频数直方图专项试题及详细答案

频数直方图专项试题及详细答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在绘制频数直方图时，确定分组区间是关键步骤之一。以下关于分组区间的描述中，错误的是（）。A.分组应能反映数据的分布特征B.各组的组距必须相等C.分组的数量不宜过多或过少D.最大值和最小值应包含在所分的组内2.某班50名学生的身高数据（单位：cm）已分组整理，如下表（仅示分组信息，非题目原始数据）：组别频数140-1455145-15010150-155x155-16015160-1655已知150-155这个组的频数是12，则该班身高在155cm及以上的学生人数是（）。A.20B.25C.30D.353.对于一组数据，若绘制了频数直方图，则以下结论中一定正确的是（）。A.直方图的所有矩形面积之和等于数据个数减一B.直方图的所有矩形面积之和等于数据个数C.直方图的高表示每个数据出现的频率D.直方图的高表示每个数据出现的频数4.某校为了了解学生的身高情况，随机抽取部分学生测量身高，并将数据分组绘制成频数直方图。以下说法中，正确的是（）。A.直方图能精确反映每个身高值的具体人数B.直方图能直观展示学生身高的整体分布情况C.如果把数据分成更多组，直方图会变得更陡峭D.直方图的最高矩形对应的组就是这组学生身高的中位数所在组5.已知一组数据绘制成的频数直方图如下（示意图，非实际图形）：（此处无图形，请想象一个简单的直方图，假设有两个矩形，左边的矩形明显比右边的高）根据该直方图，可以判断这组数据分布的形态最可能是（）。A.对称分布B.右偏态分布C.左偏态分布D.U型分布6.在频数直方图中，如果将所有矩形的宽都变为原来的一半，且保持矩形的高度不变，那么新的直方图与原图相比，所有矩形面积之和将（）。A.变为原来的一半B.保持不变C.变为原来的两倍D.无法确定7.从一副扑克牌（去掉大小王，共52张）中随机抽取一张，记下花色后放回，重复抽取50次，记录各花色（红心、黑桃、方片、梅花）出现的频数，并绘制成频数直方图。关于该直方图的描述，下列说法正确的是（）。A.因为是随机抽取，所以直方图一定是完全对称的B.红心出现的频数一定等于黑桃出现的频数C.直方图能反映50次抽取中各花色出现的比例情况D.直方图最高矩形对应的组就是样本容量508.已知某数据集的频数直方图，其中组距为5，某个组的频数为10。则该组的数据范围（组中点左右对称）用区间表示可以是（）。A.[x,x+10]B.[x-2.5,x+2.5]C.[x-5,x+5]D.[x-10,x+10]9.如果将一组数据首先绘制成频数直方图，然后在此基础上，将每个矩形的高都除以对应的组距，得到的图形是（）。A.频率分布直方图B.条形图C.累积频率分布图D.散点图10.在频数直方图中，如果想要观察数据在某个特定区间内的集中程度，应该关注（）。A.该区间对应的矩形的高度B.该区间对应的矩形面积C.该区间内所有矩形的高度总和D.该区间内所有矩形面积的百分比二、多选题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的得0分。）11.绘制频数直方图时，需要确定的关键要素包括（）。A.数据的极差B.分组的组数C.各组的组距D.各组的频数统计12.观察一张绘制规范的频数直方图，可以从图形中获得的信息有（）。A.数据的样本容量B.数据的分布范围C.数据的集中趋势D.数据的离散程度13.下列关于频数直方图和频率直方图的叙述中，正确的有（）。A.两者都能反映数据的分布特征B.频率直方图中，所有矩形面积之和等于1C.频数直方图纵轴表示频数，频率直方图纵轴表示频率D.同一组数据的频数直方图和频率直方图，对应矩形的形状完全相同14.在直方图的绘制过程中，如果组距选择过大或过小，可能会产生的影响有（）。A.组距过大，可能掩盖数据的分布细节B.组距过小，可能使图形过于分散，难以观察整体趋势C.组距的改变会直接影响样本容量的大小D.合适的组距是准确反映数据分布的关键15.已知一组数据的最小值是10，最大值是50，如果计划绘制频数直方图，下列分组方式中较为合理的有（）。A.分成5组，组距为8B.分成6组，组距为7C.分成7组，组距为6D.分成8组，组距为5三、解答题（本大题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分12分）学校为了了解学生每天课后用于自主学习的时间情况，随机抽取了100名学生进行调查，并将调查结果整理如下（时间单位：分钟）：（此处无表格，请假设数据已分组并给出频数）时间分组频数[0,30)10[30,60)20[60,90)35[90,120)25[120,150]10（1）计算该样本中，课后用于自主学习时间在60分钟及以上的学生所占的百分比。（2）根据以上信息，绘制这组数据的频数直方图（要求：自行确定横纵坐标比例，但需清晰标明坐标轴、刻度、分组区间和频数）。