探秘天津高考数列试题及对应答案

探秘天津高考数列试题及对应答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______第Ⅰ卷选择题1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=5，a3=11，则下列说法正确的是（1）该数列的公差为3；（2）该数列的前5项和为40；（3）该数列的第10项为30；（4）该数列的任意一项均大于其前n项和Sn。请选出所有正确的说法。2.已知等比数列{bn}中，b1=2，b4=32，则下列说法正确的是（1）该数列的公比为2；（2）该数列的前3项和为6；（3）该数列的通项公式为bn=2^n；（4）该数列的第6项为256。请选出所有正确的说法。3.在数列{an}中，若a_n=1/n-1/(n+1)，则前n项和Sn等于（1）1-1/(n+1)；（2）n/(n+1)；（3)n/(n+1)；（4）1-n/(n+1)。请选出正确的答案。4.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，则该数列的通项公式an等于（1）2^n-1；（2）2^n-1；（3）2^n-1；（4）2^n-1。请选出正确的答案。5.已知数列{bn}满足bn+1=bn^2-1，且b1=2，则b3等于（1）7；（2）7；（3）7；（4）7。请选出正确的答案。6.若数列{an}的前n项和Sn=3n^2-2n，则该数列一定是（1）等差数列；（2）等比数列；（3）既非等差数列也非等比数列；（4）可能既是等差数列也是等比数列。请选出所有正确的说法。第Ⅱ卷非选择题7.已知等差数列{an}中，a5=10，a10=25，求该数列的通项公式an及前10项和S10。8.已知等比数列{bn}中，b2=6，b4=54，求该数列的公比q及首项b1，并写出其通项公式bn。9.已知数列{an}满足an+1=an+2n，且a1=2，求该数列的前5项：a1,a2,a3,a4,a5。10.已知数列{bn}满足bn+1=bn/(bn+1)，且b1=3，求该数列的前3项：b1,b2,b3。11.已知数列{an}的通项公式为an=n^2-n+1，求该数列的前n项和Sn。12.已知数列{cn}的前n项和为Sn=4n^2-n，求数列{cn}的通项公式an。13.已知数列{an}满足an+1=3an-2，且a1=1。（1）证明数列{an+1}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式。14.已知数列{bn}满足bn+1=bn^2-2bn+2，且b1=2。（1）求b2,b3；（2）猜测数列{bn}的单调性，并给出证明。15.已知数列{an}满足an+1=an+ln(an+1)，且a1=1。（1）证明数列{an}是单调递增数列；（2）结合导数知识，证明数列{an}是有界数列。试卷答案1.（1）（2）（3）2.（1）（3）（4）3.（1）4.（1）5.（4）6.（1）7.解析思路：由a5=10和a10=25，利用等差数列通项公式an=a1+(n-1)d，得到两个方程：a1+4d=10，a1+9d=25。解此方程组得a1=2，d=2。因此，通项公式an=2+(n-1)×2=2n。前10项和S10=n/2(a1+an)=5(2+20)=110。答案：an=2n,S10=1108.解析思路：由b2=6和b4=54，利用等比数列通项公式an=b1*q^(n-1)，得到两个方程：b1*q=6，b1*q^3=54。解此方程组得b1=2，q=3。因此，通项公式bn=2*3^(n-1)。答案：q=3,b1=2,bn=2*3^(n-1)9.解析思路：根据递推关系an+1=an+2n，且a1=2，逐项计算：a2=a1+2*1=2+2=4a3=a2+2*2=4+4=8a4=a3+2*3=8+6=14a5=a4+2*4=14+8=22因此，前5项为2,4,8,14,22。答案：2,4,8,14,2210.解析思路：根据递推关系bn+1=bn/(bn+1)，且b1=3，逐项计算：b2=b1/(b1+1)=3/(3+1)=3/4b3=b2/(b2+1)=3/4/(3/4+1)=3/4/(7/4)=3/7因此，前3项为3,3/4,3/7。答案：3,3/4,3/711.解析思路：利用分组求和法或公式法。Sn=n(n+1)/2-n^2/2+n(n+1)/2=2n(n+1)/2-n^2/2=n(n+1)/2。因此，Sn=n(n+1)/2。答案：Sn=n(n+1)/212.解析思路：当n=1时，c1=S1=4*1^2-1=3。当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n^2-n-[4(n-1)^2-(n-1)]=4n^2-n-4n^2+8n-4+n-1=8n-5。验证n=1时公式成立。因此，an=8n-5。答案：an=8n-513.解析思路：（1）证明：令bn=an+1，则递推关系变为bn=3an-1。因为a1=1，所以b1=4。对于任意n，bn=3an-1=3(an-1)+2=3(bn-1-1)+2=3bn-3+2=3bn-1。因此，(bn-1)/(bn-4)=3（常数），故{bn}是等比数列，公比为3。（2）由（1）知bn=a1*q^(n-1)=4*3^(n-1)。因为bn=an+1，所以an=4*3^(n-1)-1。答案：（1）{bn}是等比数列，公比为3。（2）an=4*3^(n-1)-114.解析思路：（1）计算：b2=b1^2-2b1+2=2^2-2*2+2=2。b3=b2^2-2b2+2=2^2-2*2+2=2。（2）猜测：数列{bn}是单调递增的。证明：设f(x)=x^2-2x+2，则f'(x)=2x-2。当x>1时，f'(x)>0，即f(x)在x>1时单调递增。因为b1=2>1，且bn+1=f(bn)，所以当n≥1时，bn>1，因此f'(bn)>0，即bn+1>bn，故数列{bn}单调递增。答案：（1）b2=2,b3=2（2）数列{bn}单调递增。证明见解析。15.解析思路：（1）证明：令f(x)=x+ln(x+1)-2x，需要证明当x>0时f(x)>0。f'(x)=1+1/(x+1)-2=1/(x+1)-1。当x>0时，x+1>1，所以1/(x+1)<1，因此f'(x)<0。即f(x)在x>0时单调递减。又f(0)=0+ln(0+1)-2*0=0。所以当x>0时，f(x)>f(0)=0，即x+ln(x+1)>2x。取x=an-1>0，得an-1+ln(an)>2(an-1)，即an+1+ln(an)>2an。两边同时减去an，得ln(an)>an-an-1。因为an>0，所以1/an>0，两边取指数得an>exp(an-an-1)>an-an-1。即an+an-an-1>an，整理得an+1>an。因此数列{an}单调递增。（2）证明：由（1）知数列{an}单调递增。因为a1=1，且数列递增，所以an≥1。又由（1）中的不等式an+1+ln(an)>2an，得ln(an)>an-an-1。因为an≥1，所以ln(an)≥0。因此an-an-1=ln(an)/(an+1)。因为数列单调递增，an+1≥an≥1，所以an-an-1≥ln(an)≥0。又因为an≥1，所以an-an-1=ln(an)/(an+1)≤ln(an)。由于ln(x)在x>1时小于x-1，所以ln(an)<an-1。结合an-an-1