第05讲 古典概型、概率的基本性质 精讲（含答案解析）

第05讲古典概型、概率的基本性质(精讲)

第05讲古典概型、概率的基本性质

(精讲)

FI录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：课前自我评估测试

第三部分：典型例题剖析

题型一：古典概型

题型二：概率基本性质的应用

题型三：古典概型与统计的综合应用

第四部分：高考真题感悟

第一部分：知识点精准记忆

知识点一：古典概型

试验具有如下共同特征：

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个：

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简

称古典概型.

知识点二：古典概型的就率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间C包含〃个样本点，事件A包含其中的攵个样

ki-j(A)

木点，则定义事件A的概率尸(加=一二不.

其中，〃(A)和〃(Q)分别表示事件A和样本空间C包含的样本点个数.

知识点三：概率的性质

h概率的基本性质(性质1、性质2、性质5)

性质1：对任意的事件A,都有P(A)N0；

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(C)=LP(0)=O；

性质5：如果A=B,那么P(A)<P(B),由该性质可得，对于任意事件A,因为

所以OWP(A)W1.

2：互斥事件的概率加法公式(性质3)

性质3；如果事件A与事件〃互斥，那么P(4=A)=P(4)+P(8)；

注意：只有事件A与事件8互斥，才可以使用性质3,否则不能使用该加法公式.

3：对立事件的概率（性质4）

性质4：如果事件A与事件3互为对立事件，那么P（8）=1-P（A）,P（A）=1—P（B）；

4：概率的一般加法公式（性质6）

性质6：设A,8是一个随机试验中的两个事件，有P（Au3）=P（A）+P（3）-P（AcB）

第二部分：课前自我评估测试

（2022・全国•高一课时练习）

1.在1，3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车J,

有一位乘客等候4路或8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性都相等，则首先

到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率为（）

A.1B.\C.-D.-

2355

（2022•安徽滁州•高二期末）

2.近几年江苏卫视综艺节目《最强大脑》收视火热，其中在一次游戏比赛中，两位选手

要从人脸识别、声音识别、数字华容道、排序算法、俄罗斯方块、扫雷、九宫图、冲出

迷宫、数独这9种游戏中选择•种作为自己的游戏项目，则两位选手选择不同游戏项目

的概率是（）

A.1B.1C.§D.四

819981

（2022・全国•高三专题练习（文））

21

3.甲、乙两人下根，甲获胜的概率为与，和棋的概率为则乙获胜的概率为（）

1134

A.-B.-C.-D.—

45515

（2022・福建厦门•高一期末）

4.已知P⑷=0.5,P（B）=0.3,P（AB）=0.2,则P（AJ8）=（）

A.0.5B.0.6C.0.8D.1

（2022•全国•高一课时练习）

5.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小

球1个，标号为2的小球〃个.已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的

概率是则〃的值为.

（2022•河北承德・高一阶段练习）

6.对于一个古典概型的样本空间C和事件A,B,其中〃（。）=6。,〃（4）=30,〃（8）=20,

〃（Ac8）=10,则尸（4U8）=.

试卷第2页，共10次

第三部分：典型列题剖析

题型一：古典概型

典型例题

例题1.（2022.全国•高一单元测试）

7.已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员

射击4次，至少击中3次的概率次由计算器给出。到9之间取整数值的随机数，指定0,

1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，

代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

7527029371409857034743738636

6947761042811417469803716233

261680456011366195977424

根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（）

A.0.852B.0.8192C.0.8D.0.75

例题2.（2022・全国•高二课时练习）

8.奥林匹克标志由5个奥林匹克环套接组成，五环象征五大洲的团结以及全世界的运

动员以公正、坦率的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上相见.如图，5个奥林匹克

环共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上的概率为

例题3.（2022・贵州铜仁高二期末（文））

9.2022年全球文化创意产业合作与发展国际会议将于12月在上海举行，上海交大两

位教授分别在“数字治理与城市文旅川文创伦理与法规”“数字挛生与文化品牌”“数智文

创与用户行为研究”四个选题中选择两个提交提案，则他们选择的不完全相同但都选择

了“文创伦理与法规”的概率是.

例题4.（2022・全国•高一课时练习）

10.某校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖

的同学中（每名同学只获得一个奖项）选出2名志愿者，参加运动会的服务工作.求:

⑴选出的2名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；

⑵选出的2名志愿者中，1名是获得书法比赛一等奖，I名是获得绘画比赛一等奖的同学

的概率.

