2026年高考全国一卷数学试题及答案解析

幺苗启用前

一32026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考1卷）

数学

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.样本数据6,8,4,5,12的中位数为

A.5B.6C.8D.9

2.已知平面向量不共线，且2〃+劝=%々-3力，则

A.x=2,y=-3B.x=-2fy=3

Cjc=2,y=3DJC=-2,y=-3

3.已知集合力:{sinF,cos2,tan2）,5=则4n8=

63422

[《1]

A.

C.卜和}

4.曲线厂5x+8hu在点（1,5）处的切线方程为

A.y=3x+2B.2=5x

C.y=8工-3D产13尤-8

5.已知抛物线Ciy=2〃戌3>0）和Cz：x2=2P2Mp2>0）均经过点（4,8）,则G的焦

点与C2的焦点之间的距离为

A.12B.4V5-C.6D.—

2

数学试题第1页（共4页）

6.已知函数=Hl的最大值为1,贝卜=

ex4-a3

2

A.-B.lC.2一

2

7.一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文

化闻名遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第，•行中塔的

座数记为4i(i=l,2,…：12),其中41=1,。2=々3=3,。4=。5=5,且。6,。7,…412是一个首

项为7,公差为2的等差数列.将⑺，生，…，小2分为6组，每组2个数，使得每组

的2个数之和可构成一个项数为6且公差为或介0)的等差数列，则介

A.2B.4C.6D.8

3.设。={3用工)%£{2-l,l,2},i=l,2,3}为空间中64个点构成的集合，点

产(11,1),记样本空间Q=C〃{Q}.从。中随机取一个点，定义随机变量X如下：

对Q中的每个点月⑶出X3),令X(N)+X2+X3,则X的数学期望为

A.-----B.----C.OD.一

21637

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.设z=3+2。则

A.z=3-2iB.|z|=5

~+3

C.z2=5+12/D

10.在空间中，4,8为两个定点，动点C到直线的距离为2,动点。到直线48的

距离为1.若二面角为60°,则

A.N00260。

C.当/5J_CQ时，CZ)J_平面

D.当彳4_L平面力CQ时，AC1AD

数学试题笫2页(共4页)

11.已知圆G：(x+l)2+j;2=h圆。2：(工-1F+俨=1,圆。3VT)2=1,直线1\y=kx+b与

Ci,C2,C3均有两个交点.记1被G,C2,C3截得的弦长分别为S,Sz,S%则

A.左可以取任意实数

B.满足S=S2=S3的直线1共有3条

C.满足S+S2+S3=3的直线1多于3条

D.当6=o时，s+sz+s的最大值为2且

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.双曲线5片・6俨=1的离心率为

13-已知小心皿*)(*,。/2兀)是偶函数，a)在区间呜)单调递增,

则。=,/(—)=.

14.设实数9满足：存在数列Qn｝,使得对于任意〃£N*,均有…+〃3n=〃2+〃，

且｛如｝中有某连续9项〃kMk+]…Mk+8是公比为g的等比数列，则夕的最大值

为__________

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

如图，在直三棱柱中，ZACB-900,

AC=BC,D,七分别为彳以彳G的中点.

(1)证明:DE〃平面BBCC;

(2)设CG=2,直线QE与平面4CG4所成的角为

45°,求直线。E到平面8&GC的距离.

16.(15分)

已知在△48C中，AB=3,BC=2V3,CosB=—

(1)求coszl;

(2)设两点满足：。在34的延长线上，OE〃8c若。E二诟,

求CE.

数学试题第3页(共4页)

17.(15分)

设整数N22,某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮N次，当且仅当投中1次

时或者N次均未投中时，停止练习.设该同学每次投中的概率为2各次投中

与否相互独立.记X为停止练习时该同学的投篮次数.

(1)当N=4,p时：求X的分布列；

(2)设龟〃7均为自然数.

(i)当上WN-1时，求P(X>k);

(ii)当什mWN-1时，证明：P(X>k^m\X>k)=P(X>m).

18.(17分)

己知椭圆4=|(a>b>0)的左焦点为F(・1,O),离心率为1・

a2/2

(1)求。的方程；

(2)设O为坐标原点，过少且斜率大于0的动直线/与。交于P,。两点，其中。

在第三象限，直线P0与。的另一个交点为凡

⑴若△2色?的面积是△P90的面积的3倍，求/的方程；

(ii)求tanNPQ?的最小值.

19.(17分)

已知函数，(x)的定义域为凡且当x〈0时，f(x)=2x.对任意定义集合

D(xo)={d^R\f(xo+d)>f(xo)}.

⑴若当x若。时,/(x)=l-x,求Z>(T);

⑵苟'(X)是奇函数，/'3)〈/(X2),且工a2和,证明：〃(应)〈〃(小)；

(3)为、⑴满足：①苟⑴户/⑴)，则。缶)。(%);②当0<广1时，/(x)<f(O).

(0证明：/(0)大于等于1；

(ii)证明：/(x)在区间(0,+8)单调递增.

