2026年天津市北师大版高中数学必修第二册第5单元函数性质习题

2026年天津市北师大版高中数学必修第二册第5单元函数性质习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A.6B.8C.10D.12解析：首先对函数f(x)求导得到f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0解得x=0或x=2。分别计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，因此最大值M=18，最小值m=-10，M+m=8。选项B正确。2.函数g(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,2]上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数g(x)在x=-2时取最小值3，在x=1时取值2，在x=2时取值3，因此区间(-∞,2]上的最小值为2。选项B正确。3.若函数h(x)=x²+2ax+3在x=1处取得极小值，则a的值为（）A.-1B.1C.-2D.2解析：由h'(x)=2x+2a，令x=1得到2+2a=0，解得a=-1。选项A正确。4.函数k(x)=ln(x²-2x+3)在区间(1,3)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：令t=x²-2x+3，则t在(1,3)上单调递增，ln(t)也单调递增，因此k(x)在(1,3)上单调递增。选项A正确。5.函数φ(x)=sin²x+cos²x-2sinx•cosx的值域为（）A.[-1,1]B.[-2,2]C.[0,2]D.[-1,0]解析：化简得φ(x)=1-sin(2x)，由-sin(2x)∈[-1,1]得到φ(x)∈[0,2]。选项C正确。6.函数ψ(x)=x³-3x+1的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：ψ'(x)=3x²-3，令ψ'(x)=0解得x=±1，计算ψ(-1)=3，ψ(1)=-1，由连续性可知存在两个零点。选项C正确。7.函数γ(x)=e^x-2x在R上的零点个数是（）A.0B.1C.2D.无数解析：γ'(x)=e^x-2，令γ'(x)=0解得x=ln2，计算γ(ln2)=e^ln2-2ln2>0，由连续性可知γ(x)在R上只有一个零点。选项B正确。8.函数Ω(x)=xlnx-x²在(0,1)上的最大值是（）A.-1/eB.0C.1/eD.-1解析：Ω'(x)=lnx+1-2x，令Ω'(x)=0解得x=1/e，计算Ω(1/e)=-1/e，由边界值Ω(0)=0，Ω(1)=-1可知最大值为0。选项B正确。9.函数ζ(x)=x³-6x²+9x+1的拐点坐标是（）A.(1,5)B.(2,3)C.(3,1)D.(0,1)解析：ζ''(x)=6x-12，令ζ''(x)=0解得x=2，计算ζ(2)=3，因此拐点坐标为(2,3)。选项B正确。10.函数η(x)=|x³-2x|在(-2,2)上的极值点个数是（）A.2B.3C.4D.5解析：由x³-2x=0解得x=0或x=±√2，计算η(0)=0，η(√2)=4√2，η(-√2)=4√2，由导数变化可知存在4个极值点。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为_________解：f(-2)=-8+6+1=-1，f(0)=1，f(2)=8-6+1=3，最大值3，最小值-1，差为4。参考答案：42.函数g(x)=|x-1|+|x+1|的图像与x轴所围成的封闭图形的面积是_________解：图像为等腰三角形，顶点(0,2)，底边长为2，面积=1/2×2×2=2。参考答案：23.函数h(x)=x²-2ax+a²在x=1处取得极值，则a=_________解：h'(x)=2x-2a，令x=1得到2-2a=0，解得a=1。参考答案：14.函数k(x)=ln(x²-3x+2)的定义域为_________解：x²-3x+2>0解得x∈(-∞,1)∪(2,+∞)。参考答案：(-∞,1)∪(2,+∞)5.函数φ(x)=sin²x-cos²x的周期是_________解：φ(x)=-cos(2x)，周期T=π/|ω|=π。参考答案：π6.函数ψ(x)=x³-3x+1的图像关于点_________中心对称解：令x=1得到对称中心(1,0)。参考答案：(1,0)7.函数γ(x)=e^x-2x在x=0处的切线方程是_________解：γ'(0)=1，γ(0)=1，切线方程y=x+1。参考答案：y=x+18.函数Ω(x)=xlnx-x²在x=1处的曲率半径是_________解：Ω''(x)=1-4x，Ω''(1)=-3，曲率半径R=|1/(Ω''(1))|=1/3。参考答案：1/39.函数ζ(x)=x³-6x²+9x+1的凹区间是_________解：ζ''(x)=6x-12，令ζ''(x)>0解得x>2，凹区间(2,+∞)。参考答案：(2,+∞)10.函数η(x)=|x³-2x|在x=0处的导数是_________解：左导数-2，右导数2，不可导。参考答案：不存在三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)在(a,b)上存在最大值和最小值。（）解：单调递增函数在开区间(a,b)上无最值，但在闭区间[a,b]上存在最值。参考答案：×2.函数g(x)=sin(x+π/2)的图像与g(x)=cosx的图像完全重合。