例题5.（2022・全国•高一单元测试）

11.某市于2022年举行第一届高中数学竞赛，竞赛结束后，为了了解该次竞赛的成绩

情况，从所有参赛学生中随机抽取1000名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成

五组：[50,60）,[60,70）"70,80）,[80,90）,[90,100],并绘制成如图所示的频率分布

（1）请补全频率分布直方图并估计这100。名学生的平均成绩；

（2）采用分层随机抽样的方法从这1000名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成

绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90

分的概率；

同类题型归类练

（2022・全国•高•课时练习）

12.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们”向上的点数之和不超过5”的概率记为小,“向

上的点数之和大于5”的概率记为〃2，”向上的点数之和为偶数”的概率记为，则（）

A.2Vp3B.p2<px<p3C.3Vp2D.Py</?,<P2

（2022・全国•高一课时练习）

13.为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩.现有3人在一次外出

时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、

白D罩同时被选中的概率为.

（2022•全国•高一课时练习）

14.某人计划从3个亚洲国家A，4,&和3个欧洲国家用,员中选择2个国家去旅

游.若他从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，则这2个国家包括A,但不包括用的

概率为.

（2022•陕西西安・高一期末）

15.某校近几年加大了对学生手工技能的培训，为了增强学生的动手意识和动手能力,

今年5月，该校进行一次手工技能比赛，从参加比赛的学生中，选取50名学生将其成

试卷第4页，共10页

绩(百分制,均为整数)分成六组:第1组［40,50),第2组［50,60),第3组［60,70),

第4组［70,80),第5组［80,90),第6组［90,100］,得到频率分布直方图(如图)，观察

图形中的信息，回答下列问题：

频率

⑴根据频率分布直方图，估计比赛成绩不低于71分的人数所占的百分比；

(2)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、•般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀,

若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀

的概率.

(2022・全国•高三专题练习)

16.十三届全国人大四次会议表决通过了关于“十四五”规划和2035年远景目标纲要的

决议，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关''.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖

子”技术，该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该款芯片的性能以某项指标值

N70WZV100)为衡量标准，性能指标的等级划分如表:

性能指标值k90分<10085”<908()“<85754&V8070<Jl<75

等级ABCDE

为了解该款芯片的生产效益，该企业从试生产的产品中随机抽样并测量了每件产品的指

标值，若以组距为5画频率分布直方图时，发现丫(设“蠢频率二丫”)满足：

［271-25八r

丫=彳300,,5n<k<5n+5.

a-2v)-\n>\7

(I)试确定〃的所有取值，并求出

⑵从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品，求样

本中A等级产品与8等级产品的件数.然后从这5件产品中一次性随机抽取2件产品，

并求出2件都是A等级的概率.

题型二：概率基本性质的应用

典型例题

例题1.(2022•浙江•太湖高级中学高二学业考试)

17.已知事件A、8相互独立，夕(4)=042(4)=0.3,则P(A+8)=()

A.0.58B.0.9C.0.7D.0.72

例题2.(2022・全国•高一)

18.下列四个命题：①充立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；②若43

为两个事件，则P(AuB)=尸(A)+P(8)；③若事件4B、。两两互斥

P(A)+P(8)+P(C)=1；④若A8满足尸(A)+P(B)=1且尸(A5)=0,则AB是对立事件.

其中错误的命题个数是()

A.0B.1C.2D.3

例题3.(2022•全国•高二)

19.若随机事件A、B互斥，A,8发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,

则实数。的取值范围是.

例题4.(2022•湖南•长沙县实验中学高一期末)

20.从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件M表示选到的数能被2整除，事

件N表示选到的数能被3整除.求下列事件的概率：

(I)这个数既能被2整除也能被3整除；

(2)这个数能被2整除或能被3整除；

(3)这个数既不能被2整除也不能被3整除.

同类题型归类练

(2022・全国•高三专题练习)

21.抛掷一枚质地均匀的骰了，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的

点数不超过3"，则P(AU8)=()

195

A.-B.-C.-D.1

236

(2022•湖南•长沙一中高一•阶段练习)

22.假设P(A)=05P(8)=0.6,且事件A与B相互独立，则尸(A+3)=.

