考研数学（数学二）模拟试卷281

考研数学(数学二)模拟试卷281

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、设f(x)和(p(x)在(-8,+00)内有定义，f(x)为连续函数,且f(x)#0,(p(x)有间断

点，则().

A、必有间断点

B、［①⑻产必有间断点

C、ll(p(x)］必有间断点

D、(p(x)/f(x)必有间断点

标准答案：D

知识点解析：

(A)反例仅4)=|：卜卜则词/(%)］=1

10|x|>I

(B)反例3(x)=「［5：，［q(x)r=l

l-l|x|>1

(C)反例夕(z)=!*!^!./(*)=1.则，〔夕(彳)］=1

10|x|>1

(D)反设g(*)在(-8,+8)内连续，则伊(X)=«(七)/(%)在(-8,+8)内

连续.矛盾.

所以(D)是答案.

2、若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为().

A、1+sinx

B、1-sinx

C、1+cosx

D^1-cosx

标准答案：B

知识点解析：对sinx积分两次得到f(x)的原函数，即可得到正确选项.由题设

f(x)=sinx,所以f(x)=Jfdx=fsinxdx=-cosx+C］于是f(x)的原函数F(x尸Wx)dx=J(・

cosx+C|)dx=-sinx+C|x+C2C|=0,C2=l»得f(x)的一个原函数为1-sinx,故应选

(B).

3、考虑二元函数的下面4条性质(I)f(x,y)在点(xo,yo)处连续；(D)f(x,y)在点

(xo，yo)处的两个偏导数连续；(ID)f(x,y)在点(xo，yo)处可微；(IV)f(x,y)在点

(XO,yo)处的两个偏导数存在；若用P=Q表示可由性质P推出性质Q,则有

(A)(U)=(ni)n(I)(B)(!!!)=(0)=(1)

()(C)(ffl)=>(IV)=>(I)(D)(m)n(I)=(IV)

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：f(x,y)在点(xo，yo)处的两个偏导数连续，则f(x,y)在点(xo，yo)处

可微，f(x,y)在点(xo，yo)处可微，则f(x,y)在点(xo,yo)处连续.所以(II产(HI)

=(I).(A)为答案.

/dx[/(x.y)dy

4、设函数f(x,y)连续，则二次积分乜J"f(x,y)dy等于

(A)fd/f/(x,y)dx(B)[dyf/(x,y)dx

(C)Jodyf(xty)dx(D)£dyjf(x9y)cix

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

fdxf/(%,y)dy

知识点解析：由二次积分7J1f(x,y)dy,的积分上、下限知积分区

171

域为y=sinx(兀/2〈x〈7t)的反函数为x=7r-arcsiny,则积分区域可变为于是积分

变为，故应选(B).

coaxx>0,

5、设f(x)=l/g(x),“W0,其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处().

A、极限不存在

B、极限存在，但不连续

C、连续，但不可导

D、可导

标准答案：D

知识点解析：题设所给函数f(x)是分段函数，Rf(O)=O,应分别求左、右极限及

左、右导数来讨论x=0点的连续性与可导性，由

/(0,)=lim]=1加2=0,

&7.&

/(0)=lim?g(x)=0知/6)在*=0处处连续；

B-4>*

■

又好，(()♦)=⑼=limJ=0.

r(0・)=lin/(琦二〃02=lim/K(x)=limxgQ)=0,

i・x■-**x・9■知f(x)在x=0处可导且

f(0)=0,所以选(D).

6、下列微分方程中，以y=Cie'+C2cos2x+C3Sin2x(Ci，C2，C3为任意常数)为通解

的是().

，，，，，

A、y+y-4y-4y=0

B>，，，+y，，+4y+4y=0

C^y-y-4y+4y=0

，，，，，，

D、y-y+4y-4y=0

标准答案：D

知识点解析：由微分方程的通解可知，所求微分方程的特征根为入1=1,

九2九2,3=±2i,从而特征方程为Q-l)Q+2i)&2i)=Q-l)仇2+4尸入3.#+4心4=0,所以所求

微分方程为y-y+4y.4y=0.故选(D).

7、设A是mxn矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩为

ri，则().

A、r>r)

B、r<r)

C、r=r)

D、r与门的关系由C而定

标准答案：C

知识点解析：由B=AC知r0(A尸r,又B=AC两边同时右乘C,，得人寸5,于

是Er(B)=r”从而有r=q,故选(C).

8、设入九2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a1，a2则

ai,A(a]+a2)线性无关的充分必要条件是().

A、Xj=0

B、50

C、无知

D、入2和

标准答案：D

知识点解析：由题设，令

「/(x)dx=X.A为常数，则/■)+47’,从而

I♦X

//x)dx":i4?&.“G7山n

A=arrtaiuI:♦y(arcsiru♦x-e)I：=学♦：4

7T

于是人七w•即小六，

=4^ir

13、曲线YF-X2的上凸区间是.