数学试题笫4页(共4页)

2026年普通高等学校招生全国统一考试

(新高考1卷)

数学答案解析

总答案速查

1-8：B,A,C,D,D,B,B,A。9-11：ACD,BC,ABD。

12：得；13：。=誓，/(豹=1;14：弗

15：距离1；16：cosA=CE=3\/5；17：见分布列与证明；18：C:寸+耳=1,其余见解答;

19：£)(-1)=(04),其余见证明。

一、单项选择题

1.中位数

将数据6,8,4,5,12从小到大排列：

4,5,6,8,12.

共有5个数，中位数为第3个数6。答案：B

\______________________

公共元素为

AnB

答案：C

4.切线方程

曲线u=5E+81nl的导数为

8

“=5+

x

在。=1处斜率为13,又点为（1,5）,故切线为

〃一5=13(x—1),y=13c—8.

答案:D

5.抛物线焦点距离

对G：V2=2〃i①，代入(4,8)：

64=2Pl•4=>pi=8,

其焦点为尸1(%0)=(4,0)。

2

对C2：x=2P2%代入(4,8)：

16=2P2•8今〃2=1,

其焦点为凡（0,号）=（0J）。于是

居尺=42+

答案：D

6.函数最大值

，⑺=言/⑸=e宓+Q,—(①+2)e”a—(①+l)c”

(铲+a)2(铲+a)2

若在极值点比处取到最大值1,则

a=(io+l)cx°.

代回函数值:

g+2筋）+21

/(g)=

XQxo

e+(①o+l)e(T0+2)e%

最大值为1,故e-xo=1,即0）=0,从而

a=(0+i)e°=1.

答案:B

7.等差配对

已知12行座数总和为108o题中给出

1,3,3,5,5

五个数，其和为17;其余7个数为首项7、公差2的等差数列：

7,9,11,13,15,17,19,

和为91,与总和相符。因此全部12个数为

1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19.

若分成6组，每组两数之和形成公差为d的6项等差数列，设这6个和为

s,s+d,s+2d,s+3&s+4d,s+5d.

总和为108,故

6s+15d=108,2s+5d=36.

实际可配成

(1,7),(3,9),(3,13),(535),(5,19),(11,17),

其和依次为

8,12,16,20,24,28,

公差为4。答案：B

8.随机变量的期望

集合

U={(河%的)：&e{-2,-Ll52},i=1,2,3}

共有43=64个点。每个坐标取值关于0对称，故在U上

£(Xi+g+化3)=0.

样本空间删去点1,1),该点对应X=3,于是剩余63个点上的总和为-3。所以

答案:A

二、多项选择题

9.复数运算

设n=3+2£。

A.T=3-2?：,正确；

B.\z\=\/32+22=\/13*5,错误；

C./=(3+26)2=9+12,-4=5+12?：,正确;

D.

z+36+22(6+2i)(3-i)

---=----=---------=zGIK

z—i3+。(3+?)(3—i)

正确。

答案：A、C、D

10.空间距离与垂直

取直线AB为，轴。设到AB的垂足分别对应坐标参数垂直于AB的分量为c,d,

则

|c|=2,\d\=1,c-d=2-1cos60°=1.

因此

CD2=(u—v)1+|c—d|2=(u—v)2+4+1—2=(u—v)2+3>3,

所以CD>\/3,B正确。

若则〃=%此时。。完全落在垂直于的平面内，且

(d—c)•d,=\d\'2—c-tZ=l—1=0,

即CD±AD,又。。_LAB,故。。_L平面ABD,C正确。

A可取u,v很大且接近，使ACAD很小，故不恒成立。D中若AB1平面ACD,则AC与

力。的夹角等于二面角的平面侑60。，并非必垂直。答案：B、C

截面示意

'、'、、D

AB

垂足垂足

11.三个单位圆与弦长

三个圆的圆心为

01（-1,0）,。2（1,0）,。3（0"）,

均为单位圆D直线Z：y—kl+b写成

上工一n+b=o,

记q=y^TT,三个圆心到直线的有向距离的分子分别为

&=b—瓦—=6+瓦83=b—v^3.

单位圆中，距离圆心为d的弦长为2，厂招。

A：对任意实数后可适当选取，,使三个距离均小于1,所以可与三圆均有两个交点，A正确。

B：Si=S2=$3等价于

\b-k\=\b+k\=|6-x/3|.

由\b—A:|=16+*得/)=0或k=Oo若/)=0,则|k=\/3,得〃=土，5c；若k=0,得

\b\=\b-y/3\f即6=挈。共3条，B正确。

C：例如在y=附近微小改变斜率时，由弦长和关于(")连续，仍可通过微调。保持

S]+S2+,S3=3,故满足条件的直线不是有限的三条，C错误。

D：当1=0时,

4I3

的+级+53=次干+241一后不了

令n=7P7T，则°<〃<我，______

S=4〃I20一薪

求导得

此时

入.=岛+2^/1=^

D正确。答案：A、B、D

5

三、填空题

13.三角函数的偶性与单调性

f(x)=2sin(ax+0).

/(①)为偶函数，展开得

sin(0—ax)=sin(O+ax),

即

cos^sin(ajr)=0.

