圆和圆中方的面积问题

【典型例题】“福''字指福气、福运，春节贴"福''字，是中国民间由来已久的风俗，寄托了人

们对■幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿。下面这幅圆形"福''字窗花中，圆的直径是20

厘米，“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是多少平方厘米？

【变式训练】如下图，爸爸买回一张桌面可元叠的大圆桌，直径是2米，元叠后成了正方

形。元叠部分的面积是（）平方米。

O

考点10：弧、圆心角、扇形的认识

【典型例题】琴琴妈妈在淘宝上买了一个二层角柜（如图），正好可以摆放在客厅的70。墙角

处，这个角柜可以放置物品的面积是多少平方厘米？

【变式训练】如图是汉代“千秋万岁''瓦当（一种古建筑构件）的简化示意图，该瓦当直径

6cm,其中阴影部分为瓦当的扇形纹饰，其半径是（）cm,圆心角是（）

。。（注：汉代瓦当常用四等分界格）

)0

真题演练

一、选择题

1.一辆行驶的小汽车前轮压碎了一个苹果，在路上留下了几个印记。苹果与第一个印记之间

的距离大约是2米，这2米表示()。

■

2米

A.小汽车的车长B.车轮的圆长

C.两车轮之间的距离D.车轮的直径

2.小林在正方形中画一个最小的圆，圆的面积是50.24平方厘米，这个正方形的边长

()厘米。

A.48B.32C.16D.8

3.在方格纸中，每个小正方形的边长都是1cm,如果要在方格纸上画一个半径是3cm的完

整圆，那么圆心的位置可以是()。

A.(5,2)B.(4,3)C.(3,2)D.(4,1)

4.下图中，点M是圆上一点,，滚动一周后，点M的位置在()之间。

.….一

|01E23A56789io]

A.3和4B.4和5C.5和6D.6和7

5.如果甲轮滚动2周的距离，乙轮要滚动3周，那么甲轮的半径与乙轮的直径比是

()o

A.9:4B.4:9C.3:2D.3:4

6.有一条62.8米的丝带，厚为0.125亳米。现把它紧密的卷起来，下面选项中()

可能是这条丝带卷成后的样子。(每圈丝带之间的缝隙忽略不计)

