数列中的最值、范围问题-2026年高考数学二轮复习

微专题22数列中的最值、范围问题

高考定位近几年高考试题中，与数列有关的最值范围问题既有解答题，也有选

择、填空题，难度中档或偏上.

【真题体验】

1.(2024・上海卷)等比数列｛为｝的首项a1>0,公比I,记/〃=｛x-y\x吁£,改]U[小,

。〃+门｝,若对任意正整数〃，/〃是闭区间，则夕的取值范围是.

答案[2,+8)

解析显然等比数列｛如｝递增，不妨设

若x,s],贝I)-y£[0,。2—

若x,y^[anfan+\]f则x-y£[0,an+\-a,^9

〃

若[斯，an+i],2],

则x-y£[c/〃一。2,an+\—a\],

・・•对任意正整数〃，/〃都是闭区间，

/.an—ci2^an+\—a,n如图，

------------““♦।一口I

"iilZ一

0&一/"“一”2%+1-4

又m>0,，/―2/厂i+q20,

即/一2([―2)+120,对任意正整数叫上式都成立，则必有乡22.

Q

2.(2021•浙江卷)己知数列｛〃〃｝的前〃项和为S”m=一;，且4S〃+I=3SL9(〃£N").

(1)求数列｛小｝的通项公式；

(2)设数列出”｝满足3为+(〃-4)%=0(〃£1>0，记例｝的前n项和为。若Tn^bn

对任意〃恒成立，求实数力的取值范围.

解(1)因为4S〃w=3S〃-9,

所以当〃22时，4S〃=3S“.]—9,

两式相减可得4叱=3%即蓼V

当〃=1时，4s2=JJ”

27

-9

4

解得及=―/,所以"2=.

16a]4

所以数列｛%｝是首项为一

4

公比为的等比数列，

4

所以T义

(2)因为3瓦+(〃-4)丁=0,

所以i-国.

(「照+原+…+…%

3

所以7；=—3X：-2X①

4

7。一小—山川+…+(〃一国+(…年

所以尸一3义

②

①一②得：「=—3X；+[4]4-(J+…+0—(〃一4)14)

44

…〔沪,3

所以北=一4〃14).

因为劝”对任意〃EN*恒成立，

‘PY'、

所以一4〃(4jW2(〃一4>141怛成立,

所以(2+3)〃一4220.

记fin)=(A+3)〃一4A(«£N"),

2+320,

所以解得一34<1.

/(I)20,

所以人的取值范围是[—3,1].

【热点突破】

热点一求数列和式的最值、范围

I核心归纳

求数列和式最值、范围的基本方法

(1)利用不等式组("22)确定和式的最大值；

利用不等式组(〃>2)确定和式的最小值.

(2)利用和式的单调性.

(3)把数列的和式看作函数求其最值、值域.

例I设数列的前〃项积为北,满足。7；一+27；=27；一(〃£1\*,〃22),且�.

_2

(1)求数列｛%｝的通项公式。〃;

(2)若数列｛儿｝满足乩=诙+1,求数列｛小｝的前〃项和S”的最值.

(in

解(1)由TnTn_x+2T„=2Tn.\,

得1_1=1.

TnT*12

又H所以上"1尸”2,所以B舄

所以="?%22),

T,i-\〃+2

因为〃=1,符合上式，所以〃"=

3〃+2

=

(2)由(1)知,an,

〃+2

叱L,1〃+1।〃+211..

所以力〃=%+=,+,=,-।-+2.

an〃+2〃+1〃+1〃+2

所以<=6+岳+…+/U卜Th〔卜卜W

—+2

+…+〔〃+1〃+2

11

+2〃,

2〃+2

显然—\+2〃在〃WN•上单调递增,

2〃+2

所以当〃=1时，S〃的最小值是无最大值.

6

易错提醒利用数列和式的单调性求其最值.要首先判断其单调性，且注意数列中

的〃21且〃£N.

训练1（2024•成都诊断）己知数列｛〃“｝是首项等于J的等比数列，公比qWN*,S〃

是它的前〃项和，满足S4=5S2.

