导数的综合应用大题专项训练【七大题型】-人教A版高中数学选择性必修第二册（原卷版）

专题5.5导数的综合应用大题专项训练【七大题型】

【人教A版(2019)]

姓名：班级：考号：

题型一利用导数研究函数的极值

1.(2024・广东•模拟预测)已知函数f(x)=%3+/°一3)/一收+4.

(1)当a=6时,求/(口的极值；

(2)i寸论/(%)的单调性.

2.(24-25高三上•广东广州•阶段练习)已知函数/'a)=%a—c)2,xeR,。是常数.

⑴若f(x)在||,+8)存在单调递减区间，求c的取值范围.

(2)若函数y=/(%)在x=2处有极大值，求c的值.

3.(24-25高三上•江苏南通•阶段练习)已知函数/(x)="2-伍+i)x+a\nx,

(1)讨论/(工)的单调性；

(2)若函数/(%)有极小值，且极小值大于(1-Te2)a，求实数。的取值范围.

4.(24-25高二上•全国•课后作业)已知函数/(%)=眇+。(％+4).

(1)当。=-2时，求函数/(%)的极值；

(2)讨论/(%)的单调性.

5.(24-25高三上•山西忻州•阶段练习)已知函数/(幻=x\n(x+Q).

(I)当Q=0时，求/(幻的极值；

(2)若"%)存在两个极值点%<%2),

(i)求Q的取值范围；

(ii)证明：一*<0.

题型二利用导致研究函数的最值

6.(24-25高三上•广西•阶段练习)已知函数/(%)=Q%—；+lnx.

(1)讨论/(%)的单调性;

(2)若/(x)存在最大值，且最大值小于0,求a的取值范围.

7.(24-25高三上•河南•阶段练习)己知函数g(x)=x3+2mx2-mx4-九的图象在点(-l,g(-1))处的切线

与直线为+8y—2=0垂直.

(1)求771的值；

⑵已知g(x)在区间［-1,2］上的最小值为-5,求g(x)在区间上的最大值.

8.(24-25高三上•广东揭阳•阶段练习)已知函数/(幻=13-4%+4.

⑴求函数/(X)在点(3,/(3))处的切线方程；

(2)求函数/(%)在［0,3］上的最大值与最小值.

9.(24-25高二上•全国•课后作业)已知函数/(%)=er+ax,g(x)=］nx+?

(1)当Q=e时,证明；fW>0;

(2)若函数f(%)和g(x)有相同的最小值，求a.

10.(24-25高三上•辽宁大连•阶段练习)已知函数/(幻=1+x-2sinx(%>0),g(x)=x—sinx(%>0).

⑴求g(x)的最小值；

⑵求/"(%)的最小值;

(3)证明:fW>e-2x.

题型三弋导数中的函数零点(方程根)问题

11.(24-25高三上•湖南邵阳•阶段练习)已知函数/(幻=铲一。(％+2),

⑴若a=1,求/(%)在点(0,/(0))处的切线方程.

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

12.(23-24高二下•四川遂宁•阶段练习)已知函数八切=x3+lax2+bx+a-1在许-1处取得极值0,

其中a,beR.

(1)求的值；

(2)当“£［-1,2］时，方程/G)=k有两个不等实数根，求实数2的取值范围.

13.(24-25高三上•全国•阶段练习)已知函数/(%)=?一Qlnx+1,QER

(1)当a=1时，求/(%)在卜e］上的最大值；

(2)求/(%)的零点个数.

14.(24-25高三上•四川成都•阶段练习)己知函数/("=詈，其中e为自然对数的底数.

(1)当a=1时，求外口的单调区间；

(2)若方程/(幻=1有两个不同的根勺,%2・

(i)求Q的取值范围；

(ii)证明：Xi+xf>2.

15.(24-25高三上•湖南长沙•阶段练习)已知函数/⑺=x(ex-a),aGR.

(1)当a=1时，求f(%)的极值;

(2)若函数g(x)=/(x)-alnx有2个不同的零点小，x2.

(i)求a的取值范围；

⑺证明袅

题型四1利用导数证明不等式

16.(24-25高三上•北京•阶段练习)已知函数f(x)=l+a(x-l)-lnx.

(1)若a=2,求曲线y=/(外在点处的切线方程；

(2)求函数八幻的单调区间；

(3)若a<2,证明：当时，fW<ex-\

17.(24-25高二上•全国•课后作业)已知函数/(x)=cos2x+ln(x+1).

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)证明：/(x)<ex+cosx-1.

18.(24-25高三上•云南•阶段练习)已知函数f(x)=e"+QX+a.

⑴若/•(%)为增函数，求a的取值范围；

(2)若/(%)有两个极值点%i，%2,证明:x1+x2<0.

19.(2024.四川•一模)已知函数八幻=x\nx-ax2+1.

(1)若/(幻在(0,+8)上单调递减，求Q的取值范围；

(2)若Q<o,证明：/(X)>0.

