第40届全国中学生物理竞赛决赛考试试题（理论+实验）

第40届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题

i.而过天晴，空气内悬浮着大量小水滴，若阳光从背后以低角度照射，观察者便可能观察到彩虹（图

a）.有时会同时出现两条彩虹，内层彩虹称为主虹（I级虹），它来自阳光进入水滴后的一次反射；在主虹

外边较暗的虹称为副虹或霓（2级虹），它来自阳光在水滴内的两次反射.光线在水滴内还可能发生三次及

以上的反射，并产生相应级次的虹.在自然界中通常只能观察到1级和2级虹，更高级次的虹可以在实验

室环境下呈现.

图a大自然中的彩虹图c平行光照射到水滴后的I级光

考虑一个球形水滴，直径为I。?4111量级.如图>一根入射光线与球心确定一个平面，该平面与球形水滴

表面相交形成一个圆（大圆），进入水滴的光线经折射、反射后的出射光都在此平面内.把光线在水滴内

经过以"=0,1,2,）次反射后的出射光称为k级光，出射光相对入射光方向偏转的角度称为偏向角（见图

b).

（1）已知入射光线在水滴外表面上的入射角为i,空气和水的折射率分别为1和〃.试求上级光的偏向角

4的表达式.

（2）当一束单色平行光照射水滴时，不同入射位置对应不同入射角（见图c）.当入射角i变化时，女级光

偏向角“有一极小值加，试求%及其对应的入射角乙的表达式.

（3）由于色散，不同波长的光在水中的折射率〃不同.对于确定的入射角i,试求2级光偏向角为对折射

d0k丝L

率〃的变化率dn与入射角i的关系式，并求当i取第（2）问中的4时ani的表达式.

（4）图C是单色平行光照射到水滴•后出射的I级光示意图，在I级光偏向角极小值4m附近出射的光线较

为集中，即光强较大，此处出现1级虹，相应偏向角的极小值4m为1级虹的偏向角，类似地为上级虹

的偏向角.当白光平行入射时，取红光和紫光在水中的折射率分别为应「•=1.329和"紫"L344,试分别计

算2=1和2=2级虹的偏向角碇：和始以及虹的角宽度心（心一""一"」），并分别指出它们从内到外颜

色排列的次序.角度的计算结果以度（。）为单位，精确到

(5)透过偏振片观察彩虹，可发现彩虹的光是偏振光.设入射到水滴的光为单色自然光，出射光中$偏振

(偏振方向垂直于入射面)的光强为〃偏振(偏振方向平行于入射面)的光强为人,光的偏振度定义

P=|y—^-1_

为N+'PI.当入射光为红光红二1329)时，试分别计算攵=1和攵=2级虹出射光的偏振度A,

提示：当光从折射率为々的介质射向折射率为内的介质，入射角和折射角分别为例和82,对于$偏振，

反射光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为

nycoso-n2cos仍._2%coscp、

(==",4=

%cosip、+n2coscp?qcos+n2cos%

对干〃偏振，反射光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为

ncos6-ncos(p,_2ncos①

r2}2}

P=;，%=;

%cos(p、4-n}cos(p2%cos0+勺cos(p2

(6)在某些条件下可观察到紧靠虹的边缘出现额外的彩色条纹，该现象称为“附属虹”，如图d所

示.试定性解释附属虹产生的原因.

附属虹

图d

2.如图2〃,一根长度为/、质量为〃7的匀质刚性细杆可绕过其一端的水平轴。转动.只考虑杆在垂直于转

轴。的竖直平面内的运动，用杆与竖宜向下方向之间的夹角81一兀<0<兀，以逆时针方向为正)作为描

述杆位置的坐标.忽略空气阻力和转轴的摩擦阻力.重力加速度大小为g.

已知杆的转轴。在竖宜方向卜作小振幅高频简谐振动.振动方程为z(E)=Acos.，振幅A<</,圆频率

V/.在随转轴。同步平动参考系中讨论杆的运动.

Z⑴

图a

（i）试写出e«）满足的动力学方程.

（2）仇,）可表示为。⑺和凤,）之和，其中。⑺表示平稳运动，3（，）表示圆频率为G的高频小幅简谐振

动.考虑到"7（即*⑺和3"）的特征频率相差若干个量级），在演‘）变化的一个周期内，中⑺可视

为不变；高频运动对平稳运动的影响可以由其在一个高频运动周期内的平均效果表示.在以上条件和近似

下，导出°”）满足的动力学方程.

（3）由中⑺满足的动力学方程可知，杆的平稳运动等效于杆在一保守场中运动，试求相应的有效势能

匕1（8）（取。二°处势能为零）.

