类型06 追及相遇问题的解决方法（解析版）

类型06追及相涸问题的解决方法

知识点一、追及问题的两类情况.....................................................

知识点二、相遇问题的两类情况.....................................................

题型01:实际问题中追及相遇问题.....................2

题型02:与图像结合的追及相遇问题...................4

知识点一、追及问题的两类情况

(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者送度。

(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。

知识点二、相遇问题的两类情况

(1)同向运动的两物体追及即相遇。

(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

共【典例剖析】

热点题型一实际问题中追及相遇问题

1.牢记“一个思维流程”

2.掌握“三种分析方法”

⑴分析法应用运动学公式，抓住一个条件、两个关系，列出两物体运动的时间、位移、速度

及其关系方程，再求解。

⑵极值法

设相遇时间为3根据条件列出方程，得到关于/的一元二次方程，再利用数学求极值的方法

求解。在这里，常用到配方法、判别式法、不等式法等。

(3)图象法

在同一坐标系中画出两物体的运动图象。位移图象的交点表示相遇，速度图象抓住速度相等时

的“面积”关系找位移关系。

【典例1】(2021•长春第一中学模拟)汽车A以丛=4m/s的速度向右做匀速直线运动，发现

前方相距xo=7m处、以1/=10nVs的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保

持不动，其刹车的加速度大小”=2m/s2.从此刻开始计时，求：

(1)A追上3前，4、8间的最远距离是多少？

(2)经过多长时间A恰好追上B?

解题关键——画运动示意图

汽车A和8运动的过程如图所示.

|与」

匚士卜4匚尤卜丹

y《《

jj串f___________

孙：二

L__________:〃„vM)

!m

I•2:i:iiperEiT______

：---------------------------------!------------------------------：----------------*A---；-A*—

：L——i——«；―i——：--------------------------------------J

i4JL力J

I■«|CC(JC)

【答案】(1)16m(2)8s

【解析】(1)当A、8两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即

v=vn-at=VA,解得f=3s

此时汽车A的位移XA=XAt=nm

汽车B的位移XB=vnt—\at1=2\m

乙

故最远距离Ax〃心=加+工。一用=16m.

(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间"=郎=5s

运动的位移6=芫=25m

汽车A在外时间内运动的位移XA=VAt\=20m

此时相距AA-=XR+xo—XA=12m

Ar

汽车A需再运动的时间力=午=3s

VA

故A追上B所用时间/=/1+/2=8s.

【变式2］(一题多解)在水平轨道上有两列火车A和B相距§,A车在后面做初速度为⑶、

加速度大小为2〃的匀减速直线运动，而8车同时做初速度为零、加速度为。的匀加速直线运

动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度如满足什么条件。

［解析］法一：临界法

利用位移公式、速度公式求解

对A车有SA=VO/+；X(—2a)x尸

U/尸vo+(-2a)xf

对B车有VB=at

对两车有S=SA—S3

追上时，两车不相撞的临界条件是巾=1%

联立以上各式解得加=辰

故要使两车不相撞，A车的初速度⑶应满足的条件是⑶〈晒L

法二：函数法

利用判别式求解，由法一可知SA=S+S8

即vor+gx（—2〃）乂尸=5+；々尸

整理得34户一2训+25=0

这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式△=（—2咐2_4x3ax2s<0时，，无实数解，

即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度如应满足的条件是加〈晒L

法三：图象法

利用速度一时间图象求解，先作A、8两车的速度一时间图象，其图象如图所示，设经过r时

间两车刚好不相撞，则对A车有VA=v,=vo-2at,

o

对B车有1归="=。/

以上两式联立解得

经r时间两车发生的位移大小之差，即原来两车间的距离s,它可用图中的阴影面积表示，由

图象可知s=5（）/=3o嗡=总所以要使两车不相撞,A车的初速度V0应满足的条件是vo<观^。

［答案］vo<y［6as

【变式3】（2021.安徽合肥模拟）强行超车是道路交通安全的极大隐患之一。如图是汽车超车过

程的示意图，汽车甲和货车均以36km/h的速度在路面上匀速行驶，其中甲车车身长Li=5m、

货车车身长L2=8m,货车在甲车前s=3m处。若甲车司机开始加速从货车左侧超车，加速

度大小为2m/s2。假定货车速度保持不变，不计车辆变道的时间及车辆的宽度。求：

⑴甲车完成超车至少需要多长时间；

⑵若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者相距110m,乙车速度为

54km/h。甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车能否安全

超车。

/...............、、□

■,

/...<!