（1）求数列｛。〃｝的通项公式；

（2）设'=logs（。:>0且1），求数列｛儿｝的前〃项和Tn的最值.

解（1）公比q£N*,・・・S4=5S2,qWl,

.a\(1-^4)_5a\(1一炉)

1•解得q=2.

\—q1—q

：.a„=1X2n~]=2n~5.

16

(2)儿=lo&4〃=(n—5)loga2,

・,・数列｛瓦｝的前〃项和「“=〃（—4^-5）logfl2

1〃一_81

=匕1'8Jog„2,

当心1时，（〃）min=C=乃=一101。弘2,无最大值;

当0<〃<1时，（〃）max=△=T5=-101o&2,无最小值.

热点二求〃的最值或范围

I核心归纳

求〃的值或最值，一般涉及数列的项或和的最值与范围，通常化归为解关于〃的

不等式，或根据数列的单调性求解.

例2已知数列｛〃〃｝是递增的等比数列.设其公比为生前〃项和为S”且满足m

+々5=34,8是42与。4的等比中项.

⑴求数列｛〃”｝的通项公式；

(2)若儿=〃”,7；是｛耳｝的前〃项和,求使。一〃2内＞一100成立的最大正整数〃

的值.

解(1)因为8是42与的等比中项，

所以6724/4=82=64,

。|+。5=34,内+。5=34,

则由题意得即,

。2。4=64,41a5=64,

m=2，.〃|=32,

解何，或，

<75=32[。5=2,

因为数列(〃〃｝是域增的等比数列，

所以2'即0=2,4=2,

。5=4可4=32,

所以a„=a\q,,[=2X2,rl=2n.

(2)由(1)得bn=H'cin—Z?X2",

则「=6+62+63+…+b〃=lX2】+2X22+3X23+…+〃X2〃，①

234fl+l

27；,=1X2+2X2+3X2H---l-nX2t②

由①一②得一〃=2〔+22+23+…+2〃一〃义2/1,

7—]

即7；=〃X2〃+i__=(w-l)2rt+1+2,

,t+l,,+ln+in+]

所以T„-fr2=(fi-l)2-\-2-n-2=2-2.

由Tn~fr2n+]>—100,

得2-2w+1>-100,

即2〃v51,由于25=32<51,26=64>51,

所以〃W5,即使〃一行2〃+1>—100成立的最大正整数n的值为5.

易错提醒解答本题要首先正确求出Tn，在求〃的最值时要结合几一〃2m的单

调性，同时注意〃£N*求解.

训练2(2024-南昌调研)已知数列｛z｝和｛瓦｝满足ar.+b„=2n+1,且｛瓦｝满足M+i=

b“，bn+2,42=1，。3=11.

(1)求数列｛〃〃｝、｛儿｝的通项公式；

(2)设数列｛〃“｝的前〃项和为£,求当£+2〃+i2500寸，正整数n的最小值.

解⑴.••矶1=b”b〃+2,

・•・数列｛九｝为等比数列.

Va2=1,。2+历=5,・'•历=4.

:。3=-1,内+83=7,AZ?3=8,

・•・等比数列｛hn｝的公比9=?=2,

02

瓦=历［"2=4X2"2=2”，

斯=2〃+1—儿=2〃+1—2".

(2)由(1)知an=2n+\-2\

讦A((3+2〃+1)2(1—2")_.„+|-

所以S〃=—=〃(〃+2)—02〃|+20,

21-2

・・・S〃+2"+i250可化为层+2〃―4820,

N",解得〃26,

・•.正整数〃的最小值为6.

热点三求数列不等式中参数的取值范围

I核心归纳

此类问题以数列为载体，一般涉及数列的求和，考查不等式的恒成立问题，可转

化为函数的最值问题.

例3(2024・福州质检)已知数列｛〃〃｝的前n项和为S〃，s=1,〃〃+i=£+2〃+】，〃£N*.

(1)求证：数列l?)是等差数列；

⑵设/)〃=；：，｛/力｝的前〃项和为T„.

①求T”;

②若对任意的正整数〃，不等式5—G42,恒成立，求实数2的取值范围.

