北师大版九年级数学上册《3.2探索三角形相似的条件》同步练习题（带答案）

第第页北师大版九年级数学上册《3.2探索三角形相似的条件》同步练习题（带答案）今日复习1.把线段AB分成AC和BC(AC>BC)两条线段,且使AC是AB和BC的,叫作把线段AB分割，点C叫作线段AB的分割点.2.与黄金分割有关的公式：(1)长=5−12✗整体≈0.618×整体,短(2)短:长=长:整体=3.黄金分割的判定方法：(1)比例中项法：若长²=短×整体，则对应点是整体的黄金分割点.(2)比值法：若短：长=5−12或长：整体(3)倍数法：若长=5−1名师点拨1.黄金矩形:如果在矩形ABCD(AB<BC)中，ABBC2.黄金三角形:如果在等腰△ABC(BC<AB)中,BCAB课时三级达标A级双基过手1.(1)(2026·编写)已知点C是线段AB的黄金分割点,如果AC>BC,BC=4,则AC=.(2)(2026·编写)如图,线段AB=20cm,若点P是AB的黄金分割点(PA>PB),则线段PA的长为。(结果保留根号)2.(2026·编写)大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图,点P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为10cm,那么PB的长度为.3.(1)(2026·编写)如图,在▱ABCD中,点E是BC边上的黄金分割点，且BE>CE,AE与BD相交于点F,那么BF:DF的值为.(2)(2026·编写)采用如下方法可以得到线段的黄金分割点.如图，设AB是已知线段,经过点B作BD⊥AB,使BD=12AB;4.(2025·成华)学习雷锋好榜样.学校计划建一座高度为4米的雷锋雕像，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，那么该雕像的下部高度是米.5.(2026·编写)已知点C是线段AB的黄金分割点,AC>BC.若AB=2,则AC的长为 ()A.5-1B.5+12C.3-6.(2026·编写)比值为5−12(约0.618)的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比.我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例，如果某面国旗长为2米，则其宽约为A.1.5米B.1.2米C.1.0米D.0.8米7.(2026·编写)下列说法中正确的是()A.若M是AB上一点,且满足AMB.所有的菱形都相似C.所有的矩形都相似D.所有的等腰三角形都相似8.(2026·编写)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，P是线段AB上一点(AP>BP),若满足BPAPA.20−x2=20xC.x(20-x)=20² D.以上都不对9.(2026·编写)如图,已知点C,D是线段AB的黄金分割点,AB=10,求线段AC与CD的长.10.(2026·编写)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN=GNMG=5−12B级能力提升11.(2024·南充)如图,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC=12AB,连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧,交AC于点D;③12.(2025·天府新区)如图,正方形ABCD的边长为2，E为线段AD的中点，H为线段AB的黄金分割点(AH>BH),以AH为边作正方形AHGF，则EFAE的值为13.(2025·锦江)如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于5−12,我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形.如图,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,将△ABC看作第1个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，将△BCD看作第2个黄金三角形;作∠BCD的平分线CE,交BD于点E，将△14.(2026·编写)如图,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求线段AD的长度.C级综合拓展15.(2026·编写)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在CB上,连接AD,且∠BAD=45°,AC=14,CD=6,求BD的长度.参考答案【今日复习】1.比例中项黄金黄金【课时三级达标】A级(双基过手)1.3.6.B7.A8.A9.【解】∵点C,D是线段AB的黄金分割点∴AC=∴AD=AB−BD=15−5∴CD=AC−AD=510.【解】如图,过点A作AE⊥BC于点E.∵AB=AC=3,BC=4∴BE=CE=∵点D是边BC上的一个“黄金分割点”∴CD=4×∴△ADC的面积为12CD⋅AE=B级(能力提升)11.52112.513.(5₋₂1)²⁰²³14.(1)【证明】∵AB=AC=1,∴∠ABC=∠C=1∵BD平分∠ABC交AC于点D∴∠ABD=∠CBD=∴∠BDC=180°-36°-72°=72°∴DA=DB,BD=BC,∴AD=BD=BC.易得△BDC∽△ABC,∴BC:AC=CD:BC即B∴点D是线段AC的黄金分割点.(2)【解】设AD=x,则CD=AC-AD=1-x.∵AD2=CD⋅AC,∴x2=1−x,解得C级(综合拓展)15.【解】过点D作DE⊥AD,DE与AB交于点E,过点E作EF⊥BC于点F,如图所示.∵∠DAB=45°∴∠DAE=∠DEA=45°,∴AD=DE.∵∠C=90°,∴∠