控制理论练习题及对应答案

经典控制理论练习题及对应答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（下列各题只有一个最符合题意的选项，请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.在经典控制理论中，描述线性时不变系统输入与输出关系的数学工具是（）。A.微分方程B.状态空间表达式C.传递函数D.频率响应函数2.若某系统的传递函数为G(s)=(s+2)/(s^2+3s+2)，则该系统的阶次为（）。A.1B.2C.3D.43.系统结构图中的信号线表示（）。A.输入信号B.输出信号C.传递的信号D.干扰信号4.对于一阶系统G(s)=K/(Ts+1)，其时间常数T表示（）。A.系统响应的峰值时间B.系统响应的上升时间C.系统达到稳态值所需时间的量度D.系统的固有频率5.二阶系统单位阶跃响应的超调量主要取决于（）。A.系统的阻尼比ζB.系统的无阻尼自然频率ωnC.系统的增益KD.系统的积分环节数量6.若系统特征方程为s^3+6s^2+11s+6=0，则该系统（）。A.稳定B.不稳定C.可能稳定，可能不稳定D.需要进一步判断输入输出关系7.劳斯判据主要用于判断线性定常系统（）。A.的频率响应特性B.的能控性C.的能观测性D.的稳定性8.在乃奎斯特图上，系统开环传递函数G(s)H(s)的乃奎斯特曲线绕(-1,j0)点的包围次数（正包围次数减去负包围次数）等于（）。A.系统的零点数B.系统的极点数C.(系统的极点数-系统的零点数)D.2π9.伯德图中的相频特性曲线在ω→∞时，对于一阶环节（）。A.趋于0°B.趋于45°C.趋于90°D.趋于-90°10.若系统的开环传递函数在s=-1+j0处有一个极点，则该系统（）。A.一定稳定B.一定不稳定C.可能稳定，可能不稳定D.其增益裕度一定为011.根轨迹法是一种用于分析系统（）的图解方法。A.频率响应B.时域响应C.稳定性及动态性能D.状态空间12.绘制根轨迹时，实轴上的某段区间，若其右侧的开环极点数与零点数之和为奇数，则该区间（）。A.是根轨迹的一部分B.不是根轨迹的一部分C.可能是根轨迹的一部分D.取决于系统的增益13.若系统的闭环特征方程为s^2+2ζωns+ωn^2=0(0<ζ<1)，则其单位阶跃响应为（）。A.指数衰减过程B.等幅振荡过程C.衰减振荡过程D.发散振荡过程14.增益裕度GM表示系统在（）处的增益裕量。A.相位为0°B.幅值为0dBC.相位为-180°D.幅值为-115.伯德图中的对数幅频特性曲线在某一频率点上穿越0dB线时，该频率点称为（）。A.截止频率B.自然频率C.谐振频率D.分频频率二、多项选择题（下列各题有多个符合题意的选项，请将正确选项的字母填在题后的括号内，多选、错选、漏选均不得分）1.下列哪些表述属于线性系统的特性？（）A.叠加性：若输入x1(t)产生响应y1(t)，输入x2(t)产生响应y2(t)，则输入x1(t)+x2(t)产生响应y1(t)+y2(t)。B.齐次性：若输入x(t)产生响应y(t)，则输入ax(t)(a为常数)产生响应a*y(t)。C.可加性：系统总的响应等于各输入单独作用时产生的响应之和。D.非线性特性会导致系统输出与输入成比例关系。2.系统传递函数G(s)=K/(s(s+1)(s+2))中，下列说法正确的有？（）A.系统有一个零点在s=0B.系统有三个极点，分别位于s=-1,s=-2,s=0C.系统的静态增益为KD.系统的输入信号必须是单位阶跃信号才能进行稳态分析3.下列关于系统稳定性的说法正确的有？（）A.对于线性定常系统，所有闭环特征方程的根都必须位于s平面的左半开平面。B.若系统有一个闭环极点位于s平面的右半平面，则该系统不稳定。C.劳斯判据可以判断系统是否稳定，但不能给出具体的瞬态响应特性。D.根轨迹法可以直观地展示系统参数变化对闭环极点位置的影响，从而分析系统稳定性。4.乃奎斯特稳定性判据的应用基于以下哪些原理？（）A.映射定理B.边缘稳定概念C.系统开环传递函数的乃奎斯特曲线与(-1,j0)点的相对位置关系D.系统闭环传递函数的极点分布5.伯德图中，对于一阶惯性环节G(s)=1/(Ts+1)，其幅频特性H(ω)和相频特性Φ(ω)的特点包括？（）A.当ω=1/T时，幅频特性H(ω)的值为0.707B.