高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.3 三角函数的图象与性质 1.3.2.2 正切函数的图象与性质示范教学设计 新人教B版必修4

高中数学第一章基本初等函数（II）1.3三角函数的图象与性质1.3.2.2正切函数的图象与性质示范教学设计新人教B版必修4学科政治年级册别八年级上册共1课时教材部编版授课类型新授课第1课时设计意图本节课旨在通过正切函数的图象与性质的学习，帮助学生掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性等基本性质，并能运用这些性质解决实际问题。通过结合课本内容，引导学生进行探究性学习，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过探究正切函数的图象与性质，学生能够抽象出函数的一般形式，发展逻辑推理能力；通过构建函数模型，培养学生解决实际问题的能力；通过观察图象，提高直观想象能力；通过解析式计算，提升数学运算的准确性。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了基本初等函数的概念，对函数的图象和性质有一定的了解，能够识别和描述常见的函数图象。此外，学生应已掌握三角函数的基本概念，如正弦、余弦函数的图象与性质。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

学生对数学的兴趣因人而异，但普遍对函数图象的直观性和三角函数的周期性特点感兴趣。学生的数学能力水平参差不齐，部分学生具有较强的逻辑思维能力和空间想象能力，能够快速理解和掌握新知识；而部分学生可能在抽象思维和空间想象力方面存在不足。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习正切函数的图象与性质时，可能面临以下困难：一是理解正切函数的定义域与余切函数的关系，二是掌握正切函数的周期性，尤其是如何确定周期长度；三是将正切函数的性质应用于解决实际问题，如解三角方程等。此外，学生可能对函数图象的变换和复合函数的性质理解不够深入，需要教师通过适当的教学策略进行引导和帮助。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《新课程标准高中数学必修4》教材，以便跟随教材内容进行学习。

2.辅助材料：准备正切函数图象的动态演示软件，以及相关的图表和图片，帮助学生直观理解函数性质。

3.实验器材：无需实验器材。

4.教室布置：设置多媒体教学设备，确保投影仪、计算机等设备运行正常；预留讨论空间，便于小组合作学习。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示生活中常见的周期性现象，如钟表的指针运动、摆动的钟摆等，引导学生思考周期现象与数学函数的关系。

2.提出问题：引导学生回顾正弦、余弦函数的周期性，提出问题：“如何描述正切函数的周期性？”

