函数的图像（讲义）-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区）解析卷

第11讲函数的图像•讲义（解析卷）

一、考情分析....................................1

二、知识清单....................................2

一、掌握基本初等函数的图像.................................................2

二、函数图像作法...........................................................2

三、典题精讲....................................4

考点一：函数图象的识辨.....................................................4

考点二：函数图象的变换.....................................................7

考点三：函数图象的应用.....................................................9

四、高考真题.....................................................................13

一、考情分析

1.考查频次与题型

年

题号与

份分值考察类型考察内容与方式

题型

第7题

20245分直接函数图象的应用（画出三角函数图象求交点个数）

单选题

第8题

20255分间接函数图象的应用（数形结合比较对数方程根的大小）

单选题

2026-0分--

近三年全国一卷中，对函数图象的考查频次适中，主要以单选题形式出现，分值为5

分.考查方式侧重于函数图象的应用，如利用图象解决交点个数问题或数形结合比较大小.

2.命题角度与特色

核心考点：侧重考查利用函数图象解决方程的根（交点）个数问题，以及基本初等函

数图象的走势与性质.

命题趋势：单纯考查图象识辨的题目减少，更多地将函数图象作为一种工具（数形结

合思想），融入到方程、不等式或大小比较等综合问题中.

试题特点：对作图能力要求较高，需要考牛能够准确画出函数的草图，并敏锐捕捉图

象的交点、渐近线、增减趋势等关键特征.

3.备考策略

•熟练掌握各类基本初等函数(特别是指数函数、对数函数、三角函数)的图象特征

及作图方法.

•强化数形结合思想，在遇到方程根的个数、不等式恒成立或复杂代数式比较大小时,

优先考虑画出图象情助分析.

•掌握函数图象的平移、伸缩、翻折等常见变换规律，能够根据解析式快速描绘出复

杂函数的草图.

二、知识清单

一、掌握基本初等函数的图像

•(1)一次函数；(2)二次函数；(3)反比例函数；(4)指数函数；(5)对

数函数；(6)三角函数.

二、函数图像作法

1.直接回

・①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性(或其他对称性)、单调性、周

期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线(对称轴、渐近线等).

2.图像的变换

(1)平移变换

・①函数y=/(%+a)(a>0)的图像是把函数y=f(%)的图像沿％轴向左平移a个单位

得到的.

・②函数y=f(x-a)(a>0)的图像是把函数y=/(%)的图像沿％轴向右平移a个单位

得到的.

・③函数y=/(%)+a(a>0)的图像是把函数y=/'(%)的图像沿y轴向上平移a个单位

得到的.

・④函数y=/(x)-a(a>0)的图像是把函数y=/(x)的图像沿y轴向下平移a个单位

得到的.

(2)对称变换

・①函数y=f(%)与函数y=f(—x)的图像关于y轴对称：函数y=f(x)与函数y=

-f(%)的图像关于％轴对称；函数y=/(x)与函数y=的图像关于坐标原点(0,0)对

称.

・②若函数f(x)的图像关于直线x=Q对称，则对定义域内的任意％都有f(a—x)=

/(a+%)或/(X)=/(2a-%)(实质上是图像上关于直线x=Q对称的两点连线的中点横坐

标为Q，即嗅0=Q为常数).

•若函数/■(%)的图像美于点(a,b)对称，则对定义域内的任意%都有/(%)=2b-f(2a-

%)或/(a—x)=2b—/(a+x).

・③y=If(%)1的图像是将函数/(%)的图像保留工轴上方的部分不变，将》轴下方的部分

关于％轴对称翻折上来得到的(如图(a)和图(b))所示.

-④y=/(氏|)的图像是将函数/(x)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图

像关于y轴对称得到函数y=/(四)左边的图像即函数y=/(|x|)是一个偶函数(如图(c)所

示).

・⑤函数y=/T(X)与y=/(%)的图像关于y=x对称.

【易错提醒】|/(x)|的图像先保留/(x)原来在x轴上方的图像，做出x轴下方的图像关于x

轴对称图形，然后擦去x轴下方的图像得到；而/(氏|)的图像是先保留/(%)在y轴右方的图

像，擦去y轴左方的图像，然后做出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得至人这两变换又叫

翻折变换.

(3)伸缩变换

・①y=AfMG4>0)的图像，可将y=/'(无)的图像上的每一点的纵坐标伸长(A>1)

或缩短(0VA<1)到原来的4倍得到.

•②y=73%)(3>0)的图像，可将y=/(%)的图像上的每一点的横坐标伸长(0<

3V1)或缩短(⑦>1)到原来的三倍得到.