当ω=1/T时，相频特性Φ(ω)的值为-45°C.幅频特性在低频段（ω<<1/T）趋于常数1D.相频特性在低频段（ω<<1/T）趋于0°6.根轨迹绘制的基本规则包括？（）A.根轨迹的起点位于开环极点，终点位于开环零点（包括无穷远零点）。B.实轴上，位于两个开环零点（或无穷远零点）之间的区间，是根轨迹的一部分。C.根轨迹离开实轴进入复平面时，其切线方向与实轴的夹角为90°。D.若开环传递函数中有n个极点和m个零点(n≥m)，则共有n-m条根轨迹进入无穷远。7.描述系统动态性能的主要时域性能指标有？（）A.上升时间trB.峰值时间tpC.超调量σp%D.调节时间ts8.下列关于频率响应特性的说法正确的有？（）A.频率响应是系统在正弦输入信号作用下输出的稳态响应。B.幅频特性描述了输出信号幅值与输入信号频率的关系。C.相频特性描述了输出信号相位与输入信号频率的关系。D.频率响应可以通过实验方法获得。三、填空题（请将答案填写在横线上）1.系统的传递函数G(s)=Y(s)/R(s)是在_______条件下定义的。2.若系统特征方程为s^4+2s^3+3s^2+4s+5=0，则其在s=j1处的罗杰斯判据符号为_______。3.乃奎斯特稳定性判据中，当ƒ(-1)=0时，系统处于_______状态。4.伯德图中，一阶环节的幅频特性曲线在ω=1/T时，穿越-20dB线，其斜率发生了_______的变化。5.对于二阶系统，当阻尼比ζ=0时，其阶跃响应为_______。6.根轨迹法中，实轴上根轨迹的判别规则是：若实轴上某线段右侧的开环极点与零点数之差为_______，则该线段是根轨迹的一部分。7.系统的增益裕度GM以_______为单位，表示系统在不稳定边缘处增益可以增加的倍数。8.若系统的开环传递函数G(s)H(s)在s=-ωc处的幅值为1，且相位为-180°，则该频率ωc称为系统的_______。9.绘制伯德图时，将开环传递函数分解为各典型环节的乘积，是为了方便利用_______规则进行叠加。10.系统的静态位置误差系数Kp是当输入信号为_______输入时，系统稳态输出的变化量与输入量的比值。四、简答题（请根据要求作答）1.简述传递函数的定义及其在经典控制理论中的意义。2.什么是线性时不变系统？请列举其两个主要特性。3.简述劳斯判据判断系统稳定性的基本步骤。4.解释频率响应函数的概念，并说明其在系统分析中的作用。5.比较并说明乃奎斯特图和伯德图在系统分析中的异同点。五、计算题（请写出详细的计算步骤和结果）1.已知系统的结构图如下（请在此处描述结构图，例如：系统由传递函数为G1(s)=1/(s+1)的环节和传递函数为G2(s)=2/s的环节串联组成，G1(s)的输出作为G2(s)的输入，系统存在一个增益为K的反馈回路，反馈信号取自G2(s)的输出并与输入信号相减）。求系统的闭环传递函数T(s)=C(s)/R(s)。2.已知系统的闭环特征方程为s^3+3s^2+(k+2)s+k=0。试用劳斯判据确定使系统稳定的k的取值范围。3.已知某单位反馈系统的开环传递函数G(s)H(s)=K/(s(s+2))。绘制该系统的乃奎斯特图（或伯德图），并利用乃奎斯特稳定性判据判断当K=5时系统的稳定性。4.已知系统的闭环传递函数为T(s)=s+3/(s^2+3s+2)。求该系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn，并判断其单位阶跃响应的形式（过阻尼、欠阻尼、临界阻尼）。5.已知系统的开环传递函数G(s)H(s)=10/(s(s+1)(s+5))。试用根轨迹法绘制该系统的根轨迹图，并分析当增益K从0变化到无穷大时，闭环极点的变化趋势。试卷答案一、单项选择题1.C2.B3.C4.C5.A6.B7.D8.C9.C10.B11.C12.A13.C14.C15.A二、多项选择题1.A,B,C2.A,C3.A,B,C4.A,B,C5.A,B,C,D6.A,B,C,D7.A,B,C,D8.A,B,C,D三、填空题1.零初始条件2.-3.边缘稳定（或临界稳定）4.+20dB/decade（或20dB/十倍频程）5.等幅振荡（或持续振荡）6.奇数7.幅值（或增益）8.幅值穿越频率（或增益穿越频率）9.对数叠加（或相加）10.直流（或零阶）四、简答题1.