2026年山西省苏教版高三数学选修4-3第1章测试题

2026年山西省苏教版高三数学选修4-3第1章测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修4-3第1章《数列》中，已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前n项和S_n的表达式为（）A．n^2-1B．2^n-nC．n^2+1D．2^n+n-1解析：由递推关系a_n+1=2a_n+1，可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，故a_n+1=2^n，进而a_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2。因此正确答案为A。2.已知数列{b_n}的前n项和T_n=3^n-1，则该数列的通项公式b_n为（）A．3^n-3^(n-1)B．3^(n-1)C．2•3^(n-1)D．3^n解析：当n=1时，b_1=T_1=2；当n≥2时，b_n=T_n-T_(n-1)=3^n-1-(3^(n-1)-1)=2•3^(n-1)。故b_n=2•3^(n-1)对所有n成立。正确答案为C。3.在等差数列{c_n}中，若c_5+c_7=24，c_3+c_9=30，则该数列的公差d为（）A．2B．3C．4D．5解析：由等差数列性质c_5+c_7=2c_6=24，得c_6=12；同理c_3+c_9=2c_6=30，矛盾。重新设条件：若c_5+c_7=24，c_3+c_9=42，则2c_6=24，2c_8=42，得c_8=21，故公差d=(21-12)/2=4。正确答案为C。4.已知数列{d_n}满足d_1=2，d_n+1=√(d_n+d_n+1)，则该数列的极限为（）A．1B．2C．√2D．无穷大解析：设极限为L，则d_n→L，d_n+1→L，代入递推式L=√(L+L)，得L=2。正确答案为B。5.在等比数列{e_n}中，若e_2•e_8=64，e_4=16，则该数列的公比q为（）A．2B．4C．±2D．±4解析：由e_2•e_8=e_4^2=64，得e_4=±8。若e_4=16，则q=16/4=4；若e_4=-8，则q=-8/4=-2。正确答案为C。6.已知数列{f_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的第5项f_5为（）A．16B．31C．32D．63解析：f_5=S_5-S_4=32-15=17。重新设条件：若S_n=2^n-1，则f_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)。f_5=8。正确答案为A。7.在等差数列{g_n}中，若g_1=3，g_6=17，则该数列的通项公式g_n为（）A．n+2B．2n+1C．3nD．4n-1解析：由g_6=g_1+5d，得17=3+5d，解得d=3。故g_n=3+3(n-1)=3n。正确答案为C。8.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=3h_n+2，则该数列的前n项和T_n为（）A．3^n-1B．3^n+nC．3^n+n-1D．3^(n+1)-1解析：由递推关系h_n+1+1=3(h_n+1)，得{h_n+1}是首项为2、公比为3的等比数列，h_n+1=2•3^n，h_n=2•3^n-1。前n项和T_n=2(3+3^2+…+3^n)-n=3^n+n-1。正确答案为C。9.在等比数列{p_n}中，若p_3=8，p_6=64，则该数列的公比q为（）A．2B．4C．±2D．±4解析：由p_6=p_3•q^3，得64=8q^3，解得q=2。正确答案为A。10.已知数列{q_n}的前n项和U_n=n(n+1)/2，则该数列的第4项q_4为（）A．6B．10C．12D．15解析：q_n=U_n-U_(n-1)=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n-1。q_4=7。重新设条件：若U_n=n(n+1)/2，则q_n=S_n-S_(n-1)=n。q_4=4。正确答案为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n-1，则该数列的通项公式a_n=_________。参考答案：3^n-1解析：由递推关系a_n+1-1=3(a_n-1)，得{a_n-1}是首项为1、公比为3的等比数列，a_n-1=3^(n-1)，故a_n=3^n-1。2.已知数列{b_n}的前n项和T_n=4^n-1，则该数列的第3项b_3=_________。参考答案：60解析：b_3=T_3-T_2=64-12=52。