2026年天津市北师大版高一数学必修第九册第2单元专项训练题

2026年天津市北师大版高一数学必修第九册第2单元专项训练题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的图像经过点(1,2)，且其导数f'(x)在x=0处的值为3，若该函数的对称轴为x=-1，则下列关于系数a、b、c、d的关系式中，正确的是（）A.a+b+c+d=0且2a+b=3B.a-b+c+d=0且2a-b=3C.a+b-c+d=0且2a+b=3D.a-b-c+d=0且2a-b=3解析：由函数图像经过点(1,2)可得a+b+c+d=2，由对称轴为x=-1可得-b=3，即b=-3。由f'(x)=3ax^2+2bx+c且f'(0)=3可得c=3。代入f(x)的表达式，结合对称轴条件，验证选项B满足所有条件。2.北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数g(x)=ln(x^2+ax+a^2)在x=1处取得极值，则实数a的取值范围是（）A.(-1,1)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,2)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析：由g'(x)=2x+a/(x^2+a^2)可得g'(1)=2+a/(1+a^2)=0，解得a=-2或a=2。验证极值条件，发现仅a=2时满足g'(x)符号变化，故选C。3.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的例题中，若函数h(x)=x^3-3x^2+2x+1的图像与直线y=x有且仅有两个交点，则下列关于实数k的方程kx=x^3-3x^2+2x+1的根的情况描述正确的是（）A.一定有两个不等实根B.一定有一个实根C.可能无实根D.根的个数与k有关解析：令f(x)=x^3-3x^2+2x+1，则f'(x)=3x^2-6x+2=0的解为x=1±√(1/6)，f(1±√(1/6))>0，结合f(x)的渐进性，可知f(x)与y=x有两个交点，故kx=f(x)有两个不等实根。4.北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数φ(x)=x^3-3x^2+2x的导函数φ'(x)在区间(0,2)内恰有两个零点，则实数m的取值范围使得方程φ'(x)=m在(0,2)内恰有一个解的m的取值范围是（）A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,1)解析：φ'(x)=3x^2-6x+2=0的解为x=1±√(1/6)，φ''(x)=6x-6，φ''(1±√(1/6))>0，故φ'(x)在(0,2)内有两个零点。由φ'(x)=m的图像分析，当-1<m<0或0<m<1时恰有一个交点，故选B。5.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的习题中，若函数ψ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，则实数k使得方程kx^3-3x^2+2x=x的根的分布情况是（）A.一定有一个负根B.一定有两个正根C.一定有一个零根D.根的分布与k无关解析：ψ'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程kx^3-3x^2+2x=x化简为kx^3-3x^2+x=0，k≠0时x=0为根，结合三次函数性质，k>0时有两个正根，k<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。6.北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数γ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，则实数a使得方程ax^3-3x^2+2x=x的根的分布情况是（）A.一定有一个正根B.一定有两个负根C.一定有一个零根D.根的分布与a无关解析：γ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程ax^3-3x^2+x=0，x=0为根，结合三次函数性质，a>0时有一个正根，a<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。7.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的例题中，若函数η(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，则实数b使得方程bx^3-3x^2+2x=x的根的分布情况是（）A.一定有一个负根B.一定有两个正根C.一定有一个零根D.根的分布与b无关解析：η'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程bx^3-3x^2+2x=x化简为bx^3-3x^2+x=0，b≠0时x=0为根，结合三次函数性质，b>0时有两个正根，b<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。8.北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数ζ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，则实数c使得方程cx^3-3x^2+2x=x的根的分布情况是（）A.一定有一个正根B.一定有两个负根C.一定有一个零根D.根的分布与c无关解析：ζ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程cx^3-3x^2+x=0，x=0为根，结合三次函数性质，c>0时有一个正根，c<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。9.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的习题中，若函数θ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，则实数d使得方程dx^3-3x^2+2x=x的根的分布情况是（）A.一定有一个负根B.一定有两个正根C.一定有一个零根D.根的分布与d无关解析：θ'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程dx^3-3x^2+2x=x化简为dx^3-3x^2+x=0，d≠0时x=0为根，结合三次函数性质，d>0时有两个正根，d<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。10.北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数λ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，则实数e使得方程ex^3-3x^2+2x=x的根的分布情况是（）A.一定有一个正根B.一定有两个负根C.一定有一个零根D.根的分布与e无关解析：λ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程ex^3-3x^2+x=0，x=0为根，结合三次函数性质，e>0时有一个正根，e<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数μ(x)=x^3-3x^2+2x的导函数μ'(x)在区间(0,2)内恰有两个零点，则实数f的取值范围使得方程μ'(x)=f在(0,2)内恰有一个解的f的取值范围是________。参考答案：(0,1)解析：μ'(x)=3x^2-6x+2=0的解为x=1±√(1/6)，μ''(x)=6x-6，μ''(1±√(1/6))>0，故μ'(x)在(0,2)内有两个零点。由μ'(x)=f的图像分析，当0<f<1时恰有一个交点。2.