第三节线性方程组

第三章线性方程组

一.内容概述

给定一个一般的加X〃线性方程组，它有解、无解、有多少解，完全由其系数矩阵与增

广矩阵的秩决定，亦即由行列向量的线性关系所决定。另外，关于线性方程组的求解方式、

解的结构的讨论，亦与线性关系有关，因此线性相关性是线性方程组的理论基础，因此咱们

的讨论就从这里开始V

1.向量的线性相关性

1）〃维向量及其线性运算

2）Gpn,若方程组2a2+…+=°，在P中有非

零解，则称四，22,…，氏线性相关，不然称它们线性无关。

3）①a线性相关=。=0;。线性无关oawo

②"线性相关=它们的对应分量成比例；a,P线性无关=它们的对应分量

不成比例

4）设%=（即,％2,…,明洗JIZ,…,〃）则。|,。2,…,火线性相关O同二0；

%%。“线性无关o1%卜0

5）部份相关，整体相关；整体无关，部份无关。

6）设/=（町，《2,…，%J»=12…，s）fi,=（%,《2,…，％"也，…也）

（"1,2,…,s）若即%，…，见线性无关，则凡夕2,…，人也线性无关。

7）①设夕吗,%，…，。—〃",存在k、,…,k—p,使

p=k}a{+k2a2+---+kmam,则称夕可由名,…,a,”线性表出（或线性表示）。

②设%为向量组（I），一，夕2,…应为向量组（II），若组（【）中

任一生都可由组（H）线性表出，则称组（I）可由组（n）线性表出；若组（I）

与组（II）能够彼此线性表出，则称组（I）与组（H）等价。

③若…a”线性无关，而%,线性相关，则£可由

，线性表示,且表示法唯一。

8）极大线性尢关组，向量组的秩，两个等价的向量组有相同的秩。

2.线性方程组

设给定了数域〃上的一个〃7X〃线性方程组AX=b⑴其中A为m行〃列的矩阵,

伊〕

b、

b=j。4X=0为（4Y=〃）导出方程组。

3m>

1）非齐次线性方程组⑴有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同

的秩

2）方程组⑴如有解，则

i）当R（Z）=M〃时，有无穷多解;