7.在一个长8分米，宽6分米的长方形中画一个最小的圆，圆的半径是（）分米。

A.8B.6C.4D.3

8.一个圆沿着半径切开成若干个扇形后拼成一个近似长方形，若这个长方形的圆长是33.12

厘米，则原来圆的面积是（）平方厘米。

A.50.24B.25.12C.100.48D.28.26

9.如图，把一个元叠方桌的桌面四边撑开，就成了圆桌，圆桌的半径是1米。元叠方桌和圆

桌的面积比是（）o

A.4:3.14B.3.14:4C.2：3.14D.3.14：2

10.在一张边长为a米的正方形纸上剪下四个大小相等且最小的圆，这张纸的利用率是

（）o（兀取3.14）

A.78.5%B.80%C.45%D.82%

二、填空题

11.车轮做成圆形利用的是同一圆中所有的（）都相等，车轴应该装在圆的

（）上。

12.一张圆形纸片至少元叠（）次可以找到圆心。

13.一个半圆形花坛的圆长是7.71m,这个花坛的面积是（）m2o

14.从一张边长10厘米的正方形纸片上剪下一个最小的圆，这个圆的面积是（）平

方厘米。

15.如图所示，把一个圆平均分成若干等份后，可以拼成一个近似的长方形。已知长方形的

长是6.28dm,原来这个圆的面积是（）dm2o

16.一个钟表的分针长2（）厘米，经过半小时后，分针扫过的面积是（）平方厘米。

17.如下图中阴影部分的面积占小圆面积3的占大圆面积的I;，小圆面积与大圆面积的比

JO

是（):()o

18.如图（单位：厘米），其中一个圆的圆长是（）厘米；长方形的圆长是

19,有一辆杂技自行车，前轮的半径是41分米，后轮的半径是4分米，那么当后轮转的圈

数比前轮多10圈的时候，这辆车前进了（）米。（圆周率取3.14）

20.小圆的直径是b厘米，大圆的半径是4厘米，小圆的圆长与大圆的圆长之比是

（）,大圆的面积与小圆的面积之比是（）o

21.一只高8分米的无盖圆柱铁桶，底面圆长1.57米，做这只桶需要（）平方分米

铁皮。

22.钟面的分针长4厘米，从2时到2时30分，分针转过（）。，分针拦过的面积

是（）平方厘米，针尖走过的距离是（）厘米。

2

23.一个圆的圆长是62.8m,半径增减了2m后，面积增减了（）mo

24.把一个半径3cm的圆拼成近似长方形，圆长增减（）cnio

25.“中国天眼”是一座50（）米口径（直径）球面射电望远镜，位于中国贵州省。作为世界上

最小的单口径球面射电望远镜，“中国天眼”将在未来20〜30年保持世界一流设备的地位。

（1）“中国天眼'’的球面口的圆长是（）米。

（2）如果在设计“中国天眼''时，设计图纸上的球面口径是50厘米，那么这幅设计图纸的比

例尺是（）o

26.小明周末邀请朋友来家里做客，他家圆形餐桌的直经是1.2m。如果平均一个人需要0.6m

的就餐距离，那么最多可以坐（）人（兀取3.14）。

27.如图，线段长为20厘米。一只蚂蚁从A到4沿着四个半圆爬行，蚂蚁的行程是

（）厘米。（不取3.14）

三、解答题

28.爷爷家菜地安装有一个可360。旋转的喷水龙头，原来喷射距离是6米，后来给水龙头减

压后，喷射距离增减了2米，现在浇水的面积比原来增减了多少平方米？

29.如图，一张直径为16分米的圆桌上面铺了一块直径是18分米的圆形桌布。这块桌布下

垂部分的面积是多少平方分米？

3（）.为美化校园环境，实验小学需翻新广场中央的圆形花坛，并紧贴花坛外围铺设一条宽1

米的环形地砖带。已知花坛的半径为4米，请计算铺设地砖的面积是多少平方米？（先绘制

示意图，再解答）

31.一个圆形旱冰场的圆长是94.2米，扩建后圆长增减了31.4米，扩建后旱冰场的面积增减

了多少平方米？（兀取3.14）

32.体育课上，老师组织学生在篮球场的半圆形区域进咛定点投篮练习（篮框位于半圆的圆

心处），同学们分别站在如图所示的A、B、C、D四个位置。请回答下列问题；

（1）请问同学们在A、B、C、D四个点投篮是否公平？（填写“公平”或，不公平”）

（2）图中和点的投篮距离相等，结合几何知识简要说明理由：

33.水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹，设波纹以每秒1米的速度向四周扩散，2

秒后波纹的面积是多少平方米？如果隔一秒会产生一个新的波纹并且后面的波纹以相同的速

度向四周扩散，一滴水滴入水中三秒后，产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大多少平方

米？

34.某开发区的大标语牌上要画出如下图所示的三种标点符号：句号、逗号、问号。已知大

圆半径都为R,小圆半径都为「，且R=2r。若均匀用料，画哪个标点符号油漆用得多？（作

简要说明）

o”

