函数的奇偶性-高考数学重难点题型讲义（新高考地区专用）解析版

专题2.5函数的奇偶性•重难点题型精讲

。物少火。碧

1.函数的奇偶性

(1)定义：

……一般地•设函数/(])的定义域为/,如果Vxw/,都有-xe

偶酒数

，,且/(-«)=/(X),那么函数/(X)叫做偶函数.

定43一般地•设函数/(X)的定义域为/,如果Vxw/,都京-XW

奇函数

义/,旦/(-X)=-/(X).那么函数/(X)叫做布函数

II.<)II

成.也既不是奇函数乂不是偶函数的函数,称为非奇非伊函数.

偶函数

定义域

定义域必须是关于原点对称的区间.

特征

设函数/(*)的定义域为/.则石/($)是偶函数。Vxw/.-x/.且

等价

/(r)=0;/(了)是奇函数oVxe/,-Xw/,且/(-x)+

形式

/⑴=0.特别地•若仆”0,还可以判断5(于=±1是否成立.

(2)奇偶函数的图象特征(几何意义)

①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形;

反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以)，轴为对称轴的轴对称图形；反

之，若一个函数的图象关于〉，轴对称，则这个函数是偶函数.

③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间

上有相反的单调性；偶函数在关广原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数;

奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变展也互为相反数.

【题型1函数奇偶性的判断】

判断函数奇偶性的方法：

⑴代数判断法：先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，即为非奇非偶，若对称，4・x)=・/U)的是奇函

数的是偶函数；

⑵几何判断法：关于原点对称的函数是奇函数，关于y轴对称的函数是偶函数：

⑶运算法则：①两个偶函数相加所得的和为偶函数；②两个奇函数相加所得的和为奇函数；③一个偶函数

与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数；④两个偶函数相乘所得的积为偶函数；⑤两个奇函数

相乘所得的积为偶函数；⑥一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

【例I】(2022•仁寿县校级模拟)下列函数为奇函数的是()

A./(x)=QB./(X)=

C.f(x)=x2sin.rD.f(x)

【解题思路】先检验函数定义域，然后检验各选项中函数/(-X)与/(不)的关系即可判断.

【解答过程】解•：A：定义域R,/(-x),/(x)为非奇非偶函数，不符合题意；

B：定义域[(),+8),关于原点不对称，/(X)为非奇非偶函数，不符合题意；

C：定义域R,/(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sinv=-f(x),f(x)为奇函数，符合题意；

D：定义域口|吐0},/(-x)=ln\-x\=ln\.x\=f(x),f(x)为偶函数,不符合题意.

故选：C.

【变式1-1](2022春•毕节市期末)设函数/•(外二不焉，则下列函数中为偶函数的是()

A./(x+1)B./(x)+1C./(x-1)D.f(x)-1

【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，即可得答案.

【解答过程】解：根据题意，/(乃=2二Q二—"2,

好一2汁3(X-1)+2

由此分析选项：

对于A,f[x+1)=是隅函数，符合题意；

对于从/(x)+1=——+1,既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；

(3)2+2

对于C,/(x-1)=—4一，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；

(x-2y+2

对于Q,/(x)-1=—'——1,既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意：

(X-1)2+2

故选:A.

【变式1・2】(2022春•镇海区校级期末)下列函数中，既是偶函数，又满足值域为R的是()

A.B.y=W+AC.y=tan|.r|D.y=|sin.v|

【解题思路】先研究定义域是否关于原点对称，再结合偶函数的定义、值域判断.

【解答过程】解：对应A,显然>20,值域不是R,故4错误；

对于从易知，值域中不包含。，故〃错误；

对于C,定义域为Hkzr+*,kGZ],关于原点对称，且tan|-月=3川川，该函数是偶函数，值域为

R,故C正确；

对于。，值域为[-1,1],值域不是R,故。错误.

故选：C.

【变式1-3](2022春•兴庆区校级期末)已知函数/■(丫)=2'-©尸，则/(工)()

A.是偶函数，且在R是单调递增

B.是奇函数，且在R是单调递增

C.是偶函数，且在R是单调递减

D.是奇函数，且在R是单调递减

【解题思路】根据题意，由奇偶性的定义分析函数的奇偶性，再利用导数分析函数的单调性，即可得答

案.

【解答过程】解：根据题意，函数/■。)=2》一白尸，其定义域为R,有/(-x)=2'^-2"=-/(x),

则函数/(x)为奇函数，

11

又由，(x)=2xln2+(-)-7/?2=[2v+(-)Y]M2>0,则由在R上为增函数,

故选：B.