（4）根据有效势能匕八°）,试确定杆的平衡位置“。，并讨论各平衡位置的稳定性（不考虑参数取临界值

时的情况）；试求杆在各稳定平衡位置附近做小幅振动的频率.

（5）初始时，杆位于转轴。的止下万，其初角速度破°）（”>°）.要使材能运动全转轴°的止上

方，①。应大于一个临界值%,试求％；当例）时，求杆能运动到的最大角度外

3.卢瑟福0粒子散射实验揭示了原子的核式结构.利用粒子散射实验可确定材料靶原子的种类、浓度及其

深度分布等信息.典型的实验装置示意图如图a所示，一束0粒子入射到待测材料靶（例如金箔）上，测

量不同角度夕方向上散射二粒子的数目。

1015202530354045

a粒子动能/MeV

图c

210

（I）a粒子可以通过放射性元素的衰变获得.静止的内Po（与卜）衰变到Pb（铅），同时放出动能为

5.31MeV的a粒子。试写出此衰变过程的反应式，并计算衰变末态粒子的总动能（单位取MeV,保留

两位有效数字）。

（2）如图从质量为〃J电荷为费.〉。）、动能为E的°粒子从远处沿某直线入射，该直线与靶核A

的距离为〃（瞄准距离）。该口粒子被核电荷数为Z的原子核A散射后，其在远处的运动方向与远处入射

方向之间的夹角为°（散射角）.靶核A可视为始终静止不动，求力与〃之间的关系伙夕）。

（3）在0粒子散射实验中，入射实际上是一束0粒子流，其束流强度为/（单位时间内、单位横截面

积上入射的粒子数）。散射粒子的角分布相对于过A且与0粒子远处入射方向平行的直线是轴对称的，在

dN

以靶核A为中心的环带立体角元da=2〃sin例夕内，单位时间出射的粒子数由正比于

出其中具有面积量纲，称为微分散射截面.求E"）的表达式（其中不可含有参量

b）。

（4）实验上利用加速器获得动能不同的0粒子与金原子核发生散射.在散射角^二60。时测得的微分散射

截面（相对值）与入射仪粒子动能的关系如图c所示，实验数据在口粒子动能为25MV处出现拐点。试

«2

=1.44fm-MeV

解释该拐点出现的原因，并计算该情形下［粒子到金原子核的最小距离.已知4万鼻，金原

子的核电荷数为79。金原子核可视为始终静止不动。

（5）在图a所示的《粒子散射实验中，由于？粒子源或探测器（荧光屏和显微镜）的遮挡，无法实现散

射角为180。左右的测量.试提出一个方案，以实现散射角为180。的测量，并画出实验方案示意图。

4.当两个原子之间的距离较小时，两者之间的相互作用表现为强的排斥；距离较大时，其相互作用表现为

弱的吸引.大量原子可通过此相互作用结合成晶体.温度趋于°K时，原子排列为周期性的空间点阵，处

r力平衡状态；温度高于°K时，原子将在平衡位置附近做小幅振动.考虑由质量为M的同种原子组成的

立方晶体，试用如下模型讨论原子如何结合成晶体以及晶体中原子振动对其热学性质的影响.

（1）距离为R的两个原子之间的相互作用势能V（R）可以近似表示为伦纳德-琼斯势

其中£>°表征相互作用强度，f表征力程.假设平衡时原子排列在立方点阵的顶点上，即原子的平衡位

置为

勺川=…，-2,7,0,12.・

其中。是晶格常数.为简单起见，假设伦纳德-琼斯势的形式在晶体熔化前一直成立，参量£和“也视为不

广

变.试导出晶格常数〃的表达式.计算结果中可包含如下常数：

Z…

其中〃是任意正整数，表示对所有不全为零的加4,求和.

（2）试计算近邻原子、次近邻原子和次次近邻原子分别对4值的贡献.

（3）严格求解晶体中原子在平衡位置叫■附近的小幅振动是非常复杂的.为简化起见，爱因斯坦假设原

子的运动互不干扰，即考虑任意一个原子的振动时，假设其它原子都静止于各自的平衡位置处.在此模型

下，求上述晶体中每个原子的小幅振动的圆频率0E（结果可包含。和4）.

以下假设爱因斯坦模型（包括上述关于圆频率①E的结果）仍然可适用于大振幅的情形：

（4）原子按振动状态的分布为玻尔兹曼分布：当绝对温度为了时，原子的动量大小在］p,p+dp］内、相

对于平衡位置的位移大小在几〃+d〃］内的概率正比于©治2中〃2最

其中E是动量大小为〃、位移大小为〃时原子的能量，然是玻尔兹曼常量.已知阿伏伽德罗常数为NA,

试计算上述晶体的定容摩尔热容（须有必要的推导过程）.

