2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区高一（下）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算：sinl05°=（）

.心>/~6—x/-2、4~6+4~2

A.p-B.—_C-r-D.\—

2.若复数z=机2-4+（2-ER）为纯虚数，则m的值为（）

A.2B.-2C.2或一2D.72

3.一个三角形的两个内角分别为30。和45。，如果45。角所对边的长为4,那么30。角所对边的长为（）

A.2B.2\T1C.2y/1D.2\/~6

4.已知五，E为单位向量,其夹角为120。，则(2汇+方)・石二()

A.2B.1C.0D.-1

5.在△48。中，若a2+b2+Oab=c2,则C=()

A.30°B.45°C.135°D.150°

6.已知平面向量N=（A,5）在向量工上的投影向量为（2,1）,则同二（）

A.72B.C.5D.25

7.已知8为第一象限角，sin（7r-e）=黑则cos?的值为（）

CD4

3434

7C.±|D.±|

8.如图，已知D,E分别是△力8。边AB,AC上的点，且满足用=|而，AC=5AE>BE与CD交于0,连接4。

并延长交BC于/点，若同=4而，则实数%的值为（）

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设优b,7是三个非零向量，且相互不共线，则下列命题中正确的是（）

2

A.[a+b\2=-a+Za^+bB.\[a\-\b\\<\a-b\

c.若z则近=方D.石一(石Z五与7垂直

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10.下列命题中正确的是()

A.缁:[;=-73B.sinl5°sin45osinl05°=亨

c1+COS400_sin24Q+sin360

C.—.g=tan20°D.-----------——=11

sm40°cos6°

11.在△ABC中，角力，B,C的对边分别为a,b,c,若sin(8—C)=2s出CcosB,则()

A.tanB=3tanC

B.b2+c2<a2

C.a<>[2b

D.若C=2,则4ABC面积最大值为2y/3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知五=(2,3),b=(m,-6),则当可万时，m的值为—.

Acn

13.若sinx+\l_3cosx=2,xG(0,n),则％=_.--------工---------

14.如图，平面四边形力BCD中，AB=8，AE=2门，上力=30°,CD=3,\

△ADC=90。，点E满足族=|而，贝I」线段8E的长=—,四边形4BCD

的面积=_.B

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知芨数名=孕土

(1)将复数z化成a+bi(a,bER)的形式，并求|z|；

(2)复数2是z的共规复数，求5的实部和虚部.

16.(本小题15分)

如图，在直角梯形A8C0中，4048=90。，AB=2AD=2CD=4,E,F分别为边BC,CD的中点.

(1)设而=弓，AD=b,试用作不分别表示正，EFx

(2)求”"的大小.

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17.(本小题15分)

已知a为第二象限角，tan(a+9=g.

(1)求sina+cosa的值；

(2)求cos/一2a)的值；

(3)若2cos(3a+0)+3cos(a+0)=0,求tan(2a+0)的值.

18.(本小题17分)

定义：对于非零向量丽=(m,n),若函数f(x)=msinx+Ticosx,则称/'(%)为向量。瓦的“”-函数”，向

量而为/'(%)的“H-向量”.例如：对于向量而7=(-1,2),则称/(%)=-sinx+2cosx为向量(-1,2)的

““一函数”，向量(一1,2)为/■(盼的“H-向量”.记平面内所有向量的““一函数”构成的集今为S.

⑴已知/ia)=sin(x+^)+2sEx,若函数h(x)€S,求函数九。)的“〃一向量”的模长；

(2)在八49/7中，角儿R,f的对边分别为a.h,c,向量丽=.儿的“H—函数”为"(T),

且当％=4时，FQ)取得最大值.

角力的大小；

②设G为△4BC的重心，7为线段4G的中点，若=求萨•而的最大值.

19.(本小题17分)

(1)在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.

⑦己知Q=3,C=2y[3,F=7,求△ABC的外接圆半径；

葬A是钝角，求证：房+c2V4R2,其中R表示△ABC的外接圆半径；

(2)给定三个正实数m,n,r,其中m2〃，试确定m,n,r满足怎样的数量关系时，存在以zn,九为边长，r

为外接圆半径的△MNP,并用m,n,r•表示相应的第三边p的值.(角M,N,P的对边分别为m,n,p)

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参考答案

\.D

2.B

3.B

4.6

5.C

6.C

7.r

8.C

9.ABD

\O.ABD

W.AC

12.-4

R

14.20；y/3

(1+30(1+0l+3t+i-3

I1C5.解：⑴2=后即一十2l,

故|z|=J(一1尸+22=/5：

(2)因为复数之是z的共施复数,所以之=-1-23

复数W的实部是-1,虚部是-2.