第六章：平面图形

专题20：圆

（10大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练）

考点导览

考点01:圆的概念及特点

考点02：圆的圆长

考点03：半圆的圆长

考点04：圆的圆长的应用

考点05：圆的面积

考点06：圆的面积的应用

考点07：求最小面积

考点08：圆环的面积

考点09：方中圆和圆中方的面积问题

考点10:弧、圆心角、扇形的认识

知识点梳理

知识点01：圆的认识

1.定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

2.圆心：圆中心的一点叫做圆心，一般用字母O表示。

3.半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。

4.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母d表示。

5.圆的特征

①圆具有对称性，圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。

②在同圆或等圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径的长度是半径长度的2倍。

d=2r,或r=1d。

知识点02：圆的圆长

-1-

I.定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的圆长，用字母C表示。

2.圆周率：圆的圆长和它直径的比值叫做圆周率，用字母兀表示，7i-3.14c它是一个无限不循

环小数。

3.圆的圆长公式：C=7rd=2E。己知圆的半径或直径，可根据公式求出圆的圆长。

4.半圆的圆长：c半圆=nr+d,或C半圆=TTr+2r。

知识点03：圆的面积

1.定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。

2.圆的面积公式的推导：把一个圆切成若干偶数等分，拼成一个长方形。拼成的长方形的长等

于圆圆长的一半，宽等于圆的半径。

卅卅卅m长方形j宽

.................I

y（=^r）长

3.圆的面积公式：S=7ir<>

知识点04：圆环

1.定义：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环。

2.计算公式：S圆环=n（R2-r2）,或S圆环=nR2-nr2。

知识点05：扇形

1.弧的定义：圆上A、B一点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。

2.扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

3.圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。

【易错点拨】

（1）d=2r仅在“同一个圆或等圆”中成立，若两个圆大小不同（半径不同），则直径与半径的

2倍关系不成立。

（2）计算圆环面积时，需先明确“外圆半径（R）”和“内圆半径（r）”，不能用“外圆直径减

内圆直径”再算半径。

（3）扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。

重难点题型讲解

-2-

考点01：圆的概念及特点

【典型例题】如图，一只蚂蚁从“0”点出发，沿着半圆的边缘爬了一周，又回至f'0"点。下面

可以反映蚂蚁与"O”点距离变化的是（）0

【答案】B

【分析［一只蚂蚁从0点出发，沿着半圆的边缘爬行，在开始时经过0至圆上这一段，蚂蚁

到0点的距离随运动地址的增减而增减；在半圆弧这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到

O点的距离不变，从圆上回到。点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动地址的增减而减小。据

此判断。

【详解】A.第一段路程随着地址的增减而增减，第二段路程不变，第三段路程随着地址的

增减而减小。不符合蚂蚁与0点距离变化的描述；

B.图中只有两段路程，反映的是蚂蚁从。点出发后，就直接原路返回，所以不不符合蚂蚁

与0点距离变化的描述。

C.图中一开始蚂蚁就处在离。比较远的距离，显然不不符合题意；

距离］

可以反映蚂蚁与“0”点距离变化的是1/—\O

0时间

【变式训练】用圆规在一个长8cm,宽5cm的长方形纸上画一个尽可能大的圆，圆规两脚间

的距离应是（）。

A.8cmB.4cmC.5cmD.2.5cm

【答案】C

【分析】长方形内画最小的圆，圆的直径等于长方形的宽；圆规两脚之间的距离等于圆的半

径，据此解答。

【详解】5］2=2.5（cm）

圆规两脚间的距离应是2.5cm。

-3-

考点02：圆的圆长

【典型例题】如图，圆上A点从3厘米处滚动一周后，到达直尺的（）。

A.6〜7厘米之间B.8〜9厘米之间C.9〜10厘米之间

【答案】A

【分析】观察图形可得，圆的直径是4—2=2厘米，圆在直尺上滚动一周，经过的长度是圆

的圆长，圆的圆长C二兀d,把数据代入计算，求得圆的圆长，再减上起点位置，就是终点的

位置。

【详解】3.14X（4-2）+3

=3.14x2+3

=6.28+3

=9.28（厘米）

到达直尺的9~10厘米之间。

【变式训练】一个圆柱形“武夷岩茶大红袍''茶叶罐的侧面展开后是一个正方形，要给这个茶

叶罐的上底面也做个标签，画圆的时候圆规两脚间的距离应该是下面的（）点。

19

【答案】B

【分析】画圆时，圆规两脚间的距离是圆的半径；根据圆的圆长C=2兀r,用圆长除以2除以

兀算出半径。右图中每份线段是I厘米，找出合适的点即可。

【详解】I8.84:2・3.l4=3（厘米）

