考研数学二（线性代数）模拟试卷18

考研数学二（线性代数）模拟试卷18

一、选择题（本题共70题，每题1.0分，共70分。）

1、n维向量组ai，（X2，…，as（3Ssgn）线性无关的充要条件是（）

A^A在一组全为零的数ki，k2，…，ks，使k]Ct|+k2a2+…+ks（Xs=O

B、ai，（X2,…，as中任意两个向量都线性无关

C、ai，（X2，…，as中任意一个向量都不能由其余向量线性表出

D、存在一组不全为零的数ki，k2，…，ks，使k]ai+k2（i2+…+ks（x#0

标准答案：C

知识点解析：可用反证法证明之：必要性：假设有一向量，如as可由R，

（X2，…，as/线性表出，则ai，az，…,Os线性相关,这和已知矛盾，故任一向量

均不能由其余向量线性表出，充分性：假设ai，。2,…，as线性相关，至少存在一

个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故ai，az»...»as线性无关.（A）

对任何向量组都有0ai+0a2+...+0as=0的结论.（B）必要但不充分,如囚=[0,1,

0]T,a2=[l,0,0]T,a3=[l,0,0/任两个线性无关，但ai，a2，a3线性相

关.（D）必要但不充分.如上例ai+a2+a3#0，但ai，a2,013线性相关.

2、设有两个n维向量组⑴a1，（12，…，as»（H）pi，历，…，国，若存在两组大全

为零的数k],k2，…,ksAi»12，…，Xs，使

（ki+Xi）ai4-（k2+X2）a2+...-（ks+Xs）as+（ki—Xi）pi+...+（ks-Xs）ps=O,则（）

A、ai+仇，…，as+ps»r-仇，…，（^一区线性相关

B、ai，as及01，…,供均线性无关

C、囚，…as及伏，…，区均线性相关

D、ai+pi，...»as+ps»ai-pi，...»（^一区线性无关

标准答案：A

知识点解析：存在不全为。的k],k2，…，ks，Xi，九2，…，M，使得

（k1+X।）a1+（k2+X2）a2+...-（ks+Xs）as+（k1—九1）。1+e2・22彻+…+（ks-Q）ps=0,整理得

k]（ai+0i）+k2（a2+P2）+…十ks（as+BJ+M（ai-0i）+入2（a2—应）+…+入sQs一区）二0.从而

得ai+巾，…，as+ps»ai—。1，…，如一区线性相关.

3、已知向量组（I）ai，a2,03,a4线性无关，则与（I）等价的向量组是（）

A、。1+。2，。2+03，。3+«4，04+ai

ai-a2»。2-。3，狂3一04，04-011

C、Q1+Q2，012—013，（13+04，04-01]

D、ai+(X2，(X2一。3，013—04，(X4-ai

标准答案：D

知识点解析:因(A)ai+C2-(012+013)+93+04)—(必+四尸。；(B)(a1-a2)+(«2-a3)+(a3-

04)+(04-011)=0；(C)(ai+ot2)一(a2一。3)一(。3+04)+(04«1)=0,故均线性相关，而

-100-r

1100

0-110

D0-11.

[ai+a2»a2013，口304，04ai]=[ar。2，a3，04]=[ajra2»013,

100-1

110

1100

|C|==1+0-11

0710

00-1

O4]C其中0071=2翔.故ai+a2»a2

013，。3—04，04—(XI线性无关，两向量组等价.