(2022・全国•高二课时练习)

23.某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率

是“选出代表是女牛”的概率的则这个班的女生人数占全班人数的百分比是.

(2022・全国•高一学业考试)

试卷第6页，共10页

24.从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示:

红灯个数0123456个及6个以上

概率0.020.1a0.350.20.10.03

（1）求表中字母〃的值；

⑵求至少遇到4个红灯的概率；

⑶求至多遇到5个红灯的概率.

题型三：古典概型与统计的综合应用

典型例题

例题1.（2022・全国•高一单元测试）

25.某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1,2,3,4,5的五个小球.

小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的

小球编号为3,则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金50元；若

抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回地抽奖两次，则该顾客两次抽奖

后获得奖金之和为100元的概率为（）

A.±B,1c.AD.A

2552525

例题2.（2022.江苏.常州市第一中学高二期中）

26.第24届冬季奥运会于2022年2月4F1至2022年2月20F1在北京市和河北省张家

口市举行.现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆・、首钢

滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则

甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的概率为.

例题3.（2022•福建•福州四中高一期末）

27.某区政府组织了以“不忘初心、牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干

部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取200名，获得了他们

一参周与主题教育活动时间（单位：h）的频率分布直方图如图所示，

（1）以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动

时间的中位数（中位数精确到0.01）.

（2）如果计划对参与主题教育活动时间在（16,24］内的党员干部给予奖励，且在（16,20］,

（20,24］内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党

员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人,

求这2人均是二等奖的概率.（需写出该事件的样本空间）

例题4.（2022•陕西•宝鸡市渭滨区教研室高•期末）

28.某校高一年级500名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的

测试成绩，整理并按分数段［40,50）,［50,60）,［60,70）,［70,8理［80,90）,［90,100］进行分

组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如

各

分

数

段

人

数

体育成绩

（1）估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；

（2）现从体育成绩在［60,70）和［80,90）的样本学生中随机抽取2人，求2人体育成绩都在

［80,90）的概率.

同类题型归类练

（2022•江西・丰城九中高二期末（理））

29.2022年北京冬奥会的顺利召开，引起了大家对冰雪运动的关注.若A,B,C,D,

£五人可在自由式滑雪、花样滑冰和跳台滑雪这三项运动中任选一项进行体验，则每项

运动至少有一人参加的概率（）

A8（）n80「50「50

A.—B・——C♦—D•------

8124381243

（2022.河北保定.高二阶段练习）

30.哥德巴赫猜想是指“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和“，例如10=7+3,

16=13+3,在不超过32的素数中,随机选取两个数，其和等于32的概率为.

（2022•全国•高・单元测试）

试卷第8页，共10页

31.在①高一或高二学生的概率为-；②高二或高三学生的概率为手：③高三学生的

概率为33这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.

已知某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生。人，若从所有学生

中随机抽取1人，抽到.

⑴求。的值；

（2）若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人,

再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率.

（2022•河南省叶县高级中学高三阶段练习（文））

32.某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月

开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调

研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，

得其样本频率分布直方图如图所示.

⑴求实数〃的值；

（2）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数

据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）

（3）现在要从购车补贴金额的心理预期值在［3,5）间用分层抽样的方法抽取6人，再从这

6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在［3,4）间的

概率.

第四部分］高考真题感悟

（2022•全国•高考真题）

33.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

（2022•全国•高考真题（文））

34.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张

卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

1122

A.-B.-C.-D.—

5353

（2022.全国・高考真题［文））

35.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

（2022•全国•高考真题（理））

36.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为

试卷第10页，共10页

参考答案:

1.D

【分析】用古典概型的概率公式求解即可

【详解】根据题意，样本点分别是1,3,4,5,8路公共汽车首先到站，显然共有5个，

而这位乘客所要乘的汽车有4路和8路两路，

故所求概率尸=（2.

故选：D

2.C

【分析】利用古典概型的概率公式计算可得.

【详解】解：根据题意得，两位选手选择不同游戏项目的概率是

9x99

故选：C.

3.D

【分析】结合概率之和为1求得乙获胜的概率.

?I

【详解】记“甲获胜”为事件A,“和根”为事件乙获胜”为事件C,则P（A）=w，

JJ

所以

4

P（C）=1-P（A）-P（«）=-.

