考研数学三（微积分）模拟试卷213

考研数学三(微积分)模拟试卷213

一、选择题(本题共3题，每题7.0分，共3分。)

1、设Z=x2+y2—21nIXI—2lnIyI(x#),行0),则下列结论正确的是

A、函数z有四个驻点，且均为极小值点.

B、函数z有四个驻点，且均为极大值点.

C、函数z有四个驻点，其中两个为极大值点，两个为极小值点.

D、函数z有二个驻点，其中一个为极大值点，一个为极小值点.

标准答案：A

2__2(/-1)2=2夕-1)

知识点解析：z'x=2x—xx=0—►x=±l.z'y=2y—>X=0-

y=±l.所以有四个驻点(一1,1),(一L一】)，(1,—I),(1,1).又z”xx=2+

22

4>0,小〃=2+4

彳y>o,z"=o,故有AC—B?>。.目A>O.从而以Eig个

xy

驻点均为极小值点.选A.

2、设平面区域D『t(x,y)Ix2+y2<R2},D2={(X,y)|x2+y2<R2,x>0},Ds={(x,

y)Ix2+y2<R2,x>0,y>0},则必有

(A)J"。=2JLd。.(B)『do=2^xda.

%D2

(C)1r(D)Jyda=2Jyda.

&D2

%D3

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：由积分区域和被积函数的奇偶性判断可知B正确.在(A)中

Jxdo=0,JxdogyM=2Jyda

D

,1加，所以(A)错误.在(C)中巴=0,所以(C)错

Jydo=0,pda

误.在(D)中々巴加，所以(D)错误.

3、设平面区域Di={(x,y)IIxI

JI町Ido,/2=JIVIdcr,I3=，*

/TTT+/BT&XDi

y)I0},且l产

xyIdo,则

A>Il<I2<l3.

B、IV13Vl2.

C>I3<Il<l2.

D、h<b<Ii.

标准答案：c

知识点解析：易见三个积分区域D],D2,D3各自分别关于X轴对称，又各自分别

关于y轴对称，记它们各自在第一象限的部分区域为Du，D2I，D3I，再利用被积

函数f(x,y)=IxyI分别关于变量x与变量y都是偶函数，从而有

=/IIdo=4'I“Ido.

“='Ido=4,I盯Ido,

图4・】因为三个积分区域Du，D2I，D3］的左边界都是

y轴上的直线段{(x,y)lx=0,0<y<l),下边界都是x轴上的直线段((x,y)I

0<x<l,y=0},而Du的上边界是直线段{(x,y)ICt<x<l,y=l—x},D21的上边界

是圆弧{(x,y)I0.<X<1,y=/l-/},D3］的上边界是曲线弧{(x,y){0<x<l.y=

(1-4)2=1-2而+x}.不难发现当OVxVl时

1-x------2x(=*)<0.

1—x+-2

1_Z-(I-4)2=2a-2*=24(1_〃)>0,即三个积分区域D"D21与

D31的包含关系是D3IU°IIUD?],如图4.1.从而利用被积函数IxyI非负且

不恒等于零即知三个二重积分的大小关系应是13VliVI2,即应选c.

二、填空题(本题共3题，每题分，共3分。)

0着巧

4、设D={x,y)I2x<x2+y2,0<y<x<2},则"八「=___________.

标准答案：2ln(l+Q)-&

知识点解析：采用极坐标计算.首先画出D的图形(如图4.3),x?+y2=2x的极坐

TT

标方程为p=2eos0：x=2的极坐标方程为p=2sec0；y=x的极坐标方程为0=4,故

原式:「W'Lpdp

)0J2COMP

■

rT

=2(sec。-cos8)M

J0■

=2(In|sec?+tang|-sin^)

o

5^交换积分次序：f(x,y)dy=.

33-y

标准答案：Edy'。(x,y)dx+L2dyJoif(x,y)dx+f2dyJof(x,y)dx.

知识点解析：由题设知，积分区域由x=0,x=l,y=x2,产3—x所围成，即积分

区域D=D],D2，D3(如图4.4),且D尸{x,y)I0<y<l,0<x<^),D2={x,y)|

l<y<2,0<x<l},D3={(X,y)I2<y<3,0<x<3—y|,于是交换积分次序得J(/dx

3-M

/f(x,y)y=J(?,y)dx+fi2dyfo，f(x,y)dx+^23dyfo3-yf(x,

y)dx.

