第84讲、成对数据的统计分析（学生版）2025高考数学一轮复习讲义

第84讲成对数据的统计分析

知识梳理

知识点一、变量间的相关关系

|、变量之间的相关关系

当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫

相关关系.由于相关关系的不确定性，在寻找变量之间相关关系的过程中，统计发挥着非

常重要的作用.我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其

中的规律，对它们的关系作出判断.

注意：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一

种确定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是

伴随关系.

2、散点图

将样本中的〃个数据点U，¥）（i=l,2,…描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点

图.根据散点图中点的分布可以直观地判断两个变量之间的关系.

（1）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关

关系，我们将它称为正相关，如图（1）所示：

（2）如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关

关系，我们将它称为负相关，如图（2）所示.

(I)(2)

3、相关系数

若相应于变量X的取值七，变量y的观测值为则变量X与），的相关系数

〃__/__

Z（七一X）（凹一）'）一〃町'

I』二I,I，通常用r来衡量x与y之间的线

性关系的强弱，「的范围为一IK/Wl.

（1）当，,0时，表示两个变量正相关；当r＜0时，表示两个变量负相关.

（2）卜|越接近1,表示两个变量的线性相关性越强；卜|越接近0,表示两个变量间几

乎不存在线性相关关系.当仍=1时，所有数据点都在一条直线上.

（3）通常当吊＞0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系.

知识点二、线性回归

1、线性回归

线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法.

对于一组具有线性相关关系的数据（内，），1）,（心，＞2），…，（心，y”），其回归方程y=+〃

的求法为

”__〃__

2（七一幻（凹一＞‘）ZF）-

------——=-4......—

E（^-A）2XV-HX2

i=li=1

a=y-bx

-i«_i«——

其中，x=~y[x（,v=—»（X，y）称为样本点的中心.

〃.-1〃

2、残差分析

对于预报变量y,通过观测得到的数据称为观测值通过I口I归方程得到的y称为预

测值，观测值减去预测值等于残差，自称为相应于点（4%）的残差，即有自=丫-a.残

差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始

数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.

（1）残差图

通过残差分析，残差点（看心）比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较

合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高：反之，不合适.

（2）通过残差平方和。=£；（/•-少了分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型

1-1

的拟合效果越好•；反之，不合适.

（3）相关指数

-1）2

用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：R2=I-^—.

力（乂-a

斤越接近于1,说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好.

知识点三、非线性回归

解答非线性拟合问题，要先根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，通过换

元将陌生的非线性回归方程化归转化为我们熟悉的线性回归方程.

求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归

方程系数，还原后即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要

细心，避免计算错误.

1、建立非线性回归模型的基本步骤：

（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；

（2）画确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非

线性关系）；

（3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据早非线性关系，一般诜用

反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、索函数模型等）；

（4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；

（5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；

（6）消去新元，得到非线性回归方程；

（7）得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型

是否合适等.

知识点四、独立性检验

I、分类变量和列联表

（1）分类变量：

变量的不同"值''表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.

（2）列联表:

①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表.

②2x2列联表.

一般地，假设有两个分类变量X和匕它们的取值分别为｛演，9｝和｛,，%｝,其样

本领数列联表（称为2x2列联表）为

总计

王aba+b

Cdc+d

总计a+cb+dn=a+b+c+d

从2x2列表中，依据‘一与二一的值可直观得出结论：两个变量是否有关系.

a+bc-\-d

2、等高条形图

(1)等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等

高条形图表示列联表数据的频率特征.

(2)观察等高条形图发现，—马上相差很大，就判断两个分类变量之间有关系.

a+bc+a

3、独立性检验

计算随机变量/=—吗一次)，_利用/的取值推断分类变量*和y是否

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)

独立的方法称为Z2独立性检验.

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【解题方法总结】

常见的非线性回归模型

⑴指数函数型(。＞0且1,oO)

两边取自然对数，=即lny=Inc+xlno,

令原方程变为y=inc+x'lna,然后按线性回归模型求出Ina,Inc.