CD

三、典题精讲

考点一：函数图象的识辨

考法1:利用函数的奇偶性与特殊点识辨图象

例1.已知函数/(%)的部分图象如图所示，则/(X)的解析式可能为()

A./(X)=XCOS7T(X+1)B.f(x)=(X-1)COS7TX

C./(%)=(%—l)sin7rxD./(%)=%3-2x2+x—1

【答案】B

【思路】观察给定图象，可以从特殊点的函数值、图象的对称性以及极值点的个数入手.通过代入

特殊点x=0的值排除部分选项，再结合导数分析极值点个数，最后验证符合图象特征的解析式.

【解析】对于A选项，f(0)=0,A选项错误；对于C选项，f(0)=0,C选项错误；对于

D选项，/\%)=3x2-4x+l,r'(x)=0有两个不等的实根，故/'(X)有两个极值点，D选项错误.

对于B选项，/(x)=(x-1)COSTTX,f(0)<0；当x6(一］，；)，k6Z时，COSTTX>0,x-1<

0,此时/1(x)V0,当不£&1)，k€Z时,COSTTX<0,x-1<0,此时/1(%)>0,当％

kEZ时，COS7TX<0,x-1>0,此时/'(x)VO,依次类推可知〃%)函数值有正有负；显然/'(X)不

单调；•・・当无=3+左上€2时/(；0=0,.,・/(均有多个零点；•・•/(2)=1,/(-2)=-3,・,・

f(2)(2)工一/(一2),・・・f(x)既不是奇函数也不是偶函数，以上均符合，故B正确.

故选：B.

【规律】识辨函数图象的常用方法是“先定性，后定量”.定性即观察函数的定义域、奇偶性、周

期性、单调性以及变化趋势；定量即寻找图象与坐标轴的交点、极值点等特殊点.通过排除法逐步

缩小范围，最终确定正确选项.

考法2：利用导数与单调性识辨图象

例2.(2026•淮北•一模)函数/0)=事在人1神经网络中作为激活函数使用，可提升

模型的非线性拟合能力.下列函数图象中，可以作为/Q)大致图象的是()

【答案】A

【思路】面对结构较为复杂的函数，常规的奇偶性有时无法直接判断，此时需借助导数工具.通过

求导分析导函数的符号变化，进而确定原函数的单调区间与极值情况，对比各选项图象的升降趋

势即可锁定答案.

【解析】•・•/■(%)=房，(1)=二^7>°，排除选项BD,・・・f(x)=U?・・・/(刈二

:设g。)=1+厂'(1+%)'g'(x)=一。一'(1+")+=-xe~x当

g，(x)>0时，即一秒一">0,x<0,则g(x)在xV0范围内是单调递增函数；当g'(x)v0时，即

-xe~x<0,x>0,则g(x)在算>0范围内是单调递减函数；当%>0时，•；g(%)>0,；・>'(%)>

0,・•・/1(%)在％>0范围内是单一周递增函数；当XV0时，9(%)在％<0范围内是单调递增函数，:

22

g(0)=1+e-°(l+0)=2,^(-2)=1+e(l-2)=1-e<0,.\3x0e(-2,0),使得

g(n)=0，，当X€(-8,%o)E寸，g(x)<0,尸(x)V0,贝！/(x)在x6(-8,%0)是单调递减函数；

二当xW(%,0)时，g(x)>0,f(x)>0,则/'(%)在％W(勺,0)是单调递增函数；则选项A符合.故

选；A.

【规律】当函数图象的局部特征(如单调性、极值点位置)不明显时，求导是判断图象走势的核

心手段.特别要注意导数符号改变的点(即极值点)在图象二的反映，这往往是区分相似图象的关

键.

考法3：含参基本初等函数图象的识辨

例3.在同一直角出标系中，函数y=2,y=log。(％+；)(a>0且ak1)的图象可能是

【答案】D

【思路】题口涉及指数函数与对数函数，且底数a未知，需对底数Q进行分类讨论.分别探讨0V

。<1和。>1两种情况下，两个函数的单调性及所过定点，寻找能够同时满足这两种图象特征的

选项.

【解析】当0VQV1时，函数y=M过定点(0,1)且单调递减，则函数y=上过定点(0,1)且单调递

增，函数y=log。(％+J过定点G，°)且单调递减，D选项符合；当Q>1时，函数y=a”过定点

(0,1)且单调递增，则函数y=十过定点(0,1)且单调递减，函数y=log。(x+；)过定点(：,0)且单调

递增，各选项均不符合.综上，选D.

【规律】解决含参基本初等函数图象问题，核心在于“分类讨论”与“抓定点”.根据底数与1的

大小关系确定函数的单调性，利用指数函数过(0,1)和对数函数过(1,0)(或平移后的定点)的性质,

可快速排除错误选项.

【考点一方法总结】

•识辨函数图象的常用方法是“先定性，后定量”.定性即观察函数的定义域、奇偶

性、周期性、单调性以及变化趋势；定量即寻找图象与坐标轴的交点、极值点等特殊点.

