湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期开学学情数学自测卷（人教版A）（试卷及参考答案）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期开学学情自测卷数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果三角形满足一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（

）A．，， B．，， C．，， D．3，4，52．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（

）A． B． C． D．3．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4的概率为（

）A． B． C． D．4．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（

）

A．3 B． C． D．5．正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（

）．A．28 B． C． D．6．已知两个随机事件和，其中，则（

）A． B． C． D．7．如图，在棱长均相等的正三棱柱中，分别为线段的中点，点在上，若平面，则（

）

A． B． C． D．8．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，为的中点，点在正方形内（不含边界），则的取值范围为（

）

A． B． C． D．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．如图，在等边三角形中，.动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列结论正确的有（

）A．函数的最大值为12；B．函数的最小值为6；C．关于的方程最多有6个实数根；D．当时能取得最大值.10．已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（

）A． B．α为钝角C． D．点(tanθ，tanα)在第四象限11．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为；抽取男生20人，其平均数和方差分别为，则总样本平均数为__________；总样本的方差为__________.13．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围为_______．14．已知都是锐角，且，则________.解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是，且底面直径与母线长相等．(1)求圆柱的底面半径；(2)求三棱柱的体积．16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差17．如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上.(1)求码头点的坐标；(2)海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标.18．记斜的内角的对边分别为，已知，且．(1)求角；(2)为边的中点，若，求的面积；(3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围．19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量.(1)已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标；(2)在中，，借助研究成果，直接写出的最小值；(3)已知点，求的费马点的坐标.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期开学学情自测卷数学试题（参考答案）题号12345678910答案BCDCDDCDA