ii）当M4）=r=〃时，有唯一解。

3）齐次线性方程组⑵有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量

的个数，即可彳）<〃。

4）方程个数〃7与未知量个数〃相等的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件

是它的系数行列式等于零。

5）任何一个有非零解的齐次线性方程组必有基础解系，且基础解系所含解的个数

为〃-R（4）即为自由未知量的个数。必然要会求已知齐次线性方程组的基础解

系。

6）若方程组⑴有解，则⑴的一个解与它的导出方程组的一个解的和是⑴的一个

解。⑴的任意解都能够写成⑴的一个特解和⑵的一个解的和。若&，虞，…&1

为AX=O的一个基础解系，则/X=力的全数解可表示为

7—+嗨+・一+1…其中为为方程组⑴的一个解。

二.例题选讲

例1.向量£可由%,。2,…，火线性表示，试证：表示法是唯一的充分必要条件是

四,。2,…，4,线性无关。（哈工大）

证：必要性由题设知0=k]%+k2a2+…+kQr①

用反证法设%,。2,…,凡线性相关，则存在一组不全为零的数/112,…，使

/]«1+12a2+…+lrar=0②

①+②得尸=（自+）•+（&+/2,2+…+®+/,M由于4,，2,,不全为

零,如此就取得了P的两种不同的表示法，这与题设矛盾微％线性无关。

充分性设夕有两种不同的表示法P=k}a]+k2a2+•••+《巴

/3=l\CC[++…+

其中尢/不全相等，则有依T腐+他一，2卜2+…+化一/,'=0

由于先一/j（i=l,2,…,尸）不全为零，故即%，…，见线性相关，矛盾，故表示法唯

O

例2.设向量组%,%,…,火线性无关，而％，尸，/线性相关，

试证：或勿与7至少有一个能够被％,见，…,区.线性表示；或向量组

a、。）,…、a,与向量组%,%：…，%•，/等价。（西南交通大学）

证：因为向量组.线性无关，而%,%，一，%，£，7线性相关，所以存在一

组不全为零的数占，42,…，勺，/，机使得占%+为a2+…+勺%+3+my=0（1）其

中/,〃？不全为零（不然%,。2,…，火线性相关）故/与"7至少有一个不为零。

若/^o,m=0,则①式变成k,ax+--+k,.ar+1/3=0这时

kkk

0=----j4----"l~^2------~l~^r即£可由4,。2,…,口广线性表示；

若/=0,用工0同理可证7可由生,线性表示；

若/工0,加工。则由①式知，尸可由四,%，…,%,7线性表示，7可由

…,火,万线性表示

故向量组%,%,…,田，少与向量组能够彼此线性表示，也即二者等价。

例3.设向量组%,见，…,见线性无关，试问向量组

+%，%+口3,…，+%，%+%是不是线性相关？并证明你

的结论。（北京大学）

答：结论是：当〃为奇数时，向量组4+。2，。2+。3,…，+2”,。“+四线性无关；

当〃为偶数对，向量组%+%，%+%，…，%-1+%，%+%线性相关。

证明如下：令kx(a,+%)+k2(%+%)+…++%)+♦“3〃+aJ=0

于是，有（k、+kn）a}+（k1+&）%+•••+（左i+左“）%=0

由于％,线性无关，所以，得

%+0k2+…+熊=0

kl+k2=：0

*2+%3=°系数行列式为

kn.-l+kn=0

10001

11000

01100二］2当〃为奇数时

D=......一［。当〃为偶数时

00010

00011

即当〃为奇数时，只有零解，故向量组%+%，%+%，…，％T+4，%+%线性无关;