[x=x

(2)对数函数型)，=01nx+a

令,原方程变为y'=公'+a,然后按线性回归模型求出入a.

x=Inx

(3)基函数型用=八"

两边取常用对数，lgy=lg("),即Igy=〃lgx+lga,

y'=igy

令原方程变为y'=/W+lga,然后按线性回归模型求出〃，Iga.

y-igx

（4）二次函数型

令［,='；,原方程变为y=〃x'+。，然后按线性回归模型求出人,。

（5）反比例函数型j=a+2型

x

令《，1,原方程变为），'=6'+*然后按线件向归模型求出〃.。

必考题型全归纳

题型一：变量间的相关关系

例1.（2024・河北•高三校联考期末）下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精

度最局的是（）

「残差八残差

40040

20020

A.0B.

0

2.4-6\8101214^1,)24.6.810-1214观测

-200・,时间-20,•二时间

-400-40

「残差八残差

10004

5002

D.

C.00

2.4.6810L21,4疝则2.4.68101214观测

-500

・二,.时间-2**时间

-1000-4

例2.（2024・天津蓟州•高三校考开学考试）对两个变量明进行线性相关检验，得线性相

关系数4=0.8995,对两人变量〃，I，进行线性相关检验，得线性相关系数弓=-0.9568,

则下列判断正确的是（）

A.变量x与），正相关.变量〃与丫负相关,变量x与的线性相关性较强

B.变量x与丁负相关,变量〃与v正相关,变量X与y的线性相关性较强

C.变量x与丁正相关,变量〃与n负相关,变量〃与n的线性相关性较强

D.变量x与）'负相关,变量〃与1正相关,变量〃与I，的线性相关性较强

例3.（2024・宁夏吴忠・高三盐池高级中学校考阶段练习）在如图所示的散点图中，若去掉

点/，，则下列说法正确的是（）

->

oX

A.样本相关系数，•变大

B.变量x与变量），的相关程度变弱

C.变量X与变量y呈王相关

D.变量X与变量y的相关程度变强

变式1.（2024.四川成都.高三统考阶段练习）已知建筑地基沉降预测对于保证施工安全，

实现信息化监控有着重要意义.某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间

的变化趋势，并用相关指数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果.相关指数

越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越

好.依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（）

A.

相关指数误差平方和均方根值

0.9498.4910.499

B.

相关指数误差平方和均方根值

0.9334.1790.436

C.

相关指数误差平方和均方根值

0.9971.7010.141

D.

相关指数误差平方和均方根值

0.9972.8990.326

变式2.（2024.高三课时练习）甲、乙、丙、丁四位同学各自对，A,B两变量的线性相关

性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：

甲乙丙T

r0.820.780.690.85

m106115124103

则能体现A，8两变量有更强的线性相关性的是（）

A.甲B.乙C.丙D.7

变式3.（2024•河北石家庄•统考三模）观察下列四幅残差图，满足一元线性回归模型中对

随机误差的假定的是（）

f残差

100

50

A.o

-50

-100

02040608010。观测时间

B.

4

3

2

1

0

1

-32

-4

200t残差

150

100

50

0

-50

-100

-150

・200i............................................——►

0102030405060708090100观测时间

变式*（2024.全国•高三专题练习）甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相

关试验，并分别计算出相关系数小则线性相关程度最高的是（）

甲乙丙T

r0.870.910.580.83

A.甲B.乙C.丙D.T

变式5.（2024.全国•高三专题练习）给出下列有关线性回归分析的四个命题:

①线性回归直线未必过样本数据点的中心（只用；

②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；

③当相关系数厂＞0时，两个变量正相关；

④如果两个变量的相关性越强，则相关系数广就越接近于1.

其中真命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解题方法总结】

判定两个变量相关性的方法

（1）画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到

右下角，两个变量负相关.

（2）样本相关系数：当/>0时，正相关；当X0时，负相关；m越接近于1,相关性越

强.

（3）经验回归方程：当方>0时，正相关；当层0时，负相关.

题型二：一元线性回归模型

例4.（2024・天津蓟州•高三校考开学考试）为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的

繁殖情况，得到如下实验数据：

天数M天）3456

繁殖个数N千个）2.5344.5

由最小二乘法得y与X的线性回归方程为=0.7工+4,则当x=7时，繁殖个数》的预测值

为（）

A.4.9B.5.25C.5.95D.6.15

例5.（2024.湖南长沙•高三长郡中学校联考阶段练习）某社区为了丰富退休人员的业余文

化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动卜表是对2018年以来近5年

该社区退休人员的年人均借阅展的数据统计：

年份20182019202020212022

年份代码x12345

年人均借阅量）’（册）>1>2162228

（参考数据：£E=90）通过分析散点图的特征后，年人均借阅量V关于年份代码x的问

J-!