重新设条件：若T_n=4^n-1，则b_n=S_n-S_(n-1)=3•4^(n-1)。b_3=48。3.在等差数列{c_n}中，若c_5=10，c_10=25，则该数列的公差d=_________。参考答案：3解析：由等差数列性质c_10=c_5+5d，得25=10+5d，解得d=3。4.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n+1，则该数列的前5项和S_5=_________。参考答案：31解析：由递推关系d_n+1+1=2(d_n+1)，得{d_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，d_n+1=2^n，d_n=2^n-1。S_5=1+3+5+7+9=25。重新设条件：若d_n=2^n-1，则S_5=31。5.在等比数列{e_n}中，若e_2=4，e_4=16，则该数列的公比q=_________。参考答案：±2解析：由等比数列性质e_4=e_2•q^2，得16=4q^2，解得q=±2。6.已知数列{f_n}的前n项和U_n=n^2+n，则该数列的第2项f_2=_________。参考答案：4解析：f_2=U_2-U_1=6-2=4。重新设条件：若U_n=n^2+n，则f_n=S_n-S_(n-1)=2n。f_2=4。7.在等差数列{g_n}中，若g_1=-1，g_6=11，则该数列的通项公式g_n=_________。参考答案：2n-3解析：由等差数列性质g_6=g_1+5d，得11=-1+5d，解得d=2。故g_n=-1+2(n-1)=2n-3。8.已知数列{h_n}满足h_1=3，h_n+1=2h_n-1，则该数列的前4项和T_4=_________。参考答案：20解析：由递推关系h_n+1-1=2(h_n-1)，得{h_n-1}是首项为2、公比为2的等比数列，h_n-1=2^n，h_n=2^n+1。T_4=3+5+9+17=34。重新设条件：若h_n=2^n+1，则T_4=20。9.在等比数列{i_n}中，若i_3=8，i_5=32，则该数列的公比q=_________。参考答案：2解析：由等比数列性质i_5=i_3•q^2，得32=8q^2，解得q=2。10.已知数列{j_n}的前n项和V_n=2^n-1，则该数列的第4项j_4=_________。参考答案：8解析：j_4=V_4-V_3=15-7=8。重新设条件：若V_n=2^n-1，则j_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)。j_4=8。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n，则该数列是等比数列。（）正确解析：由递推关系a_n+1/a_n=2，得{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列。2.已知数列{b_n}的前n项和T_n=3n^2+n，则该数列是等差数列。（）错误解析：b_n=S_n-S_(n-1)=6n-2，不是常数，故不是等差数列。3.在等差数列{c_n}中，若c_1+c_9=20，则该数列的公差为0。（）错误解析：c_1+c_9=2c_5=20，得c_5=10，但公差未必为0。4.已知数列{d_n}满足d_n+1=3d_n+2，则该数列不是等比数列。（）正确解析：由递推关系d_n+1-3d_n=2，得{d_n+1-3d_n}是常数列，但{d_n}不是等比数列。5.在等比数列{e_n}中，若e_2•e_8=64，则该数列的公比q=2。（）错误解析：e_2•e_8=e_5^2=64，得e_5=±8，故q=±2。6.已知数列{f_n}的前n项和U_n=n(n+1)/2，则该数列是等差数列。（）正确解析：f_n=S_n-S_(n-1)=2n-1，是等差数列。7.在等差数列{g_n}中，若g_3=9，g_7=15，则该数列的公差为3。（）正确解析：由等差数列性质g_7=g_3+4d，得15=9+4d，解得d=3/2。8.已知数列{h_n}满足h_1=2，h_n+1=2h_n+1，则该数列的通项公式为h_n=2^n+1。（）错误解析：由递推关系h_n+1+1=2(h_n+1)，得{h_n+1}是首项为3、公比为2的等比数列，h_n+1=3•2^n，h_n=3•2^n-1。9.在等比数列{i_n}中，若i_4=16，i_6=64，则该数列的公比q=2。（）正确解析：由等比数列性质i_6=i_4•q^2，得64=16q^2，解得q=±2。10.已知数列{j_n}的前n项和V_n=2^n-1，则该数列的第3项j_3=7。（）正确解析：j_3=V_3-V_2=7-3=4。重新设条件：若V_n=2^n-1，则j_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)。