（3）根据直方图，roughlyestimate（大致估计）这组数据的中位数所在区间。17.（本小题满分10分）某公司对员工进行了一次技能测试，随机抽取了部分员工的得分数据，绘制成了如下的频数直方图（示意图，非实际图形）：（此处无图形，请假设一个简单的直方图，包含3-4个矩形，高度有差异）已知该直方图中，得分在[70,80)区间的员工频数为15，得分在[80,90)区间的员工频数为25。（1）根据图形信息，判断该公司员工此次技能测试得分分布的大致形态（偏态方向）。（2）若该公司规定，得分在85分及以上为优秀，根据直方图信息，roughlyestimate（大致估计）该公司员工此次技能测试得分为优秀的员工大约占多大比例？（3）请根据直方图信息，计算该公司参与此次技能测试的员工总人数的估计值。18.（本小题满分13分）为了解某地区初中生视力情况，随机抽取了200名初中生进行视力检查，得到他们的视力数据（视力范围：-25到5，数据已分组）。部分统计信息如下表所示（仅示分组及部分频数）：（此处无表格，请假设给出分组和部分频数，例如：）视力分组频数[-25,-20)10[-20,-15)15[-15,-10)x[-10,-5)30[-5,0)50[0,5]y已知视力在[-10,-5)区间的频数是该区间上下两组频数之和的一半。（1）根据已知信息，求出x和y的值。（2）计算该样本中视力正常（通常指视力在0到0.6之间，但此处根据分组判断，假设[0,-5)为正常）的初中生所占的频数和百分比。（3）根据上述信息，绘制该样本视力数据的频率直方图（要求：明确横轴、纵轴（表示频率，需注明单位“频率”）、刻度及各矩形对应的视力区间和频率值）。19.（本小题满分15分）甲、乙两个班级各进行了一次数学测试，两个班级的人数分别为50人和60人。为了比较两个班级的成绩分布情况，分别从两个班级中随机抽取了部分学生成绩，并绘制了如下两个班级成绩的频数直方图（示意图，非实际图形）：（此处无图形，请假设两个简单的直方图，形状可略有不同）假设从甲班抽取了40名学生，从乙班抽取了36名学生。（1）描述从甲班抽取的40名学生数学成绩的频数直方图所显示的主要分布特征（如集中趋势、偏态等）。（2）描述从乙班抽取的36名学生数学成绩的频数直方图所显示的主要分布特征，并与甲班进行比较，简要说明哪个班级（基于本次抽样）的成绩分布更集中或更分散。（3）如果需要更精确地比较两个班级的整体成绩水平，除了直方图，还可以采用哪些统计量？请简要说明这些统计量的作用。试卷答案一、选择题1.B解析：分组时，若数据范围允许且为了体现分布细节，可以采用不等距分组，此时组距不必相等。2.C解析：155cm及以上的学生包括[155,160)、[160,165]和[165,170]这三个组。其频数分别为15、5和5-12=5。总人数为15+5+5=25。3.B解析：频数直方图中，所有矩形面积之和等于各组频数之和，即等于数据的总个数。矩形的高=频数/组距。4.B解析：直方图通过矩形的高度和面积，直观地展示了数据在不同区间内的频数分布情况。A错误，直方图表示的是频数或频率的分布，不是具体个数。C错误，分组越多，直方图越接近频率分布曲线，形状趋于平滑。D错误，众数对应的组不一定包含中位数，中位数将数据分为两部分，各部分频数相等。5.B解析：观察示意图，左侧矩形高远大于右侧矩形，说明数据集中在左侧较小值区域，右侧较小值区域数据较少，呈现向右延伸的形态，故为右偏态分布。6.B解析：直方图总面积=Σ(矩形高*矩形宽)=Σ频数。当矩形宽变为原来的一半，高不变时，新的总面积=Σ(矩形高*(矩形宽/2))=(1/2)*Σ(矩形高*矩形宽)=(1/2)*Σ频数=原总面积。7.C解析：直方图反映的是在50次抽取中，各花色出现的频数分布情况，进而可以反映其出现的频率或比例情况。A错误，随机抽取多次后，结果趋近于理论概率，但不一定完全对称。B错误，由于随机性，各花色出现频数不一定相等。D错误，样本容量是50，是直方图总面积（或总频数）的基数，不是最高矩形的高。8.D解析：组距为5，组中点在组距中间，即[x-2.5,x+2.5]。该组范围是[x-2.5-5,x+2.5+5]=[x-7.5,x+7.5]，即[x-10,x+10]。9.A解析：频数直方图纵轴为频数F，组距为Δx。频率=F/Δx。将每个矩形的高（即F）除以对应的组距Δx，得到的新高=(F/Δx)=频率。因此，该图形是频率直方图。10.B解析：矩形的高表示频数，宽表示组距，因此矩形的面积=高*宽=频数*组距=(组距*频率)。矩形面积直接反映了该组包含的数据量占总量的比例，能更直观地体现该区间数据的相对集中程度。二、多选题11.ABCD解析：绘制频数直方图需要：1)计算数据极差以确定数据范围；2)根据数据特点和研究目的确定分组组数；3)计算各组的组距并确定分组区间；4)统计出各组的频数。12.ABC解析：从直方图可读出每个区间的频数，推算出样本容量（总频数）。