从0到B点正是3厘米。

-4-

考点03：半圆的圆长

【典型例题】一个靠墙的半圆形的养鸭场（如右图），靠墙的直径长8米，如果其池部分围成

篱笆，篱笆有多长？

【答案】12.56米

【分析】根据题意，围篱笆的部分是半圆的弧长。已知直径的长度，根据半圆的弧长C=nd

+2解答。

【详解】3.14X8-2

=25.124-2

=12.56（米）

答：篱笆的长度为12.56米。

【变式训练】把一个直径是2座米的圆形纸片剪成两个半圆后，每个半圆形纸片的圆长是

（）厘米。

【答案】5.14

【分析】半圆的圆长=圆周率x直径+2+直径。

【详解】3.14x24-2+2

=3.14+2

=5.14（厘米）

考点04：圆的圆长的应用

【典型例题】淘气和笑笑练习竞走，淘气沿长为1（）米，宽为5米的长方形花坛走，笑笑沿直

-5-

径为9米的圆形花坛走。他们的速度相同，谁先走完一周？

【答案】笑笑

【分析】根据长方形圆长=（长+宽）x2,圆的圆长=同，分别计算出淘气和笑笑走一周的

路程。在速度相同的情况下，路程越短，所用地址越少。通过比较两者的路程大小，即可判

断谁先走完一周。

【详解】（10+5）X2

=15X2

=30（米）

3.14X9=28.26（米）

28.2600

答：笑笑先走完一周。

【变式训练】广西梧州出产的砧板非常有名。工匠们通将会给砧板边缘箍上一圈铁条，再预

留20厘米的铁条长度用来做提手。如图这块砧板半径是12厘米，给它箍圈和做提手，需要

的铁条至少是多少厘米？

【答案】95.36厘米

【分析】本题需运用圆的圆长公式C=2兀r,计算出砧板的圆长，再减上预留做提手的铁条

长度，得到所需铁条的总长度。

【详解】2X3.14X12+20

-6-

=45.36+20

=95.36（厘米）

答：需要的铁条至少是95.36厘米。

考点05：圆的面积

【典型例题】从一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸上剪一个最小的圆，这个圆的面积是

（）平方厘米。

【答案】50.24

【分析】从一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸上剪下一个最小的圆，这个最小圆的直径就

是8厘米，根据圆的面积公式：5=兀3，代入数据解答即可。

【洋解】3.14x（X：2）2

=3.14x42

=3.14x16

=50.24（平方厘米）

【变式训练】甲、乙两个圆的半径比是3：1,则它们的面积比是（）o

A.3：1B.9：1C.7t：1D.97i

【答案】B

【分析】圆的面积公式S=d,给甲、乙两个圆的半径分别设一个比是3：1的值，然后计算

各自的面积，并作比。

【详解】根据甲、乙两个圆的半径比是3：1,假设甲的半径是3,乙的半径是1,则甲的面积

=外32=9几，乙的面积=71X12=71,所以甲、乙面积比为9儿：兀=9：1。

故答案为：B

考点06：圆的面积的应用

【典型例题】一个自动旋转喷灌装置的射程是8米，人民公园的草地上有20个这洋的喷灌装

置（喷灌面积不重叠），请计算：至少可以喷灌草地多少平方米？

-7-

【答案】40答.2平方米

【分析】自动旋转喷灌装置的覆盖面积是一个以喷灌装置为圆心，射程为半径的圆，这个圆

的面积就是一个喷灌装置可以喷灌的草地面积。因为喷灌面积不重叠，用一个喷灌装置的喷

灌面积除喷灌装置的数量就是总的喷灌面积。（兀取3.14）

【详解】Swi=Trr2

=3.14x82

=3.14x64

=200.96（平方米）

200.96x20=4019.2（平方米）

答：至少可以喷灌草地4019.2平方米。

【变式训练】爷爷要给水缸做一个盖子，为了确保密封性且防止盖子掉入水缸内，盖子的直

径比水缸的直径大5厘米，爷爷用绳子量了量缸口圆长是23.35分米，做一个这样的盖子至

少需要多少平方分米的木板？

【答案】50.24平方分米

【分析】根据圆的圆长公式C=7Td可知，d=C+7l求出水缸的直径，再根据1分米=10厘米

进行单位换算，用水缸的直径减盖子的直径比水缸的直经大的长度，求出盖子的直径，再用

盖子的直径除以2,求出盖子的半径，最后根据圆的面积公式代入数求出做一个这

样的盖子需要的木板面积。

-8-

【详解】23.35+3.14=7.5（分米）

5厘米=0.5分米

7.5+0.5=8（分米）

8:2=4（分米）

3.14X42

=3.14x16

=50.24（平方分米）

答：做一个这样的盖子至少需要50.24平方分米的木板。

考点07：求最小面积

【典型例题】一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子

长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？

【答案】47.44平方米

【分析】如图:,观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为

4为圆的:的面积，那么这只羊无法吃到的草地面积=长方形的面积一：圆的面积；根据长方形

44

的面积公式S=ab,圆的面积公式S=m2,代入数据计算即可。

【详解】长方形草地的面积：

10x6=90（平方米）

能吃到草的面积（:圆的面积）：

4

-9-

3.14X42X-

4

=3.14x16x1

4

=3.14x4

=12.56（平方米）

无法吃到的草地面积：

90—12.56=47.44（平方米）

答：这只羊无法吃到的草地面积是47.44平方米。

【变式训练】在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最小的半圆，半圆的

面积是（）平方厘米。

【答案】25.12

【分析】在长方形里面想要画的最小的半圆，由半圆面积=『"是半圆的半径）可以得知