当〃为偶数时，有非零解，故向量组4+。2，。2+%，…，+%线性—关。

例4.设名,%，…，％是齐次线性方程组力工=0的基础解系，试问

+。2，。2+。3,…，+a,，a.+a\是不是也是=0的一个基

础解系？

解：由基础解系的概念知四,。?，…，巴是线性方程组4丫=0的线性无关的解，由于齐次线

性方程组的解的线性组合都是解，所以％+a2,a2+%，…，％t+%,%+%都是

AX=0的解。再利用例3的结论得知，当，•为奇数时，

%+。2，。2+a»…,+%线性无关，也是力x=0的一个基础解系；当尸为偶

数时，生+々2，。2+13,…，+%•，%■+%线性相关，不是4V=0的基础解系。

例5.设叼％,….为线性方程组4c=0的一个基础解系，

■,夕2=他+，2。3，…，仇2al其中

八也为实常数,试问/p/2知足什么关系时，回，/2,乩也是力工二0

的一个基础解系？（2001年高数■-）试题）

解：由于4（i=l,2,…㈤为%,%，…，4的线性组合，所以四，八，…，氏均为几=0的

解设k\B\+攵2色+…+=0即

UR+t2ksyx[+&勺+4%2卜2+…+”2《T+，/sks=0

由于a”％，…，见线性无关，因此，有

00…0t2

他+t2ks=0t2ti0…00

0tt…00

2112（*）其系数行列式为。=2}r+（T也

♦•♦♦・♦•♦・・♦・•••

12ks7+f/s=。000…r,0

000…t2八

所以，当/：+（-1）川4/0即当S为偶数时，匕工±4。5为奇数时，4工一右时，方程组（*）

只有零解，从而四,人,…，氏线性无关。现在儿,人,…,/V也是4丫=0的一个基础解系。

例6.设向量夕可由向量组％,%，…，％・线性表示，但不能由向量组

四,。2,…,。一1线性表示。证明：％不能由向量组％,%，…，a--i线

性表示。（湖北大学2000年）

证：用反证法若a,.=左1%+A%+一，+左一1%-[①又已知

P=3+，2%+…+lr-\ar-\+I%②

将①代入②得/?=（/1+*[/，）%+（/2+kr）a24-----h+A,./r）。一1

这与月不能由%,%，…，线性表示的假设矛盾，所以证得?不能由%,%，…，线

性表示。

例7.设〃]=%+%+•••+%，/2=%

=%+…+a-+«•,4=%+。，+-・+01，则

巴之秩s与四，鱼，…，用的秩，的关系是。（武汉

大学2000年）

答：s=i.因为向量组四,见，…,%与向量组A，42,…,凡等价。等价的向量组有相同的

秩，故s=z。

例8.设…，火是一组〃维向量，其秩为厂：£|，人，…，夕,是另一组〃

维向量，其秩为S,证明：｛见+,/，=1,2,…,z=…的秩

不超过，•+$与〃的最小值。

证：1）若〃《尸+s,因〃+1个〃维向量必线性相关，则结论显然成立。

2）若〃>，•+5,不失去一般性，假设两组向量的极大无关组别离为《,。2,…,为

与四,夕2「：人则向量组履+夕/，=1，2「,4/=1,2,・・・,/｝中任意向量都

可由，•十S个向量％,%，•••，巴，一，尸2,…，仇线性表示，故此向量组的秩必

不超过尸+S,故结论成立。

例9.设向量组%,出，…①的秩为厂，在向量组①中任取加个向量%],%2,…，%力②

证明：向量组②的秩2尸+〃?一$。

证：设向量组①中去掉向量组②后剩下的向量为。小a,2,…，a/s.E③即向量组②与③和起

来就是向量组①。于是，可得知

向量组①的秩〈向量组②的秩+向量组③的秩,而向量组③的秩〃7故

向量组②的秩2向量组①的秩-向量组③的秩Nr-（s-m）=r+m-s。

例10.证明〃个n维向量四,出，…，%线性无关的充分必要条件是行列式

4%

工0。其中为向量%的转置向量。（厦门大学）

ana„

因为

。=（邸，。；，…&）/0，%，…,…"辰％，…,…,

由此可知，由此0u>I%,%,…"/=0u>“线性无关。

例II.设/（x）,力（工），…，<3是〃个在L，”上持续的函数，试证

a]la\2…a\n

fM，人⑹…，工（叉）线性相关=的%…%=0其中

・♦••••

an\an2…ann

%=[,（”）/；（，）&"J"12…，〃°（清华大学）

证:=>”若力（6,人（%）,…，/卜）线性相关,则存在一组不为零的数小左2,…凡使

fieh(n

得2%/(x)=0xe[a,b]则对于1W/W〃有£之尤〃])力(.小心)二。即

f=l0\r=I/

刀

Z3j=0y=l,2,---,n

J=1

上面关于左的齐次线性方程组有非零解，故其系数行列式瓦|二0

“u”若行列式|&卜0,则存在一组不全为零的数勺也，…也使tX%=。

/=1

J=L2,…，n即/j：£(”(双&)=七左/(x"，(xM(x)=0

J=12…,〃记g(x)=£〃/(x)即有fg(x)/)(x)&=0

1=1

1若g(x)=。，即g>J(x)=0知/(x)，人⑺,…，<(x)线性相关。

)=1

2若g(X)wO,设忆是工⑴，?⑺，…，£,(%)生成的线性空间，若工(工)，

力⑴，…，/“(X)线性无关，则它们是I的一个基，又g(x)是'的非零元素,且它与P

的基中每一个元都正交，这是不可能的。