【题型2利用函数奇偶性求解析式】

求解析式的方法：

先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出大用的解析式，或充分利用奇偶性构造关于

x的方程，从而得到;U)的解析式.

【例2】(2022春•安康期中)已知/(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x+2,则当xVO

时，/(x)=()

x-2B.-x+2C.x-2D.x+2

【解题思路】运用奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式.

【解答过程】解：/(x)是定义在R上的奇函数，可得/(-X)=-/(公，

设xVO时，・x>0,

当x>0时，/(x)=%+2,

可得/(-x)=-x+2,

所以/(x)=-/(-x)=x-2.

故选：C.

【变式2-1](2021秋•新化县期末)若函数/(x)是定义域为R的奇函数，且当年0时，/(「=x(l+x),

则当xV()时，/(x)=()

A.-x(1+x)B.-x(1-x)C.x(1+x)D.x(1-x)

【解题思路】根据题意，当xVO时，-x>0,求出/(-X)的表达式，结合函数的奇偶性分析可得答案.

【解答过程】解：根据题意，当xVO时，-£>0,则/(「)=-x(1-A),

又由函数.f(3是定义域为R的奇函数，则/(x)=-/(・％)=x(1-x),

故选：D.

【变式2-2](2021秋•沙坪坝区校级期末)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x式0时,/(%)=

x2(l-Vx),则当xVO时，/lx)的表达式是()

A.x2(l-Vx)B.-x2i1-Vx)C.x2(l4-Vx)D.-x2(l+Vx)

【解题思路】利用奇函数的对称性，进行转化求解即可.

【解答过程】解：当xVO时，则・x>0,

则/(-X)=(-X)2(\-\T-X)—X2(I+Vx),

V/(x)是奇函数，

/./(-X)=-/(1),

却/(-x)=/(1+Vx)=-/(X),

则/(X)=-J2(1+遮),

故选：D.

【变式2-3](2022•大通县二模)若/(x)是定义在R上的奇函数，且/(x+1)是偶函数，当OVxWl时,

/(x)=/7,则当2VxW3时，/(x)的解析式为()

A.f(x)=-e]'xB.f(x)=-C.f(x)="D./(%)=-e3x

【解题思路】根据题意，由函数的奇偶性和对称性分析可得f(x)=-/(x-2),当2V%W3时，有0

VX-2W1,结合函数的解析式可得/a-2)的表达式，据此分析可得答案.

【解答过程】解:根据题意，/(X)是定义在R卜.的奇函数，

若/(1+1)是偶函数，即函数f(x)的图象关于直线x=l对称，

则有/“)=f(2-x),

又由f(x)为奇函数，则有/(-x)=~fCx),

综合可得：-/(-A)=/(2-x),变形可得/(x)=-/(x-2).

由于当OVxWl时，f(x)

当2VxW3时，有0VX-2W1,则有/(x-2)="”，

又由/(工)=-/(x-2),则有/(x)=---3,

故选：C.

【题型3利用函数奇偶性求函数值】

利用函数的奇偶性将待求区间上的自变量转化到已知区间上，结合已知区间上的函数解析式求函数值即可.

【例3】(2022•雅安模拟)已知函数/(x)是奇函数，当式20时，/(x)=2'-1,则/(-2)=()

3

A.1B.C.3D.-3

4

【解题思路】根据题意，由函数的解析式求出/(2)的值，结合函数的奇偶性分析可得答案.

【解答过程】解•：根据题意，当GO时，/(x)=2X-1,则/(2)=2?7=3,

又由/(x)为奇函数，则/(-2)=-/(2)=-3：

故选：D.

【变式3-1](2022春•双流区校级期末)已知函数/G)=-+加iru+5-2022(小h,c为实数)，且了

(2022)=1,则/(-2022)=()

A.-1B.1C.-4045D.4045

【解题思路】构造奇函数g(X)=/(x)+2022,利用奇函数定义求值.

【解答过程】解：设g(x)=f(x)+2022=ar"siru+早xWO,

则g(-x)=a(-x)3+Z?sin(-x)+三=-av3-bsinx-$=-g(x),

人人

・・・g(x)为奇函数，

g(2022)=/(2022)+2022=2023,

g(-2022)=f(-2022)+2022=-g(2022)=-2023,

・•・/(-2022)=-4045.

故选：c.

【变式3-2](2022春•斗门区校级期中)已知定义在R上的奇函数/(X)满足/(x+7)=/(x),当属(0,

1]时，f(A)=2'+配1,则/(2022)=()

A.-2B.2C.D.-

22

【解题思路】根据题意可知：/(A-)的周期7=7,/(2022)=/(-1),再根据奇函数得/(-1)=-/

3),代入求解.