半经越大面积越大，而当半圆的半径等于长方形的宽时，半圆的面积最小。注意：这时半圆

的直径是在长方形的长上面的，半圆的直径要小于等于长方形的长才可以。已知长是8厘

米、面积为32平方厘米，则这个长方形的宽=长方形的面积;长，则可以求出长方形的宽，

则根据半圆的面积公式可以求半圆的面积。

【详解】长方形的宽：32-8=4（厘米）

半圆的直径：4x2=8（厘米）

则半圆的直径=长方形的长，则长方形的宽是半圆的半经。

半圆的面积:3.14x42-r2

=3.14x164-2

=25.12（平方厘米）

考点08：圆环的面积

【典型例题】一个圆形花坛，外面铺了一条小路，花坛半径为4米，小路宽2米。这圈小路

的占地面积是多少平方米？

-10-

【答案】62.8平方米

【分析】小路的占地面积即为环形面积，等于外圆面积减去内圆面积。已知花坛半径为内圆

半经，小路宽度已知，二者相减可得外圆半径。根据环形面积公式&二江（正-/），代入数据计

算即可。

【详解】外圆半径:4+2=6（米）

3.14x（62-42）

=3.14x（36-16）

=3.14x20

=62.8（平方米）

答：这圈小路的占地面积是62.8平方米。

【变式训练】在殷墟的考古挖掘中，曾出土了多种玉璧，精美别致，尺寸各异。其中有一件

玉璧（如下图），这块玉璧的面积是（）口婚。

【答案】50.94

【分析】看图可知，这块玉璧的形状是圆环。圆环的面积=兀（R2—r2）。据此解答,

【详解】根据分析可列式：

3.14x（52-22）

=3.14x（25-4）

=3.14x21

=50.94（cm2）

考点0%方中圆和圆中方的面积问题

-11-

【典型例题】“福”字指福气、福运，春节贴"福''字，是中国民间由来已久的风俗，寄托了人

们对幸福生活的向往，也是木美好未来的祝愿。下面这幅圆形“福”字窗花中，圆的直径是20

厘米，“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是多少平方厘米？

【答案】114平方厘米

【分析】圆的直径20厘米，半径就是10厘米，先根据圆的面积公式计算圆的面积。

正方形的对角线等于圆的直径20厘米，把正方形看成2个完全相同的三角形，每个三角形的

底是20厘米，高是10厘米，用“S=[aDx2”算出正方形面积。

最后用“用圆的面积一正方形的面积”据此可解答。

【详解】r=2（H2=l（）（厘米）

3.14X102=3.14X100=314（平方厘米）

20x104-2x2

=200:2x2

=100x2

=200（平方厘米）

314-200=114（平方厘米）

答：“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是114平方厘米。

【变式训练】如下图，爸爸买回一张桌面可元叠的大圆桌，直径是2米，元叠后成了正方

形。元叠部分的面积是（）平方米。

-12-

o

【答案】1.14

【分析】大圆桌的正方形部分四个顶点都在圆」.，则正方形对角线就是圆的直径长2米；从

这条对角线上作高即为对角线的一半为1米，此时根据构成三角形面积=底、高"，正方形

由两个三角形组成，即三角形的面积除2得到正方形面积；圆面积减去正方形面积，即为元

叠部分的面积。

【详解】3.14x（24-2）2-2xl-?2x2

=3.14x1—2

=3.14-2

=1.14（平方米）

元叠部分的面积是L14平方米。

考点10：弧、圆心角、扇形的认识

【典型例题】琴琴妈妈在淘宝上买了一个三层角柜（如图），正好可以摆放在客厅的70。墙角

处，这个角柜可以放置物品的面积是多少平方厘米？

【答案】942平方厘米

【分析】每个扇形的圆心角都是70。，那么每个这样的扇形的面积相当于半径是20厘米的圆

面积的四分之一，根据圆的面积公式：S=nr2,求出圆的面积再除以4即可计算出一层的面

-13-

积，再除3即可。

【洋解】3.14x202:4x3

=3.14x400:4x3

=1256;4x3

=314x3

=942（平方厘米）

答：这个角柜可以放置物品的面积是942平方厘米。

【变式训练】如图是汉代“千秋万罗'瓦当（一种古建筑构件）的简化示意图，该瓦当直径

6cm,其中阴影部分为瓦当的扇形纹饰，其半径是（）cm,圆心角是（）

。。（注：汉代瓦当常用四等分界格）

•0

【答案】370

【分析】先根据瓦当的直径，用直径除以2求出扇形的半径；再结合题目里”四等分界格”的

说明，把整个圆的470。平均分成4份，用除法求出阴影扇形对应的圆心角。

【详解】半径：6+2=3（cm）

圆心角：470。=4=70。

真题演练

一、选择题

I.一辆行驶的小汽车前轮压碎了一个苹果，在路上留下了几个印记。苹果与第一个印记之间

的距离大约是2米，这2米表示（）。

2米

-14-

A.小汽车的车长B.车轮的圆长

C.两车轮之间的距离D.车轮的直径

【答案】B

【分析】当车轮转动一周，碾碎苹果的部分就会留下第一个印记，由此进行判断。

【洋解】当车轮转动一周，碾碎苹果的部分就会留下第一个印记，所以这2米表示车轮转动

一圈的长度，即圆的圆长。

故答案为：B

2.小林在正方形中画一个最小的圆，圆的面积是50.24平方厘米，这个正方形的边长

()厘米。

A.48B.32C.16D.8

【答案】C

【分析】在正方形中画一个最小的圆，则这个圆的直径等于这个正方形的边长，根据圆的面

积公式：S=用50.24平方厘米除以3.14计算出产的值，进而求出半径和正方形的边长

即可。

【详解】50.24+3.14=16(平方厘米)

因为4x4=16,所以圆的半径是4厘米

4x2=8(厘米)，则圆的直径也就是这个正方形的边长是8厘米。

故答案为：D

3.在方格纸中，每个小正方形的边长都是1cm,如果要在方格纸上画一个半径是3cm的完

整圆，那么圆心的位置可以是()o

A.(5,2)B.(4,3)C.(3,2)D.(4,1)