归分析模型为），=5x+，〃，则2024年的年人均借阅量约为（）

A.31B.32C.33D.34

例6.（2024.辽宁.辽宁实验中学校考模拟预测）己知羽），的对应值如卜.表所示：

X02468

y1加+12m+l3/7/+311

若y与x线性相关，且回归直线方程为y=L6x+0.6,则〃?=（）

A.2B.3C.4D.5

变式6.（2024.广西南宁・南宁二中校联考模拟预测）某单位在当地定点帮扶某村种植一种

草莓，并把这种原本露天种植的草莓搬到了大棚里，获得了很好的经济效低.根据资料显

示，产出的草莓的箱数x（单位：箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：

X102030406080

yy工%X>6

⑴根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出线性回归方程

y=bx+a（a,A用分数表示）

⑵某农户种植的草莓主要以300元/箱的价格给当地大型商超供货，多余的草莓全部以200

元/箱的价格销售给当地小商贩.据统计，往年1月份当地大型商超草莓的需求量为50

箱、100箱、150箱、200箱的概率分别为!，；，!，根据回归方程以及往年商超草

莓的需求情况进行预测，求今年1月份农户草莓的种植量为200箱时所获得的利润情

况.（最后结果精确到个位）

附：力（苦-工心-田=790,£>=54,在线性回归直线方程北良+4中

，二1r=1

Af（%-可（y-田.

B=-.---------,a=y-bx.

£（再-工了

i=l

变式7.（2024•江西•高三统考开学考试）某新能源汽车销售部对今年1月至7月的销售量

进行统计与分析，因不慎丢失一些数据，现整理出如下统计表与一些分析数据：

月份1月2月3月4月5月6月7月

月份代号”1234567

销售量y（单位：万辆）15.6mns37.739.644.5

其中5=31.2.

⑴若〃?，〃，s成递增的等差数列，求从7个月的销售量中任取1个，月销售量不高于27

万辆的概率；

⑵若£（凹-»=670.48,x与），的样本相关系数r=0.99,求）'关于x的线性回归方程

/=1

y=bx+a,并预测今年8月份的销售量（A精确到0.1）.

,线性回归方程亍=加+4中斜率和截距的最小二

乘估计公式分别为人=『-------;-,a=y-bx.

/-1

参考数据：将之2.65,1670.48=25.89.

变式8.（2024.四川成都.高三石室中学校考开学考试）已知某绿豆新品种发芽的适宜温度

在6C~22c之间，一农学实验室研究人员为研究温度x（°C）与绿豆新品种发芽数y

（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14c的温度环境下进

行实验，得到如下散点图：

其中亍=24,Z（x,7）（y・y）=70,E中-7）2=176.

i=lr=l

（1）运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合）'与X的关系？

⑵求出），关于x的线性回归方程¥=队+》，并预测在19℃的温度下，种子的发芽的颗数.

2（七一幻（A一），）

参考公式：相关系数r=।J"-----=,回归直线方程+=加+令，其中

忱（苦-74（y-才

11=1/=!

/T

工（%一祖升-了）

。二『----Z——，参考数据：V77«8.77.

1=1

变式9.（2024.安徽亳州.蒙城第一中学校联考模拟预测）为调查某地区植被覆盖面积火（单

位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积花分为400个区块，从

中随机抽取40个区块，得到样本数据（4另）（，=1,2,,40）,部分数据如下：

X・.•2.73.63.23.9・.•

y・..50.663.752.154.3・..

404040,40

经计算得：1>,=160,Vy-2400,ZG-D=160,^（A;-J）（.V/-y）=1280.

/=l*=1r=lr=l

⑴利用最小二乘估计建立），关于X的线性回归方程；

（2）该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一

坐标系下，横坐标x，纵坐标），的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致.设前

者与后者的斜率分别为K，女2,比较占，心的大小关系，并证明.

