2026年广东省高中数学下册第7章数列测试

2026年广东省高中数学下册第7章数列测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-8解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。则通项公式a_n=a_3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1，故选A。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_5的值为（）A.242B.243C.244D.245解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时，b_1=S_1=2符合上式，故b_5=2×3^4=162，选项均错误，需重新计算。实际上S_n=3^n-1，b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，b_5=162，但选项无正确答案，可能是题目数据设置错误，按标准应选B（若修正为S_n=2×3^n-1）。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.190B.191C.192D.193解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，得c_{n+1}-c_n=2n，累加得c_n=c_1+(c_2-c_1)+(c_3-c_2)+…+(c_n-c_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2(1+2+…+(n-1))=1+n(n-1)=n^2-n+1。c_10=10^2-10+1=91，选项均错误，需修正题目数据。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的前6项和S_6等于（）A.124B.126C.128D.130解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得q=3。则d_1=d_2/q=2，S_6=2(1-3^6)/(1-3)=2×728/2=728，选项均错误，需修正题目数据。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则e_3等于（）A.9B.10C.11D.12解析：当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时，e_1=S_1=2符合上式，故e_3=2×3=6，选项均错误，需修正题目数据。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n/(1+f_n)，则f_2的值为（）A.1/2B.2/3C.1D.2解析：由递推关系f_{n+1}=f_n/(1+f_n)，代入f_1=2得f_2=2/(1+2)=2/3，故选B。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3的值为（）A.3B.4C.5D.6解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=15，得a_3=3，故选A。8.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则h_4等于（）A.8B.7C.6D.5解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时，h_1=S_1=1符合上式，故h_4=2^3=8，故选A。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+log_2(n+1)，则i_5的值为（）A.8B.9C.10D.11解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+log_2(n+1)，得i_5=i_1+(i_2-i_1)+(i_3-i_2)+(i_4-i_3)+(i_5-i_4)=1+(log_2(2)-log_2(1))+…+(log_2(6)-log_2(5))=1+log_2(6)=9，故选B。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则j_5的值为（）A.16B.24C.32D.64解析：由等比数列性质j_3=j_1q^2，代入j_1=1，j_3=8得q=2，则j_5=j_1q^4=1×2^4=16，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得5d=15，故d=3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2+n，则b_4的值为______。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+n-(3(n-1)^2+(n-1))=6n-2，验证n=1时，b_1=S_1=4符合上式，故b_4=6×4-2=22。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_6的值为______。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，得c_6=c_1+(c_2-c_1)+(c_3-c_2)+(c_4-c_3)+(c_5-c_4)+(c_6-c_5)=2+3(1+2+3+4+5)=2+45=47。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=4，d_4=16得4q^2=16，故q=±2。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则e_5的值为______。解：当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n，验证n=1时，e_1=S_1=1符合上式，故e_5=2×5=10。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n/(1+2f_n)，则f_2的值为______。解：由递推关系f_{n+1}=f_n/(1+2f_n)，代入f_1=3得f_2=3/(1+2×3)=3/7。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=-2，公差d=5，则a_10的值为______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=-2，d=5得a_10=-2+9×5=43。8.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则h_6的值为______。解：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时，h_1=S_1=1符合上式，故h_6=2^5=32。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+log_3(n+1)，则i_4的值为______。解：由递推关系i_{n+1}=i_n+log_3(n+1)，得i_4=i_1+(i_2-i_1)+(i_3-i_2)+(i_4-i_3)=1+(log_3(2)-log_3(1))+…+(log_3(4)-log_3(3))=1+log_3(24)=8。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_3=8，则j_7的值为______。解：由等比数列性质j_3=j_1q^2，代入j_1=2，j_3=8得q=2，则j_7=j_1q^6=2×2^6=128。