高中数学人教A版必修五模块检测

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（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1.在△A8C中，角A,B,。所对的边分别为〃，b,c.若c=4,〃=4/，A=45°,

则sinC等于（）

啦

A.eqB.eqB.、-

C.|D半

正

c।pA01

解析由正弦定理得sinC=c・*=4X京=*.

答案A

2.函数尸#的定义域为（）

A.(-4,-I)B.(-4,1)

C.(-l,1)D.(—1,U

x4-1>0,

解析由题o,=>—I<x<l.

T-3x+4〉()

答案C

卷=4,则鹤的值为（）

3.已知等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，若S=l,

0234

A.yB4

wD.4

解析设公差为",则S4=4m+6d,S2=2ai+d,结合S4=4S得d=2,

,S69

••§4=16,Ss=36,=

答案C

4.已知在△ABC中,sinA：sinB：sinC=3：2：4,那么cosC的值为(

A」;B.1

2

a-

3

设a=3k,b=2k,c=4k,

c2（3k）2+（2k）2—（4A）2i

・・cosC=—赤一=2・3攵・2火=一疝

答案A

5.己知等差数列｛m｝的前〃项和为18,若S3=l,z+z」+。〃-2=3,则〃等于（）

A.9B.21

C.27D.36

解析S3+4〃+Cln-1+Cin-2=4=3（。1+Cln）,

.._4

••41十4〃一3,

n（ai+〃〃）\3/

又S〃=-----------------=亍=18,

AH=27.

答案C

产0,

6.已知点P（x,），）满足条件Jy这羽则z=x—3y的最小值为（）

〔法+），一9这0,

A.9B.-6

C.-9D.6

解析作出可行域如图所示的阴影部分.

17

由目标函数z=x—3y得：y=3x~39

二一各直线在y轴上的截距.

・•・平移直线/o：y=1x,当直线经过点A时，z取得最小值.

X—y=(),|A=3,

•・1；Al，A(3,3).

⑵+>—9=(),lv=3,

/.Zmin=3—3X3=-6.

答案B

7.如图，一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛8,又从8沿北

偏东10°的方向行驶10海里至海岛C,若此轮船从A点直接沿直线行驶至每岛

C,则此船沿方向行驶海里至海岛C()

A.北偏东60°；10^2

B.北偏东40。：l(h/3

C.北偏东30°；1即

D.北偏东20°；\0\[2

解析由已知得在△ABC中,Z4BC=180°-70°+10°=120°,

AB=BC=\0,故NBAC=30°,

所以从A到。的航向为北偏东70°-30°=40°,

由余弦定理得AC2=AB2-hBC2-2AB^CcosZABC=102-h102-2X10Xiof-1

=300,

所以AC=1O4.

答案B

'3x+2y—6W0,

8.设x,y满足约束条件则z=x—y的取值范围是()

)20，

A.[-3,01BJ-3,2]

C.[0,2]D.[0,3]

解析画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意

义可得函数在点A(0,3)处取得最小值z=0—3=—3,在点8(2,0)处取得最大

值z=2—0=2.

答案B

9.当心>0时，不等式f一〃比+9>0恒成立，则实数的取值范围是()

A.(—8,6)B.(—8,6]

C.[6,+8)D.(6,+s)

解析由题意得：当x>0时,〃irVf+9,即〃恒成立.又有x+?22\x•?

人JL\r-V

9

=6,当且仅当即x=3时，等号成立.则实数〃?的取值范围是(一8,6).

答案A

[2x—y+220,

10.设x,y满足约束条件<8x一厂4W0,若目标函数z=4/?x+y(4,/?>0)的最大

、％20,y20,

值为8,则的最小值为()

A.2B.4

C.6D.8

解析原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z=abx^ry｛a>

0,[?>())过直线2x-y+2=()与直线81一)，-4=()的交点(1,4)时，目标函数z

=abx-\-y(a>0,/?>0)取得最大值8,即8=而+4,即加?=4,所以

=4,当且仅当。=6=2时，等号成立.所以〃+〃的最小值为4.

答案B

11.等差数列｛m｝满足滔+齿+2“4a7=9,则其前10项之和为()

A.-9B.-15

C.15D.±15

解析屈+帚+2〃447=(44+47)2=9,

.,・。4+。7=±3,'»a\4-<zio=±3,

-10(tzi+tzio)_

••Sio==±15.

答案D

12.在各项均为正数的等比数列｛〃〃｝中，公比q&(0,1).若43+45=5,az•06=4,

d=1唯加数列｛d｝的前〃项和为S〃，则当%萍…+小取最大值时，〃的值

为()

A.8B.9

C.8或9D.17

解析:42•46=43・45=4,且〃3+。5=5,

，43,45是方程X2—5才+4=0的两个根.

又・・•等比数列｛〃〃｝各项均为正数且9£(0,1),

•.43=4,45=1.

(］平_3/n/7-5

4-12)，-**bn=\o^ian=5—n.

.(9—77)-n.Sn9—7?

••29•■〃2■

北=辛+券t—卜W(-〃2+i7〃)

1(⑺2289

・•・当〃=8或9时，〃取得最大值.

答案C

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13.在△A8C中，a,Ac分别是角A,B,。的对边，已知〃，b,c成等比数歹U,

且〃2—，=碇一儿，则武方的值为.

解析•・・〃，b,c成等比数列，・・・尼=如

X,•(r-cr=bc-ac,*.b2+c2—a1=bc.

A2+02-be

在aABC中，由余弦定理得cosA=—不一

2bc

=z».\A=60。.