综上得知，(x),力G)，…，，(4)线性相关。

例12.已知加个向量四,。2,…,区”线性相关，但其中任意〃7-1个都线性无关，证明：

(1)若是〃1%+%2a2+..•+〃,”％1=0,则这些41也,…

或全为0,或全不为0；

(2)若是存在两个等式。4+%2a2+…+£»%»=0①，+/Q,+・一+/”。“，=0②

其中1/0,则与一勺一…一幺L。

A，24

证：(1)若是％=自=…=尤”=0,则证毕，不然总有一个左不等于o,不失去一般性，

设〃户0,那么其余的匕都不能等于o,不然若某个匕=o,则有2勺%=o，其中尤wo,

这任意〃?-1个都线性无关，矛盾，，从而证得匕,心,…,%全不为0。

(2)由于乙。0,由上面(1)知4/，…/”全不为零，再看A，若是匕=k2=•••=£”=0,

则结论成立。若人,攵2,…此，全不为0，则由八①-②得

（化-/2占卜2+（伏-MM+…+（4KT/卜用=°

，1屈-12kl=-13kl=…=1凡-1*1=0故3="=…=4

2

b=：/0,已知秩4=秩7=尸＜〃（厦门大学）

3＞

证明：（1）方程组4¥=6有〃-r+1个线性无关的解％,小，…，〃”山

（2）乙7+，2〃2+…+乙-「+1〃〃-川是方程组4Y=6的解，其中

乙+G+…+乙_川=1

（3）方程组AX=b的任一解J]可表为7]=占7+左2%+…+1其中

k\+k?+■••+〃“_+[=1。

证：（1）因为秩4=秩力=厂＜〃，所以方程组4¥=。有解77.,由秩（/）=〃〈〃可知4¥=0

有〃一尸个

线性无关的解：0、,人,…,Bi显然小4，42产・，夕一线性无关。（不然，力"・=Q=b

矛盾）。所以，if,7*+四,〃"+夕2，…，1"+夕,―亦线性无关。令7=瑞士四=1

（z=+1,^0=0）

可得7（i=1,2,…，〃一〃+1）为/X=〃的〃一厂+1个线性无关的解。

n-r+1n-r+1n-r+1〃-r+1—+1

②令n=Z，"其中X。=1,由于4〃=Z。""，=E"b=bZ"=b

i=\/=1/=1i=li=l

（3）设7，力-川为4X=b的n-r+l个解旦线性无关，干是

%一7•%-7,-7为力二=0的〃一厂个解，而且容易验证它们是线性无关的，

所以AX=b的任意解7可表示为

n=小+左2（%-7）+右（八一7）+…+左…（―）

二（1一人2一〃3----------〃”-川）7+42〃2+•.•+左〃_，+刃”_，+1

n-r+1zr-r+1/r-r+1

令。二1一ZX，2="2,…，Ci-r+l=k…则»i=1且77=刃j。

/=2r=l/=1

（）

AI3%IIx2I2X3=A

例14.4取何值时，方程组《+（A-l）x+x=21.有解2.无解3.有唯一解

Axx23

3（2+1）Xj+AV2+（2+3）L=3

（曲阜师大）

A+312Z+33232

解：A=22-112104

3（4+1）24+334+32/1+32+3424+32+3

Z32232

=021=021=Z2（32-1）

0222+1004—1

（1）当4Ho且2Wl时,△工0由克莱姆法则知方程组有唯一解;

（2）当2=0时，秩4=2,秩「=3,秩4,秩1,方程组无解;

（3）当4=1时，秩力=秩z=2,方程组有无穷多解。

匹+ax2+ax3=a

例15.讨论a,Ac知足什么条件时，方程组《2有解,无解或唯一解？（哈

x}+bx2+bx3=b

3

X1+cx2+C3=c

尔滨工业大学）

1aa2

解:△=]bb2=（a-b\b-c\c-a）

1cc2

（1）当。,b,c互不相等时，△工0,方程组有唯一解.

（2）当。=力=c时，秩,4=秩7=1<3,方程组有无穷多解.

（3）当d4c中只有两个相等时，方程组系数矩阵与增广矩阵的秩都是2<3,方程组有无

穷多解.

例16.讨论义取什么值时，方程组有解，并求解

(1+2)x(+x2+x3=1

«X1+(1+2)X2+x3=2（华中师大1996年）

X]+%2+(1+4k3=方

解：系数行列式△=下(/1+3)

2T222-1

(1)当人，0且力工-3时，方程组有唯一解,玉-1(1+3)，"-7(1+3)

分+24-A—1

2(/1+3)

-2工［+x2+x3=1

（2）当4=-3时，原方程组变成＜七一2工2+/二一3现在方程组无解。

x}+x2-2X3=9

X）+x2+x3=1

（3）当为=。时，原方程组变成（再+%+5=。现在方程组尢解。

X1+x2+x3=0

例17.设四元线性齐次方程组（I）为1*+芍=°又已知某线性齐次方程组（0）的通

/2-匕=0

解为尤（0,1,1,0）+左2（T，2,2,1）

（1）求线性方程组（【）的基础解系

（2）问线性方程组（I）和（II）是不是有非零公共解？如有，则求出所有的非零公共

解；若没有，则说明理由。

（1100、

解：（1）由已知（I）的系数矩阵为，故（I）的基础解系可取为

1010-1J

（0,0,1,0）,（-1,1,0,1）

（2）非零公共解。

_k+k+2k=0

将（II〉的通解代入方程组（I）,则有4212解得&|=-A,

占+2七一七=0'