传递函数G(s)是指线性定常系统在零初始条件下，输出信号的拉普拉斯变换Y(s)与输入信号的拉普拉斯变换R(s)之比，即G(s)=Y(s)/R(s)。它在经典控制理论中是描述系统输入输出动态关系的核心数学工具，可用于分析系统的稳定性、动态性能和频率响应等。2.线性时不变系统是指满足叠加性和齐次性（线性）以及输入输出关系不随时间变化（时不变性）的系统。其两个主要特性为：①叠加性：若输入x1(t)产生响应y1(t)，输入x2(t)产生响应y2(t)，则输入x1(t)+x2(t)产生响应y1(t)+y2(t)；②齐次性：若输入x(t)产生响应y(t)，则输入ax(t)(a为常数)产生响应a*y(t)。3.劳斯判据判断系统稳定性的基本步骤：①根据系统特征方程s^n+a_ns^(n-1)+...+a_1s+a_0=0，列出劳斯表；②从第一列开始计算各元素值；③观察第一列元素值符号的变化次数；④若第一列元素值符号无变化，系统稳定；若有变化，变化次数等于特征方程在s右半平面根的个数，系统不稳定。4.频率响应函数是系统在正弦输入信号作用下，其输出信号与输入信号的复数比，即G(jω)=Y(jω)/R(jω)。它描述了系统对不同频率正弦输入的响应特性，包括幅值增益和相位滞后。频率响应函数在系统分析中作用广泛，可用于绘制乃奎斯特图和伯德图，判断系统稳定性（乃奎斯特判据、对数幅频特性与相位裕度、增益裕度），分析系统带宽和滤波特性等。5.乃奎斯特图和伯德图都是表示系统频率响应特性的图形方法。相同点：都是根据系统的开环频率响应函数G(jω)H(jω)绘制，都可用于分析系统的稳定性（乃奎斯特判据、增益裕度和相位裕度）。不同点：①表示方法不同：乃奎斯特图是在复平面(G(jω)H(jω)平面)上绘制，表示幅值和相位随频率ω变化的轨迹；伯德图是在两张半对数坐标图上绘制，一张是对数幅频特性（纵轴dB，横轴对数ω），另一张是相频特性（纵轴度，横轴对数ω）；②绘制方法不同：乃奎斯特图需计算并绘制G(jω)H(jω)的幅值和相位随ω变化的曲线；伯德图需将G(jω)H(jω)分解为典型环节乘积，利用对数特性进行叠加绘制；③判稳方法不同：乃奎斯特图直接利用乃奎斯特轨迹绕(-1,j0)点的包围情况判断稳定性；伯德图利用增益裕度和相位裕度来判断稳定性。五、计算题1.解：设R(s)为输入，C(s)为输出。系统结构图表明为串联+反馈结构。G(s)=G1(s)*G2(s)=(1/(s+1))*(2/s)=2/(s(s+1))。反馈传递函数为H(s)=1(单位反馈)。开环传递函数G(s)H(s)=G(s)*H(s)=[2/(s(s+1))]*1=2/(s(s+1))。闭环传递函数T(s)=C(s)/R(s)=G(s)/(1+G(s)H(s))。T(s)=[2/(s(s+1))]/[1+2/(s(s+1))]。T(s)=[2/(s(s+1))]/[(s(s+1)+2)/(s(s+1))]。T(s)=2/(s(s+1)+2)。T(s)=2/(s^2+s+2)。所以，系统的闭环传递函数T(s)=C(s)/R(s)=2/(s^2+s+2)。2.解：系统闭环特征方程为D(s)=s^3+3s^2+(k+2)s+k=0。列出劳斯表：s^31k+2s^23ks^1(9-2k)/30s^0k观察第一列元素值符号变化：当k>9/2时，第一列符号变化一次（从1变为k，k>0，然后变为9-2k<0，再变为k>0），变化次数为1。当k=9/2时，第一列元素(9-2k)/3=0，劳斯表第一列无符号变化（或视为从1变为0，再变为k>0，变化次数为1）。当0<k<9/2时，第一列符号无变化（从1变为k>0，再变为(9-2k)/3>0，最后变为k>0）。当k=0时，第一列元素为0,0,0，劳斯表第一列无符号变化。当k<0时，第一列元素符号无变化（均为正）。为保证系统稳定，第一列符号变化次数必须为0。综合以上分析，只有当k>9/2时，系统才稳定。所以，使系统稳定的k的取值范围是k>9/2。3.解：系统开环传递函数G(s)H(s)=K/(s(s+2))。乃奎斯特图绘制：①当ω=0时，G(j0)H(j0)=K/(0*(0+2))=∞*(实部为∞，虚部为0)。②当ω=∞时，G(j∞)H(j∞)=K/(∞*(∞+2))=0*(实部为0，虚部为0)。③当jω=j2，即ω=2时，G(j2)H(j2)=K/(j2*(j2+2))=K/(j2*j(2-2i))=K/(-4+4ji)。