（5）原子振动的振幅随温度升高而增大.按照林德曼判据，当编离平衡位置的距离的平均值大于C4

时，晶体就会熔化，其中C/.为常数（量级为0.1）.试导出晶体甯点的表达式（结果可包含。和口「）.

+x>I-+8/~+（x>［+<x>l-

V1X=T—ejdx2X=T—ej"dx3x=-eJdx4x=———

o2040208

J［f（x）g（y）d.vdy=Jf（x）dx-Jg（y）dy

0000

5.黑洞是广义相对论预言的奇异天体，其宏观性质由质量M、角动量J和电荷。完全决定.对于一个

J=o、Q=°、质量为M的球对称简单黑洞（施瓦西黑洞），可以定义一个以黑洞中心为球心、半径为广

的球面（称为视界）.按照经典理论，视界以内所有物质都无法逃离黑洞.

（1）按照牛顿力学，如果一个粒子在质最为M的球对称天体表面的逃逸速度恰好等于真空中的光速C,此

天体即为黑洞.试导出该天体半径「的表达式.已知太阳质量约为2xl03（）kg,引力常量

6=6.67*10一”!1?/（1^《2）滇空中的光速-3乂108111/5,试问太阳半径至少收缩到多少时它将成为黑

洞?

（2）以上由牛顿力学得到的〃恰好与广义相对论给出的同质量黑洞的视界半径结果一致.

S二"B。.

按照贝肯斯坦和霍金的理论，黑洞的端S正比于其视界面积A,即4G、

其中小是约化普朗克常量，⑥是玻尔兹曼常量.当两个质量均为M的简单黑洞塌缩成一个质量为

的简单黑洞时，求黑洞系统的端的改变量（结果不含A）.

（3）对于一个绝对温度为了、质量为M的简单黑洞，其内能（；和端S满足基本热力学关系

dU=7US.按照相对论，黑洞的内能由爱因斯坦质能关系U=Mc2给出.试由此导出黑洞温度丁与其质

量历之间的关系式，并计算此黑洞的热容.

（4）假设有一可逆热机工作在初始质量分别为Mi。和A/2。的两个简单黑洞之间，己知A/2。＞MR），求该热

机从开始至最终的全过程对外所做的总功.

（3）按照量子力学，霍金提出黑洞表面（即黑洞视界）可以向外辐射电磁波，且此辐射可以等价为与之

同温度的黑体辐射，称为霍金辐射.求霍金辐射功率尸与黑洞质量M之间的关系P（M）.已知斯特藩-玻

尔兹曼常量。4冷2k4.

60/I3C2

（6）由于发生霍金辐射，黑洞能量将减少，从而其质量随时间变小.令黑洞的初始质量为不考虑其

它因素，求该黑洞由于霍金辐射而最终消失所需要的时间.

