第六章 第2节　等差数列

第2节等差数列[课程标准要求]1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系.夯实·必备知识知识梳理1.等差数列的有关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从

起,每一项与它的前一项的

都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.用符号表示为

(n∈N*,d为常数).(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是

,其中A叫做a与b的

.第2项差an+1-an=d等差中项2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式:an=

.a1+(n-1)d释疑·(1)当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且一次项系数为公差d.若公差d>0,则为递增数列;若公差d<0,则为递减数列.3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+

(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,则①2an=an-1+an+1(n∈N*,n>1);②2an=an-k+an+k(n,k∈N*,n>k);③k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则

.(n-m)dak+al=am+an(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}和{a2n+1}也是等差数列,公差为

.(4)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为

的等差数列.(5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.2dmd1.若数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.2.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).3.若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.重要结论5.关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质重要结论基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(

)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(

)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其前n项和公式为n的二次函数.(

)(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(

)×√××2.(人教A版选择性必修第二册P15练习T2改编)已知实数m是2和8的等差中项,则m=(

)A.±4

B.-4

C.4

D.5D3.[苏教版选择性必修第一册P145练习T3(2)改编]已知数列{an}满足a1=5,an+1=an+5,若an=20,则n等于(

)A.3

B.4

C.5

D.6B【解析】

由an+1=an+5可得,an+1-an=5,则数列{an}为等差数列,且公差d为5,所以an=a1+(n-1)d=5n,由an=5n=20,得n=4.故选B.4.[人教A版选择性必修第二册P21例6(2)改编]设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于(

)A.31

B.32

C.33

D.34B5.(人教A版选择性必修第二册P23练习T3改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S2=4,S4=16,则S6=

.

36【解析】

由题知S2,S4-S2,S6-S4也成等差数列,即4,12,S6-16成等差数列,所以2×12=S6-16+4,解得S6=36.提升·关键能力等差数列基本量的运算考点1[例1]

(1)(2026·江苏盐城模拟)在等差数列{an}中,已知a1=2,d=3,Sn+3-Sn=60,则n的值为(

)A.3

B.4

C.5

D.6C法二(Sn与an的关系法)由题意得an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1,Sn+3-Sn=an+1+an+2+an+3=60,即3(n+1)-1+3(n+2)-1+3(n+3)-1=60,解得n=5.故选C.(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6=S3+2a1,a8+a7=22,则{an}的公差等于(

)A.2

B.1

C.-1

D.-2D解题策略·等差数列运算问题的通用解法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,用方程的思想解决问题.(3)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.[针对训练]

(2026·山东德州模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2=4,S5=3a4+6,则a8=(

)A.2

B.8

C.16

D.32C等差数列的判定与证明考点2(1)证明:数列{an}为等差数列.因为nan+1=2Sn+3n,a1=3,所以当n=1时,a2=2S1+3=2a1+3=9;当n=2时,2a3=2S2+6=24+6=30,则a3=15,所以a1+a3=2a2,满足an+2+an=2an+1,所以an+2+an=2an+1,故数列{an}为等差数列.(2)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.(1)等差数列判定与证明的常用方法.①定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一常数.②等差中项法:2an+1=an+an+2⇔{an}为等差数列.③通项公式法:an=an+b(a,b是常数)⇔{an}为等差数列.④前n项和公式法:Sn=an2+bn(a,b为常数)⇔{an}为等差数列.(2)若要判定一个数列不是等差数列,则只需找出三项an,an+1,an+2,使得这三项不满足2an+1=an+an+2即可.解题策略·(2)求数列{an}的通项公式.等差数列的性质及应用考点3角度1等差数列项的性质[例3]

(2026·陕西铜川模拟)若等差数列{an}满足a2+a5+a16+a19=2,则a8+a13=(

)A.1

B.-1

C.4

D.2A【解析】

根据等差数列的性质可得,a2+a5+a16+a19=2(a2+a19)=2,则a2+a19=1,所以a8+a13=a2+a19=1.故选A.解题策略·[针对训练]

(2026·广西贵港模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a7=28,a5a7=280,则S11=

.

187角度2等差数列前n项和的性质[例4]

(2025·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=6,S5=-5,则S6等于(

)A.-20

B.-15

C.-10

D.-5B【解析】

由S3=3a2=6,S5=5a3=-5,得a2=2,a3=-1,d=-3,所以a6=a3+3d=-10,故S6=S5-10=-15.故选B.[真题变式]

(1)(2026·河南周口模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S3=4,S6=10,则a16+a17+a18=(

)A.12

B.14

C.16

D.18B【解析】

(1)由等差数列的片段和性质知,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12,S18-S15成等差数列,由S3=4,S6-S3=6,得该数列首项为4,公差为2,所以a16+a17+a18=S18-S15=4+5×2=14.故选B.A.2

025

B.-2

025C.-2

024

D.2

024B在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);(2)S2n-1=(2n-1)an;(3)依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.解题策略·[针对训练]DA角度3等差数列前n项和的最值问题[例5]