【答案】⑴4s(2)不能安全超车

【解析】本题考查追及问题在交通问题中的应用。

⑴设甲车经过时间，刚好完成超车，在时间/内

甲车位移x1=

货车位移X2=P2f

根据几何关系有X\=X2-\-L\-\-LI-\-S

代入数据解得7=4s

甲车完成超车至少需要的时间为4so

(2)假设甲车能安全超车，在4s内，

甲车位移Xi=vir+^rz/2=56m

乙车位移X3=V3/=60m

由于xi+x3=116m>l10m,故甲车不能安全超车。

热点题型二、与图像结合的追及相遇问题

解题关键

⑴若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说

明两物体相遇.

(2)若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.

【典例1]2021年1月31日，河南信阳高速因路面结冰和出现团雾而造成多车追尾。如图

所示是模拟在该高速公路上的甲、乙两车刹车过程中的回图象，甲车在后，乙车在前。若两

车发生追尾，则以下判断正确的是()

A.两车一定是在f=15s至t=20s之间的某时刻发生追尾

B.两车可能是在，=8s时发生追尾

C.，=0时刻两车间距可能大于28m

D.甲车刹车的加速度大小是乙车的3倍

［解析］根据速度一时间图象可知，15〜20s内，甲车的速度小于乙车.不可能发生追尾，选

项A错误；。〜10s内任一时刻，甲车的速度大于乙车，这个时间段内可能发生追尾，选项B

正确；/二10s时两车的速度大小均为5m/s,在v-t图象中，图象与t轴所围成的面积表示位移，

()-1()s内，甲车位移大小xi=t"xl()m=100m,乙车位移大小12=士乎'1()m=75m,

因两车发生追尾，所以两车间距离应小于及=25m,选项C错误；根据速度一时间图

象的斜率表示加速度可得甲的加速度大小0=与»m/s2=lm/s2,乙的加速度大小〃2=与‘

m/s2=0.5m/s2,则m=2〃2,选项D错误。

［答案］B

【变式1】在地面上以初速度2⑶竖直上抛一物体A后，又以初速度四)从同一地点竖直上抛

另一物体B.若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔。必须满足的条件是(不计

【答案】D

【解析】依据X=vof-几/2作出图象，如图所示.显然，两条图线相交表示A、B相遇.由

当2满足关系式里心＜智时

图线可直接看出,,4、8可在空中相遇，选项D正确.

【变式2】（2021•江淮十校联考）甲、乙两车同时同地出发，在同一平直公路上行驶。其中甲车

做匀速直线运动，乙车由静止开始做匀加速直线运动，其运动的不”图象如图所示。则乙车追

上甲车前两车间的最大距离为（）

A.15mB.20mC.25mD.50

m

【答案】C

【解析】由题知，u甲=#^m/s=20m/*,IOOm=；〃(5s)2,可知u乙=〃/=8八将T-Z图象转化为

v-t图象如图所示

I图象与/他围成的图形面积表示位移，可知f=2.5s对，甲、乙速度相等，此时相距最远,

所以最大距离是阴影部分面积，即25m,故选C。

※【易错警示】

易错点1：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止

运动.

三个技巧：（1）分析法应用运动学公式，抓住一个条件、两个关系，列出两物体运动的时间、

位移、速度及其关系方程，再求解.

（2）极值法设相遇时间为/,根据条件列出方程，得到关于，的一元二次方程，再利用数学求极

值的方法求解.

（3）图象法在同一坐标系中画出两物体的运动图象.位移图象的交点表示相遇，速度图象抓住

速度相等时的“面积”关系找位移关系.

