2026年四川省部编版高中数学第12章解题技巧专项训练

2026年四川省部编版高中数学第12章解题技巧专项训练一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在高中数学第12章中，函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的图像具有奇对称性的充要条件是（）A.b=0且c=0B.a=0且d=0C.b=0且d=0D.a=0且c=0解析：函数f(x)具有奇对称性即满足f(-x)=-f(x)，代入f(x)=ax^3+bx^2+cx+d得：f(-x)=-ax^3+bx^2-cx+d，等式两端与-f(x)=-ax^3-bx^2-cx-d比较系数，可得b=0且d=0。选项C正确。其他选项均不满足奇函数定义，其中A选项仅满足偶函数条件，B选项为常数函数，D选项为二次函数。2.第12章中，若函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为（）A.8B.4C.2D.0解析：首先求导f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，计算端点与驻点函数值：f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3，故M=3，m=-5，M-m=8。选项A正确。3.在研究函数极值问题时，若驻点x_0处满足f''(x_0)=0，则下列结论正确的是（）A.x_0必为函数的拐点B.x_0必为函数的极值点C.x_0可能为函数的极值点也可能不是D.x_0必为函数的零点解析：根据二阶导数判别法，若f''(x_0)=0，需进一步考察高阶导数或直接验证f(x)在x_0两侧的单调性。例如f(x)=x^4在x=0处f''(0)=0但非极值点，f(x)=x^3在x=0处f''(0)=0且非极值点。选项C正确。4.第12章中，若函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为k，则k等于（）A.-3B.1C.3D.0解析：分段函数f(x)={3-x,x≤-2{3,-2<x<1{x+1,x≥1由图像可知最小值出现在x=-2至x=1区间内，f(x)恒等于3。选项C正确。5.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极小值，且f(0)=1，则a与b的值分别为（）A.a=3,b=2B.a=2,b=3C.a=3,b=3D.a=2,b=2解析：由f(0)=1得b=1，f'(x)=3x^2-2ax+1，在x=1处取极小值需满足f'(1)=0且f''(1)>0，即3-2a+1=0且6>0，解得a=2。选项D正确。6.在研究函数单调性时，若函数f(x)在区间I上满足f'(x)>0且f''(x)<0，则f(x)在该区间上的图像特征是（）A.上升且凹向下B.上升且凹向上C.下降且凹向下D.下降且凹向上解析：f'(x)>0表示函数单调递增，f''(x)<0表示函数凹向下，综合特征为上升且凹向下。选项A正确。7.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，则方程f(x)=0在区间[-2,4]上的实根个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：f'(x)=3x^2-6x+2，驻点x=1±√(1/3)，计算端点与驻点函数值：f(-2)=-1，f(-1)=0，f(1)=1，f(2)=-1，f(4)=17，由零点定理可知在[-2,-1]、[1,2]、[2,4]各存在一个零点。选项C正确。8.在研究函数图像变换时，将函数f(x)=x^3的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得函数的解析式为（）A.(x+2)^3+3B.(x-2)^3+3C.(x+2)^3-3D.(x-2)^3-3解析：函数平移规则为“左加右减”“上加下减”，故f(x)向左平移2个单位得f(x+2)，再向上平移3个单位得f(x+2)+3。选项A正确。9.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处取得局部极值，则该极值的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：f'(x)=3x^2-6x+2，驻点x=1±√(1/3)，计算x=2处函数值f(2)=2^3-3×2^2+2×2=0。选项A正确。10.在研究函数周期性问题时，若函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期为T，则T等于（）A.πB.2πC.3π/2D.2π/3解析：sin(x)周期为2π，cos(2x)周期为π，最小公倍数为2π。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为_________参考答案：8解析：f'(x)=3x^2-6x+2，驻点x=1±√(1/3)，计算端点与驻点函数值：f(-1)=5，f(1-√(1/3))≈0.15，f(1+√(1/3))≈1.85，f(3)=0，最大值5，最小值0，差为5。2.若函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且f(0)=2，则a+b的值为_________参考答案：4解析：由f(0)=2得b=2，f'(x)=3x^2-2ax+2，在x=1处取极值需满足f'(1)=0，即3-2a+2=0，解得a=5/2，a+b=9/2。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值点x等于_________参考答案：-2解析：分段函数在x=-2至x=1区间内恒等于3，最小值3在x=-2处取得。4.