】6.解：(1)BC=BA+AD+DC=-a+b+^a=-^a+b,

因为E,F分别为边8C,CD的中点，

所以丽=EC+CF=^BC+1CD=|(-1a+b)+l(-ia)=-lo4-lb：

(2)解法一、AE=AB+BE=AB+\BC=方一/+与=勃+

24242

AF=AD+DF=b+^a=^a+^,

44

因为，£MB=90。，AB=4,AD=2,所以荏-而=(我I狗•(软卜了)=5；

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因为同=4,历|=2，所以|版|=|而|=6，

由公式cos。=■得cosz.EAF=苧：

因为0W乙£71/乂兀，所以=*

解法二、以A为原点，48为工轴，.40为、轴，建立平面直角坐标系，如图所示.

则4(0,0),8(4,0),。(2,2),0(0,2),E(3,l),尸(1,2),

所以荏=(3,1)，而=(1,2)，AE-AF=5,\AE\=/10»\AF\=

由公式cos。=

因为0所以“力F=a

解法三、以4为原点，48为x轴，4D为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.

则4(0,0),8(4,0),C(2,2),D(0,2),E(3,l),尸(1,2),

在△/1OF中，tanz.DAF=在△4BE中，tanz.EAB=

所以tan4E4F=tan(90°-乙DAF—乙EAB)=浮

因为0工乙巴4小三"，所以4EAFu/.

17.解：(1)因为tan(a+3)=5

所以tcma=tan[(a4-^)-^]=y=-

1+7

可得sina=-|cosa,

J

将其代入siMa+cos2a=1.得当cos2a=1,可得cos2a=白，

因为a为第二象限角,所以cosa<0,

可得cosa=-磊，15,s出a二吊，

故s)a+cosa=—

(2)由(1)可得sin2a=2sinacosa=—最，cos2a=cos2a—sin2a=7,

DJ

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可得cos(^-2a)=cos^r-cos2a+sin号sE2a=-

、6'6610

(3)因为2cos(3a+/?)+3cos(a+/?)

=2cos(2a+/?+«)+3cos(2a+。-a)

=2[cos(2a+P)cosa—sin(2a+/7)sina]+31cos(2a+P)cosa+sin(2a+/?)sina]

=Scos(2a+p)cosa+sin(2a+p)sina

=0,

所以sin(2a+0)sina=-5cos(2a+0)cosa,

可得tan(2a+P)tana=-5,

又由(1)可知£ana=-1»

所以tan(2a+/?)=15.

18.解:(l)/i(x)=sin解+5)+2s加x可化为h(x)=1sinx+苧cosx+2sinx=^sinx+与cosx，

由定义可得函数M©的“H-向量”而=(热

所以丽|=J(|)2+(])2=干，

所以函数九(乃的“，一向量”的模长为犷；

(2)(2^量0M=(a,bcosC+ccosB)的“H一函数"F(x)=asinx+(bcosC+ccosB)cosx»

在△的中，儿。sC+“os”b生+c安=a

月f以尸(%)=asinx+acosx=yj-2asin(x+：),

当x=A时，尸(%)取得最大值，且A£(0,7r),所以A+k宏故A=*

备挺长4G与边BC交于点D,

因为G为的重心，所以。为8C的中点，

又7为4G的中点，则所=:第DB+DC=0,

.।.■■》,■・♦.9--♦■・•--♦,・・♦—>24——">21——.24——,2

所以BT•CT=(BD+DT)•(CD+DT)=(DT+BD)(DT-BD)=DT-BD=1DA-3BC=^AD

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因为而=；检+；而，|而|二c,\AC\=4=3，

所以而之=*希+；福2=J族2+J而2+:荏而=12+宙+[儿.

'22y442444

因为80=m，力=/，

所以由余弦定理可得，2=b?+Kibc.

因为Z?2+c2>2bc,当且仅当b=c=J2+时等号成立,

所以2Z(2-4I)儿，所加<2+/2»

所以而2=Jc2+J〃+W加=J(2+2/Ibc)W^3，

4444、72

所以行•方4而2_".,呼_齐江手，

所以皆•行的最大值为±+警.

19.(1)①解：由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB,

代入Q=3,C=2A/-3»B=7,得

o

/=32+(271)2-2X3X2A/^Xcosj=9+12-18=3,

故Z?=y[3.

由〃+*=9+3=12=。2,知△力8c为直角三角形，且角C为直角.

因此，外接回半径R=亨=

②iE明：由余弦定理，cosA=ba

t2fbc~.

因4为钝角,故COS/VO,得2V0,gpfe24-c2<a2.

由正弦定理，Q=2Rsi7l/l,且4W(],7T),故SiTL4V1,

因此QV2R,即次v4R2

综上，b2+c2<a2<4R2,故+C2<4R2.

(2)解：在△MNP中，由正弦定理，-^-=-^-=-^-=2r,

''smMsinNsmP

故sinM=州,sinN=5.

因M,N为三角形内角，故sinMW1,sinN<1,结合瓶之九，得mW2r.

当瓶>2r时，sinM>l,不存在满足条件的三角形；

当mW2r时，存在满足条件的三角形，分情况讨论：

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当m=2r时，sinM=1,故M=?.

此时由勾股定理，口="?712—*=-4/2—九2.

当2r>九时，sinM