【解答过程】解：・・・/(户7)=/(x),则/(x)的周期7=7,

•V(2022)=/(289X7-1)=/(-1)=-/(!)=-(2'+/«!)=・2,

故选：A.

【变式3-3](2022•马鞍山模拟)已知/(外是R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=2022x-^,若/(I)

+2022/-(0)=2024,贝4/(・2)=()

A.2020B.-2020C.4045D.-4045

【解题思路】由已知结合奇函数定义及性质可求”，进而可求.

【解答过程】解：因为/(.I)是R上的奇函数，且当入>0时，/(x)=2022x-^

所以/(I)=2022-4,

由奇函数性质可得/(0)=0,

若/(I)+2022/(0)=2024,则2022-a=2024,

所以。=-2,x>0时/(X)=2022x4-p

所以7(2)=4044+1=4045,

/(-2)=-/(2)=-4045.

故选：£>.

【题型4利用函数奇偶性求参数】

利用奇偶性求参数的2种类型：

⑴定义域含参数：奇偶函数人工)的定义域为必，b]t根据定义域关于原点对称，利用。+5=0求参数.

(2)解析式含参数：根据A-x)=-7(x)或八一外=风外列式，比较系数，利用待定系数法求解.

【例4】(2022•洛阳模拟)若函数/(x)=?(〃・2厂2D是偶函数，则。=()

A.-1B.0C.1D.±1

【解题思路】利用奇函数的定义即可求解。的值.

【解答过程】解：函数/（x）=?（a・2%-2-x）是偶函数,

为R上的奇函数，

故y=a-2x-2J也为R上的奇函数，

所以如=0=叱2°-2°=。-1=0,

所以4=1,经检验。=1符合题意；

法二：因为函数/（X）=/（a・2》-2-x）是偶函数,

所以/（-x）=/（x）,

即-X3（4・2"-2、）=/（〃・2工-2））,

即/（。・21-2））+?（。・2-*-2工）=0,

即（。・1）（2X-2'X）?=0,

所以a=\.

故选：C.

【变式4-1】（2022•如皋市模拟）若函数〃乃=差为奇函数，则实数。的值为（）

A.1B.2C.-1D.±1

【解题思路】由奇函数的定义和指数的运算性质，解方程可得所求值.

【解答过程】解：由函数/（%）=要为奇函数，

2-a

一口„2-x+a2x+a

可得/（-x）t/（x）=U,即:X=0,

2兀一Q2-a

化为\+a*2x-a・2*・a2+\+cflx-a*2x-«2=0,

即为。2=1,解得a=±l,

当。=1时，/（x）=沿，满足/（-x）=m|=一话=-f（x），可得/（X）为奇函数:

当a=-1时，/'（x）=分，满足/（-X）=-/（X），可得f（X）为奇函数.

所以4=±I.

故选：D.

丫2-X-2TYV0

:'-为奇函数，则》=()

｛-X24-bx,x>0

A.-2B.0C.1D.2

【解题思路】由奇函数的定义和已知xWO时的函数的解析式，可得x>0时的函数解析式，进而得到所

求值.

【解答过程】解：当x>0时，-x<0,/(-x)=-f(A)=(-x)2+2(-x)=7-2x,

可得x>0时，f(A-)=-?+2r,

又x>0时，/(x)=-7+法，

所以b=2.

故选：。.

【变式4-3](2022春•辽宁月考)已知/(x)是奇函数，且当xVO时，/(x)=・若2)=8,

则实数〃的值是()

11

A.-4B.-C.-3D.3

33

【解题思路】依题意，利用奇函数的性质可得：当％>0时，f(x)=>",，又/(/〃2)=8,即(/2)

一=2工=8,解之可得。的值.

【解答过程】解：・・・/(x)是奇函数，且当XV()时，f(x)=-/x,

.••当x>0时，-x<0,

/(-x)=-ea{'x)=-fCx),

：,f(x)=e"叫

V/(M2)=8,即(/2)-«=2«=8=23,

；•〃=-3,

故选：c.

【题型5利用函数奇偶性识别函数图象】

对于所给函数解析式，判断函数的奇偶性，结合特殊值法、函数单调性等，利用排除法进行判断，即可得

出正确的函数图象.

【例5】(2022•浙河区校级模拟)函数)=桀区的大致图象是()

人

【解题思路】先由奇偶性来确定是AB还是C。中的一个，再通过对数函数，当％=1时，函数值为0,

可进一步确定选项.