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则方程f(x)=0在区间[-2,4]上的实根个数为_________参考答案：3解析：f'(x)=3x^2-6x+2，驻点x=1±√(1/3)，计算端点与驻点函数值：f(-2)=-1，f(-1)=0，f(1)=1，f(2)=-1，f(4)=17，由零点定理可知在[-2,-1]、[1,2]、[2,4]各存在一个零点。5.函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极大值，且f(0)=1，则a-b的值为_________参考答案：1解析：由f(0)=1得b=1，f'(x)=3x^2-2ax+1，在x=1处取极大值需满足f'(1)=0且f''(1)<0，即3-2a+1=0且6<0，解得a=2，a-b=1。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像关于_________对称参考答案：x=-1.5解析：由对称性定义f(-x)=f(2x)得对称轴x=-1.5。7.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处取得局部极值，则该极值的值为_________参考答案：0解析：f'(x)=3x^2-6x+2，驻点x=1±√(1/3)，计算x=2处函数值f(2)=2^3-3×2^2+2×2=0。8.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期为_________参考答案：2π解析：sin(x)周期为2π，cos(2x)周期为π，最小公倍数为2π。9.函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且f(1)=0，则a等于_________参考答案：3解析：由f(1)=0得1-a+b=0，结合f'(1)=0即3-2a+b=0，联立解得a=3。10.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值等于_________参考答案：3解析：分段函数在x=-2至x=1区间内恒等于3，最小值3在x=-2处取得。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间I上满足f'(x)>0且f''(x)>0，则f(x)在该区间上的图像特征是上升且凹向上。参考答案：正确解析：f'(x)>0表示函数单调递增，f''(x)>0表示函数凹向上，综合特征为上升且凹向上。2.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处取得极值，则该极值必为极大值。参考答案：错误解析：需结合二阶导数或函数单调性判断，x=1处f''(1)=-3<0，但若驻点非孤立需进一步验证。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像关于直线x=-1.5对称。参考答案：正确解析：由对称性定义f(-x)=f(2x)得对称轴x=-1.5。4.若函数f(x)在x=c处取得极值，则必有f'(c)=0。参考答案：正确解析：根据极值必要条件，可导函数在极值点处导数必为零。5.函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，则必有a=b。参考答案：错误解析：由f'(1)=0得a=2b，但a与b可取任意值满足此关系。6.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期为π。参考答案：错误解析：sin(x)周期为2π，cos(2x)周期为π，最小公倍数为2π。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值点必为函数的极值点。参考答案：正确解析：最小值点x=-2处f(x)取得极小值。8.若函数f(x)在区间I上满足f'(x)<0且f''(x)<0，则f(x)在该区间上的图像特征是下降且凹向下。参考答案：正确解析：f'(x)<0表示函数单调递减，f''(x)<0表示函数凹向下，综合特征为下降且凹向下。9.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处取得局部极值，则该极值为极大值。参考答案：错误解析：需结合二阶导数或函数单调性判断，x=2处f''(2)=6>0，为极小值。10.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像关于原点对称。参考答案：错误解析：f(-x)≠-f(x)，非奇函数。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.请简述函数极值与最值的区别与联系。参考答案：区别：极值是局部性概念，仅与极值点附近函数值比较；最值是全局性概念，是整个定义域上函数值的最大或最小值。联系：闭区间上连续函数的最值必在极值点或端点处取得。2.函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极大值，且f(0)=1，求a与b的值。参考答案：由f(0)=1得b=1，f'(x)=3x^2-2ax+1，在x=1处取极大值需满足f'(1)=0且f''(1)<0，即3-2a+1=0且6<0，解得a=2，b=1。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值点与对称轴有何关系？参考答案：最小值点必在对称轴上，对称轴是函数图像的对称中心，最小值点关于对称轴对称。4.请说明函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2,4]上的单调区间。参考答案：f'(x)=3x^2-6x+2，驻点x=1±√(1/3)，在(-∞,1-√(1/3))单调递增，(1-√(1/3),1+√(1/3))单调递减，(1+√(1/3),+∞)单调递增。5.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期如何确定？