2026年广东省高中数学下册第9章数列测试

2026年广东省高中数学下册第9章数列测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-8解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-n，则b_5的值为（）A.16B.31C.48D.63解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。验证n=1时S_1=1，b_1=S_1=1符合通项，故b_5=2^4-1=15。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.55B.100C.150D.200解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，得c_{n+1}-c_n=2n。累加得c_n=c_1+(c_2-c_1)+(c_3-c_2)+…+(c_n-c_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2(1+2+…+(n-1))=1+n(n-1)=n^2-n+1。故c_10=10^2-10+1=91。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2或-3C.3或-2D.2或3解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=±3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.12C.15D.18解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证n=1时T_1=2，e_1=T_1=2符合通项，故e_3=2×3=6。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则数列{f_n/n}的前5项和为（）A.1245/64B.1265/64C.1285/64D.1305/64解析：当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-[3^{n-1}-1]=2×3^{n-1}。验证n=1时S_1=2，f_1=S_1=2符合通项。故f_n/n=2×3^{n-1}/n。前5项和=2(1/1+3/2+9/3+27/4+81/5)=2(1+1.5+3+6.75+16.2)=124.5，化简得1245/64。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=20，则a_3+a_4+a_5等于（）A.8B.10C.12D.14解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=20，得a_3=4。因此a_3+a_4+a_5=3a_3=12。8.已知数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=h_n/(h_n+1)，则h_4的值等于（）A.1/8B.1/6C.1/4D.1/2解析：由递推关系h_{n+1}=h_n/(h_n+1)，得1/h_{n+1}=1/h_n+1。累加得1/h_4=1/h_1+3=4，故h_4=1/4。9.在等比数列{p_n}中，若p_1+p_2+p_3=13，p_2+p_3+p_4=91，则该数列的公比q等于（）A.7B.-7C.4或-4D.7或-7解析：由等比数列性质p_2+p_3+p_4=(p_1+p_2+p_3)q，代入13q=91得q=7。10.已知数列{q_n}的前n项和T_n=2^n+n^2，则q_5的值等于（）A.32B.34C.36D.38解析：当n≥2时，q_n=T_n-T_{n-1}=2^n+n^2-[2^{n-1}+(n-1)^2]=2^n-n+1。验证n=1时T_1=3，q_1=T_1=3符合通项，故q_5=2^5-5+1=32。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________。参考答案：5n解析：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得5d=15，即d=3。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_5-4d=2，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则b_4的值等于_________。参考答案：24解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。验证n=1时S_1=1，b_1=S_1=1符合通项，故b_4=6×4-5=19。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_6的值等于_________。参考答案：56解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，得c_{n+1}-c_n=3n。累加得c_n=c_1+(c_2-c_1)+(c_3-c_2)+…+(c_n-c_{n-1})=2+3(1+2+…+(n-1))=2+3n(n-1)/2=3n^2-3n/2+1。故c_6=3×36-9+1=56。4.在等比数列{d_n}中，若d_3=12，d_5=96，则该数列的公比q等于_________。参考答案：2解析：由等比数列性质d_5=d_3q^2，代入d_3=12，d_5=96得12q^2=96，解得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=4^n-n，则e_3的值等于_________。参考答案：60解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=4^n-n-[4^{n-1}-(n-1)]=3×4^{n-1}-1。验证n=1时T_1=3，e_1=T_1=3符合通项，故e_3=3×4^2-1=60。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=2^n+n^3，则数列{f_n/n}的前4项和为_________。参考答案：341/16解析：当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=2^n+n^3-[2^{n-1}+(n-1)^3]=2^n-3n^2+3n-1。验证n=1时S_1=3，f_1=S_1=3符合通项。故f_n/n=(2^n-3n^2+3n-1)/n。前4项和=(2^1-3+3-1)/1+(2^2-12+6-1)/2+(2^3-27+9-1)/3+(2^4-48+12-1)/4=341/16。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=30，则a_3+a_4+a_5+a_6等于_________。参考答案：18解析：由等差数列性质a_1+a_6=2a_4，a_2+a_5=2a_4，a_3+a_4+a_5+a_6=3a_4。又a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=3(a_1+a_4)=30，得a_1+a_4=10。故3a_4=18。8.已知数列{h_n}满足h_1=3，h_{n+1}=h_n/(h_n+2)，则h_5的值等于_________。参考答案：3/19解析：由递推关系h_{n+1}=h_n/(h_n+2)，得1/h_{n+1}=1/h_n+1/2。累加得1/h_5=1/h_1+4=7，故h_5=1/7。9.在等比数列{i_n}中，若i_1+i_2+i_3=7，i_2+i_3+i_4=63，则该数列的公比q等于_________。参考答案：9解析：由等比数列性质i_2+i_3+i_4=(i_1+i_2+i_3)q，代入7q=63得q=9。10.已知数列{j_n}的前n项和T_n=5^n-n^2，则j_4的值等于_________。参考答案：624解析：当n≥2时，j_n=T_n-T_{n-1}=5^n-n^2-[5^{n-1}-(n-1)^2]=4×5^{n-1}-2n+1。验证n=1时T_1=4，j_1=T_1=4符合通项，故j_4=4×5^3-8+1=624。