因函数在区间内严格递增，不可能Q=0,故

八八n穴T37r

('osf)—0,=—•或

若B=3则/(0=2cosarc,在(0金)不可能严格递增；故

37r

0=—,f(x)=—2cosax.

由单调递增可取Q=1或a=2,两种情形均有

f—2cos(Q,务L

答案:/(y)=1

14.分组和与等比数列

由

n

S3n=Q]+。2+,••+Q3n=刀？+

得每三个一组的和为

。3n一2+Q3n-1+a3n=S3n—S3n-3=2〃.

6

若存在连续9项成公比为q的等比数列，设这9项为

A,Aq,Aq2,...,A(f.

这9项不可能正好覆盖连续三个完整三元组，否则三组和的比既应为「，又应同时等于

n+1n+2

n'zz+1'

两者不可能相等。

因此它至少包含两个连续完整三元组。两组和分别为

4-(1+q+/),4广’3(1+q+(f\

又这两组对应的三元组和为2(九+1),2(〃+2),所以

371+2

q=-----

n+1

当7121H寸，该式最大取在n=1,于是

[max

答案:vl

四、解答题

15.直三棱柱中的线面平行与距离

建立空间直角坐标系：令

C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),Ci(0,0,2),

则4(Q,0,2),区(0必2)。因为D.E分别为AB,AC.的中点,

。怎Q)，

故

症=(("»)•

(1)证明线面平行。平面BCC'Bi的方程为x=0o向量凉的c分量为0,故DE的方向平

行于平面6CG51；而DE的出坐标均为方柒0,直线。E不在该平面内，所以

DE||平面3。6场.

(2)求距离。平面ACCyA,的方程为y=0o直线DE与该平面所成角为45°,因此

|方向向量在y轴方向的分量|a

sin45°=

­

7

解得°=2O由于DE||平面BCC}B},直线到平面的距离就是任一点到平面x=Q的距离:

d=；1.

答案：直线DE到平面的距离为lo

16.解三角形与平行线

(1)求cosAo由余弦定理，

/o

AC2=AB2+BC'2-2AB-BCcosB=94-12-2-3•2\/3•=二9.

o

故4。=3。再由余弦定理，

,AB24-AC2-BC29+9-121

COSA=-------------------=-----------=-.

2AB-AC183

⑵求CE。取

4(0,0),C(3,0).

由A6=3且cos4=O可取

3(1,2岛

。在34的延长线上，设

D—(—.s,—2\/2.s),s>0.

又DE||BC,其中

=(2,-2何\BC\=2\/3.

由。E=得比例系数

DE_质—1

~~BC~丽一衣’

所以

E=。+x(2,-2核).

因为4E_L4C,而47为I轴，故E在“轴上，即Ex=0。于是

—s+23=00s=2X=V%

从而

E=(0,-6).

8

因此

CE=一(3—0产+(0+6产=3V5.

答案：cosA=^,CE=3\/5

17.截断几何分布

设r=1-次停止时投篮次数X的分布为

P(X=j)=，Tpd2…,N-1),

而

P(X=N)=rN-lp+/=rN-l.

(1)当N=4,1时,r=|,所以

X1234

(2)⑴若kWN-l,则X>上等价于前k次均未投中，故

P(X>k)=rk=(1-p)k.

(2)(ii)若k+mWN-l,则

P(X>.+m|X=F===P(X>M-

这正是几何分布的“无记忆性”在本题截断条件内的体现。

9

18.椭圆、焦点弦与角的最值

(1)求椭园方程。椭圆左焦点为少(—1,0),故c=l。离心率为

c1

e=a=2'

所以。=2。又

62=a2—c2=4—1=3.

因此।।

29

⑵设直线/的斜率为t>0o直线过F(-l,0),故

I\y=t(x1).

代入椭圆得.，

X2t2(x+l)2

即

(3十4户)/十8产c十4产-12=0.

设上方交点为P,第三象限交点为Q,则

2(—2户+3々■包_2(—2严-3，^TT)

叼=4^73，阳二方干

由于椭圆关于原点对称，直线PO与椭圆的另一交点为

R=-P.

⑴求ZoP,Q,F共线，且R=-P。点O到直线I的距离为

点R到直线/的距离为其2倍。因此

S&PQR9PQ

S△尸FOPF

题设该比值为3,故

髭=*PF=2FQ.

用横坐标差表示同一直线上的长度，得

xp+1=2(—1—XQ).

代入上式化简：

2，-+1=3,

故

£=吏

2.

1()

所以

(ii)求tanAPQR的最小值。由计算可得直线QR的斜率为

kQR=等

直线Q尸的斜率为七两直线夹角的正切为

kQR-t

tan/.PQR=

14-tkQR

由基本不等式，

42+。>2>/12=4v%

t

当"挈时取等号。因此

tanZ.PQRm\n=4\/3

11

(2)奇函数情形。若/为奇函数，则

T,x<0,

/(①)=<0,x=0,

-2』x>0.

于是

(0,-初T<0,

D1x)=<

(—00,­x]U(0,4-oo),x>0.

由/'(•)</(④2)且①1①2*0分类讨论:

•若/1,22<0,