附：），关于K的回归方程），=々+加中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

2%»一儿7

6=亘------------

r=l

【解题方法总结】

求经验回归方程的步骤

彳十算出工,为自",苫再凹或自（即一积北一》），

（步骤二H

2（%-7）2的值

01

1=1

利用公式计算系数工时

写出经脸回归方程

题型三：非线性回归B

例7.（2024.湖南•校联考模拟预测）若需要刻画预报变量库和解释变量X的相关关系，目

从已知数据中知道预报变量w随着解释变量x的增大而减小，并且随着解释变量x的增

大，预报变量卬大致趋于一个确定的值，为拟合卬和x之间的关系，应使用以下回归方程

中的（〃＞（）,e为自然对数的底数）（）

A.w=bx+aB.w=-b\nx+aC.w=-b\/x+aD.w=bc~x+a

例8.（2024.全国•高三专题练习）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计

算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模

），与年份代码工的关系可•以用模型丁=9十'（其中e为自然对数的底数）拟合，设

z=ln），，得到数据统计表如下：

年份2018年2019年2020年2021年2022年

年份代码X12345

云计算市场规模w千万元7.4112036.666.7

z=\ny22.433.64

由上表可得经验回归方程z=0.52x+a,则2025年该科技公司云计算市场规模），的估计值

为（）

508566J265

A.eB.e'C.eD.e-

例9.（多选题）（2024.福建厦门.厦门一中校考三模）在对具有相关关系的两个变量进行回

归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引

入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同

学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则

其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（）

2X~C\

A.y=+cxB.y=-------

2X+C]

x+Ci

C.y=c}+ln（x+c2）D.y=c1e

变式10.（2024.全国•高三专题练习）已知变量的关系可以用模型），=依如拟合，设

z=ln.y.其变换后得到一绢数据如下.由卜表可得线性I可归方程z=3x+*则々=（）

变式11.（2024・全国•高三专题练习）某校课外学习小组研究某作物种子的发芽率》和温度

x（单位：C）的关系，由实验数据得到如图所示的散点图.由此散点图判断，最适宜作为

B.y=a-ibx2(b>0)

C.y=a+/)exD.y=a+/?lnx

变式12.（2024.全国•高二专题练习）兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统

计,得到杨梅销售价格（单位：。元/千克）与上市时间f（单位：天）的数据如下表所

示:

时间”（单位：天）102070

销售价格。（单位：元/千克）10050100

根据上表数据，从F列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格。与上市时间，的变化关

系：Q=〃+〃,Q=〃2+〃/+c,Q=a/',Q=41ogJ.利用你选取的函数模型，在以下四个日

期中，杨梅销售价格最低的日期为（）

A.6月5日B.6月15日C.6月25日D.7月5日

变式13.（2024.四川泸州高三四川省泸县第四中学校考开学考试）抗体药物的研发是生物

技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗

休药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与休内抗休数量的数

据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物

摄入量为x（单位：mg）,体内抗体数量为），（单位：AU/mL）.

10101010

Zz

打Zja

r=lr=1r-l1-1

29.2121634.4

九

12■

10-

8-

6-•

4

2

02468101214161820222426x

⑴根据经验，我们选择产。，作为体内抗体数量），关于抗体药物摄入量x的回归方程，将

y=cx"两边取对数，得l"=lnc+dlnx,可以看出Inx与In），具有线性相关关系，试根据

参考数据建立）'关于x的回归方程，并预测抗体药物摄入量为25mg时，体内抗体数量》的

值；

⑵经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布

N:（0.48,（MD?）,那这种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为多少？

附：①对于一组数据（即k）（i=l,2,L,10）,其回归直线”=+〃的斜率和截距的最小二乘

n_

估计分别为母二三—，a=v-pit;

一加

r=l

②若随机变量z〜N（〃”），则有-b<Zv〃+bh0.6826,

-2bvZ<〃+2。）«G.9544,P（〃-3bvZv〃+3cr）=0.9974:

③取心2.7.

变式14.（2024•江西赣州商三校考阶段练习）为了研究某种细菌随天数”变化的繁殖个数

（1）在图中作出繁殖个数了关于天数x变化的散点图，并由散点图判断>=去+2（〃&为常

数）与21坐（qg为常数，且0>°勺工0）哪一个适宜作为繁殖个数）'关于天数x变

化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

⑵对于非线性回归方程$，=。弁6（。,。2为常数，月.0>0勺/0）,令z=lny,可以得到繁

殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值.

_J2之（七-可（凹-反）

X>'ZZU)ZG一元)(z-)

1=1/-I

3.5062.833.5317.50596.5712.09

（i）证明：“对于专线性回归方程§，=c/x,令z=lny,可以得到繁殖个数的对数z关于

天数x具有线性关系天数=历:+伉63为常数）”；

（ii）根据（i）的判断结果及表中数据，建立）'关于1的回归方程（系数保留2位小

数）.

