考研数学（数学三）模拟试卷377

考研数学(数学三)模拟试卷377

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、设f(x),g(x)在(一8,+8)上有定义，且X=X1是f(x)的唯一间断点,X=X2是g(x)

的唯一间断点，则()

A、当X1=X2时g(x)+g(x)必有唯■的间断点X=X1。

B、当X#X2时g(x)+g(x)必有两个间断点x=xi与x=X2o

C、当X1=X2时g(x)g(x)必有唯一间断点X=Xlo

D、当X|,X2时g(x)g(x)必有两个间断点X=X］与X=X2o

标准答案：B

知识点解析：令F(x)=f(x)+g(x),假设F(x)在x=xi处连续，由f(x)=F(x)—g(x)及己

知条件g(x)仅在X=X2处间断，其他点处均连续，于是推出f(x)在X=XI处连续，这

与已知条件矛盾，故F(x)在x=xi处间断。同理，推出F(x)在X=X2处亦间断。下面

一一举出其他三个选项的反例：选项A的反例「I，”WO,，而

f(x)+g(x)=O无间断点;选项C的反例与选项A的相同,此时f(x)g(x)=—1,无间

断点；选项D的反例M11，*W-1,无间断

点。故选B。

2、曲线？=(”+2)e,渐近线的条数为()

A、Oo

B、lo

C、2o

D、3。

标准答案：C

._,ul•・I

.丁lim(x+2)e«=+8

知识点解析：函数，=(*+的无定义点只有x=()。由于…

所以x=0为曲线的垂邕曲近缱：

(*+2)，[=

Xlim*=lime

«-■x•-*•»x

lim(y-ex)=lim[(x+2)e—-ex'

e

=limfe(x+2)e~*^-ex]=lime("+2e'^)=eo

故y=e(%+1)为曲线的斜渐近线。故选Co

fx=arctant,

3、设=1n(l-siny确定了可导函数丫=心)，贝小)

A、x=0是y=f(x)的极小值点。

B、x=0是y=f(x)的极大值点。

C、x=0不是广f(x)的驻点。

D、存在x=0的一个小邻域，在此邻域内y=f(x)是单调的。

标准答案：B

知识点解析：由x=arctant知，

x=Ooe=0,x>0(<0)o<>0(<0),

2

再由y-ln(l-t)-siny知fx=Ooy=-sinyoy=0,“

虫dl>>0,-5<x<0

=dr-2“1♦。)

5*-==0,x=0,

(1-C)(1+cosy)

<!山x

<0,°<5,其中6>o是充分小的数，因

此，x-0是y-f(x)极大值，点v故选Bu

=1,2,3.

4、设〃其中Di={(x,y)Ix2+y2<R2),D2={(x,y)I

222

x+y<2R),Ds={(x,y)IIxI<R,IyI<R}O则下列关于I],12，13大小关系

正确的是()

A、hV12Vl3。

B、I2<h<l2o

C、l2<h<Ilo

D、I3<l2<llo

标准答案：B

知识点解析：三个积分区域如下图所示:Di，D2均是以原点

为圆心，半径分别为R和的圆：D3是正方形，边长为2R。又因为被积函数

f(x,y)=e-g+y2)连续，且恒正,所以I】VI3V12,故选B。

5、设矩阵Amxn经过若干次初等行变换后得到B,下面4个结论正确的是()①A

的行向量均可由B的行向量线性表示；@A的列向量均可由B的列向量线性表

示；③B的行向量均可由A的行向量线性表示；④B的列向量均可由A的列向量

线性表示。

A、①，②。

B、①，③。

C、②，③。

D、@o

标准答案：B

知识点解析：由题设A经初等行变换得到B知，有初等矩阵Pi，P2,…，Ps使得

PS...P2P]A=Bo记1^\..甘2Pl则P=(Pij)mxm是可逆矩阵,将A,B均按行向量分块

Pim

Pim

"即Piiai+pi2a2+...+pimam=pi(i=l，

2,m),故B的行向量均可由A的行向量线性表示，又P=(pij)mxm是可逆矩

%=P”鱼。

••

••

阵，所以两边同乘P、得故A的行向量均可由B的行向量线性

表示。故选Bo

■210Ir200*

A1201=021

JL。」则A与B()

6、已知-00-101

A、等价、相似、合同。

B、等价、相似、不合同。

C、不等价、不相似、不合同。

D、等价、不相似、合同。

标准答案：D

知识点解析：由于r(a)=3,r(b)=3,所以A与B等价。A与B均为实对称矩阵，若

特征值相同，则A与B相似，否则A与B不相似。由于

A-2-10

|A£-A|=-1A-20=(A+1)(A-3)(A-1).