【答案】B

【分析】根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数。根

据半径的定义可知，圆心所在位置的列数与行数至少都是3。

-15-

【详解】国为圆心所在位置的列数与行数至少都是3,所以圆心的位置可以是（4,3）。

故答案为：B

4.下图中，点M是圆上一点，滚动一周后，点M的位置在（）之间。

A.3和4B.4和5C.5和6D.6和7

【答案】C

【分析】圆滚动一周走过的长度即为圆的圆长，由图可知圆的半径为1厘米，根据圆的圆长

=2仃求出圆的圆长，再根据圆的圆长确定M点的位置，据此解答。

【详解】2x3.14x1

=6.28x1

=6.28（厘米）

6<6.28<7,所以点M的位置在6和7之间。

故答案为：D

5.如果甲轮滚动2周的距离，乙轮要滚动3周，那么甲轮的半径与乙轮的直径比是

（）o

A.9:4B.4:9C.3:2D.3:4

【答案】C

【分析】设甲轮的半径为a,乙轮的直径为b；根据圆的圆长公式：圆长=2兀r=7id,分别求

出甲轮的圆长是27m和乙轮的圆长是兀b；又因为甲轮滚动2周的距离等于乙轮要滚动3周；

列出等式，即2x23=3*杜，再根据比例的基本性质：两个内项之积等于两个外项之积，求

出甲轮的半径与乙轮的直径比，据此解答。

【详解】设甲轮的半径为a,乙轮的直径为b,则有：

2><27ca=3x；rb

所以4a=3b,a：b=3：4

-16-

甲轮的半径与乙轮的直径比是3:4。

故答案为：D

6.有一条62.8米的丝带，厚为0.125亳米。现把它紧密的卷起来，下而选项中（）

可能是这条丝带卷成后的样子。（每圈丝带之间的缝隙忽略不计）

【答案】B

【分析】有厚度的丝带的侧面可以抽象为长方形的面积，则需要计算图中的侧面圆环的面积

=大圆形面积一小圆形面积，比较与长方形面积即可。

【详解】62.8米=6280厘米=62800毫米；62800x0.125=7850（平方亳米）

A.侧面圆环的面积=4x05+2『-4x（5+2）~

=^X（7.52-2.52）

=50^

n157（平方厘米）

157平方厘米=15700平方亳米＞7850平方亳米，不不符合题意；

B.侧面圆面积=乃x（10+2）-=%x5?=25%p78.5（平方厘米）；

78.5平方厘米=7850平方亳米，不符合题意；

C.侧面圆环的面积=万乂。0+?）2-万X（IO+?）2

=^x（100-25）

二75兀

之235.5（平方厘米）

235.5平方厘米=23550平方亳米＞7850平方毫米，不不符合题意；

D.侧面圆环的面积=/rx（16：2）'万x（6：2）~

-17-

=^X（82-32）

=55乃

=172.7（平方厘米）

172.7平方厘米=17270平方毫米＞7850平方毫米，不不符合题意；

故答案为：B

7.在一个长8分米，宽6分米的长方形中画一个最小的圆，圆的半径是（）分米。

A.8B.6C.4D.3

【答案】C

【分析】当圆的直径等于长方形的宽6分米时，此时圆最小，否则，圆就会超出长方形的边

界，半径=直径:2。

8分米

【详解】6-2=3（分米）

所以一个长8分米，宽6分米的长方形中画一个最小的圆，圆的半径是3分米。

故答案为：D

8.一个圆沿着半径切开成若干个扇形后拼成一个近似长方形，若这个长方形的圆长是33.12

厘米，则原来圆的面积是（）平方厘米。

A.50.24B.25.12C.100.48D.28.26

【答案】B

【分析】把一个圆沿半径切成若干个扇形后拼成一个近似长方形，这个长方形的长近似于圆

