有关双曲线画图的题目及答案

有关双曲线画图的题目及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.双曲线9x²-16y²=144的焦点坐标是().(A)(±4,0)(B)(0,±4)(C)(±5,0)(D)(0,±5)2.双曲线的一条渐近线方程为y=(3/4)x，且其焦点在x轴上，那么该双曲线的标准方程可能是().(A)16x²-9y²=144(B)9x²-16y²=144(C)4x²-9y²=36(D)9y²-16x²=1443.已知双曲线的中心在原点，实轴长为6，虚轴长为4，且焦点在x轴上，则该双曲线的渐近线方程是().(A)y=±(3/2)x(B)y=±(2/3)x(C)y=±(4/3)x(D)y=±(3/4)x4.对于双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)，下列说法中正确的是().(A)其焦点在x轴上(B)其渐近线方程为y=±(a/b)x(C)当a固定时，b越大，双曲线的开口越小(D)当b固定时，a越大，双曲线的离心率e越小5.若双曲线的顶点分别为(4,0)和(0,-4)，则该双曲线的标准方程是().(A)x²/16-y²/16=1(B)x²/16-y²/16=-1(C)x²/4+y²/16=1(D)x²/16+y²/4=1二、多选题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。每小题选出所有符合题目要求的选项，多选、错选、漏选均不得分。6.对于双曲线4x²-y²=1，下列说法中正确的有().(A)其焦点在x轴上(B)其离心率e=√5/2(C)其渐近线与x轴的夹角为arctan(1/2)(D)其顶点到渐近线的距离为1/27.双曲线的一条渐近线方程为3x+4y=0，则下列双曲线中可能具有此渐近线的是().(A)9x²-16y²=144(B)16x²-9y²=144(C)9y²-16x²=144(D)4x²-9y²=368.双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，且其一条渐近线方程为y=-x/2，则下列方程中可能表示该双曲线的是().(A)x²/4-y²/16=1(B)y²/4-x²/16=1(C)x²/16-y²/4=1(D)4y²-x²=19.下列关于双曲线的说法中，正确的有().(A)双曲线的离心率e总是大于1(B)双曲线关于其中心对称(C)双曲线的渐近线是相互垂直的(D)双曲线的实轴与虚轴的长度可以相等10.已知点P(1,2)在双曲线x²/9-y²/16=1的内部，则下列判断中正确的有().(A)点P(1,-2)也在该双曲线的内部(B)点P(-1,2)也在该双曲线的内部(C)点P(1,3)在该双曲线的外部(D)点P(0,0)在该双曲线的外部三、解答题：本大题共5小题，共65分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为6，离心率为√5/2。求该双曲线的标准方程，并求其渐近线的方程。12.(本小题满分12分)求双曲线9y²-16x²=144的焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、离心率，并画出其渐近线。13.(本小题满分13分)画出双曲线x²/25-y²/9=1的图像。14.(本小题满分12分)已知点P(m,1)在双曲线y²/9-x²/16=1的右支上。(1)求实数m的取值范围；(2)求该双曲线的离心率。15.(本小题满分14分)求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点A(3,2)和B(√10,-√5)的双曲线的标准方程。试卷答案一、选择题1.(C)2.(C)3.(A)4.(A)5.(B)二、多选题6.(A),(B),(C)7.(A),(B),(C),(D)8.(A),(B),(C)9.(A),(B)10.(A),(B),(C)三、解答题11.解：设双曲线标准方程为x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)。由实轴长为6，得2a=6，故a=3。由离心率e=c/a=√5/2，得c=(√5/2)*3=3√5/2。由c²=a²+b²，得(3√5/2)²=3²+b²，即45/4=9+b²。解得b²=45/4-36/4=9/4，故b=3/2。所以双曲线的标准方程为x²/9-y²/(9/4)=1，即x²/9-4y²/9=1。渐近线方程为y=±(b/a)x=±(3/2)/(3)x=±(1/2)x。12.解：双曲线方程为9y²-16x²=144，先化为标准形式：y²/(16)-x²/(9)=1。对比标准形式x²/a²-y²/b²=1，可知焦点在y轴上。a²=16，b²=9，故a=4，b=3。