00A+1।

A-200

|AE-B|=0A-2-1=(A-2)[A-(1+^)][A-(1-0)]

0-1A所以A的

特征值为入A=-1,3,1,B的特征值为k=2」互因此人与B不相似。

由于A与B的正负惯性指数是相同的，且正惯性指数均为2,负惯性指数均为1,

所以A与B合同。故选D.

7、设A,B是两个随机事件，当A,B同时发生时，事件C一定发生，下列结论

正确的是()

A、P(C)=P(A+B)o

B、P(C)=P(AB)O

C、P(C)>P(A)+P(B)—lo

D、P(C)WP(A)+P(B)—lo

标准答案：C

知识点解析：因为事件A,B发生时，事件C一定发生，所以A8UC,,于是

P(C)>P(AB),而P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)>P(A)-P(B)—1,故P(C)>P(A)+P(B)

一1o故选Co

8、设随机变量X与YP勺联合分布是二维正态分布，X与Y相互独立的充分必要条

件是()

A、E(X—Y)=0o

B、D(X—Y)=0o

C、E(X2—Y2)=0O

D、E[X(Y—E(Y))]=0o

标准答案：D

知识点解析：(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是它们的

相关系数PXY=O。而对任何两个随机变量X与Y有

PxY=o^Cov(i,r)=o°£(xy)二E(X)・E(Y),而E(XY)=E(X).E(Y汉可以变形

为E(XY)—E(X).E(Y)=E[X(Y—E(Y))]=0o故选D。

二、填空题(本题共6题，每题L0分，共6分。)

2x3-4/+1

9、曲线--+1的斜渐近线为o

标准答案：y=2x—4

知识点解析：斜渐近线的斜率：

k=lim1-=lim2#三也一+」=2,

*,•XX-¥X

斜渐近线的截距:

b=lim(y-2x)=lim(~~~.4*一±1-2x)

——・X+I

],一4父4—2x+1

=lim------------=-4A

-x+1

故曲线y7”±I的斜渐近线为”2一4。

x+1

二人则“⑴町,⑺打

10、设f(x)曰0,1],且

标准答案：2

知识点解析：

设FQ)出，则尸(口为/(%)的原函数且F(l)=4tF(0)=0,因此可得

j/(x)dx|/(y)dy=j/(x)(F(l)-F(x)]dx

2

=AJ/(x)<k-J/(x)F(x)dx=4-foF(x)dF(x)

=*-犷⑺I；=%

11、设f(x,y,z)=e'yz2是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，其中z=z(x,y),贝!

fx'(0，1,一1尸o

标准答案：1

知识点解析：z是关于x,y的函数，因此f(x,y,z)=e'yz2两边对X求偏导可得,

匚(F，z)+/\(x,y,z)祟=eyz2+2e>z

OXox

x+y+z+xyz=0两边对x求偏导可得

1+—+yz+xy—=0,

dxdx

于是可得引=0,故尸<0,1,-1)-lo

OXI(0,1.-I)

x

12、差分方程yx+i-2yx=3x2的通解为y(x)=

CX2rLX2’

标准答案：2其中C为任意常数

知识点解析：原方程对应齐次差分方程yx+i-2yx=0的通解为丫02*,又

f(x)=3x2\因为2是其特征值，所以特解形式可设为y/=axx2x,代入原方程可得

2。故原差分方程的通解为八-2其中C为任意常数。

13＞设A,B都是三阶矩阵，A相似于B,月.IE—AI=IE-2AI=IE-3AI

=0,则IB"+2EI=o

标准答案：60

知识点解析：根据已知IE—AI=IE-2AI=IE-3AI=0可得矩阵A的三个

±±±±1

特征值为3,2,1,又已知A相似于B,所以B的特征值也为3'2’,从而B

।的特征值为】，2,3,进一步B1+2E的特征值为3,4,5,因此可得IB

1+2EI=60o

1

14、设随机变量X和Y的相关系数为3,且E(X)=0,E(Y)=1,E(X2)=4,

E(Y2)=10,则E[(X+Y)2]=o

标准答案：18

知识点解析：由已知及方差的计算公式得D(X)=E(X)—[E(X)]2=4,D(Y)=E(Y2)-*

2"Cov(X,y)=PH•/PUT•7W=2

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=4+9+4=17,则有

E[(X+Y)2]=D(X+Y)+[E(X+Y)]2,其中E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1,所以