圆长的一半，即兀r,长方形的宽近似于圆的半径r；根据“长方形圆长=（长+宽）x2”得（口

+r）x2=33.12,其中兀r+r=（兀+1）r=（3.14+1）r=4.14r,所以用长方形圆长除以2,

再除以4.14可计算出圆的半径；最后根据圆的面积公式“S=M，，计算出圆的面积。

-18-

【详解】由分析可知：3.14+1=4.14

圆的半径为：

33.12:2:4.14

=16.56-4.14

=4（厘米）

3.14x42

=3.14x16

=50.24（平方厘米）

所以原来圆的面积是50.24平方厘米。

故答案为：A

9.如图，把一个元叠方桌的桌面四边撑开，就成了圆桌，圆桌的半径是I米0元叠方桌和圆

桌的面积比是（）0

A.4:3.14B.3.14:4C.2：3.14D.3.14：2

【答案】A

【分析】圆桌面的面积可以用圆的面积公式S=m2求出，连接正方形的对角线，两条对角线

将正方形分成4个小三角形，它们的底和高都是1,据此可算出正方形的面积；写出比即

可。

【详解】圆桌面的面积为:3.14x12=3.14（平方米）

方桌面的面积为：

4x（1x1+2）

=4x0.5

=2（平方米）

所以元叠方桌和圆桌的面积比是2314。

故答案为：C

-19-

10.在一张边长为a米的正方形纸上剪下四个大小相等且最小的圆，这张纸的利用率是

（）。（九取3.14）

A.78.5%B.80%C.45%D.82%

【答案】B

【分析】已知正方形边长为a米，根据“正方形面积=边长x边长”计算出正方形面积；要在正

方形纸上剪下四个大小相等且最小的圆，那么圆的直径应为正方形边长的一半，即圆的直径

为g米，所以圆的半径为直径的一半，即米，根据圆的面积公式“S=TI产”计算出一个

圆的面积，因为有四个这样的圆，所以用一个圆的面积再除4计算出四个圆的面积；最后根

据，，利用率=使用的面积.总面积xioo%”，这里使用面积就是四个圆的面积，总面积就是正方

形的面积，计算出这张纸的利用率。

【详解】axa=a2（平方米）

a4-24-2

一厂2

a1

=-x-

22

=”米）

4

3.14x（£）2x4

4

=3.14x—x4

16

=3.14x—

4

3.14,

=­a-

=0.765a2

0.765a2^a2xl00%

=0.7654.1x100%

=0.765x100%

=78.5%

所以这张纸的利用率是78.5%。

故答案为：A

-20-

二、填空题

11.车轮做成圆形利用的是同一圆中所有的（）都相等，车轴应该装在圆的

（）上。

【答案】半径圆心

【分析】本题考查圆的性质在实际生活中的应用。车轮做成圆形是囚为同•圆中所有半径都

相等，这样车轮滚动时车轴到地面的距离始终不变，从而保证行驶平稳。车轴需要装在圆的

圆心处，因为圆心是圆的中心点，所有半径都从圆心出发，确保车轮滚动时车轴位置固定。

【详解】车轮做成圆形利用的是同一圆中所有的（半径）都相等，车轴应该装在圆的（圆

心）上。

12.一张圆形纸片至少元叠（）次可以找到圆心。

【答案】2

【详解】圆形纸片的形状是轴对称图形，每条直径都经过圆心。对元一次可以得到一条直

径，但无法确定圆心的具体位置；对元两次得到两条直经，两条直径的交点即为圆心。则一

张圆形纸片至少元叠2次可以找到圆心。

13.一个半圆形花坛的圆长是7.71m,这个花坛的面积是（）m2o

【答案】3.5325

【分析】半圆形花坛的圆长二;半圆圆长+直径长，据此可求半径r,再借助半圆面积等于;a?

