2026年高考数学专项练习-对数函数（附答案）

§2.9对数函数

分值：100分

阈知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.函数产”的定义域为()

A.(0,1]B.(0,1)

C.(l,+8)D.(0,1)U(1,+B)

2.设〃=10领.2。3,b=iog23,c=log?4,则a,b,c的大小关系为()

A..a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.b>c>a

3.已知函数7U)=k)g，x»)(公>0,且〃HI,a,〃为常数)的图象如图，则下列结论正确的是()

A.a>0,b<-\

B.a>0,-1<b<0

C.O<6<1,b<-\

D.O<<?<1>-1<b<0

4.若函数,"）=log.d3>0,且aWl）在[-1,2]上的值域为[〃?，2],则阳的值为（）

A.-4或-1B.0或-2

C.-2或-1D.-4或-2

5.(2024・新乡模拟)已知函数府)=log，3-x)+log〃(x+l)(0<4<l),若小)的最小值为-2,则。等于()

A.-B.—C.-D.—

3322

6.若不等式(『I尸<logHa>0目.aWl)在xjl,2J内怛成立，则实数。的取值范围为()

A.(l,2]B.(l,2)

C.(l,V2]D.(x/2,2)

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.已知函数)，=logd与产的图象关于坐标原点对称，则函数产"与产log,”的大致图象可能是()

8.已知函数,/U）=lg（.d-5x+4）,则卜列结论正确的是（

A.函数人幻的定义域是R

B.函数火幻的值域是R

C.函数./U）的单调递增区间是（4,+8）

D.不等式yu）<i的解集是（-1,6）

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.（2025榆林模拟）函数./U）=k）g〃（2U）3>0,且aWl）恒过的定点是.

1（）.一知函数度双丫），若在定义域内存在实数小使得人-%）二次%）,则称函数）寸x）为定义域上的局部奇函数.

若函数7U）=log3（x+〃?）是［-2,2］上的局部奇函数，则实数机的取值范围是.

四、解答题（共26分）

11.（13分）已知函数/U）=logz忒（〃>0,且。¥1）,且函数的图象过点（4,2）.

（1）求函数JU）的解析式；（6分）

（2）若人机2+〃?）<［成立，求实数〃?的取值范围。分）

12.（13分）已知函数/A-）=log2（ar+2¥-1）,。£R.

（1）若/U）过定点（1,2）,求应》的单调递减区间；（6分）

（2）若人幻值域为R,求。的取值范围.（7分）

Ik能力拓展

13,14题每小题5分，15,16题每小题6分，共22分

13.函数./U)=y-叫x£(l,C)的最大值为()

A.e2B.eC.ezD.eZ

14.若函数人0=#与其反函数的图象有交点，则实数。的值可以是()

A.lB.V2C.2D.e

15.(多选)已知函数几v)=ln(f-2t+e2+I),则下列结论正确的是()

A«K)的最小值为2B.BxER,Xe)+AA)=4

C./(lg2)^(1)D次及1)423)

16.(多选)(2025•亳州模拟)将正数x用科学记数法表示为人=aX1(F,10),〃PZ,则lgx=〃?+lga,我

们把训，Iga分别叫做Igx的首数却尾数，若将Igx的首数记为S(x),尾数记为W(x),则下列说法正确的

是()

A.VV(J)E［(),|)

B.WQgX))是周期函数

C.若工，y>0,则S(孙)2S(x)+S(y)

D.若x>y>0,则%)二做力卬()，)

答案精析

LB2.D3.D

4.A［因为函数尸log了在(0,+8)上单调递增，

所以函数尸f在口，2］上的值域为［39］,

当0<〃<1时，尸"在［-1,2］上单调递减，

则a"=9,解得,

贝ijyn=a2=^-,得m=-4;

81

当a>\时，产/在［-1,2］上单调递增，

则/=9,解得a=3或a=-3(舍去)，

则3M,=«-I=7，得in=-\,

综上,m=-4或/??=-1.]