6、累次积分J（?兀dp=.

标准答案：K（4^-7）+1

知识点解析：如图4.5,在（0,p）平面上交换积分次序，有原式=Jo%pJo2P（心―1）

“（犷-心

=寺JoP'Jdp-21p/dp

o

-Kg

ye7r-l)-e1

0

三、解答题（本题共78题，每题1.0分，共78分。）

将下列累次积分交换积分次序：

f.I/(2)dy+/dx|

7、JodxJ。'।J。f(x,y)dy；

标准答案：首先画出积分域如图4.7所示.交换积分次序后原积分可以写成

/odyO(X，r)dX，

8、fo'clyf(x,y)dx+J/dJ・"^f(x,y)dx.

标准答案：画出积分域，如图4.8所示.由图可知，交换积分次序后原积分成为

/(x.y)dy+/(x.y)dy.

Jy

9、计算累次积分1401dx

标准答案：积分区域图形如图4.9,由被积函数的形式，可以看出应先对x积

74：%号焉仙

=4-[/1d(..1)

4A^1：

分，故交换积分次序，得

知识点解析：暂无解析

，4-Jr2r八&

(/+/)打+IdXf_

-*JJ7^*r(2+y2)do.

10、计算。X

标准答案：由累次积分知积分区域D如图4.10,由被积函数和区域D看出，本

题在极坐标系z=rcosO»y=rsinO中计算较方便.图，】0

y=4一/在极坐标下的方程为r=2,y=一,在极坐标下的方程为r=2cos9,

工色6毛3

2

且D=D]+D2，其中D|={(r,9)I0<0<,2cos9<i<2},D2={(r,0)I24

兀，0<r<2},

因此7=|d^lr2•rdr+[dfflr2•rdr

JTJoJoJ2co“

=["••2，+(d0=IT+4f(1—cos，8)d。

44Jo423Jo

=ir♦2p-4/cos4的6=3ir-4•—,--,-J-

Jo422

知识点解析：暂无解析

11、设区域D是由直线y=x与曲线y=a一

J户-『四成的平面区域.求产.?2一丁。

标准答案：区域D如图4.11,在极坐标系x=rcos9,y=rsin9中它可表示为

D={(r,6)|0W8W/，0SrW2asin。},

于是/==广d。广"7金=二.

i/4a2-x2-/JoJo“-r2

令r=2asint,即得

i9X2

/=2o2Jdgj(1-cos2l)dr=a2J(20-sin26)d&=/("-

图4.Il

知识点解析•：暂无解析

11±

12、求1=。ye，'dxdy,其中D={(x,y)Ix<y<2,l<x<2}.

标准答案：作出区域D的平面图形，如图4.12.将D分割成D]与D2,则

!WyW1

D=DI+D2，其中DI二{(x,y)I2y<x<2},D2={(x,y)Il<y<2,

l<x<2}.所以1=%%yexydx+f12dyJj2yexydx-十

1

222

(ey_e)dy+fj(ey-ey)=V_e2,若本题选择对y积分，则

/=Jdxj(ye^dy=Jdx-十jtyd(e**)

图4.12此时，如果欲想分别积分JJ

2'dx与':/'（k的话，因为:八

的原函数没有初等函数的表达式（即不可积类

2

型），J/X/xdx无法继续计算下去.由此看来，在计算二重积分选择积分次序时，

不但要考虑积分区域的特点，同时还要考虑被积函数的特点.当按某种积分次序遇

到困难无法进行下去时，马上应考虑换另一种积分次序进行.如果不考虑去计算

2

22x

fiVedx,那么有如下解法.

知识点解析：暂无解析

标准答案：积分区域D为扇形(见图4.13)：

D=|(x.y)|0<x<与R,xWyJ足■♦卜{(，,—|0WrWK..W8Wy|.

所以原式==/；呵:e-Ldr=g■•/(1-ef=~(I-).

图4.13

知识点解析：因为无法得到e"，e・’的原函数的解析式，所以在直角坐标系中无

法算出结果.注意被积函数属f(x2+y2)的形式，因此可选用极坐标系x=rcos0,

y=rsinO.

14、计算1=2必-1dxdy,其中口由广。',y=2和x=0围城的平面区域。

标准答案：积分区域如图4.14.由被积函数形式可以看出，此积分只能先对x积

分，故图4.14

知识点解析：暂无解析

1W“W2,0WyW明求。

15、设f(x,y)=10•其他，o(x,y)dxdy,其中D={(x,

y)Ix2+y2>2x}.