由正弦定理得就T品，噂

・一2〃c2r-

答案芈

14.若关于x的不等式x2—ov—aW—3有解，则实数a的取值范围为

解析由题意知，只需y=f—依一。的最小值不大于一3即可.

解得6或〃22.

答案(一8,-6]U[2,+8)

,

15.已知数列｛〃”｝满足：m=l,ylan+\—\[cbl=I,则使afl<25成立的n的最大值

为.

解析易知｛砺｝为等差数列，

首项为gi=l,公差为1,

•\y[a^i=1+(〃一1)=/?,

•O

•.an—TV,

令/V25,/.n<5,・：〃W4.

答案4

16.已知△ABC的一个内角为120°,且三边长构成公差为4的等差数列，则8c

的面积为.

解析不妨设A=12()。，c<b,则。为最长边，故。=/?+4,c=b-4,由余弦

定理，得

cr=b1-\-c1—2/?ccosA,即

S+4)2=〃+S—4y一2伏。一4)cos120°,

化简得10力=0,

・・力=10或b=0(舍去),

••。=6,

&ABC=；〃csinA=\5\｛3.

答案15小

三、解答题(本大题共6个小题，共70分)

17.(10分)在△ABC中,内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2〃一c)cos

B=bcosC.

(1)求内角8的大小；

(2)设/n=(sinA,cos2A),〃=(4A,l)(k>1),机•〃的最大值为5,求k的值.

解(1)由正弦定理及(2。-c)cosB=bcosC,

得(2sinA-sinC)cos8=sin8cosC,

整理得2sinAcosB=sinBcosC+sinCeosB=sin(B+C)=sinA,

因为AW(0,n),所以sinAWO,

故cos8=g,所以8=g.

(2)/7?7r=4^sinA+cos2A=-2sin2A+4依inA+1,

其中A£(0,明，设sin4=/,ze(O,1],则

加•〃=-2»+4"+1=一2"一攵>+1+23.

又出>1,故当，=1时，机•〃取得最大值.

由题意得一2+4k+1=5,解得女=*

18.(12分)已知数列(〃〃｝的前n项和为S〃=2"+2—4.

⑴求数列｛如｝的通项公式；

⑵设bn=Cln-10g26Zn,求数列｛仇｝的前〃项和Tn.

解(1)因为S“=2”+2—4,所以m=Si=4,

时，an=Sn—Sn-1=2w+2—4—(2,,+1—4)=2,,+1,显然m也符合该表达式.所以

4〃=2"+I.

,,+|

(2)因为b„=afl•log2«,t=(n+1)-2,

所以7；=2-22+3-234-4-24H------Fn-2n+(n+1)-2n+I,①

27；=2・23+3・24+4・25+…+〃.2〃+i+(〃+l>2〃？②

②—①得，

7；,=-2-22-23-24-------2〃+1+(〃+1>2〃+2

=—23—-------------+(〃+1)?””

=-23-23(2“一।一1)+(〃+1)・2"+2

=(/1+1)-2,,+2-23・2'门=〃・2〃+2.

19.(12分)甲乙两地生产某种产品，他们可以调出的数量分别为300吨、750吨.A,

B,C三地需要该产品数量分别为200吨，450吨，400吨，甲地运往A,B,C

三地的费用分别为6元/吨、3元/吨，5元/吨，乙地运往A,&C三地的费用分

别为5元/吨，9元/吨，6元/吨，问怎样调运，才能使总运费最小？

解设从甲到A调运工吨，从甲到3调运），吨，从甲到C调运（300—工一），）吨，

则从乙到4调运（2（）（）—X）吨，从乙到B调运（450一以吨，从乙到C调运（1（）（）+工

+），）吨，

设调运的总费用为z元，则z=6x+3），+5（300-x—y）+5（200-x）+9（450-y）+

6（100+x+y）=2x-5y+7150.

y20,

300—x—

由已知得约束条件为〈200-x^0,

450一代0,

J00+x+y^0,

（0«200,

整理得｛oW）W45O,

Lr+,W300,

画可行域并平移直线2x—5y=0可得最优解为工=0,y=300.

即从甲到B调运300吨，从乙到4调运200吨，从乙到8调运150吨，从乙到

。调运400吨，总运赛最小.

20.（12分）某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年

产量求万件与年促销费用历万元（，〃20）满足x=3一占伏为常数），如果不搞促

销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8

万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定

为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.

（1）将该产品的年利润），万元表示为年促销费用加万元的函数;

（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

解⑴由题意可知，当，〃=0时，尸1（万件），

2

所以1=3—A,所以2=2,所以工=3一一I；,

ni-r1

每件产品的销售价格为1.5X立乎（万元），

所以年利润

y=X'1.5义8+®—（8+16x+m）=4+8x-"7

•X

=4+8(3-^7[)一m=-(机+1)+29(〃z20).

(2)因为“20时，〃「:1+(机+1)22^/T^=8,

所以yW-8+29=21,当且仅当肃[=m+l,

即"2=3(万元)时，ymax=21(万元).

所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.

21.(12分)在△ABC中，A,B,2成等差数列,a,b,c分别为A,B,C的对边,

并且sinAsinC=cos2&SA4BC=4^/3,求Q,b,c.

解VA,B,C成等差数列，・・・A+C=2B,

又A+B+C=180°,・・・B=60°,

sinA•sinC=cos260°=：.①

又S"8C=4第=/csinB,.\ac=16.②

由①@，得sinA—sinC=(篇=(忐=64>

,,sinA-sinC-6-

••b=•4—8sinZ?—8sin60°