6.在制作玻璃时通过掺入熔融的金属（如金、银、铜等），可以制成彩色的玻璃。这些金属颗粒中的电子

在光的电场驱动下，对入射白光中的特定频率成分产生共振吸收，导致光在此频率附近的成分转化为热，

从而使透过玻璃的光呈现出颜色。这种共振称为等离激元共振。

（1）考虑真空中一个半径为R、相对介电常数为总的均匀介质球，将其置于匀强外电场E。中。试求稳定

后球内的电场强度耳〃和球的电偶极矩〃。已知均匀介质球在均匀外场中是均匀极化的，真空介电常量为

。

（2）考虑一块均匀金属导体，其导电电子数密度为〃、质量为加、电荷量为-e（e>0）,电子在外场作用

下定向漂移速度为u时，被晶格散射的平均作用等效为一阻力/=-，〃叭/为阻力系数。不考虑电子间的

相互作用。

（i）若此金属导体中有匀强恒定电场£,试求稳定后金属内的电流密度。以及此金属的电导率分。

（ii）若此金属导体中有振幅为En、圆频率为⑦的匀强交变电场E（l）=coscut，电子将会运动形成电

流.若稳定后金属内的电流密度表示为大，）=人851加+%）,记。=兽，可类比交流电的复数表示引

入复电导率b=be的，在复数形式下金属内复电流密度j=4/""）和复电场强度E=E,/3的关系可表

述为j=（rE。求此金属的复电导率b=的表达式（用八的和参量叼,

示）。

在上述匀强交变电场中，电子将会整体同步地运动，可类比电介质定义金属导体中的极化强度。在复数形

式下金属内复:极化强度p和复电场强度后的关系可表述为尸=24E，其中z为复极化率。进而可引入复

电位移矢量D=%E+P=£r/E和复相对介电常数£r。求此金属的复相对介电常数

***/

£r（G）=Re£r（0）+〃"7£,（3）的表达式（用处/和参量%=一表示）。

（3）用上述金属导体制成半径为R的纳米球形颗粒，放入圆频率为的平面简谐电磁波中，其

电场振幅大小为综，波长远大于R。只考虑金属颗粒在电场中的极化，且在复数形式下可与第（1）问中介

质球的极化类比.已知》•■综，不考虑电磁辐射。

（i）试求稳定后金属纳米颗粒内的电场振幅大小Em（。）；当。二例，时Em达到最大，发生等离激元共振,

试求共振圆频率例（为简单起见，求①「时可取7=0）。

（ii）试求共振时该颗粒内的电场振幅大小技=纥］（例），以及共振时该颗粒内的平均发热功率（考虑

到①p,略去/的高阶小量）

7.假设磁单极子（点磁荷）g的磁场满足所谓的磁荷库仑定律，即8（r）=及金〃

4%r

其中〃0为真空磁导率，〃是场点相对于该磁荷所在处的位矢.通常的电磁学理论认为磁单极子不存在，且

迄今为止实验上也没有发现磁单极子.1931年，狄拉克提出了一个模型，该模型构造了一根由无数个首尾

相接的（磁荷）磁偶极子组成的弦（即狄拉克弦），该弦从一个端点延伸至无限远，如图a左图所示.若将

每一个小磁偶极子等效为一个小电流环，则整个狄拉克弦等效为截面相同、均匀密绕的半无限长极细通电

螺线管，如图a右图所示.这种等效意味着狄拉克弦上的微元磁偶极矩gd/与螺线管轴线上相应线元出的

微元磁矩山〃相等，即加=gdl（见图a）.在这种图像下，螺线管端点处也等效存在一个“磁单极

子"，这样引入的磁单极子遵循通常的电磁学规律.以下引入矢势来讨论狄拉克弦及相关问题.

按通常的电磁学理论，磁感应强度B的通量可表示为矢势A的跖量，即?..二??!・"/

其中L为曲面S的边界环路.磁矩为小的小电流环所激发的矢势为4r）二3”

4"r

图a

（1）如图b,与狄拉克弦等效的极细通电螺线管端点的磁荷为g.从原点沿负z轴伸向无穷远。

图b

⑴导出此螺线管在位置（，•,“⑺处（0＜。＜乃）的矢势A的表上式。

rdr_x

提示：,（£+//=/&+J任意常数。

（ii）对于图中以Z轴为轴线、球坐标八夕（0《。＜〃）固定的有向圆形环路L,请先计算矢势A的环量「「

再按磁荷库仑定律计算点磁荷g的磁场通过以圆环L为边界的圆面的通量①〃（面元法向沿z釉正向，且

与环路绕向成右手螺旋关系。不考虑9=5情形），并比较「工与（匕的异同（如有差异，请分析差异的来

源）

（2）从原点沿负z轴延伸的、与狄拉克弦等效的极细通电螺线管中，其电流/⑺=/0cos0为低频交变

电流，己知螺线管的横截面积为S,单位长度匝数为〃.

（i）求原点处的等效磁荷g（。。

（ii）将一单位长度电阻为尺的导线弯成正三角形回路，其边长为该三角形位于z=的平面

12

上，螺线管穿过其中心，如图c所示。求此三角形回路的平均热功率。不考虑辐射以及三角形回路的自

感。

图C

提示：可考虑正三角形对g所张的立体角.

（3）阿哈罗诺夫玻姆效应（即A-3效应）的实验证明：即使在磁感应强度为零的区域，也可能会因为

ANO出现磁效应.它揭示了磁矢势A的物理意义.用自由电子双缝干涉实验可验证效应.在该实

验中，双缝（缝宽很小）与屏之间的距离为，双缝间距为。）；一根无限长的极细直螺线管垂直放

置于电子经过双缝后的路径之间，其单位长度匝数为〃，横截面积为S,如图d所示.电子源发出的自由电

子的动量大小为〃、电荷为若螺线管中的电流从0变化到/,求中心亮条纹在屏上移动的距

离.已知动量为〃的电子在矢势场A中的波矢为％其中方为约化普朗克常量.

电

子

源

8.拈滞性是流体内部阻碍各流体层之间相对滑动的特性，又称内摩擦.液体内部以及液体与容器壁之间均

存在粘滞力（又称内摩擦力），粘滞系数是表征流体内摩擦大小的物理量.在工程机械、石油石化和医药

等领域，常常需要对试样的粘滞系数进行准确测量。

对于粘滞系数较大且较透明的液体，常采用落球法测量其粘滞系数。较深透明容器中盛有密度为々的均

匀、静止的粘性液体，液面近似为无限宽广（忽略容器壁影响，密度为。、半径为〃的均质小球以较慢

的速度在该液体中下落（无转动），其受到的粘滞阻力厂满足斯托克斯公式：F=6E?D

上式中v为小球的运动速度，H即为该液体的粘滞系数.

