用乘除两步运算解决生活中的“归总”问题-小学三年级上册数学教学设计

用乘除两步运算解决生活中的“归总”问题——小学三年级上册数学教学设计

  一、设计依据与理念

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，深入践行“三会”核心素养导向。设计聚焦于“归总问题”这一典型数量关系模型，将其置于小学三年级学生认知发展的关键期进行审视与建构。三年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的重要阶段，他们已熟练掌握表内乘除法，并初步接触了用乘、除法一步运算解决简单实际问题。然而，面对需要两步运算，特别是蕴含“先求总数，再求份数或每份数”逻辑结构的“归总问题”时，学生常常出现思维断层，难以自主建立中间问题与最终问题之间的联系。本设计旨在突破这一思维瓶颈，不仅教会学生解决一类问题，更着力于培育其数学建模、逻辑推理和问题解决的关键能力。设计贯彻“以生为本”的理念，强调在真实、复杂、开放的情境中，引导学生经历“发现问题——分析数量关系——建立模型——求解验证——反思应用”的完整探究过程，促进学生对乘法与除法互逆关系的深度理解，发展其结构化思维和数学表达力，为后续学习更复杂的复合应用题及函数思想奠定坚实的思维基础。

  二、教学分析与学情研判

  （一）教材内容深度解析

  “归总问题”是人教版小学数学三年级上册第六单元《多位数乘一位数》中“解决问题”例4的教学内容。从知识脉络上看，它紧随笔算乘法之后，是学生将计算技能应用于实际情境的深化与升华，也是从一步运算过渡到两步运算的典型载体。教材通过“买文具”这一常见生活场景，呈现了“单价、数量、总价”的数量关系。其本质结构是：已知每份数和份数（可求总量），以及新的每份数（或新的份数），求新的份数（或新的每份数）。解决问题的关键步骤是先用乘法求出“不变量”——总价（即归总），再用除法求出新情境下的未知量。这一模型具有广泛的迁移价值，如工程问题中的“工作总量”、行程问题中的“路程”等，均可视为“归总”模型的不同现实表征。因此，本节课的教学远不止于解决一道例题，而是引导学生洞察一类问题的数学本质，初步建立“归总”模型的基本图式。

  （二）学习者特征精准研判

  认知基础方面，三年级学生已能熟练解决“每份数×份数=总数”、“总数÷每份数=份数”、“总数÷份数=每份数”的一步应用题，对乘除法的意义有基本理解。但他们的思维往往呈点状、线性，不善于主动寻找和利用隐藏的“中间问题”（即总量不变这一关键条件）。在解题策略上，部分学生可能存在机械套用“关键词”的倾向，而非基于数量关系的深度分析。

  心理与能力特征方面，该阶段学生好奇心强，乐于动手操作和参与活动，但注意力持久性有待提高，需要富有挑战性和趣味性的任务驱动。他们的语言表达能力正在发展，可能清楚思路但表述不完整、不规范。同时，学生初步具备小组合作学习的经验，但在分工协作、倾听与融合不同观点方面仍需引导。

  潜在困难预估：1.理解“归总”的思维过程，即为何要先求总量；2.从纷繁的图文信息中准确识别并抽象出“每份数、份数、总数”这三量；3.清晰、有条理地表述解题思路和步骤；4.将建立的模型灵活迁移到结构相同但情境迥异的新问题中。

  三、核心素养导向的教学目标

  （一）知识与技能目标

  1.能结合具体情境，理解“归总问题”的基本结构和数量关系。

  2.掌握解决“归总问题”的一般步骤与方法：先通过乘法求出总量（不变量），再根据新的条件用除法求出问题。

  3.能正确列出乘除混合的综合算式解答实际问题，并掌握递等式计算的方法。

  （二）过程与方法目标

  1.经历完整的“阅读与理解——分析与解答——回顾与反思”的问题解决过程，提升系统性解决问题的能力。

  2.通过画示意图、线段图等多种策略分析数量关系，发展几何直观和数形结合思想。

  3.在对比、归纳、概括中，初步形成“归总问题”的数学模型，体验模型化思想。

  （三）情感、态度与价值观目标

  1.感受数学与生活的紧密联系，体会用数学方法解决实际问题的乐趣，增强应用意识。

  2.在探究与合作中培养严谨求实的科学态度、勇于探索的精神和乐于分享的合作品质。

  3.通过解决问题的成功体验，增强学习数学的自信心。

  四、教学重难点及突破策略

  （一）教学重点

  理解“归总问题”的数量关系结构，掌握“先求总量，再求相关问题”的解题思路。

  （二）教学难点

  1.自主发现并理解“总量不变”这一隐藏的中间条件。

  2.将具体情境抽象为数学模型，并能进行灵活迁移应用。

  （三）突破策略

  针对难点一，采用“情境冲突法”与“直观操作法”。创设认知冲突情境，引发学生对“信息够不够”的质疑与思考，从而主动探寻缺失的“总量”信息。利用学具摆一摆、画图表征等方式，让“总量不变”这一抽象关系可视化、可触摸。