故选：D

4.B

【分析】依题意根据P（AjB）=P（A）+P（5）-P（AB）计算可得;

【详解】解：因为P（A）=0.5,P（8）=0.3,P（AB）=0.2

则尸（A8）wP（4）P（8）,所以事件A与事件8不相互独立，

P（AB）=P（A）P（AB）=0.5+0.3-0.2=0.6.

故选：B

5.2

【分析】根据古典概型概率计算公式可得答案.

【详解】由题意可知丁=:，解得〃=2.

1+1+〃2

故答案为：2.

答案第1页，共17大

【分析】求出AuB所包含的基本事件数，从而求出相应的概率.

【详解】由题意得：”（4J8）=30+20-10=40,所以P（Au8）=^=g.

故答案为：|

7.D

【分析】由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概

率.

【详解】在20组随机数中含｛2,3,4,5,6,7,8,9｝中的数至少3个（含3个或4个），共有15组,

即模拟结果中射击4次，至少击中3次的频率为卸=0.75.

据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75.

故选：D

8.A

【分析】由组合法计算出从8个点中任取3个点的取法，这3个点恰好位『同1个奥林匹克

环上有3种可能，再由组合知识计算，然后由概率公式计算概率.

【详解】从8个点中任取3个点，共有C：=56种情况，这3个点恰好位于同1个奥林匹克

环上有3xC：=12种情况，故所求的概率『=1|=".

故选：A.

%3

【分析】根据题意分析两位教授选择的组合情况总数与满足条件的总数，结合古典概组的方

法求解即可

【详解】由题意，一人从4个选题中选择2个选题，共C：=6种情况，故二人选择共有

C：C；=36种组合情况，其中满足条件的有=6种，故他们选择的不完全相同但都选择了

“文创伦理与法规”的概率是^=7

36o

故答案为：7

6

10.⑴,

答案第2页，共17页

【分析】（I）（2）根据题意，列举中该实验的所有情况和符合题意的情况，根据古典概型的

公式，可得答案.

【详解】（I）把4名获得书法比赛一等奖的同学编号为1,2,3,4；

2名获得绘画比赛一等奖的同学编号为5,6.

从6名同学中任选2名的所有可能结果有

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6）,⑵3},⑵4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共15

个.

从6名同学中任选2名，都是获得书法比赛一等奖的同学的所有可能结果有

{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}，共6个.

所以选出的2名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率6=尚=].

（2）从6名同学中任选2名，I名是获得书法比赛一等奖，另I名是获得绘画比赛一等奖

的同学的所有可能结果有{1,5},{1,6},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6}，共8个.

所以选出的2名志愿者中，1名是获得书法比赛一等奖，1名是获得绘画比赛一等奖的同学

Q

的概率2=正.

11.（1）频率分布直方图见解析，平均成绩67分；

⑵|.

【分析】（1）利用直方图的性质可得直方图，根据平均数的计算方法即得；

（2）根据分层抽样的概念及古典概型概率公式即得.

（1）

成绩落在[60,70）的频率为1-（0.30+0.15+0.10+0.05）=0.40,

补全的频率分布直方图如图：

答案第3页，共17或

这1000名学生的平均成绩约为55x0.30+65x0.40+75x0.15+85x0.10+95x0.05=67（分）;

（2）

抽取的40名学生中，成绩在［80,90）内的有1000x0.1xH=4（人），分别记为q,生，/，

1（JOU

成绩在［90,100］内的有1000x0.05x^=2（人），分别记为。，瓦,

1（X）0

从这6人中随机抽取2人的样本空间。=｛（4，。2），（4，%），（4，。4），（4，々），（4也）

（。2，。3），（％，44），（4，4）,（&也）（&，4），（。3，4），（43也）,（4，4），（44也），（4也）｝♦共有15个样

本点，

记事件A=“至少有1名学生成绩不低于90分”，则

人=｛（4，«）,（4也）,（。2力1］，（。2也），（。3力1），3也）,（如e），（4也），（々也）｝，共有9个样本点,

93

故所求概率为P（A）=

12.C

【分析】用列举法结合古典概型的公式求出门，〃2，〃3,即可求解

【详解】把随机掷两枚骰子的所有可能结果列表如下：

(1,6)(2,6)(3,6)区6)（5，句(6,6)

(1，5)仅5）(3§(4§(5§（6,5）

(1,4)(2,4)（3.4）(4,4)(5,4)(64)

(L3)(2,3)(33巴3）(53（6,3）

(L2)(2,2)(3Z区2)(5Z(6,2)

答案第4页，共17大

(1,1)（2」）(3,1)(4/)（5」）(6/)

共有36种等可能的结果，

其中“向上的点数之和不超过5”的有10种情况，

“向上的点数之和大于5”的有26种情况，

”向上的点数之和为偶数''的有18种情况，

所以响上的点数之和不超过5”的概率

3o18

“向上的点数之和大于5”的概率P2=当=二，

3618

1Q1

”向上的点数之和为偶数”的概率%=粤=:.

