高考数学一轮复习 第三章 第5节 构造函数证明不等式-含解析

第5节构造函数证明不等式

9重难解读导数中的不等式证明是高考的常考题型之一，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等

相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，会灵活采

用不同的解题方法.

一「《«««考点突破能力提升—)_:-----------c

考点一移项构造函数法(或直接利用函数的最值法)

【例I】(2026•湖北襄阳月考)已知〃为正实数，函数了⑺二照.若曲线月⑺在点("(D)处的切线

方程为)=­；(ax-b).

(1)求a+b的值；

(2)求证:/'(x)》*-p

解(I)因为Jax+b

所以(公二竺受瞎

Jx(ax+b)2

又因为了(1)二=七,/。)：。,

J(a+b)2a+bJ

所以曲线)可⑺在点(1J⑴)处的切线方程为广熹(、⑴二六》―

又曲线产f(x)在点(I,/⑴)处的切线方程为>'=1(ax-b),

1_a

而=5,

1_b

a+b-2*

解得u=b-1(负值舍去)，所以a+b=2.

(2)证明：由(1)可知JU)二塔.

要证/(外即证塔>4；-

Jx+lXx+1x+1

只需证In20.

构造函数g(x)=lnx+gl,则Pg'G)专1，

当XG(0,1)时,g，(x)<0,函数g(x)单调递减;

当(1,+8)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增，

所以g(x)min=g⑴=0,所以g(x)20,

所以fW2二一士

JX+1X

I思维升华〉

待证不等式的两边含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进

行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证.

【跟踪训练1]已知函数/(X)=5/xlnX.

⑴求曲线内(x)在点(1J(l))处的切线方程;

⑵求证:函数.y=/(x)的图象位于直线y=x的下方.

解⑴F&)嗡+今则f⑴=1,又/1)=0,

所以由线在点(I处的切线方程为尸x・l.

⑵证明：因为Q0,所以«>0,

要证明/G)<X只需要证明\nx<Vx,

即证Inx-\[x<0,

令h(.r)=lnx->/x,贝[ZfU)=---^=-

x2VX2x

当0<r<4时,〃(x)>0,则力㈤在(0,4)上单调递增,

当x>4时，力'(x)<0,则力G)在(4,+oo)上单调递减,

故/?(。在x=4处取极大值也是最大值，

故/?(.t)^/j(4)=ln4-2<0,

所以Inx-正<0恒成立，即原不等式成立，

所以函数的图象位于直线产x的下方.

考点二放缩后构造函数证明不等式

【例2】当.v>0时,证明:e'-sinx-l>xlnx.

证明设/"x)=x-sinx,

则/f(x)=l-cosx20.〃G)单调递增,

所以当x>0时,/z(x)>〃(0)=0,

即x>sinx(x>0).

所以e'-sinx-l>e'*l,

所以要证e’-sinx-lxlnx,

只需证er-x-1>x\nx,

设73=3*1,则7(x)=e，-l,

当x£(0,+8)时JO>0J(x)单调递增，且/(0)=0.

当xe(0,1)0t,/(x)>O,xlnx<O,

所以er-x-I>xlnx.

当.£[1,+8)时，设F(x)=e'-x-1-xlnx,

则F'ix)=eA-lnx-2,

设g(.r)=er-lnx-2,则g(v)=e,—,

因为g'(x)在U,+o。)上单调递增，且g'(l)=e-l>0,

所以，(x)>0在[l,+oo)上恒成立，

所以g(x)在［1,+00)上单调递增，

又g(l)=e-2>0,

所以广(x)>0在口，+8)上恒成立，

故尸⑺在［1,+8)上单调递增，

则F(x)2尸(1)=e-2>0在［1,+8)上恒成立.

综上，当x>0时,ev-sinx-\>x\nx.

I思维升华〉

1.利用导数证明不等式时，若所证明的不等式中含有e「lnx,sinKC0sx,tanx,或其他多项式函数中的两种以

上的函数，可考虑先利用不等式进行放缩，使问题简化，然后再构造函数进行证明.

2.常见的放缩有：

(1)正弦、正切放缩:tanx>x>sinx,x£(O,1).

(2)切线放缩:eX2x+lX・l》ln-利用切线放缩可把指数式、对数式转化为一次式，有利于后续的求解.

(跟踪训练2】(2026•黑龙江齐齐哈尔月考)已知函数f(x)二票p求证：当x>0吐3/(x)+1<e\

证明当x>0时，要证明3/(x)+1

即证明/(幻<一,记/(工)=。。-1,

则F(x)=er-1,当xG(0,+oo)时，广(x)>0,

所以F(x)在(0,+8)上单调递增，

所以Fa)=ex-x-l>F(0)=0,

故er-1>x,即:<

故只需证明fix)勺(Q0),令G(x)-fd)*

\sinx1mi\2cosx+l1-(cosx-1)2

则GU)=------------x,则G'Cr)=---------b-o=表----77.