标准答案：乂式I一2旦,马2）

知识点解析：对产0以2求一阶、二阶导数得y=2xe-x2,y"=2e-x2（i_2x2）当y”<

（-立幻

0,即221时，曲线向上凸.

1001

4=220

14、设L345」，A*是A的伴随矩阵，则（AT匕

标准答案：

知识点解析：因为AA*=|A1E,从而（A*）/=

=由《尸=击八3=M°°

三、解答题（本题共9题，每题L0分，共9分。）

知识点解析：暂无解析

flydz.

16、计算」(1-x)u

标准答案：被积函数为对数函数与幕函数的乘积，故采用分部积分法，将对数函数

/清产=尚=悬-1加甘

看作U.=£.1(++汽)&=总同守+C

知识点解析：暂无解析

17、设曲线£的方程为y=f(x),且y''>0.又MT、MP分别为该曲线在点M(xo,

yo)处的切线和法线.已知线段MP的长度为(其中yo=yo(xo),

yo=yo(xo)),试推导出点P&n)的坐标表达式.

(I+册

力

又PM_LMT,所

(1♦册

以yo二兀F,解得(y>n[="由于y'>0,曲线L是凹的，故yo・r|<。，

1-斓

于是得

1♦4力,

―1.■

从而yo-T|=y°又X3-^=-yo(yo-n)=

知识点解析：暂无解析

18、已知函数f(u)具有二阶导数，且f'(0)=l,函数y=y(x)由方程y-xe"=l所确

求也|，吟.

定.设z=f(lny-sinx),“Jo&…

普=/*(Iny-sinx)(}・coax),

灯死结々d?=/"(Inr-8in*)(^-coftX)*/*(iny-sinx)(4«inxV

初、准答案："\/\y，任y-xe?

1=1中，令x=0,得y=l.由y-xeW=l,两边对x求导得丫工川出《广。=0.再对x

求导得y-ey-1y-ey-,-y-xey-1y2-xey-ly=0.将x=0>y=l代入上面两式得y(0)=1,

„点=八0)(0-0)=0,售=r(0)(2-l)xl.

y(0)=2,故9・・。〃1・・。

知识点解析：暂无解析

『屋"二I|d。，其中。二|(区，y)|0W2/l,0"W】|.

19、计算二重积分幺，其中

D={(x,y)I0<x<l,0<y<l［.

标准答案：此题用分块积分法，如图所示

22.I[1-('♦/),"/4Q0,y/0,

公-11=(

I4+VT，*Nl，0GW1,OWyWl.用分块积分法得

'=/1+/-I旧0=J(1-(x2+/)+1r(x2+/-1)d(]r,

D&FT

而‘(/+y'T)do=-1)M-/(一+/-l)do,

%%A

222

所以/=2J[1-(x+y)]d<r+J(x-1)d^=/t+/J.

作极坐标变换求乙：

，I=2l!町。(1")rdr=2•夫呆/)哼，

又A=2Jx2d(r-1=2J。dyjj2(k-1=-1--1=-y,因此/=~--1-.

知识点解析：暂无解析

20、已知函数f(x)在［0,1］上连续,在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(l)=l.证明：

(I)存在年(O,1),使得f(9=i<；(II)存在两个不同的点n，仁(0，D，使得

f(n)f(Q=i.

记为

标准答案：(I)即证F(i)=/(”)T+”在(0，1)存在零点.由于F(x)在［0,1］连

续，且F(0)=-l,F(l)=l,即F(0).F(l)V0,由连续函数的零点存在性定理知，3

年(0,1),使得F©=0,即优尸1比.(口)利用题(I)的结果，在［0,身上用拉格朗

日中值定理知，3ne(o,^),使得€(在也，1］上，用拉格朗

上一

日中值定理知，丸W&1)，使得l-fl-f-J"，两式相乘得

f(n).f(Q=i.

知识点解析：暂无解析

21、设函数f(x)在［0,1］上连续，(0,1)内可导，且3j2/f(x)dx=f(x),证明在(0,1)

内存在一点，使f'(C)=O.

标准答案：要对f(x)在［0,1］上使用罗尔中值定理，问题在于证明f(x)在［0,1］上有

两个等值点.由积分中值定理，

%W［2/3,1］,使//(x)dx=(I-y)/(x0)=

'613〃l/3f(xo),从而f(xo)=f(O),又

由罗尔中值定理，3CG(O,xo)U(o,1),使f'(O=0.

知识点解析：暂无解析

22、设向量组a”a2，a3线性相关，向量组a2，a3，闻线性无关，问：(I)a］能否

由&2,线性表出？证明你的结论.(□)"能否由a”a2,〃