362

…5113

因为—<一<—，

18218

所以月

故选：C.

3

13.—##0.3

10

【分析】利用列举法和古典概型的概率计算公式可得答案.

【详解】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩，样本点列

举如下：（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），（蓝，红，黑），（蓝，红，绿），（蓝，

黑，绿），（白，红，黑），【白，红，绿），（白，黑，绿），（红，黑，绿），共有10个样本点，

其中蓝、白色口罩同时被选中的样本点有（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），

3

共3个样本点，所以蓝、白色口罩同时被选中的概率为历.

3

故答案为：—.

|4-i

【分析】分别求出从3个亚洲国家和3个欧洲国家中各任选1个的所有样本点个数，再求出

其中包括A但不包括用的事件所包含的样本点个数，由占典概率的公式代入即可得出答案.

【详解】从3个亚洲国家和3个欧洲国家中各任选1个，所有样本点为：

（44）,（4，4），（4与），（&，4），（4，3，（&员）,（4闻1,（4，砧，（4，4）,共9种.

答案第5页，共17庆

其中包括A但不包括用的事件所包含的样本点有：(4员),(4员)，共2种,

所以所求事件的概率

故答案为：

15.(1)41%

呜

【分析】(1)根据题意可知，前三个小矩形的面积加上第四个矩形面积的十分之一即为比赛

成绩低于71分的人数的百分比，从而可求出比赛成绩不低于71分的人数所占的百分比；

(2)先求出第5组和笫6组的学生人数，再根据古典概型的概率公式即可求出.

(1)

前3组频率之和为0.1+0.26+0.2=0.56,70-71分频率为0.3+10=0.03.

••・低于71分的频率之和为0.56+0.03=0.59,则不低于71分的频率为1—0.59=0.41,

故比赛成绩不低于71分的人数所占的百分比约为41%.

(2)

第五组与第六组学生总人数为(0.08+0.06)x50=7,

其中第五组有4人，记为a、b、c、d,第六组有3人，记为A&C,

从中随机抽取2人的情况有

:ab、ac、ad、(L\aB、aC、be、bd、b\bB、bC、cd、(AcB、cC、么dB、dC、A3、AC、BC共有21种，

其中至少I人成绩优秀的情况有cAa&cCZ7A如、〃CcAc&cC以曲dC、A&AC、BC共15

种，

•••抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率为呆之.

16.⑴〃的取值集合为｛14,15』6』7』8叫，。=点

(2)A等级产品的件数为4,8等级产品的件数为1,概率为1

【分析】⑴由70/V100,结合5〃4<5〃+5,xeN\求得〃的所有取值；利用频率

之和为I求得〃的值.

(2)分别计算A等级和8等级产品的频率,通过频率比可计算所抽取的5件产品中A等级，

答案第6页，共17贝

4等级产品的件数；利用列举法，结合古典概型的概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】(1)根据题意，704%＜100,按组距为5可分成6个区间，

分别是[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100),

因为70«左＜100,且5〃＜女＜5〃+5,XGN\所以〃的取值集合为{14』5,16,17,18,19}.

2"25]]4.15,16.17}

每个小区间对应的频率值为5y=(601人

5a-22O_\ne{18,19}

所以+9+5ax(22+2)=30a+(=l,解得《=点.

(2)A等级产品的频率为5X,X(22+2)=|.

B等级产品的频率为25=[,

vzvz

所以A等级产品和B等级产品的频率之比为g3京3=4:1,

所以从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品，

A等级产品的件数为4,分别记为4,七,%,%,

8等级产品的件数为1,记为b.

从这5件产品中任意抽取2件产品,所有的可能情况有(q,叩),(qg)，(卬()，(4这),

(4,生),(4，卬)，(外,〃)，(«，4)，(6力)，(/，〃)，共10种.