令U=-4,V=4，则G(j2)H(j2)=K/(U+Vi)。幅值|G(j2)H(j2)|=K/sqrt(U^2+V^2)=K/sqrt((-4)^2+4^2)=K/sqrt(16+16)=K/sqrt(32)=K/(4√2)=K√2/8。相位∠G(j2)H(j2)=arctan(V/U)=arctan(4/-4)=-π/4(或-45°)。由于U<0,V>0，位于第二象限，相位应为-π+(-π/4)=-5π/4(或-135°)。绘制乃奎斯特曲线：起点为无穷大实轴上的点(∞,0)，终点为原点(0,0)，曲线在ω=2时通过点(K√2/8,-5π/4)。判断稳定性(K=5)：系统G(s)H(s)在s=0处有一个极点，乃奎斯特曲线需要绘制一条半圆弧绕无穷远极点，从(∞,0)沿虚轴向负无穷延伸，再沿负实轴向-∞延伸至(-∞,0)，再沿虚轴正方向返回(0,0)。判断乃奎斯特曲线是否绕(-1,j0)点：曲线从(0,0)出发，沿负实轴向-∞延伸，必然穿过(-1,j0)点。乃奎斯特稳定性判据：系统开环传递函数G(s)H(s)在s右半平面极点数为P。若乃奎斯特曲线按顺时针方向绕(-1,j0)点N次，则闭环系统在s右半平面极点数为Z=P-N。系统稳定要求Z=0，即P=N。本题中，P=1(s=0处有一个极点)。乃奎斯特曲线按顺时针方向绕(-1,j0)点一圈，N=1。Z=P-N=1-1=0。因此，当K=5时，闭环系统在s右半平面没有极点，系统稳定。4.解：系统闭环传递函数为T(s)=(s+3)/(s^2+3s+2)。闭环特征方程为s^2+3s+2=0。特征方程可分解为(s+1)(s+2)=0。解得闭环极点为s1=-1,s2=-2。①阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn的计算：特征方程标准形式为s^2+2ζωns+ωn^2=0。对比s^2+3s+2=0，可得：2ζωn=3=>ωn=3/(2ζ)。ωn^2=2=>ωn=√2。将ωn=√2代入ωn=3/(2ζ)，得到：√2=3/(2ζ)=>2ζ√2=3=>ζ=3/(2√2)=3√2/4。所以，阻尼比ζ=3√2/4，无阻尼自然频率ωn=√2。②判断单位阶跃响应形式：由于ωn=√2>0且ζ=3√2/4≈1.06>1。根据二阶系统阻尼比与阶跃响应的关系：当0<ζ<1时，欠阻尼，响应为衰减振荡。当ζ=1时，临界阻尼，响应为非振荡收敛。当ζ>1时，过阻尼，响应为非振荡收敛。本题中ζ=3√2/4>1，因此该系统的单位阶跃响应为过阻尼（非振荡）收敛过程。5.解：系统开环传递函数G(s)H(s)=10/(s(s+1)(s+5))。①绘制根轨迹：a.根轨迹的起点：位于开环极点s=-0,s=-1,s=-5，共3个起点。b.根轨迹的终点：位于开环零点。系统G(s)H(s)中s=0是一个零点（积分环节），共1个终点。其余分母s(s+1)(s+5)无零点。所以共有1个终点在s=0，其余2个终点在无穷远处。c.实轴上的根轨迹：实轴段s=-1到s=-5之间，右侧开环极点数（s=-5）与零点数（s=0）之和为5，为奇数，故此段为根轨迹。实轴段s=-∞到s=-1之间，右侧开环极点数（s=-5）与零点数（s=0）之和为4，为偶数，故此段不是根轨迹。实轴段s=-1到s=0之间，右侧开环极点数（s=-5）与零点数（s=0）之和为3，为奇数，故此段为根轨迹。实轴段s=0到s=-5之间，右侧开环极点数（s=-5）与零点数（s=0）之和为2，为偶数，故此段不是根轨迹。d.根轨迹的渐近线：由于零点数m=1，极点数n=3，根轨迹有n-m=3-1=2条进入无穷远。渐近线的夹角为(2k+1)π/(n-m)=(2k+1)π/2，k=0,1。即90°和270°（或-90°）。渐近线的起始点（会合点）位于实轴上，坐标为(-Σpo-Σzi)/(n-m)=(-0-1-5)/2=-6/2=-3。即两条渐近线从s=-3处出发，分别沿-90°和270°方向延伸至无穷远。e.根轨迹的分离与会合点：根轨迹在实轴上s=-1处从s=-5和s=0两支进入，故在s=-1处分离。根轨迹在实轴上s=-1处从s=0和s=-5两支离开，故在s=-1处会合。分离角/会合角为180°-arctan[(s+1)-(-5)]/[(s+1)-(0)]=180°-arcta