4、设向量组囚，。2,(X3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是()

A、。1+。2，(12+03，一小

ai+«2»口2+。3，ai+2ai+ot3

C、ai+2a2，2a2+3a3，3a3+ai

D、ai+a2+a3，2al—3a2+22a3，3ai+5a2-5(X3

标准答案：C

知识点解析：因(人)四+&2一((12+(13)+&3-ai=0,(B)a]+a2+a2+a3一(a1+2a2+013)=0,

(D)一19(a)+a2+a3)+2(2ai—3a2+22a3)+5(3ai+5a2—5a3)=0,敌(A),(B),(D)的向

量组均线性相关，由排除法知(C)向量组线性无关.对(C),若存在数ki，k2,k3使

得k।(a।+2a2)+k2(2a2+3a3)+k3(3a3+a1)=0,整理得：

(k]+k3)a]+(2ki+2k2)a2+(3k2+3k3)a3=0-因囚，a2，(X3线性无关，得

瓦+房=0,

10113

“2M+2星=0,①：2

20=02

3&+3居=0.

又o33033=12割，①只有零解，从而知

原向量组线性无关.

5、若向量组a,dy线性无关，a,d3线性相关，则()

A、a必可由0,y,5线性表出

B、0必可由a,y,3线性表出

C、6必可由a,p,丫线性表出

D、6必不可由a,p,y线性表出

标准答案：C

知识点解析：因a,p,7线性无关，故a,0线性无关，而a,|3,6线性相关，故

6必可由a,p线性表出（且表出法唯一）.

6、设向量组（I）ai，…，as线性无关，（11）仇，历，…，仇线性无关，且

ai（i=l,2,…，s）不能由（口）①，彷，…，仇线性表出，pi（i=l,2,…，t）不能由

（I）ai，。2，…，as线性表出,则向量组cq,a2，…as,伙,（2，…,Ps（）

A、必线性相关

B、必线性无关

C、可能线性相关，也可能线性无关

D、以上都不对

标准答案：C

知识点解析：只要对两种情况举出例子即可.（1）取

线性无关平=

且显然不能相互线性表

出，但四个三维向量必定线性相关；（2）取

且显然不能相互线性表

出，目四个向量仍然线性无关.由（1）,（2）知，应选（C）.

7、已知n维向量的向量组内，a2，…，as线性无关,则向量组a「,a2'，…，as,

可能线性相关的是（）

A、ai，（i=l,2,...9s）是ctj（i—1,2,…，s）中第一人分量加到第2个分量得到的向

量

,

B、ai（i=l,2,s）是2,…，S）中第一个分量改变成其相反数的向量

C、a「（i=l,2,s）是ctj（i—1>2,…，s）中第一个分量改为O的向量

D、a「（i=l，2,...,s）是（Xj（i=1>2,…，s）中第n个分量后再增添一个分量的向量

标准答案：C

知识点解析•：将一个分量均变为0,相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为

线性相关.（A）,（B）属初等（行）变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无

关性，（D）增加向量分量也不改变线性无关性.

P+囚26+。]必，A=仇1。2+仇2%+仇34，

；=021十0?2<1；工.力03，

)ft=%。2+从2a计3a，

c.H优=。31。1+〃320+。33a3,-A=凝。2+%。3+优必,则()

8、设

A、存在aij(i,j=l,2,3)使得仇，p2»A线性无关

B、不存在aij(i,j=l,2,3)使得pi，p2，为线性相关

C、存在bij(i,j=L2,3)使得Bi，仞，的线性无关

D、不存在bij(i,j=l,2,3)使得pi，例，饱线性相关

标准答案：C

■1423'-1423■

初等行变换

，4a,QJ=01120112,

一6」知向量组

知识点解析：由J840.,000

ai，a2，a3线性相关，«2,。3,04线性无关.因ai，Ct2，(13线性相关,故(A),(B)

不成立，因a2，a3,04线性无关，故(C)成立，(D)显然不成立.

9、A是mxn矩阵，r(A)=r<min{m,n),则A中必()

A、没有等于零的r-1阶子式，至少有一个r阶子式不为零

B、有不等于零的r阶子式，所有r+1阶子式全为零

C、有等于零的r阶子式，没有不等于零的什1阶子式

D、任何r阶子式不等于零，任何r+1阶子式全为零

标准答案：B

知识点解析：由矩阵的秩的定义知，r(A)=r,r是A中最大的不等于零的子行列式

的阶数，故A中有不等于零的(至少一个)r阶子式，而r阶以上子式都等于零，这

只需所有r+1阶子式全为零即可，故选(B),而(A),(C),(D)均不成立，请读者自

行说明理由.