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的例题中，若函数ν(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，则实数g使得方程gx^3-3x^2+2x=x的根的分布情况是________。参考答案：一定有一个零根解析：ν'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程gx^3-3x^2+2x=x化简为gx^3-3x^2+x=0，g≠0时x=0为根，结合三次函数性质，g>0时有两个正根，g<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。3.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数ξ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，则实数h使得方程hx^3-3x^2+2x=x的根的分布情况是________。参考答案：一定有一个零根解析：ξ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程hx^3-3x^2+x=0，x=0为根，结合三次函数性质，h>0时有一个正根，h<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。4.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的习题中，若函数ο(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，则实数k使得方程kx^3-3x^2+2x=x的根的分布情况是________。参考答案：一定有一个零根解析：ο'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程kx^3-3x^2+2x=x化简为kx^3-3x^2+x=0，k≠0时x=0为根，结合三次函数性质，k>0时有两个正根，k<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。5.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数ρ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，则实数l使得方程lx^3-3x^2+2x=x的根的分布情况是________。参考答案：一定有一个零根解析：ρ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程lx^3-3x^2+x=0，x=0为根，结合三次函数性质，l>0时有一个正根，l<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。6.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的例题中，若函数σ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，则实数m使得方程mx^3-3x^2+2x=x的根的分布情况是________。参考答案：一定有一个零根解析：σ'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程mx^3-3x^2+2x=x化简为mx^3-3x^2+x=0，m≠0时x=0为根，结合三次函数性质，m>0时有两个正根，m<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。7.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数τ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，则实数n使得方程nx^3-3x^2+2x=x的根的分布情况是________。参考答案：一定有一个零根解析：τ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程nx^3-3x^2+x=0，x=0为根，结合三次函数性质，n>0时有一个正根，n<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。8.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的习题中，若函数φ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，则实数p使得方程px^3-3x^2+2x=x的根的分布情况是________。参考答案：一定有一个零根解析：φ'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程px^3-3x^2+2x=x化简为px^3-3x^2+x=0，p≠0时x=0为根，结合三次函数性质，p>0时有两个正根，p<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。9.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数ψ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，则实数q使得方程qx^3-3x^2+2x=x的根的分布情况是________。参考答案：一定有一个零根解析：ψ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程qx^3-3x^2+x=0，x=0为根，结合三次函数性质，q>0时有一个正根，q<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。10.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的例题中，若函数ω(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，则实数r使得方程rx^3-3x^2+2x=x的根的分布情况是________。参考答案：一定有一个零根解析：ω'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程rx^3-3x^2+2x=x化简为rx^3-3x^2+x=0，r≠0时x=0为根，结合三次函数性质，r>0时有两个正根，r<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数α(x)=x^3-3x^2+2x的导函数α'(x)在区间(0,2)内恰有两个零点，则实数s使得方程α'(x)=s在(0,2)内恰有一个解的s的取值范围是(0,1)。参考答案：正确解析：α'(x)=3x^2-6x+2=0的解为x=1±√(1/6)，α''(x)=6x-6，α''(1±√(1/6))>0，故α'(x)在(0,2)内有两个零点。由α'(x)=s的图像分析，当0<s<1时恰有一个交点。2.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的例题中，若函数β(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，则实数t使得方程t(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：正确解析：β'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程t(x^3-3x^2+2x)=x化简为tx^3-3x^2+x=0，t≠0时x=0为根，结合三次函数性质，t>0时有两个正根，t<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。3.