  针对难点二，采用“变式训练法”与“结构化梳理法”。设计一系列情境多变（购物、植树、排队、做工等）但结构相同的练习，引导学生在“变”与“不变”的辨析中抓住模型本质。通过思维导图或关系图，将解题思路、数量关系进行结构化梳理，促进认知结构的形成与稳固。

  五、教学准备

  （一）教师准备

  1.多媒体课件：包含主题情境动画、动态线段图生成过程、多种解题方法展示、分层练习题组等。

  2.教具：实物图片（文具、小棒等）、可粘贴的算式卡片、结构图框架板。

  3.预设学情应对方案及课堂生成资源的引导策略。

  （二）学生准备

  1.复习乘、除法一步应用题的解法。

  2.准备练习本、彩色笔、直尺。

  3.前置性微任务：观察生活中“先买后分”或“先算总量再平均分”的事例。

  六、教学过程实施详案

  第一阶段：创设情境，孕伏模型——在真实冲突中引发思考（约8分钟）

  师：（课件动态呈现小精灵明明和芳芳的对话场景）同学们，我们的好朋友明明和芳芳遇到了一个难题，请大家来做智慧参谋。明明说：“妈妈给了我一些钱，让我去买笔记本。”芳芳问：“这些钱能买几本呢？”明明提供了两条信息：“如果买6元一本的，正好可以买6本。”芳芳想了想，追问：“那如果换一种笔记本，每本9元，这些钱可以买几本呢？”

  师：问题来了——“这些钱可以买几本9元的笔记本？”你们觉得，能直接回答吗？为什么？

  生1：不能直接回答，因为我们不知道妈妈到底给了明明多少钱。

  生2：对，缺了一个总钱数。

  师：真是一语中的！总钱数这个关键信息，题目直接告诉我们了吗？

  生（齐）：没有！

  师：那这个总钱数，我们能想办法知道吗？根据哪条信息可以求出来？

  生3：能！根据“如果买6元一本的，正好可以买6本”，用6×6=36（元），就能算出总钱数是36元。

  师：太棒了！这个“36元”在题目里没有明说，但它是解决问题必不可少的一步，我们称之为“中间问题”。找到了它，就像找到了打开宝藏大门的钥匙。今天，我们就一起来研究这类需要先找出“中间问题”再最终解决问题的数学学问。（板书课题：解决问题——先求总量，再解新题）

  【设计意图】摒弃直接出示例题的传统方式，采用对话式、悬念式的情境导入。通过“信息是否足够”的提问，直接触及学生的认知冲突点，激发其主动探究的欲望。引导学生自己发现“隐藏信息”（总钱数）的存在及其必要性，在课始就牢牢抓住“先求总量”这一核心思路的萌芽，为后续建模做好充分的心理和认知铺垫。

  第二阶段：合作探究，构建模型——在深度对话中明晰思路（约20分钟）

  环节一：阅读与理解——信息结构化

  师：（出示例4完整情境图：一位阿姨说“妈妈的钱买6元一个的碗，正好可以买6个”，小朋友问“用这些钱买9元一个的碗，可以买几个？”）请同学们默读题目，找出已知的数学信息和要解决的问题。可以尝试用自己喜欢的符号圈画出来。

  （学生独立阅读、圈画。）

  师：谁来分享一下你找到的信息和问题？

  生4：已知信息是：碗的单价是6元，可以买6个（也就是份数）。问题是：如果单价变成9元，可以买几个？

  师：表述非常清晰。这里有一个很关键的短语——“用这些钱”，它是什么意思？

  生5：意思是总钱数没有变，买6元的碗的总钱数和买9元的碗的总钱数是一样的。

  师：精准！这指出了本题中一个隐藏的、不变的条件：总价不变。现在，我们能不能把题目中的数量关系，用更直观的方式表示出来呢？请大家尝试画一画。

  环节二：分析与解答——策略多元化

  1.画图表征，化抽象为直观。

  师：请同学们在练习本上试着用长方形、圆圈或线段来表示题目意思。可以独立完成，也可以和同桌小声讨论。

  （教师巡视，选取有代表性的作品进行展示。）

  展示作品A：用6个圆圈，每个圆圈里写“6元”，表示买6个6元的碗。下面画一个括号，写“总价？”。再画几个空圆圈，上面标“9元”，问号标在圆圈个数上。

  展示作品B：画一条线段，平均分成6段，每段标“6元”，整条线段标“总钱数”。再画一条等长的线段，上面分段标“9元”，问号标在段数上。

  师：大家看这两种画法，都能清楚地表示题意。尤其是线段图（作品B），它能非常直观地让我们看到：两条线段的总长度（总钱数）是相等的。线段图是我们分析数量关系的好帮手。