（1）在液面处以静止状态释放小球，小球下落初段为变速运动：最终会趋于收尾速度力。请推导小球下

落过程速度y（1）的表达式（含几时间，，和重力加速度g）并给出收尾速度％的表达式（含

厂/小夕,〃和重力加速度g）。

（2）测量小球沉降的收尾速度%，可以计算液体的粘滞系数.实验中常采用测量小球近似匀速下落一段距

离$需要的时间，来估算收尾速度.常将下落速度达到（）.99%后的运动认为是近似匀速下落。若粘性液体

33

密度PL=0.97x10kg/n?,小球半径r=0.72mm，小球密度P=8.91x10,kg/m，液体粘滞系数〃约为

0.50Pa$若小球浸没在液体中释放时L=0,请估算小球下落速度为0.99%时的下落距离小

小球

T

S

1

粘性液体

图：落球法示意图

(3)若用落球法测量甘油的粘滞系数时，测得小球的直径为d=(2.00±0.01)mm,小球的密度为

夕=&85、1031^・171-3,小球在甘油中近似匀速下落的时间为，=(20.0±0.1/，甘油的密度为

0=1.26g/mL,重力加速度为g=9.80m/§2。请写出甘油的粘滞系数〃的计算公式，计算粘滞系数

给出以小球直径d和下落时间/为直接测量量时粘滞系数〃的不确定度表示式，并计算其不确定度AV。

4o

3o

2o

IO

(

E

E100

)90

故80

去70

校

K-

50

40

1.52.02.53.03.54.04.55.05.5

下落时间(s)

图：小球卜.落距离与时间r的关系曲线

(4)在用落球法测量液体粘滞系数实验中，液体相对球的运动状态会对粘滞阻力产生影响，常引入无量

纲参数雷诺数e=军区来表征流体运动状态，其中U为小球的下落速度，〃为该液体的粘滞系数，J为

7

小球半径.通常若满足R,<0.1,则无需对前述斯托克斯公式进行雷诺数修正；若<0.5，则需对斯

托克斯公式进行1阶修正；若42（）.5,则需进行二阶修正。若在一次落球法实验中，小球半径

r=2.75mm，粘性液体密度p,=9.65xl02kg/m3，液体粘滞系数〃约为（）.8Pa-s，使用高速相机记录的小

球下落距离与时间，的关系中的一段如本题图所示，此时我们需要进行斯托克斯公式的几阶修正？

（5）用落球法测量液体粘滞系数时，以下哪些因素在其他条件相同时会影响实验结果的准确性一

A.小球的直径；B.液体的温度均匀性；

C.容器的尺寸；D.释放小球位置的上下偏差

（6）通常液体的粘滞系数强烈地依赖于温度，本题图是某三种液体样品的粘滞系数与温度的关系曲

线.请写出你能从图中总结出的经验规律，并对图中粘滞系数与温度关系给出一种微观解样.

E1EUO

)I5O

遮

&I2O

IIO

英UIO

修9O

8O

7O

50

下落时间（s）

图：小球下落距岗。时间，的关系曲线

B

（7）若已知题（6）中三种液体的粘滞系数与温度关系均可用Andrade公式:〃=AekuT

来描述，其中丁是热力学温度，即=L38X1O-23J/K是玻尔兹曼常数，A和B是待定系数，清估算其中

液体I所满足Andrade公式中A和B的值.

（8）关于落球法测量液体粘滞系数实验的原理和可能出现的误差，下列说法中正确的是一

A.小球在液体中下落时，受到的重力与浮力之差等于粘滞阻力.

B.小球在液体中下落时，应尽量选择较大的匀速区间$和较小的容器直径.

C.小球释放时，应尽量选择圆管容器截面中心位置.

D.本实验应选择表面光滑些的小球.

（9）对于透明度较低难以直接测量落球位置的液体，例如原油，在小球中放入加速度传感器可测量下落

过程的加速度，通过加速度随时间变化曲线可计算出近似收尾速度，进而得到液体的粘滞系数.本题图是

一次实验中获得的小球加速度与时间的关系曲线，请估算小球的收尾速度%。

SG

U/

)1

弱

汹

后

时间（S）

图：小球加速度和时间关系曲线

（10）关于在小球中放入加速度传感器的这个实验，以下哪些分析是不正确的

A.放入加速度传感器后会使球的体积变大，同容器下，略微变大的小球会使冲算得到的粘滞系数偏小

B.为分析加速度变化过程，加速度传感器的采样率越高越好.

C.放入加速度传感器后，重心偏离球心可能导致球更易发生旋转，不影响卜落轨迹，计算得到的粘滞系

数偏小.