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数γ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，则实数u使得方程u(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：正确解析：γ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程u(x^3-3x^2+2x)=x化简为ux^3-3x^2+x=0，u≠0时x=0为根，结合三次函数性质，u>0时有一个正根，u<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。4.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的习题中，若函数δ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，则实数v使得方程v(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：正确解析：δ'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程v(x^3-3x^2+2x)=x化简为vx^3-3x^2+x=0，v≠0时x=0为根，结合三次函数性质，v>0时有两个正根，v<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。5.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数ε(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，则实数w使得方程w(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：正确解析：ε'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程w(x^3-3x^2+2x)=x化简为wx^3-3x^2+x=0，w≠0时x=0为根，结合三次函数性质，w>0时有一个正根，w<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。6.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的例题中，若函数ζ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，则实数x使得方程x(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：正确解析：ζ'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程x(x^3-3x^2+2x)=x化简为x^4-3x^3+x^2=x，x=0为根，结合四次函数性质，x>0时有两个正根，x<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。7.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数η(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，则实数y使得方程y(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：正确解析：η'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程y(x^3-3x^2+2x)=x化简为yx^3-3x^2+x=0，y≠0时x=0为根，结合三次函数性质，y>0时有一个正根，y<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。8.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的习题中，若函数θ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，则实数z使得方程z(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：正确解析：θ'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程z(x^3-3x^2+2x)=x化简为zx^3-3x^2+x=0，z≠0时x=0为根，结合三次函数性质，z>0时有两个正根，z<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。9.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数ι(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，则实数a使得方程a(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：正确解析：ι'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程a(x^3-3x^2+2x)=x化简为ax^3-3x^2+x=0，a≠0时x=0为根，结合三次函数性质，a>0时有一个正根，a<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。10.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的例题中，若函数κ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，则实数b使得方程b(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：正确解析：κ'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程b(x^3-3x^2+2x)=x化简为bx^3-3x^2+x=0，b≠0时x=0为根，结合三次函数性质，b>0时有两个正根，b<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数μ(x)=x^3-3x^2+2x的导函数μ'(x)在区间(0,2)内恰有两个零点，请解释为什么实数f的取值范围使得方程μ'(x)=f在(0,2)内恰有一个解的f的取值范围是(0,1)。参考答案：因为μ'(x)=3x^2-6x+2=0的解为x=1±√(1/6)，μ''(x)=6x-6，μ''(1±√(1/6))>0，故μ'(x)在(0,2)内有两个零点。由μ'(x)=f的图像分析，当0<f<1时恰有一个交点。2.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的例题中，若函数ν(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，请解释为什么实数g使得方程g(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：因为ν'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程g(x^3-3x^2+2x)=x化简为gx^3-3x^2+x=0，g≠0时x=0为根，结合三次函数性质，g>0时有两个正根，g<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。3.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数ξ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，请解释为什么实数h使得方程h(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：因为ξ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程h(x^3-3x^2+2x)=x化简为hx^3-3x^2+x=0，h≠0时x=0为根，结合三次函数性质，h>0时有一个正根，h<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。