第二章 第5节　指数与对数

第5节指数与对数[课程标准要求]1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.2.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.夯实·必备知识知识梳理1.根式的概念及性质根式负数0aa-a没有意义3.有理数指数幂的运算性质aras=

;(ar)s=

;(ab)r=

,其中a>0,b>0,r,s∈Q.4.对数的概念一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=

,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.5.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质.ar+sarsarbrlogaNNlogaM+logaNlogaM-logaNnlogaM重要结论基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).×

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BCC64提升·关键能力指数幂的运算考点1DD解题策略·(1)指数幂运算时,首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.AB对数式的运算考点2角度1对数式的化简与计算D8解题策略·对数式化简与计算的一般思路(1)合:逆用对数的运算性质,将同底数的对数的和、差、倍数运算,转化为同底数的对数的真数的积、商、幂的运算.(2)拆:运用对数的运算性质,将积、商、幂的对数转化为同底数的对数的和、差、倍数运算.(3)当对数的底数不相同时,可通过换底公式转化为底数相同的对数再进行化简计算.[针对训练]1.(2022·天津卷)化简(2log43+log83)(log32+log92)的值为(

)A.1 B.2 C.4 D.6B3【解析】

原式=2lg5+2lg2+lg5×(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.角度2对数与指数的综合运算[例3](1)(2026·海南海口模拟)若a=log36,6b=18,则ab-log32等于(

)A.1 B.-1 C.2 D.-2C【解析】(1)由6b=18,得b=log618,又a=log36,所以ab-log32=log36×log618-log32=log36×(log66+log63)-log32=log36-log32+1=log33+1=2.故选C.C解题策略·对数与指数综合运算的方法技巧(1)根据需要,利用指数式与对数式的关系ab=N⇔logaN=b对二者进行互化.(2)当不同底数的幂值相等时,常设出幂的值,然后转化为对数式再进行化简求值.(3)当幂的指数中含有对数时,一是运用对数恒等式化简计算,二是通过等式两边取对数的方法转化为对数式进行化简求值.BC指数与对数运算的实际应用考点3[例4](1)(2026·云南昆明模拟)已知某种水果的保鲜时间y(单位:h)与温度x(单位:℃)近似满足函数关系y=eax+b(a,b为常数,e为自然对数的底数),若该种水果在4℃时的保鲜时间为192h,在17℃时的保鲜时间为96h,则在30℃时,该种水果的保鲜时间约为(

)A.12h B.24h C.36h D.48hDD解题策