焦点坐标为F(0,±c)，其中c²=a²+b²=16+9=25，故c=5。所以焦点坐标为F(0,5)和F(0,-5)。顶点坐标为A(0,±a)，即A(0,4)和A(0,-4)。实轴长为2a=8，虚轴长为2b=6。离心率e=c/a=5/4。渐近线方程为y=±(a/b)x=±(4/3)x。（图像绘制：中心(0,0)，渐近线y=±(4/3)x，顶点(0,4),(0,-4)，焦点(0,5),(0,-5)，对称轴y轴,x轴。）13.解：双曲线方程为x²/25-y²/9=1。对比标准形式x²/a²-y²/b²=1，可知a²=25，b²=9。故a=5，b=3。中心在原点(0,0)，焦点在x轴上。焦距c=√(a²+b²)=√(25+9)=√34。渐近线方程为y=±(b/a)x=±(3/5)x。顶点坐标为(±a,0)，即(5,0)和(-5,0)。绘制步骤：(1)画坐标轴，标出中心(0,0)。(2)画渐近线y=±(3/5)x，注意斜率。(3)标出顶点(5,0)和(-5,0)。(4)利用渐近线方向和顶点位置，通过描点（如令x=1,x=2等，求出对应的y值，注意y值应绝对值小于b=3）和对称性，画出双曲线的两支，确保双曲线无限延伸并靠近渐近线。14.解：双曲线方程为y²/9-x²/16=1。(1)点P(m,1)在双曲线上，代入方程得1²/9-m²/16=1。即1/9-m²/16=1。整理得m²/16=1/9-1=-8/9。因为m²/16≥0，而-8/9<0，此方程无解。因此，点P(m,1)不可能在双曲线y²/9-x²/16=1上。（若题目意图为点在右支上，则需检查m值，但此处方程无解，无法求m的范围。）修正思路：题意可能存在歧义或笔误。如果假设点P(m,1)在双曲线y²/9-x²/16=1的右支上，通常右支对应x²/16-y²/9=1或x²/16-y²/9=-k(k>0)的形式。但给定方程为y²/9-x²/16=1，其右支为x≥0,y²/9-x²/16>0。代入P(m,1)检验：1²/9-m²/16>0，即16-9m²>0，9m²<16，m²<16/9，故-4/3<m<4/3。但由于要求在右支，需m≥0。所以m的取值范围是[0,4/3)。按修正思路作答：由点P(m,1)在双曲线y²/9-x²/16=1的右支上，得m≥0。代入点P(m,1)得1²/9-m²/16=1，即1/9-m²/16=1。整理得m²/16=1/9-1=-8/9。此方程无解。重新审视题目：原方程y²/9-x²/16=1的右支应满足x≥0且y²/9-x²/16>0。代入P(m,1)得1²/9-m²/16>0，即16-9m²>0。解得m²<16/9，即-4/3<m<4/3。由于右支要求x≥0，所以m的取值范围是0≤m<4/3。结论：假定点在右支上，m的取值范围是[0,4/3)。(2)由(1)的修正思路，已知m的取值范围是[0,4/3)。对于双曲线y²/9-x²/16=1，a²=9,b²=16。离心率e=c/a=√(a²+b²)/a=√(9+16)/a=√25/a=5/a。因为m∈[0,4/3)，所以对应点P(m,1)在右支上，此时x=m。双曲线的离心率e与点P的位置无关，只与双曲线本身参数有关。所以离心率e=5/a=5/3。15.解：设双曲线标准方程为x²/a²-y²/b²=1或y²/a²-x²/b²=1。双曲线经过点A(3,2)，代入得3²/a²-2²/b²=1，即9/a²-4/b²=1。双曲线经过点B(√10,-√5)，代入得(√10)²/a²-(-√5)²/b²=1，即10/a²-5/b²=1。联立方程组：{9/a²-4/b²=1{10/a²-5/b²=1解此方程组：(1)×5得45/a²-20/b²=5(2)×4得40/a²-20/b²=4两式相减得(45/a²-40/a²)=(5-4)，即5/a²=1，解得a²=5。将a²=5代入(1)得9/5-4/b²=1，即4/b²=9/5-5/5=4/5，解得b²=5/4。所以，双曲线的标准方程为x²/5-y²/(5/4)=1，即x²/5-4y²/5=1。验证：方程x²/5-4y²/5=1经过点A(3,2)吗？9/5-4*(4/5)=9/5-16/5=-7/5≠1。错误。重新解方程组：{9/a²-4/b²=1{10/a²-5/b²=1(1)×2得18/a²-8/b²=2(2)×1得10/a²-5/b²=1两式相减得(18/a²-10/a²)=(2-1)，即8/a²=1，解得a²=8。将a²=8代入(1)得9/8-4/b²=1，即4/b²=9/8-8/8=1/8，解得b²=32。所以，双曲线的标准方程为x²/8-y²/32=1。验证：方程x²/8-y²/32=1经过点A(3,2)吗？9/8-4/32=9/8-1/8=8/8=1。符合。经过点B(√10,-√5)吗？10/8-5/32=5/4-5/32=40/32-5/32=35/32≠1。错误。重新审视方程组：方程组9/a²-4/b²=1和10/a²-5/b²=1存在解。(1)×5-(2)×4得45/a²-20/b²-(40/a²-20/b²)=