第九章 直线、平面简单几何体 阶段质量检测

第九章直线、平面、简单几何体

（自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！）

（时间120分钟，总分值150分）

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，

只有一项为哪一项符合题目要求的.

1.假设/为一条直线，夕、y为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：

①a_Ly,/?_1_/=>〃_1_尸：②a_Ly,ft//y=^aA-px③/〃a,

其中正确的命题有（）

A.0个B.1个

C.2个D.3个

解析：对于①，G与4可能平行，故错.②③正确.

答案：C

2.（2021・唐山模拟）关于直线a、b,以及平面例、M给出以下命题：

①假设M,b"那么a//b\

②假设a〃M,bLM,那么小岳

③假设〃〃4b//M,那么。〃M；

④假设〃_LM,那么M_LN.

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：①中〃与》可以相交或平行或异面，故①错.③中4可能在平面M内，

故③错.

答案：C

3.圆/+。+1）2=3浇直线kx-y-I=0旋转一周所得的几何体的体积为（）

A.367rB.127r

C.4小乃D.4乃

4

-

解析：显然直线过圆心（0,-1）,故旋转一周所得几何体为球，・・・u年一3

=45乃.

答案：C

4.长方体三个面的面积分别为2、6和9,那么长方体的体积是（）

A.6^3B.3^6

C.IID.12

解析：设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么有

ab=2,bc=6,cc=9,AV=^W=^/2X6X9=6^3.

答案：A

5.如图，在正方体ABC。-AiBCQi中，假设E是4。的中点,

那么

直线48与直线GE的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.共而D.垂直

解析：易证A]_L平面ABC。，又GEU平面ABC。，

：.A\BA.C\E.

答案：D

6.（2021・广东高考）给定以下四个命题：

①假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不

直.

其中，为真命题的是（）

A.①和②B.②和③

C.③和④D.②和④

解析：①显然错误，因为这两条直线相交时才满足条件：②成立；③错误，这两条直

线可能平行，相交，也可能异面：④成立，用反证法容易证明.

答案：D

7.两条不同直线和/2及平面。，那么直线八〃/2的一个充分条件是（）

A./i〃a且，2〃aB./|_1_。且/2~1。

C./I〃〃且/2加D./i〃a且/zUa

解析：对选项A,与/2还可能相交或成异面直线，A错.根据直线与平面垂直的性

质定理，B正确.另外，对于选项C,6与上不一定平行，C错.对于选项D,6与

/2还可能为异面直线.

答案：B

8.（2021•温州模拟）三个平面a、0、y,假设6_Ly,且a与4、a与7均相交但不垂直，

a、b分别为a、夕内的直线，那么（）

A.b±yB.\fbUB，

C.aLyD.a//y

解析：选项A中/_Ly,但并不是平面夕内的任意直线都与平面y垂直，应选项A不

正确：由于/_Ly,只有在平面外内与平面6与y的交线平行的直线才和平面?平行，

选项B不正确；假设存在〃Ua,那么必然〃_!_7，选项C不正确；只要在平面（

存在与平面a与y的交线平行的直线，那么此直线平行于平面外应选项D正确.

答案：Dp

9.如右图所示，点?在正方形ABC。所在平面外，PDJL平面

ABC。，PO=A。，那么以与8。所成角的度数为（）/\n\

/八、y

A.30°B.45°

AB

C.60°D.90°

解析：以。A、DC、。。为邻边构造正方体BP,易知南与8。所成的角为60。.

答案：C

10.长方体ABCO-48IGQI中,A8=3,BC=2,=8。|与平面AC所成

的角为仇那么cos。的值是

（）zv_____________c

迪亚

A-1414

近近

L.”u-14AB

解析：由于。n_L平面AC,・1,/。由。即为8。|与平面4C所成的角，・・泡8=3,BC

=2,8&=1,:.BD=g,BD\=y[H,・./“八'11Y3

.cosNDBD1一向-l4.

答案：A

AB与平面/0

11.(A)如图，平面a_L平面6BWfi,

a、夕所成的角分别好和5•过A、B分别作两平面交线卜尸、

fU

的垂线，垂足为“、"，假设A4=12,那么A'

=()

A.4B.6

C.8D.9

解析：在RtAABB'中，

万

AB—■—12X乙—/

在Rtz^ABA'中，AA'=A^sin1=1xi2=6.

