八年级数学上册专项突破（浙教版）全等三角形的常见模型练习（4大题型）原卷版

专题突破2：全等三角形的常见模型

01常考题型

题型1K型图（一线三等角）题型3倍长中线造全等

全等三角形的常见模g

曲型2手拉手模型题型4截长补短造全等

02技巧解密L

一，K型图模型特征与结论识别

图形条件与结论辅助线注意事项

条件：AC=BC,AC±BC分别过点A、BK型图可以和等腰直角

结论：作三角板结合，也可以和正

UDCEADJ_Z

△ADC乎CEB(AAS)BE±/方形结合

K型全等模型变形——三垂定理:

如图，亦有AADC之^CEBIAAS）

总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造K型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系

二、手拉手模型特征与结论识别

图形条件与结论辅助线

手拉手模型在第一章只是表面应用，后续深层次应用需要在等腰三角形学完之后探究

三、倍长中线辅助线方法规律总结

基本图形辅助线条件与结论应用环境

①倍长中线常和△三边关系结

延长AD到点E,条件：SBC中，合，考察中线长的取值范围

D\

使DE二AD,连接CEAD=BD②倍长中线也可以和其他几

E

结论：何图形结合，考察几何图形的

△ABD*CED(SAS)面积问题

四，截长补短辅助线方法规律总结

基本图形辅助线条件与结论应用环境

条件：①截长补短类辅助线经常和角

在AC上截取AP平分/BAC,平分线同步考察

A上EC

AE=AD,连接PE结论：②截长补短类全等的目的通常

△APD要AAPE(SAS)是为了等价线段

总结:因为截长补短常得线段相等,所以截长补短经常用于证明三条线段间的数量关系,如AD=BC+EF

03题型突破

题型一K型图（一线三等角）

【例1】.（2024春•工业园区期末）如图，在四边形力8c。中，N8=NC=90°,点E、F在边8c上,

点P在四边形的内部，且力E1PE,AE=PE,NCFD=/PFE.若BE=CD=1,。尸=2,48=3,则四

边形48C。的面积为（）

【变式1-1].（2023秋•长兴县期末）已知：如图，在△48C中，48=4C=12,点E在边力C上，若/

DAE=/DEA,NADE=/B,CD=3BD,则CE等于（）

A.3B.4C.卫D.6

5

【变式1-2].（2023•南谯区校级一模）如图，在矩形48c。中，E,尸分别为8C,OC上一点，AE=EF,

AELEF,若BE=3,矩形48CO的周长为26,则矩形力8。的面积为.

【变式1-3].（2022•鹿城区二模）如图，在△48。中，48=4C,点。在8C边上，点£在4C边上，连接

AD,DE.已知N1=N2,AD=DE.

(I)求证：AABD@ADCE；

(2)若BD=3,CD=5,求力E的长.

【变式1-4].（2023秋•右玉县期末）在△力8c中，N4C8=90',AC=BC,直线MN经过点C,且力。_L

"N于力，BE上MN于E.

（I）当直线MN绕点C旋转到图I的位置时，求证:

①AADgACEB；

②DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5,BE=2,求线段的长.

【变式1・5】.（2023秋•临平区月考）已知，在△力中，AB=AC,D,力，E三点都在直线加上，ABDA

=ZAEC=ZBAC.

（1）如图①，若则8。与力£的数量关系为,BD,CE与的数量关系

为.

（2）如图②，当48不垂直于力。时，（1）中的结论是否成立？请说明理由.

（3）如图③，若只保持N8D4=N4EC,BD=EF=lcm,Z）E=10c/〃，点力在线段Of上以20〃/s的速

度由点。向点石运动，同时，点C"在线段E尸上以xc加小的速度由点方向点尸运动，它们运动的时间为

f（s）.是否存在x,使得△48。与△£4。全等？若存在，求出相应的/与x的值；若不存在，请说明理

由.

图②图③

题型二手拉手模型

【例2】.（2023秋•河东区期末〕如图，己知：AC=BC,DC=EC,ZACB=ZECD=90°,NEBD=

38°,现有下列结论：①△8DC也△花C；②NAEB=128。；③BD=AE；®AEVBD.其中不正确

的有（）

A.0个B1个C.2个D.3个

【变式2・1】.（2023秋•诸暨市期末）如图，在△48。和中，ZBAC=ZDAE=90a,AB=AC,AD

=AE,点、C、D、E三点在同一直线上，连接8。交力。于点F.

