湖南省长沙市2026-2027学年高二秋季开学学情数学自测卷（人教版A）（原卷版）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省长沙市2026-2027学年高二秋季开学学情自测卷数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．样本数据5，9，1，3，7的中位数是（

）A．1 B．3 C．5 D．72．已知空间向量，，若，则（

）A．3 B．2 C．1 D．03．已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则4．已知，则的值为（

）A． B． C． D．5．某人在一次考试中每门课得分如下：则数据的第百分位数为（

）A．87.5 B．85 C．90 D．1006．在三棱锥中，若，，，则（

）A． B．1 C． D．07．已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（

）A． B． C． D．8．已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为（

）A． B． C． D．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．下列命题不正确的是（

）A．过平面外一点有无数条直线与这个平面垂直B．过平面外一点有无数个平面与这个平面平行C．过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直D．过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行10．已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则（

）A． B．C． D．11．已知棱长为的正方体中，，满足，，其中，，则下列结论正确的是（

）A．当时，B．当时，平面C．，，有D．，，有三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．已知直线．若，则实数的值为________________．13．已知函数，则不等式的解集为______.14．若的两条中线长均为2，则面积的最大值为________．解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知，，与的夹角为．(1)求，的值；(2)若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．16．为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的100只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图．

(1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数；(2)求的值及实验组中体重增加量不大于的小白鼠的只数；(3)现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过”，事件表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过”，求，，并判断是否相互独立．17．如图，三棱柱中，，且P，Q分别为线段与的中点.已知平面.(1)证明：；(2)证明：为二面角的平面角；(3)若，且，求二面角的大小18．在平面直角坐标系xOy中，定义向量为函数的有序相伴向量.(1)设（），写出函数的有序相伴向量；(2)若的有序相伴向量为，若函数，，与直线有且仅有二个不同的交点，求实数k的取值范围；(3)若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.19．人教A版必修2教材第81页阐述一个数学定理——代数基本定理：，任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根，且在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.比如：.(1)写出方程的复数根；(2)下面我们探究1的立方根和四次方根的几何性质.我们