4.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的习题中，若函数ο(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，请解释为什么实数k使得方程k(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：因为ο'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程k(x^3-3x^2+2x)=x化简为kx^3-3x^2+x=0，k≠0时x=0为根，结合三次函数性质，k>0时有两个正根，k<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。5.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数ρ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，请解释为什么实数l使得方程l(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：因为ρ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程l(x^3-3x^2+2x)=x化简为lx^3-3x^2+x=0，l≠0时x=0为根，结合三次函数性质，l>0时有一个正根，l<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。6.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的例题中，若函数σ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，请解释为什么实数m使得方程m(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：因为σ'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程m(x^3-3x^2+2x)=x化简为mx^3-3x^2+x=0，m≠0时x=0为根，结合三次函数性质，m>0时有两个正根，m<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。7.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数τ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，请解释为什么实数n使得方程n(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：因为τ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程n(x^3-3x^2+2x)=x化简为nx^3-3x^2+x=0，n≠0时x=0为根，结合三次函数性质，n>0时有一个正根，n<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。8.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的习题中，若函数φ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，请解释为什么实数p使得方程p(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。参考答案：因为φ'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程p(x^3-3x^2+2x)=x化简为px^3-3x^2+x=0，p≠0时x=0为根，结合三次函数性质，p>0时有两个正根，p<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数μ(x)=x^3-3x^2+2x的导函数μ'(x)在区间(0,2)内恰有两个零点，请解释为什么实数f的取值范围使得方程μ'(x)=f在(0,2)内恰有一个解的f的取值范围是(0,1)。案例背景：某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=x^3-3x^2+2x（单位：元），其中x为产量。工厂希望确定一个价格使得需求量与产量相等，且需求函数为p(x)=f(x)，其中f(x)为实数。解题思路：首先求出μ'(x)=3x^2-6x+2=0的解为x=1±√(1/6)，然后分析μ'(x)的图像，当0<f<1时恰有一个交点，即需求函数与成本函数恰有一个交点。参考答案：因为μ'(x)=3x^2-6x+2=0的解为x=1±√(1/6)，μ''(x)=6x-6，μ''(1±√(1/6))>0，故μ'(x)在(0,2)内有两个零点。由μ'(x)=f的图像分析，当0<f<1时恰有一个交点。评分标准：①求出μ'(x)=3x^2-6x+2=0的解（3分）；②分析μ'(x)的图像（3分）；③得出结论（4分）。2.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的例题中，若函数ν(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，请解释为什么实数g使得方程g(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。案例背景：某公司销售一种产品，其收入函数为R(x)=g(x^3-3x^2+2x）（单位：元），其中x为销售量。公司希望确定一个销售策略使得收入与成本相等，且成本函数为C(x)=x^3-3x^2+2x（单位：元）。解题思路：首先求出ν'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。然后分析方程g(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况，发现x=0为根，结合三次函数性质，g>0时有两个正根，g<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。参考答案：因为ν'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程g(x^3-3x^2+2x)=x化简为gx^3-3x^2+x=0，g≠0时x=0为根，结合三次函数性质，g>0时有两个正根，g<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。评分标准：①求出ν'(1)（3分）；②分析方程根的分布情况（3分）；③得出结论（4分）。3.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数ξ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，请解释为什么实数h使得方程h(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。案例背景：某农场种植一种作物，其产量函数为Y(x)=h(x^3-3x^2+2x）（单位：斤），其中x为种植面积。农场希望确定一个种植面积使得产量与需求相等，且需求函数为D(x)=x（单位：斤）。解题思路：首先求出ξ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在。然后分析方程h(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况，发现x=0为根，结合三次函数性质，h>0时有一个正根，h<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。参考答案：因为ξ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程h(x^3-3x^2+2x)=x化简为hx^3-3x^2+x=0，h≠0时x=0为根，结合三次函数性质，h>0时有一个正根，h<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。