事件“抽取的2件产品都是A等级”包含的可能情况有(4，%)，(4必)，(%，4)，(%%)，

色,/),(44)，共6种，故所求概率为P=A=

17.A

【分析】由概率加法公式求解

【详解】由题意P(A8)=P(A)P(B)=0.12

故?(A+5)=/(A)+尸(8)-尸(AB)=0.4+0.3—0.12=0.58

故选：A

18.D

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断①；根据和事件的概率公式即可判断②;

根据随机事件概率的性质，即可判断③；若A8满足户(4)+P(8)=1且P(A8)=0,48是对

立事件，可判断④.

答案第7页，共171)；

【详解】对于①：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；故①正确;

对于②：若4B为两个事件，则P(Au8)=P(A)+尸(8)-P(Ac8)；故②不正确；

对于③：若事件4B、C两两互斥，若(AD8UC)HC,则P(A)+P(8)+P(C)<1,故③不

正确；

对于④：对于几何概型而言，若事件43满足P(A)+P(a=l,P(AB)=O,则46不一定是

对立事件，

故④错误.

所以错误的命题有3个,

故选：D

【分析】由互斥事件的性质，列不等式组求。的范围.

O<P(A)<10<2-a<l

即卜)〃54

【详解】由题意，O<P(B)<1<4-5<1,解得V.W1

P(A)+P(8)413a-3<l

<541

故答案为：7G

(43J

20.⑴;

O

(2)t

⑶5

【分析】(1)求出既能被2整除也能被3整除的数的个数，再由古典概型求解即可;

⑵先由古典概型求出P(")，P(N),再由尸(MN)=P(M)+P(N)-尸(MN)求解即可;

(3)由对立事件的概率公式求解即可.

【详解】(1)1~30这30个整数中既能被2整除也能被3整除的有5个，JP(A/N)=<=1；

306

(2)1~30这30个整数中能被2整除的有15个，能被3整除的有10个，所以P(M)4=J,

1119

P(MN)=P(M)+P(N)_P(MN)=：+；_/G

答案第8页，共17天

（3）由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3

整除”互为对立事件，

则P（而讨）=7V）=1-|=1.

21.B

【分析】写出事件AuB包含的基本事件，可得概率.

【详解】A包含向上的点数是1,3,5的情况，斤包含向上的点数是1,2,3的情况，所以

42

AU8包含了向上的点数是1,2,3,5的情况.故尸（AUB尸二=彳.

63

故选：B.

4

22.0.8##-

5

【分析】先算出P（48）,再利用P（A+8）=尸（A）+P（3）-P（A3）求解即可.

【详解】P（AB）=P（A）P（5）=03,则

P（4+8）=尸（A）+尸（8）—？（A3）=0.5+0.6-0.3=0.8.

故答案为：08

23.75%

【解析】设“选出代表是女生”的概率为〃，则“选出代表是男生''的概率为:。，则进

而求解即可.

【详解】设“选出代表是女生''的概率为〃，则“选出代表是男生''的概率为:。，

I3

因为。+彳。=1,所以。=:，

34

所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为75%,

故答案为：75%

【点睛】本题考查概率性质以及对立事件概率,属丁基础题.

24.（1）0.2；（2）0.33；（3）0.97.

【解析】（1）根据概率之和为1,由题中数据，即可列出等式，求出。的值；

（2）根据互斥事件的概率计算公式，由题中数据，即可求出结果；

（3）根据对立事件的概率计算公式;，即可求出结果.

【详解】（1）由题意可得0.02+0.1+。+0.35+0.2+0.1+003=1,解得。=0.2.

（2）设事件A为遇到幻.灯的个数为4,事件8为遇到幻.灯的个数为5,事件C为遇到幻力的个

答案第9页，共17或

数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为ABC,因为事件A8,C互斥，所以

P(A<JB<JC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33,即至少遇到4个红灯的概率为

0.33.

(3)设事件。为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件行.

则P(D)=1-P(D)=1-0.03=0.97.

【点睛】本题主要考查互耳事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式，

以及概率的性质即可，属于常考题型.

25.D

【分析】列出两次抽奖的样本空间，从中找出奖金和为100元的样本点，利用古典概率模型

和互斥事件概率的计算公式即可求出结果.