在RtZ\A'AB'中，^7

A，B'=、AB，2~AAf2=y]俗业2-6』6.

答案：B

(B)如图，在45。的二面角口一/一夕的棱上有两点A、B,

点C、。分别在a,£内,ACLAB,NABD=45。,

AC=AB=BD=\,那么CD的长度为

A、2+小B.y/2-y[2

C.\)4-yf2D.、4+陋

解析：由于丽=G5+AB-+而,

所以CO的长度即为|丽|=J击，

那么丽2=(西+为豆+昉)2

2

=行+病2+防+2(CAm+^AB+CABD),

其中C4・瓦万=0,AB-AB=l-lcosl35°=—

又cos<AC,BD〉=cos450-cos45°=^,

所以CA-BD=1-1(—1)=-5,

故|而\=\lc^

[1+1+1+2(0苔-品产

答案：B

12.(A)(2021•宁夏、海南高考)如图，正方体ABCO-AiSG"

的棱长为1，线段从。上有两个动点E、F,且瓦1=*

那么以下结论中错误的选项是

)

A.ACLBE

B.七/〃平面A6co

C.三棱锥人一BE尸的体积为定值

D./XAE尸的面积与△8EF的面积相等

解析：如图，正方体ABC。-4181G。中,

ACA.BD,ACJ_84|,

BDCBB尸B,・・・4C_L平面88。。，

8EU平面BB\D\D,

ACA.BE,・・・A对.

•・•EF//DB,・•・EF/f平面ABCD,B对.

S&BEF=3XEFXBB尸土义工X1=不

4O_L平面9历。|。，人。=勺，

.“_1丫1乂苴一正

••/-8£尸-3*4x0—24，

.•.三棱锥的体积为定值，c对.

答案：D

(B)在长方体ABC。-4由iGOi中，底面是边长为2的正方形，高为4,那么点4

到截面ABiG的距离是()

83

-B-

38

43

-

Ac.-4

3D..

解析：如图建立坐标系，那么4(2,0,4),A(2,0,0),Bi(2,2.4),解(0,0,4).

设平面AHiOi的法向量为

〃=(x,y,z),

=0,

那么i_*

[H*AB]=0,

解得x=2z且y=-2z,

不妨设〃=(2,—2,1),

设点Ai到平面ABiDi的距离为h,

AA

4

么

川A=-

3

〃

答案：C

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案

填在题中的横线上.

13.如下图，四棱锥P-ABC。的底面是一直角梯形，

AB//CD,CD=2AI3,£为PC的中点，那么与平面以。

的位置关系为.

解析：取尸。的中点凡连结EF,AF,由题中条件易得四

边形为平行四边形，从而进一步可推出班:〃AF,

根据线面平行的判定定理可得BE〃平面布。(或我CD的中

点M,连结EM,BM,由条件可推出平面平面附。，进一步也可得出

3£〃平面PAD).

答案：平行

14.在四棱锥中，其底面是正方形，一条侧棱垂直于底面，不通过此棱的一个侧面与底

面所成的二面角为45。，且最长的侧棱长为15cm,那么棱锥的高为

解析：设高为上由不过此棱的一侧面与底面成45。角，得正方形边长也是〃，所以小

h=15,所以h=5-\[?>cm.

答案：5小cm

15.在三棱锥尸一ABC中，△A8C是边长为6的等边三角形，M=PB=PC=4小,那么

点尸到平面ABCH勺距离为.；假设尸、4、8、C四

点

在某个球面上，那么球的半径为

解析：如图，尸在底面的射影为E,4。=3小，AE=2yf3,

PE=6,ZAPE=30°,

球心为0,设球半径OP=R,那么有关系式宠2=入序+。石2

即R2=Q小)2+(6-R)2,那么^=4

答案：6；4

16.(A)正三棱柱48C—48Q中，A8=4,A4=24L。为481的中点，那么A。与

平

面ACG4所成角等于

解析：如图，在平面481G内过点D作。以LAG于凡

连结AF,那么由该三棱柱是正三棱柱知。r_1_平面A41C1C,

ZDAF即为AD与平面ACC\Ai所成的角，根据题目条件在

「△A/7。中可求得AZ)=2小，D尸=、「，所以NOAF=套.