D.若保持小球密度不变，体积变大，达到接近匀速下落需要更长距离.

9.液体的体膨胀系数〃是反映液体性质的重要物理量，其满足如下关系式：夕=［（空］

式中丫是温度7时液体的体积.液体的体积通常随温度的升高而增大，但水的体积不是随着温度的升高单

调增大.准确测定水的体膨胀系数在工'业生产中意义重大.

（1）本题图为利用拉力传感器测量不同温度卜水的体膨胀系数的实验装置示意图.实验中将一有机玻璃

圆柱体悬挂于拉力传感器下，该圆柱体完全浸没于装满水的容器中，与容器内壁和底部均不接触.圆柱体

的质量为M。,该圆柱体的体膨胀可忽略.不同温度7时拉力传感器测得浸没在水中的圆柱体等效质量为

Mr.请给出水的体膨胀系数/的计算公式（以第为参量）.

图：实验装置示意图

（2）本题图是拉力传感器测得的随温度变化关系曲线.若容器加水前使用拉力传感器测量圆柱体质

量M（）为60.70g，请估算待测水样品在40c附近的竺工和体膨胀系数小.

AT

温度T(°C)

图：与温度T的关系曲线

（3）关于上述实验方法中的误差，下列描述正确的是

A.若拉力传感器存在零位误差会使膨胀系数计算结果偏大.

B.本实验中应选择体积大一些的重物.

C.实验中温度计若存在零度误差并不会给膨胀系数的计算带来误差.

D.本实验中细线受力后的轻微形变对实验没有影响.

E.较快的加热速率可缩短实验时间，对实验测量更为有利.

（4）实际实验中上述方法的测量精确度受到多种因素的限制，利用迈克尔逊干涉仪可更精确地测量水的

体积随温度的微小变化.如本题图所示，激光光束经扩束镜后照射在分束镜上，分束镜Gi将入射光束分

成两束，两束光分别经过两个反射镜Mi和M2反射后，在分束镜后方空间相干叠加形成干涉图样.反射镜

Mi可沿导轨前后移动.若实验中在迈克尔逊干涉仪观察屏上看到干涉条纹为细密的近似直条纹，此时最可

能的状态是一

A.Mi和Mz两路的光程差较小，Mi和M2方向偏离垂直关系较明显.

B.Mi和Mz两路的光程差较小，M）和M2方向较为接近垂直关系.

C.M］和M2两路的光程差较大，Mi和M2方向偏离垂直关系较明显.

D.Mi和M2两路的光程差较大，Mi和M2方向较为接近垂直关系.

图：边克尔逊干涉仪原理图和实物图

（5）关于实验中观察干涉圆环时的现象与操作，下列说法不正确的是

A.若想在观察屏上看到的干涉圆环出现更多级次，可以减小两反射镜的光程差.

B.若在观察屏上看到的干涉圆环圆心偏向一边，此时需要减小两反射镜光程差来将圆心调整到屏幕中

心.

C.若观察屏上看到的干涉圆环类似椭圆，可以调整观察屏的角度来使其更接近正圆环.

D.若想要在观察屏上看到的干涉圆环更稀琉，可以调整观察屏的前后位置.

（6）利用迈克尔逊干涉测量液体体膨胀系数的装置如本题图所示.激光器出射光经扩束镜后照射到分束

镜上分为两束：反射光经M2反射后射入到漂浮于温控箱容器中水体液面上的反射镜，原路返回至分束

镜，其光程为透射光经反射镜Mi反射后入射到固定于与待测液体容器相距很近的金属块上的反射镜

表面，原路返回至分束镜，其光程为两光束在分束镜后相干叠加，用CCD记录干涉图样.若已将装

置调整到在CCD记录平面呈现圆环干涉图样，并且干涉圆环的中心光斑的中心光强/满足：

7（2jrSDY

°LIx）\

式中5。二邑一5，/1为激光波长，/。为常量.若容器的热膨张可忽略，0C时容器中水的体积是％,圆柱

形容器的截面积为A,通过测量缓慢升温过程中心光斑光强随时间变化关系可得到光程差随时间的变化关系

通过温度计可测得温度随时间的变化关系7（f）.若此时水的体膨胀系数尸以

学•，等,4和匕为参数写出月的表达式.

图：利用迈克尔逊干涉光路测量液体膨胀系数

（7）本题图I是温度计测到升温过程中水温随时间变化的关系曲线，本题图2是实测到中心光强在升温过

程中随时间变化的关系曲线的一段.若本题图2中210s附近峰位对应的SD=O,且0℃附近水的体膨张系

数为负值.请在答题纸给出的坐标纸上画出200s到600s之间S,与时间的关系曲线，要求数据点不少于

16个.请将所选数据点序号标在本题答题纸附图上，这些点对应的时间和光程差数据填入本题答题纸附表

中.