【详解】由题意得，该顾客有放回地抽奖两次的样本空间

Q={(1,1),(1,2),(1,3),(1,41,(1,5),(2,i),-,(5,3),(5,4),(5,5)),共25个样本点.

两次抽奖奖金之和为100元包括三种情况：

①第一次奖金为100元，第二次没有中奖，

其包含的情况为(3,1),(3,5),概率为［=玄；

②第一次没中奖，第二次奖金为100元，

其包含的情况为。，3),(13),概率为去；

③两次各获奖金50元，

4

包含的情况有(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),概率为/?=玄.

根据互斥事件的加法公式得该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为

8

故选：D.

26.—

18

【分析】利用分组分配法可得所有等可能结果，然后利用分类加法计数原理结合排列、组合

知识计算甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的结果，再利用古典概型概率公式即得.

【详解】由题可知安排甲、乙、丙、丁四名志愿者三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人

去，且这四人都在这三个场馆，共有C：A；=36种，

答案第10页，共17页

其中甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，有两类办法：

若有两个人去首钢滑雪大挑台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速

滑馆，有A；=2种；

若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有C；=2种，然后剩下的一个人和甲、乙被

安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有C；A；=6种，则共有2x6=12种，

综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为12+2=14；

147

所以甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的概率为之二K.

361o

故答案为:97.

1O

27.(1)13.83

【分析】(1)先根据频率分布直方图的面积和为1求解〃，再设中位数为x,根据中位数的

右边概率和为0.5求解即可；

(2)先根据分层抽样的性质分别求得在(16,20］,(20,24］内的抽取的人数，再列举出所有

的基本事件及满足条件的事件，再求出这2人均是二等奖的概率.

【详解】(1)由已知可得,a=0.25-(0.0250+0.0475+0.0500+0.0125)=0.1150.

设中位数为”,因为0.0500x4+0.0125x4=0.25<0.5,().0501)x4+().0125x4+0.115()x4=0.71>().5,

故xe[1246].

则0.25+(16—%)x0.1150=0.5,得工.13.83.

(2)按照分层抽样的方法从(16,20］内选取的人数为：°Jx5=4,

U.UJVV+v.vI2J

().0125

从(20,24］内选取的人数为x5=1

0.05(X)+0.0125

记二等奖的4人分别为。，b,c,d,一等奖的1人为A,

事件E为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”.

从这5人中随机抽取2人的基本事件为(a.〃)，3M,(a,A),(b,c),(b,d),(〃,A),

(c"),(c,4),(d,A),共10种，

其中2人均是二等奖的情况有(a,力)，S,c),Qd),(b,c),(b.d),(c,d),共6种,

答案第11页，共17页

由古典概型的概率计算公式得P(E)=A=|

28.(1)375

呜

【分析】(1)根据折线图可得体育成绩大于或等于70分的学生人数，即得答案；

(2)确定体育成绩在［60,70)和网),90)的样本学生人数，列举出随机抽取2人，所有的基本

事件，确定2人体育成绩都在［80,90)的的基本事件个数，根据古典概型的概率公式即可求得

答案.

(1)

根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数为14+3+13=30,

所以该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数估计为：500x3^0=375.

40

(2)

体育成绩在［60,70)和［80,90)的人数分别为2、3,分别记为a,b,AB,C,

若随机抽取2人，则所有的基本事件为：

(a,b),(a,A),(a,8),(a,C),也A),("B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),

故基本事件的总数为10,其中2人体育成绩都在［80.90)的基本事件的个数有

(AA),(AC)，(及。共3个，

3

设A为：“2人体育成绩都在［80,90)“，则2人)=布.

29.C

【分析】由题意知五人在三项运动中任选一项共有243种，每项运动至少有一人参加，则这

三项运动出现的次数可分为：3、1、1；2、2、1；分别求出其种类，即可求出答案.

【详解】5人在自由式滑雪、花样滑冰和跳台滑雪这三项运动中任选一项共有35=243种;

每项运动至少有一人参加可分为:

SX4x3

自由式滑雪3人、花样滑冰1人、跳台滑雪1人,此时有C；C；C：=；_2x2=2。种;

3x27x1T

此时有C；C；C=^x1^=30种;

自由式滑雪2人、花样滑冰2人、跳台滑雪I人,

2x12x1

S%4

自由式滑雪2人、花样滑冰1人、跳台滑雪2人,此时有_X3X1=30种；