•当函数图象的局部持征(如单调性、极值点位置)不明显时，求导是判断图象走

势的核心手段.特别要注意导数符号改变的点(即极值点)在图象上的反映，这往往是区

分相似图象的关键.

•解决含参基本初等函数图象问题，核心在干“分类讨论”与“抓定点”.根据底数

与1的大小关系确定函数的单调性，利用指数函数过(0,1)和对数函数过(1,0)(或平移后

的定点)的性质，可快速排除错误选项.

考点二：函数图象的变换

考法1:平移、伸缩与对称变换的综合

例4.已知函数/(x)的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式

()

A.y=/(2x-1)B・『/(钓

C.y=/(l-2x)D.y”咛)

【答案】C

【思路】对比原图象与目标图象，观察关键点的位置变化.可以发现目标图象发生了翻转、平移以

及宽度的缩放.依据“左加右减、上加下减”的平移法则以及对称、伸缩变换规则，逆向或正向推

导解析式的变化过程.

①％T-X②③NT2X

【解析】y=/(%)一—y=f(~x)~->y=f(l-x)一-y=f(l-2x),①关于y轴对称

②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半.故选：C.

【规律】复合变换问题需严格遵循变换顺序.若先平移后伸缩，平移量直接加减在x上；若先伸缩

后平移，平移量需提取系数.处理/(-%)等对称变换时，务必将-不视为一个整体，避免符号干扰.

考法2：含有绝对值的翻折变换

例5.已知函数/(%)=则下列图象错误的是()

B.y=/(r)的图象

C.尸l/U)l的图象

【答案】D

【思路】题干给出了分段函数，可先画出原函数/Xx)的准确图象.随后，分别根据绝对值在函数外

y=|f(x)|和绝对值在自变量上y=/(氏|)的翻折规律，逐一验证各选项图象的正确性.

【解析】当一1WxWO时，f(x)=—2x,表示一条线段，且线段经过(一1,2)和(0,0)两点当0<

工41时，/■(%)=V%,表示,段曲线.函数/(%)的图象如图所示.

/(工-1)的图象可由f(x)的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；/(-％)的图象可由/(%)的

图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于/(x)的值域为［02］，故/(乃=|/。)|，故|/。)|的图象

马/(乃的图象完全相同，故C正确；很明显D中的图象不正确.故选：D.

【规律】熟记两种核心翻折变换：y=|/(%)|是将％轴下方的图象翻折到上方，上方保留：y=

f(|x|)是保留、轴右侧图象，并将其对称到左侧(左侧原有图象舍弃).结合原图象特征即可迅速作

答.

【考点二方法总结】

•复合变换问题需严格遵循变换顺序.若先平移后伸缩，平移量近接加减在无上：若

先伸缩后平移，平移量需提取系数.处理/•(—》)等对称变换时，务必将一“视为一个整体，

避免符号干扰.

•熟记两种核心翻折变换：y=|/(%)|是将X轴下方的图象翻折到上方，上方保留；

y=/(|x|)是保留y轴右侧图象，并将其对称到左侧(左侧原有图象舍弃).

•处理对称性问题时，若/(m+x)=/(m—x)恒成立，则图象关于直线x=m对称:

若f(。十二)=f(b-x)恒成立，则图象关于直线x=等对称.

考点三：函数图象的应用

考法1:由函数图象求解析式中的参数

例6.若函数f(x)=F^V的部分图象如图所示，则f(5)=()

A.--D•一石

3

【答案】A

【思路】观察图象中的垂直渐近线，这通常对应分母为零的点.结合图象经过的明确坐标点，代入

解析式构建关于参数a,b,c的方程组，解出参数后即可得到完整解析式并求值.

9Q+3b+c=1

，解得

【解析】由图象知，a%2+bx+c=o的两根为2,4,且过点(3,1),・•・2x4=：

2+4=V

21"三』=一表故选:

a=-2,b=12,c=-16,f(x)=-2X2+12X-16--X2+6X-8,：.f(5)

A.

【规律】由图象求参数，关键在于捕捉图象的“特征元素”：如渐近线(分母的根)、吸值点

:导数为零)、截距(过轴点)等.将这些几何特征转化为代数方程，通过解方程组即可确定参数.

考法2：利用函数图象解决方程零点问题

例7.已知函数/(x)=(xHa),若关于x的方程/4(%))=2恰有三个不相等的实数解,

则实数a的取值集合为

【答案】6,3}

【思路】处理复合函数方程/•(/(%))=2时，采用换元法是突破口.令内层函数/■(%)=「，先求解外

层方程f(t)=2,再将求得的杈作为常数，结合y=f(x)的羽象，分析内层方程/(%)=珀勺交点个

数.由于含有参数Q，需对其正负及大小进行分类讨论.