  2.列式解答，思路显性化。

  师：现在，请根据你对题意的理解和画的图，尝试列式解答。可以分步，也可以尝试列综合算式。

  （学生独立尝试，教师巡视指导，关注不同层次学生的解法。）

  师：谁来展示你的解答过程？

  生6（分步）：

  第一步：6×6=36（元）……求出一共有多少钱。

  第二步：36÷9=4（个）……求出这些钱可以买几个9元的碗。

  答：可以买4个。

  生7（综合算式）：6×6÷9

  =36÷9

  =4（个）

  答：可以买4个。

  师：两位同学都解答正确。生7列出了综合算式“6×6÷9”，能解释一下这个算式的每一步分别求的是什么吗？

  生7：先算“6×6”，求的是总钱数；再算“÷9”，求的是可以买几个9元的碗。

  师：解释得清清楚楚。对于综合算式，我们要注意它的运算顺序。像这样既有乘法又有除法的算式，我们应按什么顺序计算？

  生（齐）：从左往右依次计算。

  师：是的。我们通常把这种运算称为“乘除混合运算”，顺序是从左到右。请同学们在自己的算式旁，像生7那样，写出每一步计算的结果，这种规范的书写格式叫做“递等式”。

  3.检验反思，结论严谨化。

  师：答案“4个”对不对呢？我们有什么办法可以检验？

  生8：可以倒过来算。买4个9元的碗，总价是4×9=36（元）。如果买6元的碗，36÷6=6（个），正好是题目开始说的6个。说明答案正确。

  师：非常好的逆向检验法！我们也可以看看总价是否相等：6×6=36（元），9×4=36（元），总价相同，验证了“这些钱”不变的条件，解答正确。

  师：回顾整个解题过程，我们经历了哪几个关键步骤？

  生9：先读懂题目，找出信息和问题。然后画图分析，知道总钱数不变。接着先求总钱数，再求可以买几个。最后还要检验答案。

  师：总结得非常到位！这就是我们解决问题的一般步骤：阅读与理解→分析与解答→回顾与反思。（板书三大步骤）其中，在“分析与解答”环节，我们抓住了“总价不变”这个关键，先通过乘法“归”出总量，再用除法解决新的问题。这类问题我们可以形象地称为“归总问题”。（在课题旁补充板书：归总问题）

  【设计意图】本环节是教学的核心，充分放手让学生经历探究的全过程。通过“阅读与理解”培养信息提取与结构化能力；“分析与解答”鼓励策略多样化，尤其重视线段图这一几何直观工具的引入与指导，架起形象思维与抽象思维之间的桥梁。在算法上，尊重学生从分步到综合的认知规律，并规范综合算式的书写与运算顺序。最后的“回顾与反思”不仅关注答案正确性，更强调解题步骤的模型化和检验意识的培养。教师的角色是组织者、引导者和促进者，在关键处点拨，将学生的思维引向深处。

  第三阶段：变式巩固，深化模型——在灵活运用中促进迁移（约12分钟）

  师：掌握了“归总问题”的解题金钥匙，让我们来挑战几个不同情境的问题，看大家能不能抓住不变的本质。

  练习1（基础巩固，结构模仿）：

  “小华读一本故事书，每天读6页，4天可以读完。如果每天读8页，几天可以读完？”

  （学生独立完成，请一位学生板演并讲解思路。）

  生10讲解：这里“这本书的总页数”是不变的。先求总页数：6×4=24（页）。再求几天读完：24÷8=3（天）。综合算式：6×4÷8=3（天）。检验：3×8=24（页），6×4=24（页），总页数相同。

  练习2（情境变式，理解深化）：

  “工人师傅修一条路。如果每天修6米，12天修完。现在要求8天修完，平均每天要修多少米？”

  师：这道题和例题有什么相同和不同？

  生11：相同点是都要先求出不变的总量，这里是这条路的“总长度”。不同点是，例题知道了新的单价求份数，这道题是知道了新的份数（天数），求新的每份数（每天修的米数）。

  师：分析得非常透彻！虽然问题所求变了，但“先归总”的思路完全一样。请大家独立解答。

  （学生解答：6×12=72（米），72÷8=9（米）。综合算式：6×12÷8=9（米）。）

  练习3（条件拓展，思维提升）：

  “幼儿园老师分配糖果。如果每人分5颗，可以分给12个小朋友。如果要想分给10个小朋友，每人分到的糖果一样多，每人能分几颗？还多几颗？”