⑴证明因为斯+】=$»+因",

所以S〃+i—S〃=S〃+2〃+i,

所以S32S〃+2小所以;::；与+1,

所吸；-2,

所以U是公差为1的等差数列.

(2)解①因为:;=；=；,

所以；：=；+(〃­)XI=27

所以S“=(2〃-l)2「,

=：“=2〃—1趾

3”2

.・小卜。+乳3+3。+.・・+2〃”

22220;

.•・2闺+川,+W+..Mf甲,

32222

两式相减得了〃=；+£)+M+…+0—2〃JxtjI

，#=：+卬27舟:—〃及针,

・•・。=5—(2〃+5)X13j.

②・.・5—〃v2・2〃对任意的〃仁N*恒成立,

・・・(2〃+5>〔3j42”，

则力＞2〃+5对任意的〃£N3怛成立,

3〃

令T

2〃+72〃+52〃+7—3(2〃+5)—4/7—8.

<0,

3〃+13”3"+1

・・・｛C〃｝为递减数列，则当〃=1时，(G)max=；,

・、

••人〉7・

3

易错提醒求数列不等式中参数的取值范围问题要看清楚是恒成立，还是有解问

题，若/(〃)》/恒成立，则若/(〃)2M有解，则/(〃)max2M.

训练3己知数列｛〃”｝中，〃“=1+(〃W0).

。+2(〃-1)

(1)若a=—7,求数列｛的｝中的最大项和最小项的值；

(2)若对任意的〃&N*,都有或忘四成立，求。的取值范围.

结合函数/(x)=l+.八的单调性,

.•・数列｛。〃｝中的最大项为45=2,最小项为04=0.

I

12

(2)。〃=1+=1+乙,

。+2(〃-1)2—a

n-

2

已知对任意的〃仁N*,都有q〃Wa6成立，

1

结合函数/(x)=l+:的单调性，

2—a

可知5V<6,即一10<a<—8.

2

即。的取值范围是(-10,-8)

【精准强化练】

一、单选题

1.已知数列｛。〃｝是等比数列，若。902>1，0S1V1,且数列｛〃〃｝的前〃项乘积7>1,

n的最大值为（）

A.10B.11

C.20D.21

答案C

解析数列是等比数列，ara\2>\,O<4Z||<1,八0=0。2…m9a20=(410。11严=

(49&12)1°>1,

乃I=。|"2…。19口20口21=。弘<1,

所以使T„>1的〃的最大值为20.

2.(2024•合肥调研)已知数列｛斯｝满足m=l,〃即+尸(〃+1)如+1,令儿=气若对

n

于任意〃£N，不等式瓦+W4-2,恒成立，则实数t的取值范围为()

I-,—3]

A.l2JB.(—8,-1]

C.(—8,0]D.(—8,1]

答案D

解析,•*na,t+1=(〃+1)。〃+1,

则。〃+1=+1=斯+1_1

〃+1nn(〃+1)nn〃+1

,_11

—

又丁b„+1=(bn+bn)(bn—bn-1)H---------F(62+

Z?/J+I=L1------FD21+1=2—\<2,

由题意可得2W4-T,则2W2,・・“W1.

3.若数列｛〃〃｝的前〃项积儿=1­；〃，则知的最大值与最小值之和为()

A1n5

A.—B.

37

7

C.2D.

3

答案C

解析•・•数列｛%｝的前〃项积5=1一，，

当/:=1时，〃|=；;

当“22时，儿」=1一；（〃一1）,

J

「2

bn7〃2〃-72

。〃=,===1+-八，

bn-i]_2（〃_]）2〃-92〃一9

7

7

当〃=1时也适合上式，，a〃=l+

2〃一9

当〃W4时,数列｛。〃｝单调递减,且。〃<1；

当〃25时，数列｛。〃｝单调递减，且4〃>1,

故斯的最大值为45=3,最小值为44=-1,

・,.斯的最大值与最小值之和为2,故选C.