E[(X+Y)2]=17+1=18o

三、解答题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

2

f以/一F)(k=-2--+x)

15、设f(x)在(一8,0]上连续，且满足几1+x2求f(x)

及其极小值。

标准答案：

令腿=t2-=2tdttf(t2-x2)d/=-yJ°/(u)du,故

j/(u)d〃=&-右加(1+/),

再令l=-x\yjy,(u)du=亡^-/ln(1-t),即

1/(u)du=9+lMlT),

等式两边同时对，求导，得/(，)=77工K-丁三二六』('这。)，故

(1-01T(1-0

(.矣0)。

/(«)=(，:17+)繁

所以有f'(x)=缶=0，

7(17/)

得4=-3。当％<-3时)'(#)<0,当-3<0时/'(彳)>0,所以/(彳)在3=-3

处取得极小值/X-3)=-/。

知识点解析：暂无解析

16、设某厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时

总收益函数为R(x,y)=27x+42y—x2—2zy—4y2,总成本函数为C(x,

y)=36+12x+8y(单位：万元)。除此之外，生产甲种产品每吨还需支付排污费1万

元，生产乙种产品每吨还需支付排污费2万元。①在不限制排污费用支出的情况

下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?总利润是多少？(n)当限制排污费用

支出总和为6万元的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润

是多少？

标准答案：⑴总利润函数L(x,y)为L(x,y)=R(x,y)—C(x,y)—x-2y=14x+32y

rL\=14-2x-2y=0

-x2—2xy—4y2—36。求L(x,y)的驻点，令卜'，=32-2#-町二°可解得唯

一驻点x=4,产3,且此时L(x,y)=40。因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，

故计算结果表明，在不限制排污费用支出的情况下，当甲、乙两种产品的产量分别

为x=4(吨)和产3(吨)时，总利润达到最大值，且总利润是40万元。(II)求总利润

函数L(x,y)在约束条件x+2y=6下的最大值，可用拉格朗日乘数法。引入拉格朗

日函数F(x,y,Q=L(x,y)+-x+2y—6),求F(x,y,入)的驻点，令

F;=14-2z-2y+A=0,

F\=32-2%-8y+2A=0,

【尸:=x+2y-6=0,可解得唯一驻点x=2，y=2,且此时L(x,y)=28。因

驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，当排污费用限于6万元的

情况下，两种产品的产量均为2吨时总利润最大，最大利润为28万元。

知识点解析：暂无解析

/(।)=3f，e,-,7(x)d.t

17、设f(x)在区间［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且满足1。

证明:存在美(0,1),使得r©=269。

标准答案：由积分中值定理，存在一点f,e［0*T］使得

/(l)=

令/(“)=」7%外，则尸(%)在Z/］上连续，在(&,1)内可导，且

F(l)=/(D==F(f,)o

由罗尔定理，在(々,1)内至少存在一点f,使得

—=e'^［/r(f)-2£f(f)］=0,

于是有

/'(f)=邓。,ge(f,J)C(0,1)。

知识点解析：暂无解析

/(x)=In——-

18、将函数展开成x-2的幕级数，并求出其收敛域。

标准答案：令u=x—*2,于是z=u+2,

/(x)=In—与=In"，，(记为3(〃))，

=4-1(-1),*)、£-=+

上式成立范围是J<1与<1中取小者，为I"<1。从而知

夕(”)=9(0)♦(-D"击"♦1

=ln2+V—(一),*+1'

Hn+1Z

即有/(z)=ln2+t占［(-1尸/7+1］(x-2严，1<x<3O

Mn+12又当x=3

时，上述级数发散，当x=l时，上述级数收敛，且当x=l时f(x)连续，故此函数事

级数展开式的收敛域为l<x<3o

知识点解析：暂无解析

lf.r(y1)da

y=-4^TJ=h：K'其中积分区域D由y轴与曲线

围成。

标准答案：由直角坐标与极坐标间的关系x=rcosO,y=rsinO,在极坐标(r,0)中积分

区域D可表示为5=(，夕)1°这&Wf,2cosd这~2|于是

Jx(y+1)darcosMrsind+I)rdr

〃23

=[co岭sin丽8r/dr+「cospdS

J。J22J0

=[7~cos^sin^[1-cos'd]M+「--cos^:1-cos，d。

j。qJo3

=4〃(l一，4)d/+『co&0dff-『cos%d。)