可观察到数据的主要分布范围（横轴跨度）。可判断数据集中落在哪个或哪些区间，了解集中趋势。但直方图主要显示频数分布，不能直接、精确地显示离散程度（如方差、标准差），只能通过观察分布的宽度和形状间接感受。13.ABCD解析：A正确。两者都是常用的统计图表，用于展示数据分布。B正确。频率直方图纵轴为频率，所有矩形面积之和等于1。C正确。频数直方图纵轴为频数，频率直方图纵轴为频率。D正确。对于同一组数据，若组距相同，则对应矩形的“高”（频数/组距）会成比例变化，形状相似；若组距不同，形状也可能不同，但反映的是同一个分布。14.ABD解析：A正确。组距过大，会将不同特征的区间合并，掩盖数据的精细结构。B正确。组距过小，分组过多，会导致很多组的频数为0或很小，图形过于分散，难以观察整体趋势和规律。C错误。样本容量是抽样得到的实际数据个数，是一个固定值，与分组方式无关。D正确。合适的组距是平衡细节和整体性的关键，直接影响直方图能否准确反映数据分布特征。15.BCD解析：数据范围10到50，极差为40。A错误。若分5组，组距为8，分组为[10,18),[18,26),[26,34),[34,42),[42,50]，最后一个组[42,50]包含的数据超过最大值50，不合理。B正确。若分6组，组距为7，分组为[10,17),[17,24),[24,31),[31,38),[38,45),[45,52)，合理。C正确。若分7组，组距为6，分组为[10,16),[16,22),[22,28),[28,34),[34,40),[40,46),[46,52)，合理。D正确。若分8组，组距为5，分组为[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50)，合理。三、解答题16.（12分）（1）60分钟及以上的学生包括[60,90),[90,120),[120,150]三个组。其频数分别为35,25,10。总频数=10+20+35+25+10=100。该部分学生人数占比=(35+25+10)/100*100%=70%。（2）频数直方图绘制（示意图，需自行绘制）：```频数|35--|•||30--||||25--|•||20--|•||||15--||||||10--|•|•||||5--||||+|--|--+-•[0,30)[30,60)[60,90)[90,120)[120,150]时间分组```（注：横纵坐标比例、刻度、矩形填充方式等可自行设计，但需清晰准确）（3）中位数是排序后处于第50和第51个数据的值。累计频数：[0,30)有10，[30,60)有10+20=30，[60,90)有30+35=65。因为50<65，所以中位数在[60,90)这个区间内。17.（10分）（1）从图形看，大部分矩形集中在得分较低的区间（如[70,80)和[80,90)），且随着得分增加，矩形高度迅速下降。这表明大部分员工的得分集中在70-90分之间，得分越高的员工越少，因此得分分布呈现右偏态。（2）得分在85分及以上的员工包括[85,90)区间。从图形看，[85,90)这个区间的矩形高度与[80,85)区间的矩形高度相差不大，且都小于前两个区间。估计[85,90)的频数约为5（假设[80,85)高度为10，[85,90)高度约为8-9）。估计优秀员工比例≈5/(15+25+5+...)。由于前三个区间总频数约为40，而[85,90)及更高区间的频数估计总和不超过10，估计总人数约为50。因此，优秀比例约为5/50=10%。（3）估计总人数=[70,80)频数+[80,90)频数+...≈15+25+(5+2)=42。或者更粗略地估计，如果假设图形总面积代表总人数，可以数一数图形矩形的“格子”数量并估算。更准确的方法是累加所有区间的频数。例如，若[85,90)频数估计为5，[90,100)频数估计为2，则总人数估计为15+25+5+2=47。这里采用累加前三个主要区间，总人数估计为40较为合理。18.（13分）（1）由题意，[-10,-5)区间的频数=[-15,-10)区间的频数+[-10,-5)区间的频数=15+30=45。所以x=45。总人数为200，各区间频数之和为200。y=200-(10+15+x+30+50)=200-(10+15+45+30+50)=200-150=50。（2）视力正常的学生包括[-5,0)和[0,5]两组。频数分别为50和y=50。总频数=10+15+45+50+50=160。正常学生频数=50+50=100。正常学生百分比=(100/160)*100%=62.5%。（3）频率直方图绘制（示意图，需自行绘制）：```频率|0.325--|•||0.300--||||0.275--|•||||0.250--||||||0.225--||•|||0.200--|•||||||0.175--||||||||0.150--||||+|--|--+-•-25-20-15-10-50