10、向量组⑴卬，(12，…，as,其秩为门，向量组(n)pi，也，…,”其秩为⑵

且济，i=l,2,…，s均可由向量组(I)a],a2,…，as线性表出，则必有()

A^ai+Pi,(12+02，…，as+Bs的秩为口+12

B、ai—pi，a2一的，…，痣一区的秩为口一12

C、ai，。2，…，a$，Pi»<2，…，P$的秩为门+「2

D、Q|»ct2>...»a$,P1»P2，氏的为门

标准答案：D

知识点解析：设ai,a2，…,Os的极大线性无关组为ai,(X2，…，arl，则

aj(i=l,2,…，s)均可由ai，012，…，ari»线性表出，又2,…，s)可由

(I)表出,即可由ai，。2，…'a”线性表出,即a：,012，…，a”也是向量组山,

a2，...»as，pi»B2，.・.，0s的极大线性无关组，故r(a],a2，…，as»pi,

p2，...»Ps)=ri,其余选项可用反例否定.

二、填空题(本题共8题，每题分，共8分。)

11、设n维向量(1[,(12，a3满足2al—。2+3。3=0，对于任意的n维向量0,向量组

hp+a”120+。2，13。+。3都线性相关，则参数h，12,b应满足关系-

标准答案：2h—12+313=0

知识点解析：因呻+。2,呻十。3线性相关，存在不全为零的k2,k3,使

得kI(11p+a।)+k2(12p+a2)+k3(hp+a3)=0,即

(kih+k212+k313)B+kiai+k2a2+k3a3=0.因。是任意向量，ai，ai，a3满足2al一

012+3(X3=0,故令2h—12+333=0时上式成立,故h，12,h应满足211—12+313=6

12、已知r(ai，。2，…，as)=r»则r(a”ai+a2，…，ai+a2+…+as)=.

标准答案：r

知识点解析：因向量组ai,az,…,如和向量组a1，r十(12，…，ai+a2+…+备是

等价向量组，等价向量组等秩，故r(ai，ailaz，...»aiIazl...।as)=r.

13、A=L&瓦0也…0人」其中a#0,b#,i=l,2,...»n,则r(A)=

标准答案：1

知识点解析：

r(A)=r[仇也♦

a也•••aj)n\

r(A)>l,故r(A)=l.

14、设A是5阶方阵，且人2=0,则r(A*尸.

标准答案：0

知识点解析：因A2=AA=O,r(A)+r(A)<5,r(A)<2,从而A*=0,r(A*)=0.

15、设Amxn，Bnxn>Cnxm，其中AB=A,BC=O,r(A)=n,则|CA-B|=

标准答案：(・l)n

知识点解析：因AB二A,A(B—E)=O,r(A)=n.故B-E=O,B=E,且由BOO,得

C=0,故|CA—B|=|—E|=(—l)n.

与向量组

等秩，则x二

标准答案：1

|[q.a2.aj=

知识点解析：

(13)=2,由题设：r(pi，仞，

■12X

[>遇，仿]=-213-2x

—12+12工

,253故x=l.

17、已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且r(A尸n—l,则线性方程组AX=0

的通解是______

标准答案：k[l,1,1]T,其中k为任意常数

知识点解析：由r(A)=n-1知AX=0的基础解系有n—(n—1)=1个非零向量组

成.A的各行元素之和均为零,即街1+街2+...+街产0,i=b2,n.也就是

aii.l+ai2.1+...+ain.l=0,i=l,2,n,即片[1,1,…，1]T是AX=0的非零解，

于是方程组AX=0的通解为k[l,1,…，其中k为任意常数.