【解析】f。)=|言上|1+总(xWQ),当。=0时，/■(%)=1(%工0),此时/•(/■(%)):2无解,

不满足题意；当QV0时，设£=/(%),则y=/(£)与、=2的图象大致如下，

则〃C)=2对应的2个根为0<a<t2<0,此时方程/(%)=%/(%)=上均无解，即方程

f(f(x))=2无解，不满足题意；当a>0时，设m=r(；O，则y=/(7几)与y=2的图象大致如下,

则/'On)=2对应的2个根为0<m,<a<m2,若方程/■(/'(;<))=2恰有三个不相等的实数解，则

y=7H],y=加2与函数y=/(乃的图象共有3个不同的交点，①当0<QV1时，y=m]与函数

/•(X)的图象共有2个交点，如图所示，

=瓶2与函数/(%)的图象只有1个交点，则瓶2=1，，|罟|=2,解得Q=；;②当Q=1时，

y=m1与函数/(%)的图象共有2个交点，・・・y=巾2与函数/。)的图象只有1个交点，则血2=1，

与巾2>。矛盾，不合题意；③当Q>1时，y=血2与函数f(%)的图象共有2个交点，如图所示，

・・・y=巾］与函数f(X)的图象只有1个交点，则巾1=1,.［三］=2,解得Q=3;综上，Q的取值

集合为g,3}.

【规律】解决复合方程或嵌套两数零点问题，核心思想是“由外及内，换元降维”.先解外层确定

内层函数的值，再结合内层函数的图象(数形结合)讨论交点个数.遇到参数时，需根据图象的渐

近线、极值等临界状态进行分类讨论.

考法3：利用函数图象解决不等式问题

例8.定义在R上的函数"X)满足f(x+1)=2f(%),且当％6(0,1］时，/(%)=l-|2x-l|.

若对任意工£(-8,耳，都有则£的取值范围是.

【答案】

【思路】题目给出了函数在一个周期(或基础区间)内的解析式及递推关系，要求解不等式恒成

立问题.可利用递推关系逐步推导出相邻区间上的解析式，进而画出函数在更广范围内的图象.借助

图象直观找出满足/'(")<2的临界点.

(2x,xe(0,1］

【解析】•・•当KW(0,1］时，/(x)=l-|2x-l|,/./(x)=〉］2J・・・f(x+i)=

(2-2匕xe(-,l］

41%€(弱

2/(%),当％E(1,2］时，即％-16(0,1］时，由/l(乃二？/'(x-l),A/(x)=

8—4x,xE©,2

8x-16,xe(2,-

同理可得/'(%)=《；,2」依此类推，作出函数/(%)的图象，如图所示:

24-8%,%6(-,3］

由图象知：当2Vx4|时.令/'（幻=2,则8.丫-16=2=丫=£对任意x£（-oo,t].都有

/（%）<2,则故t的取值范围为£工：.

44

【规律】遇到具有递推关系（如周期性、对称性或倍数递推）的函数不等式问题，首选“数形结

合”.先精确描绘出基础区间内的图象，再根据递推规律拓展图象，最后在图象上画出水平直线，

道过交点位置直观确定自变量的取值范围.

考法4：实际情境中的函数图象问题

例9.匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数

图象大致是（）

【思路】这是一个经典的实际应用模型.水匀速注入意味着体积与时间成正比.由于容器是圆锥形，

截面积随高度增加而增大，因比相同体积的水带来的高度变化会越来越小.可以通过建立体积与高

度的几何关系，推导出高度关于时间的函数表达式，利用导数分析其增长趋势.

【解析】设圆锥PO底面圆半径r,高H,注水时间为亡时水面与轴PO交于点O，，水面半径AO=x,

此时水面高度P0=h,如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，-=\即x则注入水的体

积为九=/仔.九）’•八二哈丁，令水匀速注入的速度为〃则注水时间为出:的水的体

积为U=于是得桨嗦3=仇=九3=管=九•沈，都是常数，艮J半暮是

常数，・•・盛水的高度九与注水时间t的函数关系式是h=1警•沈,owtw甯，九'=[誓・

；H>o,函数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数％值增加的幅度减小，即图象是先陡

再缓，A选项的图象与其图象大致•样，B,C,DZS个选项与其图象都不同.故选：A.

【规律】解决实际情境中的图象问题，若能定性分析，可直接根据变化率（如截面积变大导致上

升速度变慢，即图象变缓）快速判断；若需定量分析，则需建立物理或几何模型，求出函数解析

式，借助导数判断其单调性与凹凸性.

【考点三方法总结】

•由图象求参数，关键在于捕捉图象的“特征元素”：如渐近线（分母的根）、极

值点（导数为零）、截距（过轴点）等.将这些几何特征