【解答过程】解：•・•/(-x)=-/(幻是奇函数，

所以排除4,8

当x=l时，/(x)=()排除C

故选：£).

【变式5-1](2021秋•荔湾区校级月考)下列图形是函数〉=如|的图象的是()

Cl1人

C.ID.\

【解题思路】求得函数的奇偶性，确定函数的图象分布，即可求得结论.

【解答过程】解：令/(X)=小|.贝=7|-乂=-小|=-/(」)，二函数是奇函数

•W0时，/(%)=?,

・•・函数的图象在第一、三象限，且为单调增函数

故选：D.

【变式5-2](2021秋•邢台期末)已知函数/(x)的部分图象如图所示，则/(x)的解析式可能为()

B.f(x)=x+x

C.f(x)=|A|sill¥D.f(x)=，+cosx

【解题思路】由图象可得了(1为奇函数，且有多个零点，对照选项，运用排除法可得结论.

【解答过程】解：由/(X)的图象关于原点对称，可得/(X)为奇函数，

而/(x)=/cosx为偶函数，f(x)=/+cosx为偶函数，故排除选项A、D；

由f(x)=x+/满足/(-X)=-X-/=-f(x),

可得/(x)为奇函数，f(.r)=0时，x=0,即/(x)=x+/的零点只有一个0,

故排除选项B.

故选：C.

exlnx,x>0

【变式5-3](2021秋•开州区校级月考)函数/Cr)=，在［-2,0)U(0,2］上的

e~xln\-x),x<0

大致图象是()

的值，排除C,即可得答案.

exlnx,x>0

【解答过程】解：根据题意，/(工)=

"X仇(-x).xV0‘

当x>0时，-xVO,有/(-x)=eKlnx=f(x),

当A<0时，-x>0,有/(-/)=e(-r)in(-x)=f(x),

故/(x)为偶函数，排除人以

又由J'(2)=e1ln2>\,排除C,

故选：D.

【题型6函数奇偶性与单调性的综合应用】

【方法点拨】

函数奇偶性与单调性的综合应用主要有两种：

(1)比较大小：对于自变量不在同一单调区间上的比较大小问题，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一

单调区间上，然后利用函数单调性比较大小.

(2)解不等式：①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为人修)勺1幻)或凡的形式；

②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的转化为简

单不等式求解.

[ft6](2022•衡阳三模)定义在R上的奇函数/(%)满足/(x+1)为偶函数，且当戈曰0,1]时，/(x)

=4X-COSA-，则下列结论正确的是()

40434039

A./(-^―)>/(2022)>/<—)

40394043

B.f(2022)>f(五一)

40434039

C./(—)>/(—)>/(2022)

40394043

D.f(-------)>/(2022)

2

【解题思路】根据函数奇偶性的性质进行条件转化注意运用赋值法，即可得到/J)的最小正周期是4,

运用周期性即可得到结论.

[解答过程]解：•・•/1)是定义在R上的奇函数,

•・•函数/(x+l)是定义在R上的偶函数,

/./(-x+1)=f(x+1)=-fCx-1),f(x+2)=-f(x)，可得f(A+4)=-f(x+2)=/(x).

则/(X)的周期是4,

〜.40431Ii11

所以/(——)=/(2021+4)=/(l+4)=/(l-4)=/(-)=2-cos-,

2'N/22

f(2022)=f(0)=1-1=0,

4039ill1

f(-------)=f(2020—5)=f(-5)=-f(")=-2+cos-,

’22J2J22

40434039

所以)>/(2022)>/(—^—),

故选：A.

【变式6-1](2022•山东模拟)设/(x)是定义在R上的奇函数，且当亡＞0时，/(x)=r-8,则/(x

-2)VO的解集为()

A.(-4,0)U(2,+8)B.(0,2)U(4,+«>)

C.(・8,0)U(2,4)D.(-4,4)

【解题思路】由已知结合奇函数定义可求出xVO时的函数解析式，进而可求.

【解答过程】解：是定义在R上的奇函数，且当4>0时，/(x)=/-8,

所以x>0时，-kVO,

则/(・X)=-A3-8=-f(X),

所以/(x)=9+8,f(0)=0,

由/(x-2)V0得0V.12V2或X-2V-2,

故2VxV4或xVO.

故选：C.

【变式6-2](2022•河南模拟)已知函数/Q)是定义在R上的奇函数，当人力0时，/Q〉=4厂3X2「+2a.则

关于x的不等式f(x)W-6的解集为()

A.(-8,-2]B.(…，-1]

C.[-2,0)U(0,2)