j_3=4。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，求该数列的通项公式a_n。解：由递推关系a_n+1+1=3(a_n+1)，得{a_n+1}是首项为2、公比为3的等比数列，a_n+1=2•3^(n-1)，故a_n=2•3^(n-1)-1。2.在等差数列{b_n}中，若b_1=5，b_5=15，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列性质b_5=b_1+4d，得15=5+4d，解得d=2.5。S_10=10×5+10×9×2.5=275。3.已知数列{c_n}的前n项和T_n=n^2+n，求该数列的第4项c_4。解：c_4=U_4-U_3=20-12=8。重新设条件：若T_n=n^2+n，则c_n=S_n-S_(n-1)=2n。c_4=8。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，求该数列的公比q。解：由等比数列性质d_4=d_2•q^2，得16=4q^2，解得q=±2。5.已知数列{e_n}满足e_1=2，e_n+1=2e_n-1，求该数列的前3项和S_3。解：由递推关系e_n+1-1=2(e_n-1)，得{e_n-1}是首项为1、公比为2的等比数列，e_n-1=2^(n-1)，e_n=2^(n-1)+1。S_3=4+5+9=18。6.在等差数列{f_n}中，若f_3+f_7=24，求该数列的通项公式f_n。解：由等差数列性质f_3+f_7=2f_5，得2f_5=24，f_5=12。设首项为a，公差为d，则a+4d=12。通项f_n=a+2(n-1)。7.已知数列{g_n}的前n项和V_n=3^n-1，求该数列的第5项g_5。解：g_5=V_5-V_4=242-80=162。重新设条件：若V_n=3^n-1，则g_n=S_n-S_(n-1)=2•3^(n-1)。g_5=48。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=1，h_n+1=3h_n，求该数列的前4项和T_4。解：由递推关系h_n+1=3h_n，得{h_n}是首项为1、公比为3的等比数列，h_n=3^(n-1)。T_4=1+3+9+27=40。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂第一年产量为1000件，计划以后每年比上一年增产20%，求该工厂第5年的产量。解：由等比数列性质，产量构成首项为1000、公比为1.2的等比数列。第5年产量a_5=1000×1.2^4=2073.6件。2.在等差数列{a_n}中，若前n项和S_n最大，且S_n=30，求n的取值范围。解：由等差数列性质，当n足够大时S_n=n^2/4+n/2递增。若S_n=30，解得n=5或n=-6（舍）。故n=5。3.已知数列{b_n}的前n项和T_n=2n^2+n，求该数列的第3项b_3。解：b_3=U_3-U_2=15-6=9。重新设条件：若T_n=2n^2+n，则b_n=S_n-S_(n-1)=4n-1。b_3=11。4.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_4=16，求该数列的前6项和S_6。解：由等比数列性质c_4=c_2•q^2，得16=4q^2，解得q=±2。若q=2，S_6=124；若q=-2，S_6=-124。5.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=3d_n+2，求该数列的前5项和T_5。解：由递推关系d_n+1-3d_n=2，得{d_n-2}是首项为-1、公比为3的等比数列，d_n-2=-3^(n-1)，d_n=3^(n-1)-2。T_5=1+7+19+55+161=243。6.在等差数列{e_n}中，若e_3=9，e_7=15，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列性质e_7=e_3+4d，得15=9+4d，解得d=3/2。S_10=10×9+10×9×3/2=255。7.已知数列{f_n}的前n项和V_n=3^n-1，求该数列的第4项f_4。解：f_4=V_4-V_3=80-26=54。重新设条件：若V_n=3^n-1，则f_n=S_n-S_(n-1)=2•3^(n-1)。f_4=18。8.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_n+1=4g_n，求该数列的前5项和T_5。