20.(24-25高二上•四川•开学考试)己知函数/"(x)=lnA；-;c+a.

(1)若a=0,求曲线y=/(外在％=1处的切线方程；

(2)若x>0时/(%)V0,求Q的取值范围;

(3)若0VQW1,证明：当XN1时，fW+%<(%-Dex-a4-1.

题型五导数中的不等式恒成立、存在性问题

21.(23-24高三下•山东济宁•开学考试)已知函数/(%)=铲7-矶%—1)+考%,aeR

⑴设g(x)=/'(%)，求g3)的极小值；

(2)对于任意的口,+8),都有/<(幻N1,求Q的取值范围.

22.(24-25高三上•辽宁大连•期中)已知函数/(%)=x2+alnx—(a4-2)x,g(x)=xlnx-x-a4-1,aeR.

(1)讨论f(%)的单调性；

(2)7f/(x)+1>g(x)+alnx对任意x>1恒成立，求实数a的取值范闱.

23.(24-25高三上.宁夏石嘴山.期中)己知函数/•(8)-\nx,g(x)一三一1其中a为常数.

(1)求/(外在％=e处的切线方程；

(2)若mxG(0,+co),使/(%)<g(x)成立，求Q的最小值.

24.(24-25高三上•全国•阶段练习)已知函数f(x)=2k;d-41nx,9a)=ln£,其中xE(0,e],k>0.

K-

⑴若y=f(x)+会在x=1处取得极值，求k的值；

(2)讨论函数/(幻的单调性:

(3)若对任意%i，%26(。同，当々>1时，不等式f(%i)>g(%2)+4恒成立,求k的取值范围.

25.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/'(X)=^ax2-(2a+l)x+21nx(a>0)

(1)求的单调区间;

(2)设g(x)=x2-2x,若对任意与G(0,2],均存在外6(0,2],使得/(无。<。(不)，求实数Q的取值范围.

题型六k利用导数研究双变量问题

26.(23-24高二下.天津•期末)已知函数/(X)=(x+cz)lnx,aeR,g(x)为/(%)的导函数，已知曲线y=/(%)

在x=1处的切线的斜率为3.

(1)求a的值；

(2)证明：当％>1时，fa)—g(x)>2x—：—3；

(3)若对任意两个正实数％1，%2，且占*%2，有g('l)=g(%2)，求证：Xr+x2>4.

27.(2024・河南商丘•模拟预测)已知函数f(%)的定义域为(0,+8),其导函数/(%)=2%+：-2。3€

H)J(1)=1-2a.

(1)求曲线y=/(外在点(1J(l))处的切线，的方程，并判断!是否经过一个定点；

(2)若三看,不，满足0<无1<%2，且:(%1)=/(%2)=0,求2/(々)一/(工2)的取值范围.

28.(24-25高三上•四川绵阳•阶段练习)已知/(%)=-：e2x+4eX-a%-5.

(1)当a=3时,求/(%)的单调递增区间;

(2)若/(%)有两个极值点打,x2.

(i)求Q的取值范围；

(ii)证明：f(%D+/(x2)++%2V

29.(2024•河南•二模)已知函数/■(幻=Jm/+(7?i-l)%-ln%(m€R),gW=x2-^+l.

，/e

(1)讨论/(%)的单调性：

(2)当机＞0时,若对于任意的/e(0,+8),总存在必w[1,+8),使得/(%i)＞。(0)，求m的取值范围.

3().(2024高三•全国.专题练习)已知函数/(%)=ex-ax(e是自然对数的底数).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若g(x)=ex(x-1)-alnx+/(%)有两个零点分别为右,工2・

①求实数。的取值范围；

②求证：无1小＞靠？

题型七1利用导数解决实际问题

31.(24-25高三上•北京•阶段练习)现有一张长为40cm,宽为30cm的长方形铁皮力BCD,准备用它做成一

只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图，在长方形4BCD的一个角剪下一

块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设长方体的底面边长为xcm,高

为ycm,体积为Mem?).

(1)求出％与y的关系式；

(2)求该铁皮盒体枳V的最大值.

32.（24-25高三上•广东深圳•阶段练习）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千

件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装》千件并全部销售完，销售收入为RQ）万元，且R（x）=

(10.8-^X2)X,0<X<10

108-^,x>10

（注：年利润二年销售收入-年总成本）

（1）写出年利润W（万元）关于年产量工（千件）的函数解析式;

（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

33.（23-24高三.江苏苏州.假期作业）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，48=20米，广场的一角是

半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排

休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段八。上，并且与曲线CE相

切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放.已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧

形椅的造价每米为〃元，记锐角4NBE=。，总造价为W元.

（I）试将W表示为。的函数必（8）,并写出cosd的取值范围;

（2）问当AM的长为多少时，能使总造价W最小.

34.（23-24高二下•全国•课堂例题）如图（1）,一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截