评分标准：①求出ξ'(2)（3分）；②分析方程根的分布情况（3分）；③得出结论（4分）。4.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的习题中，若函数ο(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，请解释为什么实数k使得方程k(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。案例背景：某商店销售一种商品，其利润函数为P(x)=k(x^3-3x^2+2x）（单位：元），其中x为销售量。商店希望确定一个销售量使得利润与成本相等，且成本函数为C(x)=x^3-3x^100+2x（单位：元）。解题思路：首先求出ο'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。然后分析方程k(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况，发现x=0为根，结合三次函数性质，k>0时有两个正根，k<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。参考答案：因为ο'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程k(x^3-3x^2+2x)=x化简为kx^3-3x^2+x=0，k≠0时x=0为根，结合三次函数性质，k>0时有两个正根，k<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。评分标准：①求出ο'(1)（3分）；②分析方程根的分布情况（3分）；③得出结论（4分）。5.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数ρ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，请解释为什么实数l使得方程l(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。案例背景：某公司研发一种新产品，其研发成本函数为C(x)=l(x^3-3x^2+2x）（单位：万元），其中x为研发投入。公司希望确定一个研发投入使得成本与收益相等，且收益函数为R(x)=x（单位：万元）。解题思路：首先求出ρ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在。然后分析方程l(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况，发现x=0为根，结合三次函数性质，l>0时有一个正根，l<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。参考答案：因为ρ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程l(x^3-3x^2+2x)=x化简为lx^3-3x^2+x=0，l≠0时x=0为根，结合三次函数性质，l>0时有一个正根，l<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。评分标准：①求出ρ'(2)（3分）；②分析方程根的分布情况（3分）；③得出结论（4分）。6.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的例题中，若函数σ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，请解释为什么实数m使得方程m(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。案例背景：某企业生产一种产品，其生产成本函数为C(x)=m(x^3-3x^2+2x）（单位：元），其中x为产量。企业希望确定一个产量使得成本与售价相等，且售价函数为S(x)=x（单位：元）。解题思路：首先求出σ'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。然后分析方程m(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况，发现x=0为根，结合三次函数性质，m>0时有两个正根，m<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。参考答案：因为σ'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程m(x^3-3x^2+2x)=x化简为mx^3-3x^2+x=0，m≠0时x=0为根，结合三次函数性质，m>0时有两个正根，m<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。评分标准：①求出σ'(1)（3分）；②分析方程根的分布情况（3分）；③得出结论（4分）。7.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数τ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(2,0)处的法线与直线y=3x-6平行，请解释为什么实数n使得方程n(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。案例背景：某学校组织一项活动，其组织成本函数为C(x)=n(x^3-3x^2+2x）（单位：元），其中x为参与人数。学校希望确定一个参与人数使得成本与收入相等，且收入函数为R(x)=x（单位：元）。解题思路：首先求出τ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在。然后分析方程n(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况，发现x=0为根，结合三次函数性质，n>0时有一个正根，n<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。参考答案：因为τ'(2)=12-12+2=2，法线斜率为-1/2，与y=3x-6平行条件不满足，题目条件矛盾，但假设存在，则方程n(x^3-3x^2+2x)=x化简为nx^3-3x^2+x=0，n≠0时x=0为根，结合三次函数性质，n>0时有一个正根，n<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。评分标准：①求出τ'(2)（3分）；②分析方程根的分布情况（3分）；③得出结论（4分）。8.在北师大版高一数学必修第九册第2单元的习题中，若函数φ(x)=x^3-3x^2+2x的图像在点(1,0)处的切线与直线y=2x+1垂直，请解释为什么实数p使得方程p(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况是一定有一个零根。案例背景：某机构提供一项服务，其服务成本函数为C(x)=p(x^3-3x^2+2x）（单位：元），其中x为服务次数。机构希望确定一个服务次数使得成本与收益相等，且收益函数为R(x)=x（单位：元）。解题思路：首先求出φ'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。然后分析方程p(x^3-3x^2+2x)=x的根的分布情况，发现x=0为根，结合三次函数性质，p>0时有两个正根，p<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。参考答案：因为φ'(1)=3-6+2=-1，切线斜率为-1，垂直条件满足。方程p(x^3-3x^2+2x)=x化简为px^3-3x^0+px=0，p≠0时x=0为根，结合三次函数性质，p>0时有两个正根，p<0时有一个正根和一个负根，但一定有零根。评分标准：①求出φ'(1)（3分）；②分析方程根的分布情况（3分）；③得出结论（4分）。9.在北师大版高一数学必修第九册第2单元中，若函数ω(x)