即可求得。

【详解】一个半圆形花坛的圆长是7.71m,

设该半圆形半径为r,

-x2^-r+2r=7.71

2

3.14r+2r=7.71

5.1"=7.71

r=7.71^-5.14

-21-

r=1.5

222

1^r=ix3.14x1.5=1.57x2.25=3.5325（,n）

22

这个花坛的面积是3.5325m2o

14.从一张边长10厘米的正方形纸片上剪下一个最小的圆，这个圆的面积是（）平

方匣米。

【答案】78.5

【分析】由题意可知：这个最小圆的直径应该等于正方形的边长，正方形的边长已知，于是

利用圆的面积公式即可求解。

【详解】3.14x（10+2『

=3.14x5?

=3.14x25

=78.5（平方厘米）

15.如图所示，把一个圆平均分成若干等份后，可以拼成一个近似的长方形。己知长方形的

长是6.28dm,原来这个圆的面积是（）dm2o

6.28dm

【答案】12.56

【分析】由题意可知，长方形的长等于原来圆的圆长的一半，所以圆的圆长=长方形的长

x2,根据圆的圆长C=2b,推出r=C+2兀，进而根据圆的面积5=兀冷求出圆的面积，据此

解答。

【详解】圆的圆长:6.28x2=12.56（dm）

圆的半径：12.56:3.14:2

=4+2

=2(dm)

-22-

圆的面积：3.14x22

=3.14x4

=12.56（dm2）

原来这个圆的面积是12.56dm2。

16.一个钟表的分针长20厘米，经过半小时后，分针扫过的面积是（）平方厘米。

【答案】628

【分析】分针转动一周是一小时，它扫过的区域是一个圆，那么经过半小时就是转了半圈，

扫过的区域就是一个半圆，分针的长度是圆的半径，圆的面积公式：S="2,先求出整个圆

的面积，再除以2就是半个圆的面积。

【详解】3.14x202

=3.14x400

=1256（平方厘米）

1256:2=628（平方厘米）

即：经过半小时后，分针扫过的面积是628平方厘米。

31

17.如下图中阴影部分的面积占小圆面积的彳，占人圆面积的工，小圆面积与人圆面积的比

□O

是（）：（）o

【答案】518

【分析】设阴影部分面积为I,根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法“，用

阴影部分面积除以它占小圆面积的分率，可求出小圆面积为1・：；同理，用阴影部分面积除

以它占大圆面积的分率，可求出大圆面积为最后用小圆面积:大圆面积，化成最简整数

O

-23-

比即可。

【详解】设阴影部分面积为1;

=lxi

=5

~3

,4

=1x6

=6

小圆面积:大圆面积

5久

中

=（1x3）：（6x3）

=5:18

小圆面积与大圆面积的比是5：18。

18.如图（单位：厘米），其中一个圆的圆长是（）厘米；长方形的圆长是

（）厘米。

【答案】9.4221

【分析】由图可知，圆的半径为L5厘米，根据圆的圆长公式C=27ir即可求出圆的圆长；

观察发现长方形的长相当丁5个半径的长，即1.5x5=75厘米、宽相当丁2个半径的长，即

1.5x2=3厘米，再根据“长方形圆长=（长+宽）x2”即可计算出长方形的圆长。

【详解】2x3.14x1.5

=6.28x1.5

=9.42（厘米）

1.5x5=7.5（厘米）

-24-

1.5x2=3（厘米）

（7.5+3）x2

=10.5x2

=21（厘米）

所以一个圆的圆长是9.42厘米，长方形的圆长是21厘米。

19.有一辆杂技自行车，前轮的半径是41分米，后轮的半径是3；分米，那么当后轮转的圈

数比前轮多10圈的时候，这辆车前进了（）米。（圆周率取3.14）

【答案】113.04

【分析】根据题意可知，前轮向前行走多少米，后轮也向前行走相同的米数.也就是行驶的

路程•定，即车轮的圆长与转的圈数的积一定，所以车轮的圆长与转的圈数成反比例。设后

轮行走x圈，则前轮走x—10圈。根据圆圆长公式C=7Td列出方程为

2x3.14x4—x(x-10)=2x3.14x3-x，然后解方程即可。

113

【详解】解：设后轮行走X圈，则前轮走X—10圈。

2x3.14x4—x(x-10)=2x3.14x3-%

113

4—x(x-IO)=2x3.14x3-x^(2x3.I4)

II3

II113

“IJ450

4—x=3-x+

II37F

450

4—x-3-x=

II37F

-2-5X=-4-5-0-

n11

45025

x=-----；---

1133

45033

---x——

1125

x=54

2x3.14x3-x54

3

-25-

=6.28x3-x54

3

=339.12x—

3

=1130.4(分米)

1130.4分米=