(

o

o

o

n」

Q

Q」

d

l

u

g

L

图1：水温随时间变化的关系曲线

(

n

(A)u

_l

us

aw)

一

200250300350400450500550600

Time(s)

图2：光强随时间关系曲线

表选取数据点光程差与时间数据

时间〃s

光程差SD/A,

时间〃s

光程差%/4

(8)请描述从0C开始升温600s之内该反射镜在垂直液面方向的运动过程.

(9)实验中干涉圆环会随着两臂光程差变化而出现存吐现象.根据2.7中的初始状态条件，请描述从0℃

升温到5℃过程中，干涉圆环的吞吐变化情况.

(10)若已知盛水容器械面积为12.1xlO-3m2,oC时容器中水的体积为1.02x10-3m3,所用激光波长

A=632.8nm.请由你在题2.7所附坐标纸上所画的曲线，估算3℃和5℃附近的竺2,利用题2.6中得

到的公式计算水在3℃和5℃时的体膨胀系数夕.

10.1911年荷兰物理学家昂纳斯首次发现当温度降到4.2K时，汞的电阻突然降到零.此后，科学家们持续

开展超导研究，不断提升超导材料的转变温度.2023年3月《Nature》杂志发表了美国罗切斯特大学研究

团队的成果，他们宣布在1GP(1万大气压)下实现了Lu—N-H材料近室温超导转变，随后我国研究

人员也在《Nature》杂志上发文，否定了Lu-N—H的高压室温超导的结论.室温超导一旦实现，将会引

起一场新的科技革命，推动人类文明的进步.

超导体在临界温度下会进入超导态，表现出零电阻、完全抗磁性等性质.

（1）一般通过超导材料的电阻-温度关系确定超导体的临界温度.本题图是某种超导材料的电阻-温度曲

R

线.通常把将样品电阻降至午时的温度定义为超导转变临界温度R“是超导转变开始时样品的正常

态电阻，如木题图a所示.本题图b是一种材料的升降温/?一丁曲线（升降温速率4K/min）,本题图c是

其局部放大曲线.请在本题图c上用上、下箭头标注对应的升、降温测量曲线，并选择升温的电阻-温度曲

线，确定该材料的超导转变临界温度

(b)

5

002(

1

000000C0.

Tc75808590

Temperature(K)

图：超导材料的电阻•温度关系曲线

（2）本题图是超导体处于超导态（77K）的/-V曲线.进入超导态后，超导体可承受的电流是否有上限一

A.有上限:B.无上限.

图：超导体（77K）的曲线

（3）一种新型材料在高压下实现超导转变，本题图是该材料在不同磁场中的电阻-温度曲线.根据实验结

果，说明磁场对超导材料的作用.

3.3T

41.5GPa

0T

06T

^0.1.2.4T1.2T

1.8T

24T

27T

3T

L8T

3.3T

3.6T

0.6T

00+

2610

T(K)

图：不同磁场F超导材料的电阻•温度曲线

测量超导材料的电阻-温度曲线时温度变化范围大，常采用热电偶测温.

图热电偶测温原理

热电偶测温的工作原理如下：金属导线A和8的一端焊在一起用作测温端.它们的另一端各与同种材料C

的两根导线连接，并将连接点放入温度已知的恒温槽里，用作参考端.用高精度电压表或电位差计从C材

料导线的两个引出端即可测量热电偶由下式表示的温差电动势：£加=多历（7-十）

式中。加是塞贝克系数，由材料组分决定，7是测温端温度，％是参考端温度.

实验室常用的低温热电偶是7型热电偶，由铜和铜锲合金两种材料组成.根据事先标定好的数据，由温差

电动势可以获得待测端温度.

（4）在实验过程中，测温端经常会断开，是否可以使用电烙铁及焊锡将两端焊在一起进行汞的超导转变

温度测量—

A.可以：B.不可以.

（5）厂家一般提供的是基于参考端为0C的热电偶的温差电势■温度转换表，实际应用时，参考端一般浸

入冰水混合物.如果在高、低海拔地区分别用该热电偶测量同样的温度，测量误差哪个大

A.高海拔地区；B.低海拔地区

（6）参考端的温度还可用测量精度高但范围窄的热敏电阻温度计进行测最.本题图是一种热敏电阻的伏

安曲线，选用该电阻制作的温度计，应该让其工作在什么电流区间？本题图b是该热敏电阻的电阻-温度特

性曲线，该热敏电阻具有下列哪些特点

图：一种热敏电阻的（a）伏•安曲线，（b）电阻•温度曲线

根据题46图h,计算本题表中7；的温度值.