（1）求证：△BAD/ACAE；

（2）猜想BQ,CE有何特殊位置关系，并说明理由.

【变式2-2].（2023秋•慈溪市期末）如图，已知△XBC和△COE均为等边三角形，点。在月8的延长线上,

连结力E.

（1）求证：△ACE"4BCD；

（2）求力石的度数.

c

【变式2-3].（2020秋•萧山区期末）如图,在△408和△C。。中，OA=OB,OC=OD,若NAOB=NCOD

=60°.

（I）求证：AC=BD.

（2）求乙4P4的度数.

【变式2-4].（2023秋•钢城区期末）【初步感知】:

如图①，△/AC和△COE都是等边三角形，连接A。、小组同学发现：

（1）44CD与ABCE全等,依据是（填写全等三角形判定定理）；

（2）线段8七=力£>,依据是:

【拓展探究】：

如图②，△49C和都是等腰三角形，AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=a,AD.8E相交于

点M，连接CW.

（3）线段8E与力。之间是否，乃存在（2）中的结论？若存在，请说明理由；

（4）/AMB=（用含a的式子表示），并说明理由.

图①图②

【变式2・5】.（2022秋•乐清市校级期中）如图1,在△"C中，AB=AC,。为线段4c上一动点（不与点

8、C重合）.连接力Q,作且力。=4E,连接CE.

（1）求证：△ABg^ACE.

（2）当CE平分/力6时，若NBAD=32°,求的度数.

（3）如图2,设NH4C=a（90°<a<180°）,在点D运动过程中，当OEJ.8C时，ZDEC

=°.（用含a的式子表示）

题型三倍长中线造全等

【例3】.（2023秋•重庆期末）妇图，在△月8c中，48=10,4C=6,则8c边上的中线力。的取值范围

是______________

【变式3・1】.（2023秋•安吉县期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，4）

是△力8c的中线，若48=5,.4C=3,求4。的取值范围.

图①图③

【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长力。至点£.使£。=4。.连接

可以证出且△EQ8,利用全等三角形的性质可将已知的边长与力D转化到中，进而求出力。

的取值范围.

方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线4。延长〜倍，构造出全等三角形，我们

把这种方法叫做“倍长中线法”.

（1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求力。的取值范围的过程；

【问题解决】

（2）如图②，C5是的中线，CD是△力8C的中线，LB=4C,下列四个选项中：

A.NACD=NBCD

B.CE=2CD

C.NBCD=NBCE

D.CD=CB

直接写出所有正确选项的序号是.

【问题拓展】

（3）如图③，在和△COO中，OA=OB,OC=OD,/408与NCVD互补,连接力C、BD,E

是的中点，求证：OE=1AC.

2

【变式3-2].（2022秋•阿尔山市期末）【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1,△力8C中，若48=8,JC=6,求AC边上的中线/。的取值范围.小明在组内经过合作交流,

得到了如下的解决方法：延长力。到点£使。请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△/DCg△E08的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

（2）求得力。的取值范围是.

A.6V/OV8B.6W4QW8C.1<JD<7D.1WADW7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和

所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,4。是△48C的中线，BE交AC于E,交力D于F,且4E=EF.求证：AC=BF.

题型四截长补短造全等

【例4】.（2023春•荣成市期末）如图，在四边形力4c。中，AB=AD,Z2?+ZJDC=180°,E、尸分别是

边BC、CO延长线上的点，/EAF=L/BAD,若DF=1,BE=5,则线段七户的长为（）

2

C.5D.6

【变式4-1].如图，4N为NM8C的平分线，P为BN上一点、,且PDLBC于点、D,NAPC+NABC=

180°,给出下列结论：①NMAP=/BCP；（2）PA=PC；③AB+BC=2BD；④四边形8"。的面枳是

△P8O面积的2倍，其中结论正确的个数有（）

C.2个D.1个

【变式4-2].（2022秋•汨罗市月考）如图，在四边形力4c。中，AB=AD,N4+NO=180°,点£,尸分

且EF=BE+FD,若NE4F=55°,求N84。的度数.

【变式4-3].（2021秋•台安县月考）如图，四边形48CO中，Z5+ZD=180°,ZBCD=\50°,CB=

CD,M,N为AB、力