.(3-%>0,„

5.C［由得z-1VK3,

U+1>o,

所以函数Ax)=loga(3-x)+logo(x+l)(0<a<l)的定义域为(-1,3),

因为用logaG-DHo&Cr+Dnlog/G-XXx+l)］由外层函数用log4/(0<a<。和内层函数z=(3-x)(x+l)复合而成，

当-14<1时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以/U)单调递减；

当1a<3时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以火制单调递增，

所以jV)min=^A1)=10g«4=2,

又因为0<a<1,所以«=|.J

6.B［若0<«<1,此时x£(l,2］,logM<0,

而(41)2>0,

故(X・l)2〈10gd无解；

若4>1,此时K£(1,2］,lOgeAX),

而(『1尸》0,

令人力=10goX,g(x)=(x-l)2,

画出函数/U)与g(x)的图象，

如图，

y\«u）=（x-i）2

23

若不等式产Vlogd在x£(l,2］内恒成立,

则log〃2>1,解得。£(1,2).］

7.AC［在函数产log,K的图象上任取点(x,>'),则点(/,-y)在月og/,(㈤的图象上，

即'l°ga'于是log后」ogd=logy对任意x>0成立，贝|Jh=-,

l-y=logfeX，«°

当0<“<l时，函数产"是R上的减函数,b>\,贝|J)，=k)g。是(0,+8)上的增函数，C符合，D不符合；

当时，函数尸"是R上的增函数，0<*1,贝ljy=log0是(0,+8)上的减函数，A符合，B不符合.］

8.BC[选项A,令f-5x+4>0,解得A>4或x<\,所以函数./U)的定义域为(・8,I)U(4,+8),故A错误；

选项B,因为真数丁-51+4能取遍所有的正实数，所以函数7U)的值域是R,故B正确；

选项C,由A项可知，函数〃-5x+4在(4,+8)上单调递增，在(_8,1)上单调递减，)，二馆〃在定义域内

为增函数，所以函数./U)的单调递增区间是(4,+8),单调递减区间是(-8,1),故C正确；

选项D,由兀c)>g(由-5x+4)vl=lg10,且)，=lg〃在定义域内为增函数，所以0<f_5工+4<10,解得“*1或

4<r<6,所以不等式段)<1的解集是(-1,1)U(4,6),故D错误」

9.(1,0)

10.(2,V5]

解析因为yU)=log3(x+M是卜2,2]上的局部奇函数，

所以.什〃?>0在[-2,2]上恒成立，

所以j〃-2>0,即〃?>2,

由局部奇函数的定义，存在工£[-2,2],

使得l0g3(-X+〃?)=-10g3(X+〃?),

即Iog3(-x+m)+log3(x+m)=log3(/n2-x2i=0,

所以存在x£[-2,2],

使得,即机2才+1,

又因为x£[-2,2J,

所以3+1£[1,5],

所以加2仁[1,5J,

即〃?引-而,-1]U[1,V5],

综上，加的取值范围是(2,V5],

II.解(I)：函数火x)=logd的图象过点(4,2),

/.10^=2,672=4,

・・・。>0且。W1,

/.0=1,.*.y(A)=log2X.

⑵由(1)知於)=10g2X,

,・V2在(0,+8)上单调递增,

0</,»?2+/Z/<2,

-2<in<-1或0<m<1.

，实数m的取值范围为{〃小2</〃v-l或0<tn<1}.

12.解⑴由函数於RogzUvMx-l)过定点(1,2),

可得log2(a+l)=2,可得。+1=4,解得a=3,

所以")=log2(3f+2x・l),

令3f+2x-l>0,解得x<-l或再，即函数的定义域为L,+oo),

设g(x)=3f+2x-l,则函数g(x)在(-8,J)上单调递减,

又由函数产logzx在定义域上为增函数，

结合复合函数的单调性可得函数./U)在(-8,-1)上单调递减，

所以函数贯.1)的单调递减区间为(-8,-1).

(2)由函数/U)=log2(o?+2x-1)的值域为R,

即(0,+3)为函数/?(#二。小+2六］值域的子集，

当〃=0时，可得力(X)=2Y-1,此时函数力(x)的值域为R,符合题意；

当公>0时,则满足/=22+4。20,解得々2-1,所以a>0;

当4Vo时，此时函数/心•尸aP+Zol的图象开口向下，显然不满足题意，

综上可得，实数。的取值范围为［0,+8).

13.D［设)讨x)=”nx,工£(1,e),

故In产(l-lnx)lnx,x£(l,e),

令日nx,xe(i,e),Are(0,1),

2

则In产/+/=・(1廿，/£(0,1),

2

当W时，In尸+：取到最大值;，

2\2/44

故)•的最大值为eZ,

即函数府)二”nx,x£(l,e)的最大值为e；］

14.B

［当a=\时，4)=1无反函数，故不符合题意；

由选项可知只需考虑即可.此时/U尸"为指数函数，我们知道函数府尸"的反函数为产logHQO),

当人幻=〃与尸］O&MQO)相切时，设切点为(/,。，在切点处两曲线的函数值与切线的斜率均相等，

(出=3①

贝ijra'\na=1,②

U=l,③

vtlna

由③可得r=/-=log〃e，代入②可得elna=1,

Ina

解得<7=ee,

综上，若图象有交点，则1々式£,

由于*2.7,cKV2<ee<V3<2.］

15.ACCy=r-2x+e2+1=(x-1)2+e2e2>0,

其在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故於Kmf-Zvi+l)在(-8,1)上单调递减，在(1,+OO)

上单调递增，

yfx)min=^/(l)=2,函数图象关于直线J=1对称,

对选项A,7U)的最小值为火1)=2,