【链接高考】

1、（2022•江西省鹰潭一中高三第四次月考）甲、乙两个质点沿同一直线运动，其中质点甲以

6m/s的速度匀速直线运动，质点乙作初速度为零的匀变速直线运动，它们的位置X随时间，

的变化如图所示.已知l/=3s时，甲、乙图线的斜率相等.下列判断正确的是（）

A.最初的一段时间内，甲、乙的运动方向相反

B.f=3s时，乙的位置坐标为一9m

C,乙经过原点时的速度大小为2逐m/s

D.r=10s时，两车相遇

【参考答案】D

【名师解析】

因工”图像的斜率等于速度，由图像可知最初的一段时间内，甲、乙图像的斜率符号相同，则

运动方向相同，选项A错误；，=3s时，甲、乙图线的斜率相等，则此时乙的速度为6m/s,则

乙的加速度为«=y=^m/s2=2m/s2,则此时乙的位置坐标为

22

x=xQ^^at=-2（）m+^x2x3m=-lIm,选项B错误；乙经过原点时的速度大小为

2

v=y]2ca（i=V2x2x20m/s=4>/5m/s,选项C错误；两车相遇时：vt+2x0=—at,即

6f+40=gx2/，解得r=10s,选项D1E确.

2、（2022高考精优预测卷）甲、乙两物体（均可视为质点）从同一出发点沿水平面朝同一方

向运动，两物体运动的—图象如图所示，下列说法正确的是（）

A.甲、乙两物体同时出发B.在/=4sU寸甲、乙两物体相遇

C.前4s内两物体的平均速度相同D.相遇前甲、乙最远距离为6m

【参考答案】：D

【名师解析】：从UT图象中可看出乙物体比甲物体延迟3s出发，选项A错误,/=4s时，

由31象可知，甲乙两车速度相等，甲的位移为s甲=Im=8m,乙的位移为电=^m=2m,

22

可知两车未相遇，选项B错误；因为前4s内两物体的位移不同，所以两物体的平均速

度不同，选项C错误;在/=4s前相同时刻甲的速度比乙的速度大，在达到相同速度前它

们之间的距离在变大，甲，乙的速度相等时一者距离最远，由速度■时间图线围成的面

积表示位移大小可求得相遇前甲、乙最远距离为厢-吃=6m,选项D正确。

3.（多选）（2022广东汕头二模）甲、乙两辆小汽车（都可视为质点）分别处于同一条平直公路的两条

平行车道上，开始时（t=0）乙车在前甲车在后，两车间距为xoot=（）时甲车先启动,t=3s时乙车再启

动，两车启动后都是先做匀加速直线运动,后做匀速直线运动,v-t图像如图所示。根据图像，下列

说法正确的是（）

A.两车加速过程中，甲的加速度大小比乙大

B.若xo=8Om,则两军.间间距最小为30m

C.若两车在t=5s时相遇，则在t=9s时再次相遇

D.若两车在t=4s时相遇，则在t=10s时再次相遇

【参考答案】BC

【名师解析】

图线的斜率大小表示加速度大小，从题图图像上可以看出乙的加速度大小大于甲的加速度大

小，故A错误;速度相等时两车之间的距离有最小值，从图像上可以看出。〜7S内甲运动的位移

x尸＞？m=90m,而乙运动的位移X2二;x4x20m=40m,则甲、乙之间的最短距圈

AX=X2+XO-XI=3（）m,故B正确;若两车在t=5s时相遇，从图像上可以看出5~9s内甲、乙运动的位

移相等，所以甲、乙在t=9s时会再次相遇，故C正确;若两车在t=4s时相遇，从图像上可以看出

4Mos内甲、乙运动的位移不相等，则在t=10s时不会再次相遇，故D错误。

【基础巩固】

1.（2022山东青岛调研）甲、乙两质点同时沿同一直线运动，速度随时间变化的口一，图象如

图所示。关于两质点的运动情况，下列说法正确的是（）

A.在1=0时，甲、乙的运动方向相同

B.在（）〜2fo内，甲的位移大于乙的位移

C.在0〜2/0内，乙的平均速度等于甲的平均速度

D.若甲、乙从同一位置出发，则m时刻相距最近

【参考答案】B

【名师解析】在/=0时，甲的速度为正，乙的速度为负，说明甲、乙的运动方向相反，故A

错误；根据图象与坐标轴围成的面积表示位移，在时间轴上方的面积表示位移为正，下方的表

示位移为负，则知在0〜2/o内，乙的位移小于甲的位移，则乙的平均速度小于甲的平均速度,

故B正确，C错误；若甲、乙从同一位置出发，甲一直沿正向运动，乙先沿.负向运动，两者

距离增大，后沿正向，在/o时刻前甲的速度大于乙的速度，两者间距增大，/。时刻后乙的速度

大于甲的速度，两者间距减小，所以ro时刻相距最远，故D错误。

2.12022安徽宣城二模）甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向沿直线运动，它们

的『一！图象如图所示。下列判断不正确的是（）

A.乙车启动时，甲车在其前方506处

B.乙车超过甲车后，两车不会再相遇

C.乙车启动10s后正好追上甲车

D.运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75机

【参考答案】C

【名师解析】根据速度图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙在？=1心时启动，此时甲的

位挈为，，即甲车在乙前方50加处，故A正确。由于两车从同一地点沿同

x=Tx10x10m=50M

一方向沿直线运动，当位移相等时两车才相遇，由图可知，乙车启动10s后位移小于甲的位移，

还没有追上甲，乙车超过甲车后，由于乙的速度比甲的大，所以两车不可能再相遇，故选项3

正确，C不正确。当两车的速度相等时相距最远，最大距离为：

..,故。正确,

S—=x(5+15)x10m—10x5m=75m

【关键点拨】速度」忖间图线与时间轴包围的面积表示对应时间内的位移大小，根据两车的速

度关系和位移分析何时相遇。当两车的速度相等时相距最远，根据几何知识求最大距离。

本题关键是根据速度时间图象得到两物体的运动规律，然后根据图线与时间轴包围的面积表示

对应时间内的位移大小，来分析研究。

3.(2022河南洛阳一模)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在/=()到/=外的时间内，

它们的四图象如图所示.在这段时间内()