参考答案：函数最小正周期为各分量周期的最小公倍数，sin(x)周期为2π，cos(2x)周期为π，最小公倍数为2π。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像有哪些对称性？参考答案：关于直线x=-1.5对称，是轴对称图形，对称轴为x=-1.5。7.请说明函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值时，a与b的关系。参考答案：由f'(1)=0得a=2b，且需满足f''(1)≠0，即a≠2。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处取得局部极值，该极值是极大值还是极小值？参考答案：f'(x)=3x^2-6x+2，驻点x=1±√(1/3)，x=2处f''(2)=6>0，为极小值。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，（1）求函数在区间[-2,4]上的最大值与最小值；（2）若g(x)=f(x)+k在x=2处取得极值，求k的值。参考答案：（1）f'(x)=3x^2-6x+2，驻点x=1±√(1/3)，计算端点与驻点函数值：f(-2)=-1，f(-1)=0，f(1)=1，f(2)=-1，f(4)=17，最大值17，最小值-1。（2）g'(x)=f'(x)=3x^2-6x+2，驻点x=1±√(1/3)，g(x)在x=2处取极值需满足g'(2)=0，即12-12+2=0，此时f(2)=-1，g(2)=-1+k取得极值。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|，（1）求函数的最小值及取得最小值时的x值；（2）若g(x)=f(x)-k在x=-1处取得极值，求k的值。参考答案：（1）分段函数在x=-2至x=1区间内恒等于3，最小值3在x=-2处取得。（2）g'(x)分段为：x<-2时-2/x+1/x-2<x<1时1/x-1/xx>1时1/x+1/x驻点x=-1处g'(-1)=-1/3-1/3=-2/3，此时f(-1)=4，g(-1)=4-k取得极值。3.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)，（1）求函数的最小正周期；（2）若g(x)=f(x)+k在x=π/2处取得极值，求k的值。参考答案：（1）sin(x)周期为2π，cos(2x)周期为π，最小公倍数为2π。（2）g'(x)=cos(x)-2sin(2x)，驻点x=π/2处g'(π/2)=-1-2=0，此时f(π/2)=1，g(π/2)=1+k取得极值。4.函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极大值，且f(0)=1，（1）求a与b的值；（2）若g(x)=f(x)-k在x=2处取得极值，求k的值。参考答案：（1）由f(0)=1得b=1，f'(x)=3x^2-2ax+1，驻点x=1±√(1/3)，在x=1处取极大值需满足f'(1)=0且f''(1)<0，即3-2a+1=0且6<0，解得a=2，b=1。（2）g'(x)=f'(x)=3x^2-4x+1，驻点x=2处g'(2)=12-8+1=5≠0，需重新分析：驻点x=1±√(1/3)，g(x)在x=2处取极值需满足g'(2)=0，即12-8+1=0，矛盾，需调整题设。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|，（1）求函数的最小值及取得最小值时的x值；（2）若g(x)=f(x)-k在x=0处取得极值，求k的值。参考答案：（1）分段函数在x=-2至x=1区间内恒等于3，最小值3在x=-2处取得。（2）g'(x)分段为：x<-2时-2/x+1/x-2<x<1时1/x-1/xx>1时1/x+1/x驻点x=0处g'(0)不存在，需重新分析：g(x)在x=0处取极值需满足g'(0^-)=g'(0^+)，即-1-1=1-1，矛盾，需调整题设。6.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)，（1）求函数的最小正周期；（2）若g(x)=f(x)-k在x=π处取得极值，求k的值。参考答案：（1）sin(x)周期为2π，cos(2x)周期为π，最小公倍数为2π。（2）g'(x)=cos(x)-2sin(2x)，驻点x=π处g'(π)=-1-2=0，此时f(π)=-1，g(π)=-1-k取得极值。六、标准答案及解析一、单项选择题1.C2.A3.C4.C5.D6.A7.C8.A9.A10.B二、填空题1.812.413.-214.315.116.x=-1.517.018.2π19.320.3三、判断题1.√22.×23.√24.√25.×26.×27.√28.√29.×30.×四、简答题1.极值是局部性概念，仅与极值点附近函数值比较；最值是全局性概念，是整个定义域上函数值的最大或最小值。闭区间上连续函数的最值必在极值点或端点处取得。2.由f(0)=1得b=1，f'(x)=3x^2-2ax+1，在x=1处取极大值需满足f'(1)=0且f''(1)<0，即3-2a+1=0且6<0，解得a=2，b=1。3.最小值点必在对称轴上，对称轴是函数图像的对称中心，最小值点关于对称轴对称。4.f'(x)=3x^2-6x+2，驻点x=1±√(1/3)，在(-∞,1-√(1/3))单调递增，(1-√(1/3),1+√(1/3))单调递减，(1+√(1/3),+∞)单调递增。5.sin(x)周期为2π，cos(2x)周期为π，最小公倍数为2π。6.关于直线x=-1.5对称，是轴对称图形，对称轴为x=-1.5。7.由f'(1)=0得a=2b，且需满足f''(1)≠0，即a≠2。8.f'(x)=3x^2-6x+2，驻点x=1±√(1/3)，x=2处f''(2)=6>0，为极小值。五、应用题1.（1）f(-2)=-1，f(-1)=0，f(1)=1，f(2)=-1，f(4)=17，最大值17，最小值-1。（2）g'(x)=f'(x