3.学生回答：邀请学生分享自己的理解，教师总结并引出正切函数的定义。

二、讲授新课（15分钟）

1.正切函数的定义：讲解正切函数的定义，强调正切函数与直角三角形的关系。

2.正切函数的图象：展示正切函数的典型图象，分析图象的特点，如周期性、奇偶性等。

3.正切函数的性质：

a.定义域：讲解正切函数的定义域，强调正切函数在π/2+kπ（k为整数）处的间断性。

b.值域：讲解正切函数的值域，强调正切函数的值域为全体实数。

c.周期性：讲解正切函数的周期性，强调正切函数的周期为π。

d.奇偶性：讲解正切函数的奇偶性，强调正切函数为奇函数。

4.正切函数的应用：举例说明正切函数在解决实际问题中的应用，如求解三角方程、计算角度等。

三、巩固练习（15分钟）

1.练习1：让学生根据正切函数的图象，填写下表，并分析正切函数的性质。

|x|-π/2|0|π/2|π|3π/2|2π|

|---------|------|------|------|------|------|------|

|tan(x)|||||||

2.练习2：让学生利用正切函数的性质，求解以下三角方程：

a.tan(x)=1

b.tan(x)=-1

c.tan(x)=0

3.练习3：让学生利用正切函数的性质，计算以下角度的正切值：

a.30°

b.45°

c.60°

四、课堂提问（5分钟）

1.提问1：正切函数的定义域是什么？为什么？

2.提问2：正切函数的周期性是什么？如何确定周期长度？

3.提问3：正切函数的奇偶性是什么？

五、师生互动环节（5分钟）

1.教师引导学生分析练习中的问题，解答学生的疑问。

2.学生分组讨论，分享自己的解题思路和方法。

3.教师选取具有代表性的解题思路进行点评和总结。

六、核心素养能力的拓展要求（5分钟）

1.培养学生的数学抽象能力：引导学生从实际情境中抽象出正切函数的概念，理解函数的本质。

2.培养学生的逻辑推理能力：通过分析正切函数的性质，培养学生的逻辑推理能力。

3.培养学生的数学建模能力：引导学生利用正切函数解决实际问题，提高数学建模能力。

教学过程流程环节如下：

1.导入环节（5分钟）

2.讲授新课（15分钟）

a.正切函数的定义（3分钟）

b.正切函数的图象（5分钟）

c.正切函数的性质（7分钟）

3.巩固练习（15分钟）

4.课堂提问（5分钟）

5.师生互动环节（5分钟）

6.核心素养能力的拓展要求（5分钟）

总用时：45分钟学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解正切函数的基本概念：

学生能够清晰地理解正切函数的定义，认识到正切函数是直角三角形中一个角的正弦与余弦的比值，这有助于学生在后续学习中更好地运用正切函数解决实际问题。

2.掌握正切函数的图象与性质：

学生能够绘制正切函数的基本图象，并理解图象的周期性、奇偶性和渐近线等关键性质。这为学生后续学习三角函数的综合应用打下了坚实的基础。

3.增强数学运算能力：

通过学习正切函数的性质，学生需要运用三角恒等变换和代数运算来求解三角方程，这一过程有效地提高了学生的数学运算能力。

4.提升问题解决能力：

学生在解决与正切函数相关的问题时，能够运用所学知识分析问题、设计解决方案，并通过逻辑推理和计算得出正确答案，这有助于提高学生的问题解决能力。

5.培养直观想象能力：

学生在学习正切函数的图象时，需要通过观察和想象来理解函数的变化规律，这种直观想象能力的培养对学生的数学学习具有重要意义。

6.提高逻辑思维能力：

正切函数的性质分析需要学生进行严密的逻辑推理，通过本节课的学习，学生的逻辑思维能力得到了进一步的锻炼和提升。

7.增强合作学习意识：

在课堂讨论和小组合作活动中，学生学会了如何与他人沟通、交流，共同解决问题，这有助于培养学生的合作学习意识和团队协作能力。

8.增进对数学学习的兴趣：

通过学习正切函数这一有趣且富有挑战性的内容，学生对数学学习的兴趣得到了激发，增强了学习的动力和积极性。教学反思与总结嗯，这节课下来，我觉得还是有些收获的。首先，我觉得我在导入环节做得还可以，通过实际生活中的例子，让学生对正切函数有了直观的认识，这挺重要的。但是，我发现有些学生对于周期性的理解还是有些吃力，可能是因为这个概念比较抽象，我应该在接下来的教学中加强这方面的讲解和练习。

在讲授新课的时候，我尽量用简单明了的语言来解释复杂的数学概念，但是我也注意到，有些学生对于函数的性质理解得不够深刻。我觉得这可能是我在讲解的时候没有结合具体的例子，或者是没有足够的时间让学生自己去发现和总结。所以，我会在以后的课堂上，更多地引导学生去思考，去发现规律。

练习环节，我设计了一些基础和提升的题目，但是课后了解到，还是有部分学生觉得难度有些大。这说明我需要根据学生的实际情况来调整练习的难度，不能一味追求难度，而忽略了学生的接受能力。

课堂提问的时候，我发现学生对于正切函数的定义域和值域的掌握还是不错的，但是在解决实际问题时，他们还是有些犹豫。这可能是因为他们缺乏实际应用的经验。所以，我计划在接下来的教学中，增加一些实际应用题，让学生在实际操作中提高解决问题的能力。典型例题讲解例题1：求函数y=tan(x)在区间[0,π]上的值域。

解答：由于正切函数在[0,π]上是连续的，且在x=π/2时取到无穷大，在x=0时取到0，因此函数y=tan(x)在区间[0,π]上的值域为(-∞,+∞)。

例题2：已知tan(θ)=2，求sin(θ)和cos(θ)的值。

解答：由于tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)，我们有sin(θ)=2cos(θ)。利用三角恒等式sin²(θ)+cos²(θ)=1，代入sin(θ)=2cos(θ)得到5cos²(θ)=1，解得cos(θ)=±√(1/5)。由于tan(θ)=2>0，θ位于第一或第三象限，因此cos(θ)>0，所以cos(θ)=√(1/5)。进而得到sin(θ)=2cos(θ)=2√(1/5)。

例题3：解方程tan(x)-3=0。

解答：将方程变形为tan(x)=3，由于tan(x)的周期为π，所以解为x=arctan(3)+kπ，其中k为任意整数。

例题4：已知tan(α)=-1/2，求sin(2α)的值。

解答：由于tan(α)=sin(α)/cos(α)，我们有sin(α)=-1/2cos(α)。利用三角恒等式sin²(α)+cos²(α)=1，代入sin(α)=-1/2cos(α)得到5cos²(α)=4，解得cos(α)=±2√(1/5)。由于tan(α)<0，α位于第二或第四象限，因此cos(α)>0，所以cos(α)=2√(1/5)。进而得到sin(α)=-1/2cos(α)=-√(1/5)。利用sin