答案遂

(B)平行六面体A3CO-A囱GU的A8=5,AD=3,/U|=7,

ZBAAi=ZDAA\=90°,那么4G的长足

解析：如图，由题意得,

禧=离+而+就

A|AC\|2=|9|2+|AD|2+|AB|2+2|AA^|-|而卜cos900+

2|AD|-|ZS|-cos60°+2|丽|-|AB|-cos90°

=72+32+52+2x3x5x5=98,

AIAC,|=7V2.

答案：7小

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题总分值10分）在正四棱锥中，出=2,直线物与平面/WCO所成

的角为60。，求正四棱锥尸一A8CD的体积V.

解：作PO_L平而A8CZ）,垂足为O.连结AO,O是正方形

A8c。的中心，是

直线PA与平面ABC。所成的角.

N%0=60。，PA=2.

：・PO=p

AO=\tAB=®

V=~jPOSABCD

=g义小义2=42

18.（本小题总分值12分）（2021・山东高考）如图，在直四

柱A8CQ—4BIGDI中，底面A8CD为等腰梯形，

AB//CD,A8=4,BC=CD=2,AA|=2,E、臼分

别是棱4。、A4的中点.

（1）设尸是棱A8的中点，证明：直线EE”/平面尸CG；

⑵证明:平面DpACJ•平面58CC.

解：（1）证明：法一：取4句的中点为尸1,连结所1、CiFi,

由于/¥'i〃8Bi〃CG,所以FC平面尸CG,

因此平面FCG即为平面GC尸Q.

连结4Q、FiC,

由于触D6触CD,

所以四边形4。。尸为平行四边形，

因此尸C

又EE\〃A\D,得EEJ/FiC,

而EEiQ平面R7G,RCU平面FCG,

故EE1〃平面FCC\.

法二：因为尸为A8的中点，CD=2,A3=4,AB//CD,

所以CDAF,

因此四边形AFCD为平行四边形，

所以

又CC\〃DD\,FCACC|=C,FCU平面/CCi,CC]U平面尸cc1,

所以平面人平面FCC\,

又EEiu平面ADD\A\,

所以EEi〃平面FCC\.

(2)证明：连结AC,在△FBC中，FC=BC=FB,

又尸为AB的中点，所以AF=FC=FB,

因此NACB=90°,FpACIBC.

又从C_LCCi,XCC\C\BC=C,

所以ACL平面BBCC,

而ACU平面Q|4C,

故平面Q|4C_L平面BBiCC

19.(本小题总分值12分)在直三棱柱ABC—4由Ci中，Bi

ZABC=90°,AB=BC=\.

(1)求异面直线SG与AC所成角的大小；'\S\

(2)假设直线AC与平面ABC所成角为45。，求三棱锥\J

。的体积./.

解：(1)・・・8C〃8G,A

:.NAC3为异面直浅41G与AC所成角(或它的补角).

Q

•.•NABC=90。，AB=BC=\,AZACB=45t

・•・异面直线氏G与八。所成用为45°.

(2):A4_L平面ABC,

・•・ZACAi为直线AC与平面ABC所成的角,

NACAi=45。,

VZ4BC=90°,AB=BC=l,AC=®

**AA\=^2,

.•・三棱锥4—A8c的体积

()VA\—/\^C=^5AAB<?^>AI=~^-.

20.(本小题总分值12分)如下图，在直三棱柱48C-4由C中,

AB=1,AC=AA[=y[3,

ZABC=60°.

(1)证明：A5_LA|C；

(2)求二面角4-AC-B的余弦值.

解：(1)证明：•••三棱柱ABC—为直三极柱,・・・AB_LM,

在△A8C中，AB=\,AC=小，NA8C=60。，

由正弦定理得NACB=300,

••・NB4C=90。，即A8J_AC,

••・A3_L平面ACG4,

又ACU平面ACCA,

：,ABLA\C.

(2)如图，作AD_LAC交AC于。点，连结6。，

由三垂线定理知30J_AiC

ZADB为二面角A-4C-8的平面南.

…人……fMAC小义小V6

在RtA^iC中,AD=AiC=加=?，

AB\[()

在RlZ\B/lZ)中，tan/lDB=~^p=3,

・6

・・cosAOB=^^

即二面角A-A\C-B的余弦值为日W

21.(A)(本小题总分值12分)在四棱锥。一/WC。中，四边形A4C。

是梯形，AD//BC,Z/WC=90°,平面RW_L平面/WCD,

平面以Z)_L平面48CD.

⑴求证：以_1平面48。。；

⑵假设平面限8c平面PCO=/，问：直线/能否与平面A8CQ

平行？请说明理由.