4.已知等差数列｛斯｝,其前〃项和为£,S〃有最小值.若“9<一1,则使S〃〈0成立的

n的最大值为（）

A.17B.16

C.15D.14

答案C

解析因为等差数列｛〃〃｝的前n项和S〃有最小值，所以0<0,公差介0,所以〃9>念.

因为"9<一1,所以。8<0,。9>0,且〃9+。8>0,

。8

纪I、？oX16（。9+。8）乂16、八

所以§6=-=八>0，

22

Si5==15。8<0,

2

所以当1，W15时，£<0,

所以使S〃<0成立的〃的最大值为15.

5.（2024・武汉调研）已知S〃是等比数列伍〃｝的前〃项和，S3=7,S6=63,若关于〃

的不等式S2〃-d+33»0对任意的〃仁N*恒成立，则实数t的最大值为（）

A.12B.16

C.24D.36

答案C

解析设等比数列｛〃”｝的公比为式1#1）,

画（1一q③）_<一的（1一/）

则03——7.06—

1-q1-q

解得g=2,〃i=1,

・・・%=2〃-1S〃=22”—|,

工关于n的不等式S2〃一S〃+3320,

即2%一fX2〃「+32N0,

即运2e+32对任意的〃£N*恒成立.

2”-1

法一设火〃)=2”+1+；2「〃WN・，

力f2,,+l4-32

则/(〃+l)-A〃)=2"+2+；；_[27=12〃+-；/,

当n=2时，火〃+1)-9)=0,

当n=\时，｛〃+1)-/(〃)<0,

当“23时，

又/(2)=/(3)=24,

・•・当n=2或〃=3时，危)mm=24,

.,"W24,/max=24.

故选c.

法二由2-1+(3]222-1・：：=162,

当且仅当2、+】=；；,即时等号成立，

又〃WN*,

・•・当〃=2或〃=3时，2"+】十:取得最小值24,

2〃

故fW24,/max=24.

6.在数列｛斯｝中,67|=1,斯一〃〃」=〃，则""+1的最小值是()

〃+1

3

C.lD

2

答案C

.,//-4—14

解析当〃22时，斯=(飙一a〃_|)+(4〃_1—4”_2)H----b(〃2—。1)+。1=2

当77=1时，0=1满足上式,

2

_〃?+〃+21(〃+1)+

〃+1

噌:~2(/?+1)2L

因为〃£N*,〃+122,

79

所以(〃+1)+户3,则(〃+1)+—122,

〃+1n-r1

故斯+1»1><2=1,当且仅当〃=1时，等号成立.故选C.

〃+12

7.(2024•郑州调研)如果数列｛%｝对任意的〃金N*均有。〃+2+。〃>2%+1恒成立，那么

称数列｛〃“｝为“〃一数列”，下列数列是“A/一数列”的是()

Aa〃=2〃一1B.a〃=—3"

C.a,=〃X2"D.a〃=/xU

答案C

解析若。”=2〃-1,则。〃+2+。〃一2Q〃+I=2〃+3+2〃一1—2(2〃+1)=0,

即即+2+%=2a〃+i,不满足条件，不是“用一数列”；

若一3",则知+2+许一2a〃+i=-(3〃+2+3“-2X3"+i)=-4X3〃v0,

即斯+2+斯〈2。角,不满足条件,不是—数列”；

若an=nX2\则。〃+2+诙-2斯+1=(并+2)X2〃+2+臂=2〃-2(〃+l)X2"+i=(〃+

4)X2N>0,

即斯+2+。户2。田,满足条件，则是数列”；

pypy2pypvi

若々“n/xLJ,则2斯+I=（〃+2）2X[2,+/X12j—2（，+lyxLJ

[1T（〃+2）2+n2-（w+1）2

=12jxL4

=[]>j

4

当〃=1,2,3时,a〃+2+。〃<2a“+i,不满足条件,不是"A/—数列”.故选C.

二、多选题

8.己知等差数列｛m｝的前〃项和为S〃，公差"WO若SWS6,则下列结论正确的是

（）

A.ai<0B.d<0

C.〃6=0D.Si3<0

答案BD

解析因为S〃WS6,所以S5WS6且S7WS6,

即〃6=S6—S520,47=87—SeWO,

因为t/WO,即46,47不同时为零,

所以d=47—。6<0,故B正确；

因为。620,即m+5d20,

所以m>0,故A错误；

53="（〃|+03）=13〃7三0,故D正确；

2

〃6不一定为零，故C错误.