A.汽车甲的平均速度比乙的大

VI+V2

B.汽车乙的平均速度等于‘广

C.甲、乙两汽车的位移相同

D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大

【参考答案】.A

【命题意图】本题考查对速度图像的理解及其相关的知识点。

【名师解析】根据速度图像的面积表示位移可知，在尸()到，=九的时间内甲的位移大于乙的

位移。又根据平均速度的定义可知汽车甲的平均速度比乙的大，选项A正确C错误；汽车乙

的平均速度小于」L，选项B错误；根据速度图像的斜率表示加速度可知，汽车甲的加速度

大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小也是逐渐减小，选项D错误。

【知识归纳】速度图像的面积表示位移，速度图像的斜率表示加速度。只有匀变速直线运动,

其平均速度才等于初末速度的平均值。

【能力提升】

4.（2022武汉调研）甲、乙两辆汽车沿平直的公路直线运动，其口一/图像如图所示。已知，二0

B.0〜4h时间内，甲、乙两车相遇3次

C.t=lh时，甲、乙两车第一次相遇

D.t=4h时，甲车领先乙车5km

【参考答案】B

【命题意图】木题考查对速度图像的理解运用和追击相遇及其相关知识点。

【解题思路】根据题给的速度图像可知，在0~4h时间内，甲车匀减速直线运动，选项A错误；

根据速度图像的面积表示位移可知，在0〜0.5h内两车相遇一次，在卜2h内两车相遇一次，在

2〜4h之内两车相遇一次，即在。〜4h时间内，甲、乙两车相遇3次，选项B正确C错误；根

据速度图像的面枳表示位移可知，在1=0到l=4h的时间内，l|忤位移为x产;x40x4km=80km,

乙车位移为x乙=*x40xlkm+20x3km+5x20xlkm=90km,由元乙・元旷5km=5km可知J=4h时，

甲车落后乙车5km,选项D错误。

【方法归纳】对于以速度图像给出解题信息问题，要利月速度图像的斜率表示加速度，速度图

像的面积表示位移解答。所谓相遇，是指在同一时刻两物体处于同一位置。对于追击相遇问题，

要利用位移关系和时间关系。

5.（2022高考HI卷押题卷01）在平直公路上行驶的。车和〃车，其位移时间图象分别为图

中直线a和曲线儿r=3s时，直线〃和曲线。刚好相切，下列说法正确的是

B.a车做匀速运动，。车做加速运动

C.在运动过程中，力车始终没有超过a车

D.在0~3s的时间内，。车的平均速度比匕车的大

【参考答案】AC

【名师解析k3s时，直线。和曲线刚好相切，说明U3s时，两车速度相等，选项A正确；

由图像可知，a车做匀速直线运动，b车做减速直线运动，选项B错误；在运动过程中，b车

始终没有超过a车，选项C正确；在0〜3s的时间内，〃车的位移小于〃车的位移，根据平均

速度的定义，在。〜3s的时间内，。车的平均速度比b车的平均速度小，选项D错误。

6（多选）一辆汽车正以vi=l（）m/s的速度在平直公路上匀速行驶,发现正前方有一辆自行车以

V2=4m/s的速度做同方向的匀速直线运动,汽车立即关闭油门做加速度大小为a=0.6m/s2的匀减

速运动，汽车恰好没有碰上自行车，则（）

A.关闭油门后，汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为10s