_AA/i31TT\

-3+rU-IT•引

IT

=4A-5。

知识点解析：暂无解析

(i|X|+a2x2+%/+。4孙=%,

6|X|+b2x2+b3x3+64X4=bSt

C/l+C2X2+<>3X3+C4X4=C$,

T

20、已知线性方程组4期+d/2+4/=4的通解是(2,1,0,3)+k(l,

—■1,2,0)「，如令oti=[ai，E，Ci，di)T(i=l,2,3,4,5),试问：(I)ai能否由

a2,灯3，0(4线性表示：(n)«4能否由eq,a2,(13线性表示，并说明理由。

标准答案：⑴注意到3为所给方程组的增广矩阵的列向量，将方程组改写成列向

量的形式：X]ai+x2a2+X3a3+X4O4=Cl5，对应的齐次线性方程组为

X1a1+X2a2+X3a3+X4a4=o；(*)因为(1,一1,2,0/为方程组(*)的解，将其代入得

至Ul.cq+(一l)a2+2.a2+0a4=ai-a2+2a3=0,即ai=a2—2a3+O.C14,因而ai可由a2,

a3,04线性表示。(II)因方程组(*)的基础解系只含有一个解向量，故r(a)=n—

1=4—1=3,因而A的列秩等于3。因为R可由立，口3,以线性表示，故

3=r([a2,a3,a4])=r([ai,a2,G3,a4])=r([ai，012，知)+1，因而04不能由内,(12,013线性表

Zj\o

知识点解析：暂无解析

21、设二次型f(xi，X2，X3)=xTAx=3x12+ax22+3x।2—*4xiX2-8x1x3―4x2X3，其中

一2是二次型矩阵A的一个特征值。⑴试用正交变换将二次型f化为标准形，并

写出所用正交变换；(口)求f在条件X12+X22+X32=l下的最小值，并求最小值点

(xi，X2，X3);(HI)如果A*+kE是正定矩阵,求k的取值。

■3-2-4-

(I)二次型/的矩阵A=-2a-2.

--4-23-

由4=-2是A的特征值，有

-524

I-2E-A|=2-2-a2=-9(a-6)=0,

42-5

得到a=6C

由矩阵4的特征方程

|A-324

IAE-A!=|2A-62=(A-7)“4+2)=0,

标准答案:

得到矩阵A的特征值是入］=七=7,入3=一2。对入=7,解齐次方程组(7E—A)x=0得

基础解系四=(1,一2,0)T,ct2=(l，0,—1)T,对入=-2,解齐次方程组(~*2E—

A)x=0得基础解系a3=(2,I,2)TO因为ai,012不正交，故需施密特正交化，有

4-

_1_

-25-22

-0-0-I--5-

再单位化,得

-2

-0

后3—

22

那么令Q=(y,%*)=-J，则在正交变换x=如卜\有

2

JJ

xTAx=yTAy=7ya12+7ya：2一2y«32(II)条件x)2+X22+x32=l,即xTx=1o而

xTx=(Qy)T(Qy)=yTQTQy=yTy,可知f在条件Xi2+X22+X32=l下的最小值，即为f在

条件y/+y22+y32=l下的最小值。由于f(x],x]、X3)=xTAx=7yi2+7y22-'2y32>-^

所以.乙n=-2。而最小值点是

*«I

1-2-

T

■■21-1

6T

2

90o3」(皿)因

2(yi~+y2+y3)，

为矩阵A的特征值为7,7,一2。所以IAI=-98,那么A*的特征值为一14,

-14,49<,从而A*+kE的特征值为k—14,k-14,k+49。因此，k>14时,

A*+kE正定。

知识点解析：暂无解析

22、设随机变量Y服从参数为入=1的泊松分布，随机变量

X*=［°，丫Wk，k=0J

L，Y>k,‘试求：⑴Xo和X］的联合分布律；(H)E(Xo—X1)；

(ni)Cov(Xo，Xi)o

标准答案：(I)P{Xo—O，Xi-01：P(Y<0,Y<1}-P{Y-O}-1c,P{Xo-l，

Xi=0}=P{Y>0,Y<l}=P{Y=l}=eIP{Xo=O,X]=l|：P{Y<0,Y>l}=0,

P{Xo=l,Xi=l)=P{Y>0,Y>1}：P{Y>1)=1-P{Y=0}-P{Y=1}=1—2eL

所以Xo和X］的联合分布律为:

01

0e-'0

1e'11-2J

(11)由⑴知,Xo和X］的

X。01

Pe"'1-e-'

X\01

Ze-11-2e“

边缘分布律为:p所以,

E(Xo—X1)=E(Xo)-E(Xi)=(l-e')=e\(IH)由⑴(口)的计算结