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）解：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2+3n)-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1，验证n=1时，a_1=S_1=5符合上式，但a_2=9，a_3=13，a_3-a_2=4≠a_2-a_1=4，故错误。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_2=2，则b_4的值为4。（）解：由等比数列性质b_2=b_1q，代入b_1=1，b_2=2得q=2，则b_4=b_1q^3=1×2^3=8≠4，故错误。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+n，则该数列的前5项和为15。（）解：由递推关系c_{n+1}=c_n+n，得c_n=1+2+…+n=n(n+1)/2，则前5项和S_5=1+3+6+10+15=35≠15，故错误。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则3a_2=12。（）解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_2=12，故3a_2=12正确。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则e_n=2n。（）解：当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时，e_1=S_1=2符合上式，故正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n/f_{n+1}，则该数列是等比数列。（）解：由递推关系f_{n+1}=f_n/f_{n+1}，得f_{n+1}^2=f_n，即f_{n+1}=±√f_n，若f_1=2，则f_2=±√2，f_3=±√(±√2)，数列不单调，故错误。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=3，g_4=81，则g_2的值为27。（）解：由等比数列性质g_4=g_1q^3，代入g_1=3，g_4=81得q=3，则g_2=g_1q=3×3=9≠27，故错误。8.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则h_n=2^{n-1}。（）解：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时，h_1=S_1=1符合上式，故正确。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+log_2(n+1)，则i_5=31。（）解：由递推关系i_{n+1}=i_n+log_2(n+1)，得i_5=i_1+(i_2-i_1)+(i_3-i_2)+(i_4-i_3)+(i_5-i_4)=1+(log_2(2)-log_2(1))+…+(log_2(6)-log_2(5))=1+log_2(6)=9≠31，故错误。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=5，j_3=40，则j_5的值为320。（）解：由等比数列性质j_3=j_1q^2，代入j_1=5，j_3=40得q=±2√5，则j_5=j_1q^4=5×(±2√5)^4=3200≠320，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，a_5=9，求该数列的通项公式。解：设公差为d，由a_5=a_1+4d，代入a_1=3，a_5=9得4d=6，即d=3/2，则通项公式a_n=a_1+(n-1)d=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求b_4的值。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时，b_1=S_1=2符合上式，故b_4=2×4=8。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54得6q^2=54，故q=±3。4.已知数列{d_n}满足d_1=2，d_{n+1}=d_n+2n，求d_5的值。解：由递推关系d_{n+1}=d_n+2n，得d_5=d_1+(d_2-d_1)+(d_3-d_2)+(d_4-d_3)+(d_5-d_4)=2+2+4+6+8=28。5.若数列{e_n}的前n项和为S_n=3n^2+n，求e_3的值。解：当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+n-(3(n-1)^2+(n-1))=6n-2，验证n=1时，e_1=S_1=4符合上式，故e_3=6×3-2=16。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=-5，公差d=4，求a_8的值。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=-5，d=4得a_8=-5+7×4=23。7.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=2^n-1，求g_5的值。解：当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时，g_1=S_1=1符合上式，故g_5=2^4=16。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=h_n+log_3(n+1)，求h_4的值。解：由递推关系h_{n+1}=h_n+log_3(n+1)，得h_4=h_1+(h_2-h_1)+(h_3-h_2)+(h_4-h_3)=1+(log_3(2)-log_3(1))+…+(log_3(5)-log_3(4))=1+log_3(120)=8。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第10年的产量。解：设产量为{a_n}，则a_1=1000，d=200，第10年产量a_{10}=a_1+9d=1000+9×200=2800件。2.已知某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：设人口为{b_n}，则b_1=100，q=1.05，2025年人口b_5=b_1q^4=100×1.05^4≈121.55万。3.在等差数列{c_n}中，若a_1=2，a_5=22，求该数列的前10项和S_10。解：设公差为d，由a_5=a_1+4d，代入a_1=2，a_5=22得4d=20，即d=5，则S_10=10×[2+(10-1)×5]/2=10×27=270。4.在等比数列{d_n}中，若d_1=3，d_4=81，求该数列的前7项和S_7。解：由等比数列性质d_4=d_1q^3，代入d_1=3，d_4=81得q=3，则S_7=3×(3^7-1)/(3-1)=3×2186=6558。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的前20项和S_20。解：S_20=20^2+20=420，S_{19}=19^2+19=380，则a_{20}=S_20-S_{19}=420-380=40。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=-10，公差d=3，求使得a_n≥0的最小正整数n。解：由a_n=a_1+(n-1)d，令a_n≥0，代入a_1=-10，d=3得-10+3(n-1)≥0，解得n≥4，故最小正整数n=4。7.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=2^n-1，求使得S_n>100的最小正整数n。解：由2^n-1>100得2^