第三章 第2节　导数与函数的单调性

第2节导数与函数的单调性[课程标准要求]1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.夯实·必备知识知识梳理1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y=f(x)在区间(a,b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a,b)内f′(x)<0f(x)在区间(a,b)内f′(x)=0f(x)在区间(a,b)上是

函数单调递增单调递减常数释疑·函数f(x)在区间(a,b)上单调递增(减),则f′(x)≥0(f′(x)≤0),“f′(x)>0(f′(x)<0)在(a,b)上恒成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增(减)”的充分不必要条件.如f(x)=x3在定义域上是增函数,但是其导数f′(x)=3x2≥0.2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步,确定函数的

;第2步,求出导数f′(x)的

;第3步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.定义域零点基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.(

)(2)在(a,b)上f′(x)≤0且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)上单调递减.(

)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.(

)(4)函数f(x)=x-sin

x在R上是增函数.(

)×√√√2.(人教A版选择性必修第二册P97习题5.3T1改编)函数f(x)=xln

x+1的单调递减区间是(

)A3.(人教A版选择性必修第二册P89练习T3改编)在同一平面直角坐标系中作出三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)及其导函数的图象,下列一定不正确的序号是(

)CA.①② B.①③ C.③④ D.①④【解析】

当f′(x)>0时,y=f(x)是单调递增的,当f′(x)<0时,y=f(x)是单调递减的,故可得①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的,故正确;而③中导函数为负的区间内相应的函数不单调递减,故错误;④中导函数为负的区间内相应的函数不单调递减,故错误.故选C.(-1,1)提升·关键能力利用导函数图象研究函数的单调性考点1[例1]

(2026·黑龙江齐齐哈尔模拟)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f′(x)的图象可能是(

)AAB

C D【解析】

由f(x)的图象可知,当x∈(-∞,0)时,函数单调递增,则f′(x)≥0,故排除C,D;当x∈(0,+∞)时,f(x)先递增,再递减最后递增,所以所对应的导数值应该先大于0,再小于0,最后大于0,排除B.故选A.解题策略·函数图象与其导函数图象的关系当导函数f′(x)的图象在x轴上方时,对应的自变量的取值区间为函数f(x)的单调递增区间;当导函数f′(x)的图象在x轴下方时,对应的自变量的取值区间为函数f(x)的单调递减区间.[针对训练]

(多选)如图所示是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下列判断正确的是(

)A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增B.在区间(2,3)上f(x)单调递减C.在区间(4,5)上f(x)单调递增D.在区间(3,5)上f(x)单调递减BC求不含参数函数的单调区间考点2C(2)函数f(x)=xcos

x-sin

x在以下哪个区间内单调递增(

)B【解析】(2)f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,选项中只有B项满足f′(x)>0.故选B.解题策略·求函数的单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求导数f′(x).(3)解不等式f′(x)>0,解集与定义域的交集为单调递增区间.(4)解不等式f′(x)<0,解集与定义域的交集为单调递减区间.注意:(1)不能漏掉求函数的定义域.(2)函数的单调区间不能用并集,要用“,”或“和”隔开.[针对训练]

1.函数y=ex-5x的单调递增区间为

.

(ln5,+∞)【解析】

y=ex-5x的定义域为R,y′=(ex-5x)′=ex-5,令y′>0,得x>ln5,所以y=ex-5x的单调递增区间为(ln5,+∞).(0,1),(1,e)讨论含参数函数的单调性考点3②若a=-e,当x∈(-∞,1)时,x-1<0,ex-e<0,f′(x)>0;当x∈[1,+∞)时,x-1≥0,ex-e≥0,f′(x)≥0,当且仅当x=1时,等号成立,所以f(x)在R上单调递增.③若-e<a<0,则ln(-a)<1,当x∈(-∞,ln(-a))时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(ln(-a),1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.④若a<-e,则ln(-a)>1,当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,ln(-a))时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(ln(-a),+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a≥0时,f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当a=-e时,f(x)在R上单调递增;当-e<a<0时,f(x)在(-∞,ln(-a)),(1,+∞)上单调递增,在(ln(-a),1)上单调递减;当a<-e时,f(x)在(-∞,1),(ln(-a),+∞)上单调递增,在(1,ln(-a))上单调递减.解题策略·研究含参函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论主要是讨论在参数取不同值时函数的单调性,主要讨论点:(1)最高次项系数是否为0.(2)导函数是否有零点.(3)导函数两零点的大小关系.(4)导函数零点与定义域的关系.解题策略·注意:(1)若函数的