2+cosx3(2+cosx)233(2+cosx)2

故对于Vx>0,都有GQ)W0,因而G(x)在(0,+oo)上单调递减,

对于Yx>0,都有G(x)<G(0)=0,因此对于Vx>0,都有

所以/(%)〈〈U成立，即人公<=成立，故原不等式成立.

0K就北凹凸反转

1.凹函数、凸函数的几何特征

图象上任总舱段位于所在图象上任总弧段位于所在

弦的下方的函数为凹函数弦的匕方的函数为凸函数

图1图2

2.凹凸反转

很多时候,我们需要证明r«>0,但不代表就要证明/W.ni„>0,因为大多数情况下J(x)的零点是解不出来的.

当然,导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不

行可尝试用凹凸反转.如要证明/«>0,可把/(x)拆分成两个函数g(x),力5)，放在不等式的两边，即要证

gG)M(l),只要证明了g(X)min>Mr)max即可，如图3,这个命题显然更强,注意反过来不一定成立.很明显,gG)

是凹函数,/“X)是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反,所以称为凹凸反转.

3.凹凸反转关键

凹凸反转关键是如何分离,常见的不等式由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造

差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离，即指数函数和多项式

函数组合与对数函数和多项式函数组合分开,构造两个单峰函数,然后利用导数分别求两个函数的最值并进

行比较.当然我们要非常熟练地掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合的函数的图象与最值.

【应用】已知函数/(xWadnx+A2,g(x)=e'+x-l,1,求证:f(x)<g(x).

证明要证明fix)<g(x),

即证明avlnx+,r<el+x-1,

只需证明竺上+1〈上手.

XX2

令〃(<)=胆+1,()4忘1,心)=巴罗.

XX1

易知u'M二叫W1,

当()<v<e时,/(x)乂),函数〃⑺在(0,e)上单调递增;

当x>e时，函数u(x)在(e,+oo)上单调递减，

所以当时,〃G)取得最大值，最大值为巴H.

e

由“工)=卓可得"⑴二丝好2,

当0<x<2时,/(x)<0,函数”外在(0,2)上单调递减;

当x>2时,J(x)>0,函数i，(x)在(2,+8)上单调递增，

所以当x=2时,v(x)取得最小值，最小值为？.

4

所以巴1>%1,

4e

即然+1

所以当OvaW1时,fG)vg(x)

课时作业

［基础巩固］

1.(2025•湖南长沙一中二模)已知函数/(x)=flnx.

(1)求函数/W的极值；

(2)证明:对任意的x£(0,4-00),有J(x)1.

解(1)易知J'(x)=2x\nx+x=x(2\nx+1),

令了(上)中⑵nx+l)=0,则广白，

又因为x£(0，+)时J(x)<0J(x)单调递减;%£(看+8)时J(x)>0J(x)单调递增,

所以/⑺的极小值为/(2)=一盘无极大值.

⑵证明：令“X)=:dnx-l+-X,

可得t'(x)=lnx+l-^,

令in(x)=lnx+l-5，

则m'(x)=-+W>0,金)单调递增，又〃?⑴=0,

所以当(0,1)时,〃“x)W(x)<0j(x)单调递减；

当(1,4-00),m(x)=/r(x)>0,t(x)单调递增,

所以“x)min=/⑴=0,

所以fW=^lnx-l+X-^(l)=0,

所以,vln即得flnxex-l,

X

所以f(x)

2.(2026•吉林长春月考)已知(0,1),求证:/上<与.

xex

证明要证/二<塔，

xex

只需证ev(x2—：)<lnx,

又易证er>x+l(0<v<1),

且当Je(0,1)时，一2<0,

X

所以只需证明Inx+Cr+1),(：—%2)乂)，

即证1门+1-户」-忌>0,

X

而VdrvrSoyl),

所以只需证1nx+1-Zr+!>0.

X

令g(x)=lnx+\-2x+§(0<v<1),

则且，a)乏_2_妥=一空/，

而2r-x+l>0恒成立，

所以g<x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,

所以当(0,1)时,g(x)>g⑴=0,

即lnx+l-2x+80,

所以

xex

3.已知函数/(x)=ex2-xlnx,求证：当A>0时Jtr)<xev+i

证明要证/U)0e'+：,

只需证er-lnx<e'+^-,

ex

即e.r-e'<lnx+"L

ex

令"")=lnx」te>0),

ex

则人，⑺二安，

ex2

易知力(X)在(o/)上单调递减，在Q,+8)上单调递增,

贝I」h(X)min=/?Q)=0,

所以Inx」20.

ex

再令W(x)=ex-e\则，(幻=e-e',

易知W(x)在(0,1)上单调递增，在(l,+o。)上单调递减,

则(p(x)max=8(1)=0,所以e