当kI,=一般4*0时，则向量

k.（0,1,1,0）+k2（-1,2,2,1）=k2［（0-1ho）+（-1,2,2,1）］=k2（-1,1,1,1）.

知足方程组（I）（显然是（H）的解），故方程组（I）（II）有非零公共解。所有非零公

共解是M-u,u）（左是不为零的任意常数）。

例18.已知4阶方阵力=（%%,%,%），%,%，%，%均为4维列向量，其中

%,四，见线性无关，।x:，若是£=%+%+。3+%，求方程组41二6的

通^军。

令x=则由Ax=（%,%，4，%）=P得

x[al+x2a2+x3ay+x4a4=a1+a2+«3+«4把at=2a2-a?代入上式，整理后得

x

（2为+x2-3”2+（一X]+戈3卜3+（4.1.4=0

2X1+x-3=0

23

•.•02，。3，%线性无关，得方程组J-占+当=0解此方程组得工=0+k

x4-1=0

其中左为任意常数。（2002研究生入学试题）

例19.已知〃x〃矩阵力的元素皆整数，b=生,其中p国为互素整数且pwl,求证线性

方程组4r=bx（x为〃维向量）只有零解.

证：Ax=bx即（4-hE）x=0只有零解的充分必要条件是［4=6百w0。

考虑多项式M-在1=4"++…+/丸+%⑴

由已知，4的元素皆为整数，所以*_1,…,％,劭全为整数，而多项式首项系数为1,由

多项式根的性质知，（1）如有有理根，则必为整数根，但6不是整数，所以力不是⑴的根，即

\A-hE\^0,故原方程组只有零解。

例20.证明：实系数线性方程组⑴（，=1,2,…,相）有解的充分必要条件是属

于R"'的向量夕=伍也，…也J与齐次线性方程组»＞产,=。⑵，=12…/的解空间

正交。（山东师范大学）

证：假定实数。,。2,…，。.是方程组⑴的任一解，则名与0=4（i=l,2,…，小）

m

对于2勺，=°（/=1,2,•••,«）的任意解（4M，…4,）有

月

m(月।刀m"(m、〃

£，4=£j",=£。/2%4=2。/°=°

#=i1=1y=iyy=ii=iy=i\/=))y=i

即向量6=（4,。2,…，”J与齐次方程组⑵的任意解正交，则有

+。2/+…+%“再”=°

〃1211+a22X2+…+"旭2芭”=°

生2再+吟2+…+%,2(=()与.

V同解

”+。2/2+■••+%”/二°

+〃2/2)

刎+与今+…+3桁=0

%3

7H生1…

%1。21…，*、

a12%2…&m2

〃22…。m2

于是矩阵12与…有相同的秩,从而4与7

a\na2n…0mn

a2n…"

他仇…bm/y

有相同的秩

方程组⑴有解。

《濡+《2乃+•.•+%)〃=a

例21.证明方程组|“2出+。22%+…&

有解的充要条件是，方程组

。”,旧+。,”2匕+…+%)”=，”

"+。2/2+…+3”,二。

a,.x.+4+•■•+a^x,=0

12'2r22…nn的解尽是方程。玉+&x,+…=0的解。

•♦•

%不+%/2+…=0

a\2…a\n\jI]

a2\a22…a2nA:b2

证：设4=B=,则4y=（伉也，…也）‘有解。等

♦♦・•・♦

<ani\am2…amn)、■:bm)

价于秩（4）=秩（6）,此即,加一秩（4）=%-秩（3）这又等价于4'X=0与B'X=0同解.得

证.