表：热敏电阻的电阻-温度关系

77℃20.0T127.532.5

R/Q2479224118401521

（8）利用丁型热电偶测温时，可能存在的误差有

A.热电偶与被测物体间接接触；

B.热电偶的响应延迟；

C.电压输出端两根引出导线材料不同；

D.热电偶的塞贝克系数太小.

（9）材料C构成的两根粗细相同的导线，采用鳄鱼夹与43联接时，对测量结果是否有影响—

A.而温有影响；B.低温有影响；C.高温没有影响；D.低温没有影响.

（10）一般采用范德堡（van'Hei'Pauw）四引线法测显超导体的电阻-温度曲线.本题图是制作好的四个电

极的待测超导样品.如果要测量其电阻的相对变化，其四个电极应如何与一高精度电压表和一恒流源表相

连？请在本题答题纸附图中用连线示意，并说明采取哪些措施可以提高电阻的测量精度？

23

图：待测超导样品

超导体进入超导态的特征之一是“零电阻”.为了能更精确地确定超导体电阻的上限，通常采用持续电流

法.将超导体做成一个闭合环，放在磁场中进行冷却，进入超导态后，撤去外磁场，超导环中会产生感应

电流，通过感应电流随时间的变亿，可确定超导体电阻的上限.超导环中感应电流产生磁场的大小及变化

可以用霍尔元件进行测量.

霍尔测量原理：在载流体薄板上通以电流，沿薄板法线方向施加磁场，载流子受洛伦兹力的作用，就会在

与电流和磁场两者垂直的方向上产生电势差，这种现象称为霍尔效应，所产生的电势差称为霍尔电压，如

图所示.

图霍尔效应原理

若R〃已知，测出%=%，-%可计算8；若8已知，测出力，可计算R〃，进而确定截流子类型.

（11）本题图是某种新型材料根据图3.11.0测量原理测得霍尔电阻率夕（H）=立皿（样品厚度d、宽

Ia

b、长。在不同温度下随磁场变化的结果.请根据实验结果判断该材料在50K和300K时的载流子类

型.由本题图可看出：同•磁场下，霍尔电阻率会随温度变化反号，请说明原因.从本题图中你还发现哪

些现象？

0.4K2

一

lO

一

2O25

匚

30

3545

»M

«»!

(K

"0.4।।■!■,■

-9-6-30369

B（T）

图：某种材料在不同温度下霍尔电阻率阻磁场的变化曲线

（12）本题图所示霍尔元件制备过程中A8两电极不对称焊在霍尔片两侧，导致不等位电动势.请问如何

消除该不等位电势？

图：不对称霍尔电极示意图

（13）霍尔元件中我流子速率I，服从统计分布规律，会在薄板两侧形成横向温差，引入温差电动势/，该

现象称为爱廷豪森效应（硼通ghausen?）.该效应建立时间较长，请问如何消除？

（14）本题图a和b分别为持续电流测量装置示意图和测量点磁场随时间变化的实验测量结果.请根据图

b,说明曲线不同区域样品的导电性和测量点磁场变化的可能原因.

超导环半径3.5mm,环与测量点距离1.0mm,请确定持续电流的大小.

在题图bin区，霍尔元件测得的磁场没有可观察的变化.仪器测量精度可确保在整个IH区电流变化小于

1/1000,样品环内的磁感应强度可近似认为与环心处的相同.请由实验结果估计环状样品在超导态时的电

阻（对环形电流而言）阻值上限.

anI50100ISO200250300

t(«)

图（a）持续电流测量装置图；（b）磁场随时间变化曲线

（15）如果样品是圆盘状的，还会产生持续电流吗

A.会；B.不会.

（16）本题图a和b分别是测量超导体热电势随温度变化的示意图和测量结果，测量时，低温端始终处于

液氮（77K）中.附图b中r为高温端温度，热电势-温度曲线被划分为三个温区，请说明各温区反映的是

样品何种状态下的热电势特征.

热电的

电压表100110120130

T(K)

图（a）测量超导体热电势示意困；（b）超导材料的热电势•温度曲线

第40届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题

【1题答案】

【答案】(1)=k7r+2i-2(k4-1)arcsin[—sin/

-2(k+1)arcsin—11——----—

(2)纥〃=&4+2arccos

nVk(k+2)

2(k+l)2/

(3)

nVn2-1

(4)红色在内，紫色在外

(5)79.99%

主虹附近出射光的波前，和入射光不同，它不再是一个平面波而是发生了扭曲，这个额外的光程差导

致出射光线发生干涉，从而产生“附属虹”.

【2题答案】

【答案】(1)一(mg—〃ZO'ACOSM)—sin0=-，x/26

3

II,I.I\9""

-mg—sin0一机g—cos(p-S+nuo1Acos—sin。+met}Acoscot—cos(p-8=-ml~(p+6)

222