  师：这道题增加了点小难度，出现了“余数”情况。大家想想，总糖果数变吗？该如何解答？

  （学生思考后尝试解答。）

  生12：总糖果数不变，先求：5×12=60（颗）。再分给10个小朋友：60÷10=6（颗）。没有余数。

  师：结果正好分完。如果老师把问题改成“分给8个小朋友”呢？

  生（快速计算）：60÷8=7（颗）……4（颗）。每人7颗，还多4颗。

  师：看，只要抓住“总量不变”这个核心，即使情况稍微复杂一点，我们也能顺利解决。

  【设计意图】练习设计遵循“循序渐进、螺旋上升”的原则。练习1是与例题结构完全相同的“模仿题”，旨在巩固基本模型和步骤。练习2是“反叙”变式，所求量发生变化，检验学生对模型本质的理解是否僵化。练习3引入“有余数除法”的现实情况，打破“正好分完”的理想化模式，拓展模型的适用边界，培养学生思维的灵活性和全面性。通过一组有梯度、有变化的练习，引导学生剥离具体情境的外衣，洞察其内在的“归总”结构，实现从“解一道题”到“会一类题”的跨越。

  第四阶段：联系对比，结构化模型——在系统梳理中升华认知（约5分钟）

  师：同学们，今天我们深入研究了“归总问题”。其实，在我们以前的学习中，还遇到过一种和它很像的问题，叫做“归一问题”。（课件呈现“归一问题”例题：买3个碗用18元，买8个同样的碗用多少钱？）请大家快速回顾，这两种问题在解题思路上有什么根本的不同？

  生13：“归一问题”是先求“每份数是多少”（即单一量），比如先求一个碗多少钱，再用乘法求新的总量。“归总问题”是先求“总数是多少”，再用除法求新的份数或每份数。

  师：精辟的概括！（课件出示对比图）

  归一问题：已知→求单一量（每份数）→再求新的总量。

  归总问题：已知→求总量→再求新的份数或每份数。

  师：它们的核心区别在于第一步求的是什么。但无论是“归一”还是“归总”，都是我们分析复杂数量关系的两大基本模型。它们就像数学王国里的两把宝剑，帮助我们解决生活中的许多实际问题。未来我们还会学习更复杂的问题，可能就需要把这两把宝剑结合起来使用。

  【设计意图】将新知“归总问题”与旧知“归一问题”进行系统性对比与关联，是促进认知结构化的关键一环。通过对比，使学生清晰区分两种模型的核心思路，避免混淆。同时，指出二者作为分析复合数量关系的基本模型地位，为学生构建一个有序、关联的知识网络，渗透结构化思想，为未来学习更复杂的复合应用题做好铺垫。

  第五阶段：总结延伸，应用模型——在展望生活中发展意识（约5分钟）

  师：通过这节课的探索，你有哪些收获和体会？

  生14：我学会了解决“归总问题”要先找出不变的总量，用乘法算出来，再用除法求答案。

  生15：我知道了解题要经过阅读、分析、解答、反思这几个步骤，画线段图很有用。

  生16：我觉得数学和生活联系真紧，买东西、读书、修路都能用到。

  师：同学们的收获真丰富！不仅学到了知识和方法，更感受到了数学的价值。课后，请同学们当一回“生活发现家”和“问题设计师”。

  1.（基础作业）完成练习册上相关的基础练习题。

  2.（实践作业）在生活中寻找一个可以用“归总问题”模型来解释或解决的实际事例，记录下来。（可以画图，可以文字描述）

  3.（创造作业）模仿今天的例题，自己创作一道“归总问题”并解答，明天和同学交换挑战。

  【设计意图】总结环节引导学生从知识、方法、情感多个维度进行自主反思与梳理，深化学习体验。作业设计体现分层与开放性，基础作业保障全体学生巩固双基；实践作业引导学生用数学眼光观察现实世界，强化应用意识；创造作业则激发学生的主动性与创造性，实现从“解题者”到“命题者”的角色转变，将学习延伸到课外，发展其数学核心素养。

  七、板书设计（预设）

  解决问题——先求总量，再解新题（归总问题）

  步骤：

  一、阅读与理解

   已知：每个6元，买6个。（单价1，份数1）

   问题：每个9元，买几个？（单价2，？份数2）

   关键：总钱数不变

  二、分析与解答

   1.先求总钱数（中间问题）：

    6×6=36（元）

   2.再求可以买几个：

    36÷9=4（个）

   综合算式：6×6÷9

      =36÷9

      =4（个）

  三、回顾与反思

   检验：9×4=36（元）✓

     6×6=36（元）✓

  （核心思路结构图）：

  已知（单价1，份数1）→先乘→总量（不变）→再除→所求（单价2或份数2）

  八、教学反思与特色说明（预设）

  （一）深度反思

  1.模型建构的渐