例22.设/==为〃阶方阵，求证矩阵方程4Y=3有解的充要条件是

a\\a\2…％”%

44,…,4,有相等的铁，其中4.=7,0=1,2,…,〃）。

一加%2…%0%,

证：必要性。若4¥=4有解X=C=（c..）,则C的第j列j是4¥=8,的解。（鸟表示

B的第j列）故系数矩阵4与峭广矩阵均有相等的秩（/=1,2产・,〃）。

充分性。由条件知4¥=8/有解g；可得。=（c»2,…，％）为4丫=8的解。

例23.设系数矩阵A的秩为，•的含有n个未知量的非齐次线性方程组AX=B有解.试证:它

的任一解（向量）都可由它的n-r+\个线性无关的解向量线性表示.（哈尔滨师大试题）

证:（见高等代数选讲（白）的例3）.设〃°为4丫=8的一个特解…为它的导出组

Ax=0的一个基础解系.于是Ax=B的任意一个解

〃一一（“一■、一

〃=〃O+ZL〃=1一2匕+〃），其中〃。，%+〃，…，〃o+〃吁川显然是

*1\J-I）J-I

4丫:8的〃一「+1个解向量.下证，这〃一尸+1解向量是线性无关.事实上，若

“一，n-rn-r

人仇+工为（%+7）=0则%=一2七〃（*）对上式两头左乘力

/=!

/、

（n-r〃一——

得：力%=_Z（L“〃J，由/%=3，力功=0力=1，2,...,〃_，•，有£xj8=0,

<7=0i=lIj=0）

因3工0,推出£匕=0,把它代入（*）式左端又得£x乙=0,则由7,%,...,%一线性无关,

y=o/=1

得芭二W=...=x._r=0,进而%=0,所以，4r=4的任意解向量都可由个〃一尸+1线性

无关的解向量〃o，〃o+%，…，〃o线性表示.

例24.设a”。2,…,a，（s<〃）为S个线性无关的n维向量，则必然是一个有n个未知量的齐次

线性方程组的一个基础解系.

%二（心吗2,…吗”）份内+%2工2+•••+%,X”=0

解：设%2'21，22，2?作齐.次线性方程组c2i1..x1,+a^2x2-y2+...+a.2”nx”n=0⑴

%=（%，/2，「・，4”）内+42工2+•••+/“%=。

其系数矩阵/=（%）…的秩为S.则秩（A）=S〈n,有基础解系仇，仇，…，瓦，其中r=n-S.

("u，"l2,…，"1")

P\~Z?11xI+/)12x2+...+Z?lnxn=0

设P2=(%也2,…也〃1,由此作齐次线性方程组&卢1+%/2+・,・+%」“=°

Pr=(""％,…4)4再+hr2X2+-+hn^n=0

的系数矩阵8=(%).秩(B)=r=n-S〈n.所以有基础解系，含有rrr=S个向量.而%,%,...,a.

即可.因％,巴，・・・，《线性无关，且有用，人，…,民为⑴的解.即

・

a同、+ai2bJ2+...+ainb.n=0=>^1an+bj2ai2+...+%/加=0=>&,%，••■为⑵的

解.

例25.已知平面上三条不同的直线方程别离为

/]:ax+2by+3c=0,1]:bx+2cy+3a=04:ex+2ay+38=0,试证这三条直线交于一

点的充分必要条件为Q+力+c=0.(2003年.高数(一)试题)

/、

X。

证：必要性.设三条直线交十一点(%,为)，则为为力x=O的非零解，其中

1,

a2b3c

A=h2c3a于是»|二0而

c2a3b

2b3c

22222

\A\=b2c3a=-61a+Z7+c^a+b+c-ab-bc-ca)=-3(a+b+c)[(a-b)+(/>+c)+(c-tz)

c2a3b

(1(a-b)2+(b-c)2+(c-6?)2w0,故a+b+c=0.

ax+2by=-3c

充分性.考虑线性方程组(以+2cy=-3a(*),将(*)的三个方程相加，并由〃+b+c=0,可

ex+lay--3b

/、、

知方程组(*)等价与方程组：[a，x+2by>=—3cz(*.*),因为

[bx+ley=-3a

a2b=2(ac-b2)=-