9.（2024・济南调研）已知各项都是正数的数列｛斯｝的前〃项和为S〃，且，=?+/，

则下列结论正确的是（）

A.当,n£N"）时，ani>an

B.S〃+S〃+2V2S〃+I

C.数列｛郃｝是等差数列

D.S〃-21n〃

S,t

答案BCD

解析对于A,由题意可知0=1+J,得山=1,所以m=1,

22ai

由。]+。2="2+1,得㈤+2〃2—1=0,

22a2

所以。2=2—l<ai,故A错误；

对于C,由£=7+/，得S〃=S〃二*」+1得名―能」=1(〃22),

22M22(S〃-Si)

故C正确；

对于B,所以£=1+(〃-1)=〃，得S〃=n,

则*+S〃+2=〃+〃+2<2〃+〃+2=21+i,故B正确;

2

对于D,易知£—J=n-1,

Snn

令/(x)=x—1—21nx(x21),

x

则f(x)=1+1-2=L-1]2^0,

X1X

则/U)单调递增，

所以/(x)2/(l)=0=n-2ln〃,

n

即S,一、21n〃，故D壬确.

3〃

三、填空题

10.等差数列｛。〃｝的前〃项和为S〃，且44—42=8,。3+。5=26,若存在正整数机,

使得对一切〃£N,〃21,S：w〃7都成立，则加的最小值是.

n-

答案2

。4-42=21=8,

解析由题设,

。3+5=2。1+64=26,

6/1=1,

可得

4=4.

2

所以Sn=2n—n,

又〃&N,故;£[1,2),

要使且正整数〃Z恒成立，只需〃7,2,故〃7的最小值是2.

11.（2024•南京调研）已知等差数列｛小｝满足43=—1，。4+。12=—12,则数列｛如｝

an

的通项公式。〃=；若数列卜厂”的前〃项和为s〃，则使，』的最大正整

4

数n为.

答案2—〃5

解析设等差数列的公差为d,由已知可得F=®+2d=­l，

44+02=2。】+14"=-12,

解得

故数列｛。〃｝的通项公式为afl=2~n.

a

由Sn=a\-\-^-\----

22n1

有&=0+〃；+…+而.

22222"

两式相减得

Sn=a+々2_4|_|_____^_an—a-\_an

2-ai22Gn2〃

2—〃

=1—

»…+2,2"

一hl2K

所以&=2：，由工=2二>；，得0<〃<5,

故最大正整数n为5.

12.若x=l是函数“QuaN+if-an必一跖+*+1的极值点，数列｛%｝满足m=l,

42=3,设bn=logw〃+1,记［x］表示不超过X的最大整数.设S”=

2025+2025+^>+2025

_b\bib2b3bnbn+\_,若不等式对V〃WN*恒成立，则实数，的最大

俏为

答案1012

32

解析f(x)=4an+\x—3a,1%—an+2>

—3。〃—。〃+2=0,

即。〃+2-斯+1=3(。”+]一。〃)，

・・・数列色〃+1—4〃｝是首项为2,公比为3的等比数列，

=n-

/.an+\—an2'X3则an+1==(an+\—afJ)4-(an—i)+(an_ian-i｝H------卜(。2-m)

+m=2X31+2X3〃-?+…+2X30+1=3〃，

:.bn=10g3«n+1=10g33〃=n.

・・.2025+2。25+...+2025=2025'舄2+2；广.+〃(41)

b\bib2b3bnh,l+i

L1..11]

1—十一十…十—

=2025X1223n〃+lJ

_2025〃

一〃+1，

又N=2°25〃在〃£N*上单调递增，

n~\~1

2025-

则当〃=1时，S〃取最小值Si=12」=1012,即店1012.

四、解答题

13.已知等差数列｛飙｝与正项等比数列｛6｝满足a\=b\=2,63=47