50

B.关闭油门后，汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为行s

C.关闭油门时，汽车与自行车的距离为30m

50

D.关闭油门时，汽车与自行车的距离为至m

【参考答案】AC

【名师解析】

撞不上的临界条件为速度相等时恰好追上，则有w-at=V2,代入数据解得t=10s,选项A正确,B错

%+w

误;设汽车的位移为XI,自行车的位移为X2,则由位移关系芍X产X2+X,即2=+办,代入数据

解得x=30m,选项C正确,D错误。

7.如图所示，处于平直轨道上的A、8两物体相距s,同时同向开始运动，A以初速度也、加

速度的做匀加速运动，8由静止开始以加速度s做匀加速运动■下列情况不可能发生的是（假

-------►«1

-T-

设A能从B旁边通过且互不影响）

A.a\=ci2,能相遇一次

,能相遇两次

C.a\<ci2,可能相遇一次

D.®<s,可能相遇两次

【参考答案】B

【名师解析】用图象法■我们画出满足题给条件的v-t图象.

图甲对应。尸6的情况，两物体仅在右力时相遇一次（图中阴影部分面积为S）.

图乙对应42的情况，两物体仅在时相遇一次.

图丙对应0<〃2的情况，若阴影部分面积等于S,则相遇一次；若阴影部分面积小于S,则A、

3不可能相遇；若阴影部分面积大于S,则可能相遇两次，如图丁所示.故选项5正确.

作出不同情况下A、3的速度时间图线，结合图线围成的面积分析判断相遇的次数.本题为追

及相遇问题，首先要从题意中找中运动的情景，再由运动学中位移关系确定二者能否再次相遇;

本题用图象进行分析比较简便.

8.在一次交通事故中，警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是2（）m,设该车辆的刹车加速度大小是

10m/s2,该路段的限速为60km/h。则该车（）

A.刹车所用的时间为1s

B.超速

C.不超速

D.行驶速度为60km/h

【参考答案】B

【名师解析】由运动学公式v2—vB=-2ov,代入可解得uo=2Om/s=72km/h>60km/h,该

车超速，故B项正确，C、D项错误；刹车所用的时间为/=三=居s=2s,故A项错误。

9.高速公路限速120km/h,一般也要求速度不小于80km/h。冬天大雾天气的时候高速公路经

常封道，否则会造成非常严重的车祸。如果某人大雾天开车在高速上行驶，设能见度（观察者

与能看见的最远目标间的距离）为30m,该人的反应时间为0.5s,汽车刹车时能产生的最大加

速度的大小为5m/s2,为安全行驶，汽车行驶的最大速度是（）

AJOm/sB.15m/s

m/sD.20m/s

【参考答案】B

0—v2

【名帅解析】设最大速度为根，能见度为X,反应时间为3则X=Um，+—7^,Hl30=0.5Vm

~2a

2

+而

解得：vm=15m/So

10.汽车以20m/s的速度在平直公路上行驶，急刹车时的加速度大小为5mH,则自驾驶员急

踩刹车开始，2s内与5s内汽车的位移大小之比为（）

A.5：4B.4：5

C.3：4D.4：3

【参考答案】C

【名师解析】自驾驶员急踩刹车开始，经过时间/=3=4S,汽车停止运动，所以汽车在2s

I

内发生的位移为xi=nor