18、设n阶(定3)矩阵A的主对角元均为1,其余元素均为a,且方程组AX=0只有

一个非零解组成基础解系，则a=.

1

标准答案：后

1aa~

a1a

•••

•••

知识点解析：A=-aa…1」AX=O只有一个非零解组成基础解系，故r(A)=n

1.

aa~1aa1+(〃-Daaa

1aa-11~a001-a•••0

•••••—***

•••••■••*■

a1一J2—10•••\-a_00•••1-a

三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)

19>已知a],CL2f...»as线性无关,。可由eq,。2，…,四线性表出,且表示式的

系数全不为零，证明：aa2,…，as,0中任意s个向量线性无关.

标准答案：用反证法.及四，(12，…，as，P中任意s个向量组eq,(12........5”,

ai+i，as,。线性相关，则存在不全为零的ki，k2，…，ki-i，ki+i，...»ks,k

使得k।ai+...+kj.।ai-1+kj+1ai+1+...+ksas+kp=0.①另一方面，由题设

P=hct]+12a2+…+1网+…+kas，其中原0,i=l,2,…，s.代入上式，得

(ki+kl|)a1+(k2+kl2)a2+…+(匕1+kli-i)aj.i+kliai+(ki+i+kli+1)ai+i+...+(ks+kIs)as=0?因已

知ai，a2，…，cis线性无关,从而由kli=0,l#0,故k=0,从而由①式得ki，

1<2，...,kj-i,kj+i,...,ks均为10,矛盾.故ctj，。2,…，cts»P中任意s个向用2%

性无关.

知识点解析：暂无解析

20、已知向量组ai，a2，…,as.i(s>l)线性无关,pi=ai+tai+i，i=L2,…，s.证

明：向量组Pl，彷，…，诙线性无关.

标准答案：设有数k[,k2，…，ks，使得k曲+1<2例+…+ksBs=O成立，即

k](a।+ta2)+k2(a2+ta3)+...+ks(as+tas+1)=kiai+(kit+k2)a2+(k2t+k3)a3+...+(ks.

41=0,

=0,

<•••

A,_]£+A=0,

it+ks)as+kstas+i=O.Waj,ga$+i线性无关，故忆=°，得唯一解

ki=k2=...=ks=0,故团,p2»...»“线性无关.

知识点解析：暂无解析

21、设A是3x3矩阵，ai,g，013是三维列向量，且线性无关，已知Aai=a2+a3,

Aa2=ai+a,3，Aa3=ai+a2，⑴证明:Aaj,Aa2，Aa.3线性无关；(2)求|A|.

标准答案：(l)[Aai，Act?，Aa3]=[a2+a3»ai+a3，ai+a2]=[ai，012，

ro1n。11

ioi磔101

111

°」[ai,a2,a3]C,其中|C|二10=2加，C是可逆阵.故Aa1,

Aaz，Aa3和ai，a2,(13是等价向量组，故Aa1，A012，A013线性无关.⑵[Aai，

两边取行列式,得

011

\A\=101=2.

110

知识点解析：暂无解析

22、已知A是N阶矩阵，⑺，012，…，as是n维线性无关向量组，若Aa”

Aaz，…,A.线性相关,证明：A不可逆.

标准答案：因Aai,Aa?,...»Aa,线性相关，故存在不全为零的数ki,k?,...»

ks，使得k]Aai+k2Aa2+3+ksAas=0,即A(kia]+k2a2+…+ksOis尸A4=0.其中

q=kiai+k2(X2+…+区€15成立,因已知ai，(12，…，a$线性无关，对任意不全为零的

ki，k2，…,ks，有夕kiai+k2a2+...+ksa#0,而A?0.说明线性方程组AX=0有

非零解，从而|A|=0,A是不可逆矩阵.

知识点解析：暂无解析

23、设A是mxn矩阵，证明：存在非零的nxs矩阵B,使得AB=O的充要条件是

r(A)<n.

