湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期开学学情数学自测卷（人教版A）（解析版）

湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期开学学情自测卷数学试题（解析版）题号12345678910答案BCDCDDCDACACD题号11答案AC1．B【分析】根据所给边长，分别求出各个三角形的角度，结合题意，分析即可得答案.【详解】选项A：因为，所以此三角形为等腰直角三角形，三个角分别为，不符合题意，故A错误；选项B：因为三边分别为，，，则此三角形为等腰三角形，作底边上的高，如图所示则，，所以，所以，所以，则，符合题意，故B正确；选项C：因为，所以此三角形为直角三角形，最小角正弦值为，即三个角分别为，不符合题意，故C错误；选项D：因为，所以此三角形为直角三角形，最小角的正弦值为，则最小角大于，最大角为，不符合题意，故D错误.故选：B2．C【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离.【详解】已知点和点，则.向量在上的投影长度.先求.再求.所以.根据勾股定理，点到直线的距离.先求.则.故选：C.3．D【分析】分情况讨论时对应的中位数，从而可求解.【详解】由题意，当时，8个点数的中位数为3.5；当时，8个点数的中位数为4；当时，8个点数的中位数为4.5，则8个点数的中位数为4的概率为.故选:D.4．C【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长.【详解】由题意可知：，则，所以.故选：C.5．D【分析】利用侧棱长结合勾股定理可求出棱台的高，结合台体体积公式，即可求出体积.【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，如图可得正四棱台的高，由棱台体积公式可得，故选：D.6．D【详解】，．7．C【分析】取中点，先证明平面，进而得到，然后分析出要使平面，只需.通过计算得到，进而在中求出，即可得解.【详解】

如图所示，取中点，连接.是正三棱柱，为线段的中点，，，平面，平面，.,平面，平面，平面，.要使平面，只须.设三棱柱的棱长为，则，.在中，，，.故选：C8．D【分析】利用题中条件设，将正方形的边长等长度求出，在直角三角形中，有，求出，再用向量的数量积公式求解即可.【详解】

为的中点，设，，，，，，，，过作于，过作于，过作于，，，，，，，，，，，，过作于，，，，又，，.故选：D9．AC【分析】写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解.【详解】分别在上运动时的函数解析式，，分别在上运动时的函数解析式，，分别在上运动时的函数解析式，，，由图象可得，方程最多有6个实数根，函数的最大值为12，最小值为3，当时能取得最小值故选：AC.10．ACD【分析】根据角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，先算出和，进而逐个选项判断即可【详解】角θ的终边经过点，，A正确．θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点，α为第二象限角，不一定为钝角，，B错误，C正确．因为tanθ=>0，，所以点(tanθ，tanα)在第四象限，D正确．故选：ACD11．AC【分析】根据向量的线性运算分别判断各选项.【详解】A选项：，A选项正确；B选项：，B选项错误；C选项：，C选项正确；D选项：，D选项错误；故选：AC.12．54/【分析】利用分层抽样的平均数与方差的计算公式代入计算，即可求解.【详解】设分别为总样本均值和方差，则，，故答案为：；.13．或【分析】转化为二次方程有解，利用判别式大于等于0求解【详解】若命题“”是真命题，则，解得或故答案为：或14．【分析】利用两角和的正切公式先求出，再求出，从而可求出的值.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以，故答案为：15．(1)3(2)【分析】（1）根据圆柱的体积公式求圆柱的底面半径.（2）根据三棱柱的体积公式求其体积.【详解】（1）设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为.由题意：.即圆柱的底面半径为3.（2）因为为等边三角形，且其外接圆半径为3，所以，又三棱柱的高为6，所以.16．(1)0.030(2)84(3)总平均数是62，总方差是23.【分析】（1）利用小矩形的面积之和为1，进行求解；（2）先判断第75百分位数在，然后列方程可求得结果；（3）由频率分布直方图中数据结合方差计算公式即可解答.【详解】（1）每组小矩形的面积之和为1，，；（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为m，由，得，故第75百分位数为84；（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，所以；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为17．(1)(2)【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON方程，再求解Q点坐标.（2）由直线AQ的方程求解B点坐标，进而求解AB的直线方程.由（1）知C为垂足，可联立直线AB与PC方程，即可求解C点坐标.【详解】（1）由已知得，，直线ON方程：设，由，得，.（2）直线AQ的方程为即由，解得，即则直线AB方程，点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C，因为，且，，，则直线PC方程为联立，解得轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标为.18．(1)(2)(3)【分析】（1）利用余弦定理，结合二倍角公式即可求出角的值；（2）通过向量平方关系，结合余弦定理求出的值，最后用三角形面积公式即可得出答案；（3）先在和中利用正弦定理将边长转化为三角函数形式，进而表示出，再利用三角函数的单调性确定的取值范围.【详解】（1）利用余弦定理化简，得，在斜中，得，，故上式可化为，，可得，利用二倍角公式可得，，，即，.（2）为边的中点，根据向量的平行四边形法则，得，两边同时平方得，，，得，由（1）可知，即，，由余弦定理得，解得，的面积为（3），在中，由正弦定理可得，，即，在中，由正弦定理可得，，即，四边形的内角和为，且，，在中，由余弦定理可得，，即，，，在中,，，，故的取值范围为.19．(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，代入公式可得，从而得解；（2）根据题意，旋转后为等边三角形，根据勾股定理可解；（3）根据题意，中，与关于轴对称，所以旋转后与关于轴对称，由图形的对称性知费马点必在轴上，由三点共线求解.【详解】（1），绕着点顺时针旋转，即逆时针旋转，代入公式，，所以，则点的坐标为；（2）由费马点的求法知：绕着点顺时针旋转，与重合，，所以为等边三角形，连接，的最小值为，由勾股定理得；（3）通过材料可以知道，内部有一点，连接，