（）解：相位差π/2，图像重合。参考答案：√3.若函数h(x)在x=c处取得极值，则h'(c)必等于0。（）解：极值点处导数可能为0或不存在，如f(x)=|x|在x=0处不可导。参考答案：×4.函数k(x)=ln(x²+1)在R上单调递增。（）解：k'(x)=2x/(x²+1)，在x>0时递增，在x<0时递减。参考答案：×5.函数φ(x)=sin²x-cos²x的图像关于原点对称。（）解：φ(-x)=sin²(-x)-cos²(-x)=-sin²x+cos²x=-φ(x)。参考答案：√6.函数ψ(x)=x³-3x+1有三个零点。（）解：由导数变化可知有两个零点。参考答案：×7.函数γ(x)=e^x-2x在R上单调递增。（）解：γ'(x)=e^x-2，在x>ln2时递增，在x<ln2时递减。参考答案：×8.函数Ω(x)=xlnx-x²在(0,1)上单调递增。（）解：Ω'(x)=lnx-2x，在x<1/2时递增，在x>1/2时递减。参考答案：×9.函数ζ(x)=x³-6x²+9x+1的图像没有拐点。（）解：拐点x=2，拐点(2,3)。参考答案：×10.函数η(x)=|x³-2x|在(-1,1)上存在四个极值点。（）解：极值点x=0,±√2，(-1,1)内有两个极值点。参考答案：×四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的极值点。解：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0解得x=0或x=2，f''(0)=6>0，f''(2)=-6<0，极小值点x=0，极大值点x=2。2.判断函数g(x)=|x-1|+|x+2|的单调性。解：分段函数g(x)在(-∞,-2)单调递减，(-2,1)单调递增，(1,+∞)单调递增。3.求函数h(x)=x²-2ax+a²的对称轴方程。解：对称轴x=a，由顶点坐标(x₀,y₀)=(a,0)确定。4.求函数k(x)=ln(x²-3x+2)的定义域。解：x²-3x+2>0解得x∈(-∞,1)∪(2,+∞)。5.求函数φ(x)=sin²x-cos²x的最小正周期。解：φ(x)=-cos(2x)，周期T=π/|ω|=π。6.求函数ψ(x)=x³-3x+1的图像的对称中心。解：令x=1得到对称中心(1,0)。7.求函数γ(x)=e^x-2x在x=0处的切线方程。解：γ'(0)=1，γ(0)=1，切线方程y=x+1。8.求函数ζ(x)=x³-6x²+9x+1的拐点坐标。解：ζ''(x)=6x-12，令ζ''(x)=0解得x=2，拐点(2,3)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极大值，且f(0)=1，求p、q的值。解：f(0)=1得到q=1，f'(x)=3x²-p，令x=1得到3-p=0，解得p=3，验证f'(1)=0且f''(1)=-6<0，符合条件。2.求函数g(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值和最小值。解：分段函数g(x)在x=-2时取最小值3，在x=1时取最小值2，在x=-3时取最大值6，在x=3时取最大值6。3.求函数h(x)=x²-2ax+a²在x=1处的极值。解：h'(x)=2x-2a，令x=1得到2-2a=0，解得a=1，h(1)=0，极小值0。4.求函数k(x)=ln(x²-3x+2)在(1,2)上的最大值。解：k(x)在(1,2)上单调递增，最大值k(2)=ln2。5.求函数φ(x)=sin²x-cos²x在[0,π/2]上的值域。解：φ(x)=-cos(2x)，在[0,π/2]上取值[-1,0]。6.求函数ψ(x)=x³-3x+1的图像关于点(1,0)中心对称的函数表达式。解：令x₀=1，y₀=0，f(1-x)+f(1+x)=0，解得f(x)=-x³+3x-1。7.求函数γ(x)=e^x-2x在x=0处的曲率半径。解：γ'(x)=e^x-2，γ''(x)=e^x，γ''(0)=1，曲率半径R=1/|γ''(0)|=1。8.求函数η(x)=|x³-2x|在(-1,1)上的极值点。解：极值点x=0,±√2，(-1,1)内有两个极值点0和√2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.A4.A5.C6.C7.B8.B9.B10.C解析：第1题通过求导和端点值确定最值；第2题利用绝对值函数性质；第3题通过导数判断极值点；第4题分析复合函数单调性；第5题利用三角恒等式；第6题通过导数变化判断零点；第7题分析单调性和连续性；第8题通过导数和边界值确定最值；第9题求二阶导数确定拐点；第10题分析绝对值函数导数变化。二、填空题1.412.213.114.(-∞,1)∪(2,+∞)15.π16.(1,0)17.y=x+118.1/319.(2,+∞)20.不存在解析：第11题通过端点值确定最值差；第12题计算三角形面积；第13题通过导数确定对称轴；第14题解不等式确定定义域；第15题分析周期性；第16题利用对称性；第17题求切线方程；第18题计算曲率半径；第19题分析凹凸性；第20题判断导数存在性。三、判断题1.×22.√23.×24.×25.√26.×27.×28.×29.×30.×解析：第21题分析开闭区间最值；第22题利用三角函数性质；第23题考虑不可导情况；第24题分析导数符号；第25题判断奇偶性；第26题通过导数变化判断零点；第27题分析单调性；第28题分析导数符号；第29题求二阶导数确定拐点；第30题分析极值点分布。四、简答题1.极值点x=0（极小），x=2（极大）2.单调性：(-∞,-2