标准答案：充分性r(A)〈n,AX=0有非零解，将非零解X组成B,则B/),且有

AB=0.必要性若AB=0,其中B和,设B邹1，阳…，阳，则A(3i=0,i=l,

2,...»s.其中。i，i=l,2,s,不全为0,即AX=0有非零解,故r(A)Vn.

知识点解析：暂无解析

24、设n阶矩阵A的秩为1,试证：(1)A可以表示成nxl矩阵和ixn矩阵的乘

积；(2)存在常数山使得Ak=『/A

标准答案：⑴将A以列分块，则r(A)=r(ai，012，…，常=1表明列向量组，

a2>...»an的极大线性无关组有一个非零向量组成,设为5=[ai，@2，…，

"nF(声0)，其余列向量均可由5线性表出，设为因叫囚。二1,2,...»j=ilH>取

bi=l),则A=[cq,。2，…aM=[bicti，t>2ai»...bnai]=ai[bi，ba,…，加]二口」"1，

TT

b2，…，bn].(2)记a=3=[ai,a2，an],P=[bi，b2，...»bn],则A=ctpT,

Ak=(apT)k=(apT)(apT)...(apT)=a(pTa)(pTa)...(pTa)pT.记

r

pa=aibi+a2b2+...+anbn=M>则人卜=叫尸0丁=『"A.

知识点解析：暂无解析

25、设A是nxn矩阵，对任何n维列向量X都有AX=O,证明：A=O.

标准答案：由于对任何x均有AX=O,取X=[l,0,0|T,由

rli

an=a2i=...=ami=0.类似地,分别取X为e尸口,

TT

0,…，0|,e2=[0,1,0,…，01,...»en=|0,0,代入方程，可证每个

ajj=0,故A=0.

知识点解析：暂无解析

26、向量组m，02，…，仇可由向量组al，a2，...»as线性表出，设表出关系为

5业，…，。La】==[«i，皿，…aC.

若ai，a2,•

%线性无关,证明：r(0i，p2»...»pt)=r(C).

标准答案：B=[Pi，仞，…，仇]=[川，(12，…，as]C=ACr(B)=r(AC)<r(C).又

r(B)=r(AC)>r(A)+r(C)-s,r(A)=s,r(B)>r(C),从而有r(B)=r(C).

知识点解析：暂无解析

27、设A是sxn矩阵，B是A的前m行构成的mxn矩阵，已知A的行向量组的秩

为r,证明：r(B)>r+m-s.

标准答案：因(A的行向量的个数s)-(A的线性无关行向量的个数r(A))>(B的行向

量个数m)一(B的线性无关的行向量的个数r(B)),HPs—r(A)>m—r(B),得

r(B)>r(A)+m—s=r+m一s

知识点解析：暂无解析

28、设A是mxn阶实矩阵,证明：(1)「(人丁庆)=「(人)；(2)ATAX=A%一定有解.

T

标准答案：⑴设r(A尸匚，r(AA)=r2,由于AX=O的解都满足。丁庆双二AT(AX)=O,

故AX=O的基础解系(含n一口个无关解)含于ATAX=O的某个基础解系(含n—峻

个无关解)之中，所以n—r£n—12，故有「2夕1，即r(ATA)0r(A).①又当

ATAX=O时(X为实向量)，必有XETATAX=O,即(AX)TAX=O,设AX=[b],

N

b2,…，bmF，则(AX)[AX)=m=0，必有bi=b2i..=bm=0,即AX=0,故方程

组ATAX=0的解必满足方程组AX=0,从而有n-r(ATA)Sn-(A),r(A)<r(ATA).②

由①，②得证r(A)=r(ATA).(2)ATAX=有解,r[ATA)=r(ATA|ATb).由(1)知

r(A)=r(AT)=r(ATA),将A、ATA=B以列分块，且B=ATA的每个列向量均可曰人丁

的列向量线性表出，故人丁和B二人1人的列向量组是等价向量组，A'「b是人丁的列向

量组的某个线性组合，从而r(AT)=r(AT|ATb)=r(ATA|ATb),故

r(ATA)=r(AT)=r(AT|ATbi=r(ATA|ATb),tt(ATA)X=ATb有解.