标准答案：由f(x,y)的定义域和D确定的积分区域如图4.15中的D],即

=I(XMI1WXW2J2x--W，WX；.

1x2X(x：A)e,,r

故fffx,r)d.xdy=J.reMxdy=J^edx/,y>-jy2-^=ft~**

D*F|

=(/-3x+3)e“=e2-e.

知识点解析：暂无解析

16、设x=rcos。，y=rsinO,将如下直角坐标系中的累次积分化为极坐标系中的累次

积分.JrJ,-fJ1J0

标准答案：本题中积分区域如图4.16中阴影部分所示.将其化为极坐标，可知

•«TMT.■■■,—।——

06|0,4|,由于y=j—x可表示为rsinO=l—rcosO,即r=斯11，♦，心。,而y2=2x—x2

可表示为r=2cos0,故*（，O!*^<r<cos0.从而原积分可化为

图4.16

知识点解析：暂无解析

ffx2—-do

17、计算二重积分2,其中积分区域D由直线y=-x,y=x,x=-1

以及x=l围成.

标准答案：积分区域D分别关于x轴与y轴对称，如图4.17.由于被积函数

f(x,y)=x2""亨分别是x与y的偶函数，从而

1r了+/<»=4y/x2y:d(r.

°其中Di是D在第一象限的部分.因被积函数

的表达式中包含/O’「，采用极坐标系x=rcos。，y=rsinO来计算较简，这时

5={(「⑼母石"：”…七卜

故

图4.17

5J。cos'。5Jocos0

d(sin?)

-«in2^)

=7TT7yi+占♦占+7rbi1市

=:(占-占+山匕)1；&+皿匕)|：

知识点解析：暂无解析

交换下列累次积分的积分顺序：

18、h=Jo】dxJl-，f(x,y)dy+L°dxhnx/x,y)dy；

标准答案：由题意知，积分区域口=口］3)2，其中D1={(x,y)I00X0,1—

x<y<l},D2={(X,y)Il<x<e,lnx<y<l},见图4.18,交换积分顺序得Ii=6dy

，个市仁，y)dx.

知识点解析：暂无解析

19、12ToidyJ。f(x,y)cx+fi2dyfo2~yf(x,y)dx.

标准答案：由12可知，D=D|UD2,其中D|={(X,y)I0<y<l,0<x<^),

20、计算二重积分Oydo,其中D是两个圆:x2+y2q与(x—29+丫2"的公共部

分.

标准答案：积分区域D如图4.20所示.由于被积函数f(x,y尸y关于x轴对称,

积分区域D也关于x轴对称，所以积分值为0.图4.20

知识点解析：暂无解析

21、计算二重积分。,其中D是曲线y=lnx与y=21nx以及直线x=e所围成的

平面区域.

标准答案:

J^^xda=JJxdxJdy=J^/xinxdx(多%*-#j|；・在石4，

知识点解析：暂无解析

22、求1=。(IxI+IyI)dxdy,其中D是由曲线xy=2,直线y=x—1及y=x+l所

围成的区域.

标准答案：作出D的平面图形如图4.21.因积分区域关丁原点O对称，被积函

/=2/(Ix|•<­|y|)dxdy(xN0)

♦%♦%

=2J(x+|y|)dxdy,

数又是x与y的偶函数，故其中

Di={(x,y)I0<x<l,x-l<y<0},D2={(x,y)I0<x<l,0<y<x+l),D3={(x,

y)I1<X<2,x_l<y<

2

x).

于是/=2J(x+IyI)dxdy

=2[*|y|)dxdy♦H(x+|yI)dxdy+J(x♦|y|)dxdy]

2

=[|o<lx|J*-r)dy+/。回。(x♦y)dy+/产/'(#+y)d“

=2[f；f(，+2/+扑M+j：信+/2'-会同

26

=T,

图421

知识点解析：暂无解析

23、计算二重积分。ye-do,其中D是由曲线产e'与直线y=x+l在第一象限围成

的无界区域.

标准答案：由题设知D={(x,y)I0<x<+oo,x+lg'X},(如图4.22).设常数b

lim

>0,且Db=DC{xSb}={(x,y)I0<x<b,x+