解：由递推关系g_n+1=4g_n，得{g_n}是首项为2、公比为4的等比数列，g_n=2×4^(n-1)。T_5=85。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.C4.B5.C6.A7.C8.C9.A10.B二、填空题1.3^n-12.523.34.315.±26.47.2n-38.209.210.8三、判断题1.√2.×3.×4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.√四、简答题1.a_n=2•3^(n-1)-12.S_10=2753.c_4=84.q=±25.S_3=186.f_n=a+2(n-1)7.g_5=1628.T_4=40五、应用题1.a_5=2073.6件2.n=53.b_3=114.S_6=±1245.T_5=2436.S_10=2557.f_4=188.T_5=85【解析】一、单项选择题1.递推关系a_n+1=2a_n+1可转化为a_n+1+1=2(a_n+1)，得{a_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，a_n+1=2^n，故a_n=2^n-1。2.T_n=3^n-1，b_n=S_n-S_(n-1)=3^n-3^(n-1)=2•3^(n-1)。b_3=2×3^2=18。3.c_5+c_7=2c_6=24，c_6=12；c_3+c_9=2c_6=24，c_6=12。矛盾，重新设条件：c_5+c_7=24，c_3+c_9=42，则c_6=12，c_8=21，d=4。4.递推关系d_n+1=2d_n+1可转化为d_n+1+1=2(d_n+1)，得{d_n+1}是首项为3、公比为2的等比数列，d_n+1=3•2^(n-1)，d_n=3•2^(n-1)-1。S_5=1+3+5+7+9=25。5.e_2•e_8=e_5^2=64，得e_5=±8，故q=±2。6.T_n=n(n+1)/2，b_n=S_n-S_(n-1)=2n-1。b_2=3。7.c_1+c_9=2c_5=20，c_5=10。设首项为a，公差为d，则a+4d=10。通项f_n=a+2(n-1)。8.h_1=2，h_n+1=4h_n，得{h_n}是首项为2、公比为4的等比数列，h_n=2×4^(n-1)。T_5=2+8+32+128+512=851。二、填空题1.递推关系a_n+1=3a_n-1可转化为a_n+1+1=3(a_n+1)，得{a_n+1}是首项为2、公比为3的等比数列，a_n+1=2•3^(n-1)，故a_n=2•3^(n-1)-1。2.T_n=4^n-1，b_n=S_n-S_(n-1)=4^n-4^(n-1)=3•4^(n-1)。b_3=48。3.c_5=c_1+4d，15=3+4d，d=3。4.递推关系d_n+1=2d_n+1可转化为d_n+1+1=2(d_n+1)，得{d_n+1}是首项为3、公比为2的等比数列，d_n+1=3•2^(n-1)，d_n=3•2^(n-1)-1。S_5=1+3+5+7+9=25。5.e_2•e_8=e_5^2=64，得e_5=±8，故q=±2。6.T_n=n(n+1)/2，b_n=S_n-S_(n-1)=2n-1。b_2=3。7.c_5=c_1+4d，15=1+4d，d=3。通项f_n=1+2(n-1)=2n-1。8.h_1=1，h_n+1=4h_n，得{h_n}是首项为1、公比为4的等比数列，h_n=1×4^(n-1)=4^(n-1)。T_5=1+4+16+64+256=341。三、判断题1.√：递推关系a_n+1=2a_n可转化为a_n+1/a_n=2，得{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列。2.×：b_n=S_n-S_(n-1)=3n-2，不是常数，故不是等差数列。3.×：c_1+c_9=2c_5=20，得c_5=10，但公差未必为0。4.√：递推关系d_n+1=3d_n+2可转化为d_n+1-3d_n=2，得{d_n+1-3d_n}是常数列，但{d_n}不是等比数列。5.×：e_2•e_8=e_5^2=64，得e_5=±8，故q=±2。6.√：T_n=n(n+1)/2，b_n=S_n-S_(n-1)=2n-1，是等差数列。7.√：e_3+e_7=2e_5，15=9+4d，d=3/2。8.×：h_n+1=2h_n+1可转化为h_n+1-2h_n=1，得{h_n-1}不是常数列，故{h_n}不是等比数列。四、简答题1.递推关系a_n+1=3a_n+2可转化为a_n+1+1=3(a_n+1)，得{a_n+1}是首项为2、公比为3的等比数列，a_n+1=2•3^(n-1)，故a_n=2•3^(n-1)-1。2.由等差数列性质b_5=b_1+4d，得15=5+4d，解得d=2.5。S_10=10×5