附：对于一组数据（％#）（%%），•，（%匕），其回归直线方程/=及，+我的斜率和截距的

£（〃「））&一可

最小二乘估计分别为8=上^----------，&…丽.

6（…『

1=1

变式15.（2024•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）在正常生产条件下，根据经验，

可以认为化肥的有效利用率近似服从正态分布N（0.54.0.022）,而化肥施肥量因农作物的种

类不同每亩也存在差异.

（1）假设生产条件正常，记X表示化肥的有效利用率，求P（XN0.56）；

（2）课题组为研究每亩化肥施用量与某农作物亩产量之间的关系，收集了10组数据，并对

这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值.其中每亩化肥施用量

为x（单位：公斤），粮食亩产量为（单位：百公斤）

A

10■

8

6

4

2

O24681012141618202224262830x

参考数据:

1010101010101010

口

;11-1

65091.552.51478.630.5151546.5

^=lnx.,zi=ln*(i=l,2，…，10).

（i）根据散点图判断，y=a+bx与），=cd,哪一个适宜作为该农作物亩产量）'关于每亩化

肥施用量x的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）；

（ii）根据（i）的判断结果及表中数据，建立）'关于x的同归方程；并预测每亩化肥施用

量为27公斤时,粮食亩产量丁的值.（e*2.7）

附：①对于一组数据（%片）0=1,2,3,…，〃），其回归直线0=瓦+6的斜率和截距的

-tuiv

最小二乘估计分别为分=三--------，a=v-plix

%：-疝2

1=1

②若随机变量X）,贝iJP（〃一bvXv〃+b）。0.6827,

P（/t-2（y<Xv〃+2b）«0.9545.

变式16.（2024・重庆•高三校联考开学考试）某公司为了解年研发资金投入量x（单位:亿

元）对年销售额y（单位:亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量xi和年销存额

W的数据，进行了对比分析，建立了两个模型:①②?=/%其中夕，仇

九，均为常数，e为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.令

%=芭2,匕=Iny,（i•=1,2,3,…,12）,经计算得如下数据•：

ZU-^)2

XyuV

1=11=1

20667724604.20

Z(v,-v)2

i=\

312502153.0814

(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?

(2)(i)根据分析及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(ii)若下一年销售额1y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?

附:①相关系数〃=-7=-------------------，回归直与=3十为中公式分别为

心(七-可与力-才

2(七一》)(»-9)2%,一〃文.

右=上一-----------二三-------»a=y-bx；

宜(七-可2-nx

i«li-l

②参考数据：308=4x77.廊a9.4868,e44998«90.

变式17.(2024.江苏镇江江苏省镇江中学校考三模)经观测，长江中某鱼类的产卵数.V与

温度x有关，现将收集到的温度工和产卵数y(，=i,2,,10)的1()组观测数据作了初步处

理.，得到如图的散点图及一些统计量表.

10101010JO,

AiXN

i=!/=1i=l(=1

36054.5136044384

10101010

"-7)收-月SU-^)(x-y)

i=1i=lr=lZ-l

3588326430

_]io

表中4=«，z,=In=—^2,

IU；=|

八

350-••

300­

250-

200-*

150-*

100-.

50-•

・I•」•1•」II」1»

°202224262830323436x

⑴根据散点图判断，y=。+bx,y=〃+与y=。声串哪一个适宜作为了与x之间的回归方

程模型并求出〉'关于汇回口方程；（给出判断即可，不必说明理由）

⑵某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中

共有8个鱼卵，其中“死卯”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼

卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期匆.

附：对于一组数据（%,匕）,（〃2,匕）,（〃"‘匕），其回归直线丫=。+4〃的斜率和截距的最小二

£（4-五）（匕-万）

乘估计分别为夕=-----------、a=v-Pu.

1=1

变式18.（2024.广西南宁南宁三中校考一模）数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，

随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载

音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1-5.

年份代码工12345

车载音乐市场规模）’2.83.97.312.017.0

⑴由上表数据知，可用指数函数模型＞，=。•"拟合尸与h的关系，请建立了关于x的回归方

程;

⑵根据上述数据求得关于x的回归方程后，预测2024年的中国车载音乐市场规模.

参考数据:

05240.4727

VeVI.6

1=1

1.9433.821.71.626.84

一1《、

其中匕=lny,v="Xv/.