知识点解析：暂无解析

=

X)一工2-彳3一八AX|，

一*+死一外一4二人才2，

一为-JC2+工3­彳4=人工3»

29、设线性线性方程组力一工一工3+工1="4,九为何值时，方程组有解，有解

时，求出所有的解.

标准答案：方程组是齐次线性方程组

当期一2且杼2时,唯一零解；当入=2时\有无穷多解，其解为k][l,-1,0,

TT

0]+k2[h0,一1,0]+k3[l,0,0,一1丁；当归一2时，方程为

--3111'

1-311

11-3

.111IJ[：：有通解k[l,1,1,l]T.

知识点解析•：暂无解析

T

30、已知四元二个方程的齐次线性方程组的通解为X=ki[l,0,2,3]+k2[0,1,

-1,1]T,求原方程组.

标准答案：以原方程组的基础解系作新的方程组的系数矩阵的行向量，求解新的方

程组，则新方程组的基础解系即是原方程组系数矩阵的行向量.设

»+2刈+3M=0.「10231

（U）B=,

“一北+乂=0，即Lo1-11J求得（口）的基础解系为中=[21,

（―2g+g+*3=0，

1,0]T,i]2=[-3,一1,0,1]T.故原方程组为-3©-及+M=0・

知识点解析：暂无解析

31、已知齐次线性方程组（I）的基础解系为4=[1,0,1,1]T,及=[2,1,0,一

+12+七+勾=0，

1]T,43=10,2,1,一I]'添加两个方程力+2百+2孔=0后组成齐次线性方

程组（U）,求（D）的基础解系.

南+2即-

扁+2扁

鬲+自’

标准答案：方程组⑴的通解为1<1言+1<2々+1<3+=储—扁一"一代入添加的两个方

3也+2&+2A3=0,

T

程，得3鬲+2&+2居=0.得解：ni=[2,—3,0],n2=[0,I,一1/，故方程组

（口）的基础解系为。=2m—3&=[一4,一3,2,5『，；2=&2一43=[2,—1,一1,

01T.

知识点解析：暂无解析

f3xi-x24-8X3+14=0,

32、已知线性方程组⑴1皿+3"-94+7h=0'及线性方程组（口）的基础解系。二[一

3,7,2,0]T,&=[一1,—2,0,1]T.求方程组（I）和（口）的公共解.

T

标准答案：方程组（口）的通解为k&+k2&2=kiL3,7,2,0]+k2[-1,一2,0,

T

l]T=L3ki—k2,7ki-2k2,2ki，k2].其中ki，k2是任意常数，将该通解代入方

程组⑴得：3（3k1-k2）-（7k1—2k2）+8（2k।）+k2=-I6ki+16ki—3k2+3k2=0,（-3ki-

k2）+3（7k12k2）—9（2k|）4-7k2=-21k]+21ki—7k2+7k2=0,即方程组（D）的通解均满

TT

足方程组（I）,故（II）的通解k】[-3,7,2,0]+k2[-1,-2,0,1].即是方

程组⑴，（口）的公共解.

知识点解析：暂无解析

Xl+12+力+M+/$=a*

3xi+2xz+4+/-3X5=0,

0+213+2工4+6%=6,

33、已知线性方程组[5々+4々+34+34—4=2.(1后，b为何值时，方程组有

解；(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；(3)方程组有解时，求出

方程组的全部解.

•11

-3001226

|[A|b]=

226b00000b—3a

标准答案:33-12.0002-2a(l)a=l,b=3

时，r(A)=r(A|b),方程组有解;(2)导出组基础解系为：&=[1,一2,1,八0,0ni]T1,

及=[1,一2,0,1,0]T,B=[5,—6,0,0,1]T；(3