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）判断：正确解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。验证n=1时a_1=S_1=5符合通项，故{a_n}是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q等于2或-2。（）判断：错误解析：由等比数列性质b_3=b_1q^2，代入b_1=1，b_3=8得q^2=8，解得q=2√2或-2√2。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+n，则该数列是等差数列。（）判断：错误解析：由递推关系c_{n+1}-c_n=n，得{c_n}是二次函数形式，非等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则3a_2=12。（）判断：正确解析：由等差数列性质a_1+a_3=2a_2，故a_1+a_2+a_3=3a_2=12。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=3^n-n，则e_n=2×3^{n-1}。（）判断：错误解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2×3^{n-1}-1。验证n=1时T_1=2，e_1=T_1=2符合通项，故e_n=2×3^{n-1}-1。6.若数列{f_n}满足f_{n+1}=f_n+2n，则该数列是等差数列。（）判断：错误解析：由递推关系f_{n+1}-f_n=2n，得{f_n}是二次函数形式，非等差数列。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，则g_3=±24√3。（）判断：正确解析：由等比数列性质g_4=g_2q^2，代入g_2=6，g_4=54得q^2=9，解得q=3。故g_3=g_2q=6×3=18。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=n^2+n，则h_n=2n。（）判断：错误解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=2n，验证n=1时S_1=2，h_1=S_1=2符合通项，故h_n=2n。9.若数列{i_n}满足i_{n+1}=i_n/2，则该数列是等比数列。（）判断：正确解析：由递推关系i_{n+1}/i_n=1/2，得{a_n}是等比数列，公比q=1/2。10.在等差数列{j_n}中，若j_1=1，j_2=4，则j_3=7。（）判断：正确解析：由等差数列性质j_2=j_1+d，代入j_1=1，j_2=4得d=3。故j_3=j_2+d=4+3=7。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=4n^2-3n，求该数列的通项公式a_n。解答：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=4n^2-3n-[4(n-1)^2-3(n-1)]=8n-7。验证n=1时S_1=1，a_1=S_1=1符合通项，故a_n=8n-7。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=16，求该数列的前6项和S_6。解答：由等比数列性质b_4=b_1q^3，代入b_1=2，b_4=16得q=2。故S_6=2(1-2^6)/(1-2)=126。3.若数列{c_n}满足c_1=3，c_{n+1}=c_n+2n，求该数列的前5项和T_5。解答：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，得c_n=3+(c_2-c_1)+(c_3-c_2)+…+(c_n-c_{n-1})=3+2(1+2+…+(n-1))=3+n(n-1)。故T_5=3+1+6+11+18=39。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=5，d=3，求该数列的前10项和S_{10}。解答：S_{10}=10×5+(10×9/2)×3=380。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n+n，求该数列的通项公式e_n。解答：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。验证n=1时T_1=3，e_1=T_1=3符合通项，故e_n=2^{n-1}-1。6.若数列{f_n}满足f_{n+1}=f_n/n，且f_1=1，求f_4的值。解答：f_2=f_1/1=1，f_3=f_2/2=1/2，f_4=f_3/3=1/6。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，求该数列的公比q。解答：由等比数列性质g_4=g_2q^2，代入g_2=6，g_4=54得q^2=9，解得q=3。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的通项公式h_n。解答：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=2n，验证n=1时S_1=2，h_1=S_1=2符合通项，故h_n=2n。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂第一年产量为1000件，计划以后每年比上一年增产200件，求第10年的产量。解答：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=1000，d=200，n=10得a_{10}=1000+9×200=2200件。2.某城市人口第一年为50万，计划以后每年比上一年增长10%，求第5年的人口。解答：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=50，q=1.1，n=5得a_5=50×1.1^4≈81.46万。3.某人存款第一年存入1000元，以后每年比上一年多存100元，求第5年的存款总额。解答：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=1000，d=100，n=5得a_5=1000+4×100=1500元。前5年总额=1000+1100+1200+1300+1500=6500元。4.某产品第一年销量为1000件，计划以后每年比上一年减少10%，求第4年的销量。解答：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=1000，q=0.9，n=4得a_4=1000×0.9^3≈729件。5.某林场第一年木材蓄积量为100万立方米，计划以后每年比上一年增长5%，求第6年的木材蓄积量。解答：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.05，n=6得a_6=100×1.05^5≈127.63万立方米。6.某工厂第一年利润为100万元，计划以后每年比上一年增加10%，求第8年的利润。解答：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.1，n=8得a_8=100×1.1^7≈194.87万元。7.某城市道路建设第一年修路5公里，以后每年比上一年多修2公里，求第7年的道路总长度。解答：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，d=2，n=7得a_7=5+6×2=17公里。前7年总长度=5+7+9+11+13+15+17=77公里。8.某产品第一年产量为1000件，计划以后每年比上一年减少5%，求第5年的产量。解答：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=1000，q=0.95，n=5得a_5=1000×0.95^4≈814.50件。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.A4.C5.B6.C7.C8.C9.D10.D解析：第1题通项公式推导见解析，第2题前n项和性质应用见解析，其余题目解析同上。二、填空题1.5n2.