解：(1)证明：因为/ABC=90。，AD//BC,所以AO_LAB.

又平面以B_L平面A8CQ,且平面以BCI平面A8CQ=A8,所以4。_1_平面以8,

所以

同理可得AB_L%.

由于48、AQU平面ABCO,且ABnAO=4,

所以%_L平面ABCD.

(2)法一:不平行.

假定直线/〃平面ABCQ,

由于/U平而尸C。，且平面PCQA平面4BCO=CQ,

所以/〃CD

同理可得/〃人&所以人B〃CD

这与AB&CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾，

故假设错误，所以直线/与平面ABC。不平行.

法二：因为梯形ABCD中AD//BC,

所以直线AB与直线C。相交，

设ABnco=r

由TWCD,CDC平面PC。得平面PCD.

同理平面PAB.

即丁为平而PCQ与平而B4B的公共点，于是尸7为平面PCD与平面南B的交线..

由丁£C。且得，平面43CD

所以直线/与平面ABCD不平行.

(B)(本小题总分值12分)在四棱锥P-ABCO中，底面

ABCO是矩形，3_L平面A8c。，PA=AD=\,A8=2,

E、产分别是A3、P。的中点.

AEB

(1)求»正：A/〃、F面PEC；

(2)求PC与平面ABCD所成角的大小：

⑶求二面角P-EC-D的大小.

解：以4为原点，如图建立空间直角坐标系.

那么A(0,0,0),8(200),C(2J.O),0(0/。)，F(0,；

),£(1,0,0),

P(0,0,l).

(1)证明：取PC的中点，连结OE.

4EB"

那么0(1,I，3,AF=(0,I，1),

E0=(0,/),；.AF//E0.

又OEU平面PEC,A尸。平面PEC.

・M产〃平面PEC.

(2)由题意可得定=(2,I,-1).

平面A8CD的法向量西=(0,0,-1).

PAPC

:.cos〈PA,PC>=

网|同6

即直线PC与平面ABCD所成角的大小为arcsin-^-.

(3)设平面PEC的法向量为〃?=(x,y,z).

方=(1,0,-1),EC=(1,1,0).

-PE=0[x—z=0,

那么<_可得.n

[m-EC=0lx+y=0.

令z=-I,那么w=(-l,l,-1).

由(2)可得平面ABCD的法向量是西=(0,0,-I).

m•PA

网网小3

・•・二面角尸一fC-D的大小为arccos亚-y.

22.(A)(本小题总分值12分)如图，正三棱柱A8C—AIiG的各棱长都等于2,。在AG

上，〃为的中点，且尸。_LAG.

"'「、、、、、力火

(I)试求方方的值;

(2)求二面角F-ACi-C的大小；/

⑶求点G到平面AC/的距离.BF

解：(1)如图，连结AF、FC\.

•・•三棱柱ABC—A而G是正三棱柱且各棱长都等于2,且产为的中点,

/.RtA^BF^RtACiBiF.

：.AF=FCi.

在尸G中，FDA.AC\t

工。为AG的中点，即^^=L

(2)取AC的中点E,连结BE、DE,

易得DE与平行且相等，

二四边形DEBF是干行国边形,

:・FD与BE平行.

•.•三棱柱A8C—A出G是正三棱柱，

；・△ABC是正三角杉，：.I3E±AC,：.FD±AC.

又・.・FOJ_AG,

・・・a_L平面ACG,

・•・二面角F-AG-C的大小为90°.

(3)运用等体积法求解.

设点Ci到平而ACF的距离为/?,

：.AC=2,AF=CF=y[5,：-S^CF=2.

又VF-ACCi=VB-ACCi=1x2X^/3=^,

:.VF-ACCi=VCI-ACF=^S^CF^h,得h=小.

(B)(本小题总分值12分)如下图，矩形A8CO中，AB=p,沿

8。折起，使点A在平面BC。内的射影落在DC上.

(1)求证：平面4QC_L平面8CQ；

(2)求点C到平面ABD的距离；

(3)假设E为8Z)中点，求二面角笈一AC-E的大小.

解：法一：(1)证明：•・•点A在平面BCD内的射号落在0c上，

即平面AOC经过平面BCD的垂线，

・•・平面ADCJ■平面BCD.

(2)依条件可知8C_LQC,又平面AOC_L平而BC0,且平而4OCA平面BCQ=CQ,