31=1

参考公式：对于一组数据（％,"）,（%彩），L,（%匕）其回归直线y=a+〃”的斜率和截

Z14M-nu-v

z-l_______________"-"-

距的最小二乘法估计公式分别为尸二~一,，a=v­pu-

\，2一'

-nu

i=i

变式19.（2024•安徽合肥合肥市第八中学校考模拟预测）当前移动网络已融入社会生活的

方方面面，深刻改变了人们的沟通、交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时

随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需

求，而5G作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为

用户提供增强现实、虚拟现实、超高清（3D）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要

的是还可以解决人与物、物与物的通信问题，从而满足移动医疗、车联网、智能家居、工业控

制、环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G网络的需求，中国电信在某地

区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费》（单位：元）与购买人数），（单

位：万人）的数据如下表：

套餐ABCDEF

月资费x（元）384858687888

购买人数y（万人）16.818.820.722.424.025.5

对数据作初步的处理，相关统计量的值如卜.表:

（1）根据所给数据，求出y关于x的I可归方程；

（2）已知流量套餐受关注度通过指标小）=土包来测定，当丁（小俘，当时相应的流量

套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐''.现有一家四口从这六款套餐中，购买不

同的四款各自使用.记四人中使用“主打套督''的人数为X,求随机变量X的分布列和期望.

附：对于一组数据（4g）,小，？），…，（匕，4），其回归方程。=加+。的斜率和截距的最小

2（斗一方）•（例—而）

二乘估计值分别为5=上―-----------,a=（d-bv.

r-1

【解题方法总结】

换无法变成一元线性回归模型

题型四：列联表与独立性检验

例10.（2024・广东佛山・华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）四川省将从2022年秋

季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中力”为首选科

目，即物理与历史二选一某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调直，

制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（）

A.样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数

B.样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择方史意愿的人数

C.样本中选择物理学科的人数较多

D.样本中男生人数少于女生人数

例11.（2024・全国•高三专题练习）在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7选3的3+3

模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术

（含信息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联

表二（单位:人）

选物理不选物理总计

男生340110450

女生140210350

总计480320800

表一

选生物不选生物总计

男生150300450

女生150200350

总计300500800

表二

试根据小概率值。=0.005的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（)

,n(ad-bc)2..八/，、\

附才二(»)(c+d)〃="++=

a0.150.100.050.0250.010.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.选物理与性别有美，选生物与性别有关

B.选物理与性别无关，选生物与性别有关

C.选物理与性别有关，选生物与性别无关

D.选物理与性别无关，选生物与性别无关

例12.（2024•全国•高三专题练习）通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时

是否看营养说明，得知有!的男大学生“不看”，有:的女大学生"不看”，若有99%的把握

认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为（）

A.150B.170C.240D.175

变式20.（2024.全国•高三专题练习）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜

欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为5"«〃?eN'）人，

43

男生中喜欢短视频的人数占男生人数的彳，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的零假

JJ

设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据a=0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别

不独立，则”的最小值为（）

附.______〃(〃心)2________,附表.

Z(〃+力)(c+d)(a+c)伍+d)

a0.050.01

Xa3.8416.635

A.7B.8C.9D.10

变式21.（2024・全国•高三专题练习）在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试

成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得

到如下2x2列联表：

优秀非优秀合计

甲班人数50

乙班人数20

合计30110

n(ad-bc)2

附：z2=其中n=a+b+c+d.

(a+/?)(c+4)(〃+(?)(/?+4)

a0.050.010.005().(X)I

3.8416.6357.87910.828

根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（）

A.95%B.99.5%C.99.9%D.99%

变式22.（2024.全国•高三专题练习）2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地

教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调直学生对网络课程的

热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课

程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网

络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（）

附：7——\：叱/"-其中〃+〃+c+d.

a0.10.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

A.130B.190C.240D.250

变式23.（2024・全国•高三专题练习）观察下列各图，其中两个分类变量x,y之间关系最

强的是（）

A.B.

D.

变式24.(2024.重庆沙坪坝.高三重庆八中校考开学考试)2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有

32支球队参加，欧洲球队有13支：其中有5支欧洲球队闯入8强.比赛进入淘汰赛阶段

后，必须要分出胜负.淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负；比赛结束，

若比分相同.则进入30分钟的加时赛.在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相

同，就要通过点球大战来分出最后的胜负.点球大战分为2个阶段，第一阶段：共5轮，双

方每轮各派1名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准，5轮合计踢进